Как найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

Определение. Два множества F
и G векторов евклидова
пространства E
называются ортогональными, если каждый
вектор из F ортогонален
каждому вектору из G.

Определение. Пусть F
– подпространство E.
Совокупность всех векторов подпространства
E, ортогональных
подпространству F,
называется ортогональным дополнением

подпространства F.

Всякое ортогональное дополнение

является, в свою очередь, линейным
подпространством.

Всякое произвольное евклидово пространство
E разлагается в прямую
сумму своего произвольного подпространства
F и его ортогонального
дополнения

Примеры

1. Требуется найти базис ортогонального
дополнения

подпространства L,
натянутого на векторы


,

,

Будем считать, что базис, относительно
которого заданы векторы, ортонормированный.
По определению, если

,
то

.
Далее, каждый вектор

из

должен быть ортогонален к

.
Для этого достаточно, чтобы


.
Расписывая скалярные произведения,
получим три уравнения относительно
координат

вектора

Совокупность решений этой системы и
образует ортогональное дополнение. За
базис в

можно принять любую фундаментальную
систему решений. Например, вектор

.

2. Линейное подпространство

задано уравнениями

Требуется найти уравнения, которые
задают ортогональное дополнение

.

Пусть

,

.
Тогда

.
Этому условию удовлетворяют два линейно
независимых вектора

и

,
которые образуют коэффициенты системы
уравнений, задающей F.
Далее,

.
Ранг системы равен 2. Значит

и, так как

,
то

.
Поэтому найденные векторы можно принять
за базис в

,
и

есть линейная оболочка данных векторов.
Далее задача решается так же как в
примере из § 3. Дословно повторяя решение,
получим следующую систему уравнений

которая и задает
.

5.3. Проектирование вектора на подпространства

Пусть

.
Тогда всякий вектор

можно представить в виде

,
где

и

.
Вектор

называется ортогональной проекцией
вектора x на
подпространство L, а
вектор

называется ортогональной составляющей
вектора

.

Пусть

и

— расстояние между векторами

,
тогда

Таким образом, ортогональная проекция
есть ближайший к

вектору подпространства L.
Часто используются следующие обозначения

,

.

Укажем в заключение как вычисляются
координаты вектора

.
Пусть

— базис в L. Так как

,
то

.
Поэтому

Отсюда имеем, что в случае ортонормированного
базиса

Примеры

1. Найти ортогональную проекцию

и ортогональную составляющую

вектора

на линейное подпространство L,
натянутое на векторы

.
Все векторы заданы координатами
относительно ортонормированного базиса.


,

,

,

Нетрудно убедиться, что

и что за базис можно принять векторы

и

.
Нам будет удобно перейти к ортонормированному
базису в L. Применяя
процедуру ортогонализации к векторам

и

,
получим ортонормированный базис в L:


,

Заметьте, что векторы

и

линейно выражаются через

и

и, значит, также принадлежат L.
Имеем теперь

2. Требуется найти расстояние от точки,
заданной вектором

до плоскости (линейного многообразия),
заданной системой уравнений

Расстояние между точкой

и множеством L
определится следующим образом

Для вычисления расстояния удобно перейти
к параметрическому уравнению плоскости.
Имеем

и поэтому всякий вектор

представляется в виде

где

— фиксированный радиус-вектор точки
плоскости;

и

— базис направляющего линейного
подпространства, которое задается
соответствующей однородной системой.
Решая уравнение, получим, например,


,

,

Затем

Векторы

и

принадлежат направляющему подпространству
M плоскости L.
Вектор

.
Так как

,
а

,
то

Правая часть этого неравенства и есть
искомое расстояние. Осталось вычислить
вектор

и найти его норму. Проделав для этого
аналогичные вычисления и вычислив длину
вектора, получим, что

.

3. Пусть

— ортонормированная система векторов
евклидова пространства En.
Нужно доказать, что для любого вектора

имеет место неравенство Бесселя

с равенством тогда и только тогда, когда

,
т.е. векторы

образуют ортонормированный базис в En.

Так как

— ортонормированная система, то ее
всегда можно векторами

достроить до ортонормированного базиса
в En.
Разложим вектор

по этому базису. Имеем

Далее,

или

С равенством тогда и только тогда, когда

.
Исключение составляют случаи, когда

или когда

принадлежит линейной оболочке векторов

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 17:37 


14/11/13
244

Профиль  

svv 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 18:06 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

В процессе решения системы уравнений Вы как-то её преобразовывали, при этом выяснялось, что некоторые уравнения являются линейными комбинациями остальных (или, как частный случай, сводятся к $0=0$). Такие уравнения Вы выбрасывали. Приведите, пожалуйста, конечный вид системы после этих преобразований.

Профиль  

SlayZar 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 18:37 


14/11/13
244

Профиль  

svv 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 18:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

Хорошо.
Можно ещё первое уравнение вернуть к исходному виду, чтобы дробей не было:
$begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}$
Напрашиваются ещё кой-какие преобразования, но это уже дело вкуса.

Посмотрите на матрицу системы как на два вектора (записанных в строку): $a_1=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}quad a_2=begin{bmatrix}0\1\1\-7end{bmatrix}$.
А найденные решения обозначим $b_1=begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}quad b_2=begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}$

Так как векторы $b_1, b_2$ удовлетворяют системе, то
$begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}begin{bmatrix}0&-5\-1& 7\ 1& 0\ 0& 1end{bmatrix}=begin{bmatrix}0& 0\0& 0end{bmatrix}$
А теперь увидьте в этой записи четыре скалярных произведения:
$(a_1, b_1)=0quad (a_1, b_2)=0$
$(a_2, b_1)=0quad (a_2, b_2)=0$

Увидите — напишите «увидел».

Профиль  

SlayZar 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 19:07 


14/11/13
244

Да, увидел!
Получается
$begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}begin{bmatrix}0&-5\-1& 7\ 1& 0\ 0& 1end{bmatrix}=begin{bmatrix}&a_1& \ &a_2&end{bmatrix}begin{bmatrix}b_1 \\ b_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}(a_1,b_1)& (a_1,b_2)\(a_2,b_1) & (a_2,b_2)end{bmatrix}=begin{bmatrix}0& 0\0& 0end{bmatrix}$

Профиль  

svv 

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 19:33 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

Профиль  

SlayZar 

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 20:01 


14/11/13
244

Решая эту систему у меня получились довольно странные и неприятные числа, но вроде бы правильные!
$alpha_1=frac{241}{101}; alpha_2=frac{68}{101}; beta_1=frac{-410}{101}; beta_2=frac{-45}{101}$
Но тогда если находить $alpha_1 a_1+alpha_2 a_2$ и $beta_1 b_1 + beta_2 b_2$ то ответ получается совсем некрасивым… Так и должно быть?

Профиль  

svv 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 20:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

Вы пока получите эти два вектора (можно вынести $frac 1{101}$ за вектор, чтоб не было знаменателей).
А я покажу, как другим способом найти, это будет проверка.

Система уравнений, данная в задаче, определяет подпространство $M$, к которому $L$ является ортогональным дополнением. Надо представить $x=y+z$, где $yin L, zin M$.

Мы нашли базис $M$: это векторы $a_1$ и $a_2$. Так как $yin L$, то $(a_1, y)=0, (a_2, y)=0$, поэтому
$(a_1, x)=(a_1, y+z)=(a_1, z)=(a_1, alpha_1 a_1+alpha_2 a_2)=(a_1, a_1)alpha_1+(a_1, a_2)alpha_2$
$(a_2, x)=(a_2, y+z)=(a_2, z)=(a_2, alpha_1 a_1+alpha_2 a_2)=(a_2, a_1)alpha_1+(a_2, a_2)alpha_2$

Получаем систему
$begin{bmatrix}(a_1, a_1)&(a_1, a_2)\(a_2, a_1)&(a_2, a_2)end{bmatrix}begin{bmatrix}alpha_1\alpha_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}(a_1, x)\(a_2, x)end{bmatrix}$
или
$begin{bmatrix}15&-19\-19&51end{bmatrix}begin{bmatrix}alpha_1\alpha_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}23\-11end{bmatrix}$
Откуда $alpha_1=frac{241}{101}, alpha_2=frac{68}{101}$

Теперь находим $z=alpha_1 a_1+alpha_2 a_2$ и $y=x-z$.
В этом способе мы не решаем систему, данную по условию, а только преобразуем её, чтобы найти базис $M$.

Профиль  

SlayZar 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 20:43 


14/11/13
244

$z=alpha_1 a_1+alpha_2 a_2=frac{241}{101}begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}+frac{68}{101}begin{bmatrix}0\1\1\-7end{bmatrix}=begin{bmatrix}frac{482}{101}\\frac{309}{101}\\frac{309}{101}\\frac{247}{101}end{bmatrix}=frac{1}{101}begin{bmatrix}482\309\309\247end{bmatrix}$

$y=beta_1 b_1+beta_2 b_2=frac{-410}{101}begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}+frac{-45}{101}begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}=begin{bmatrix}frac{225}{101}\\frac{95}{101}\\frac{-410}{101}\\frac{-45}{101}end{bmatrix}=frac{1}{101}begin{bmatrix}225\95\-410\-45end{bmatrix}$

Профиль  

svv 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 20:46 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

Профиль  

SlayZar 

 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 21:21 


14/11/13
244

Да, в решении все понятно, огромное спасибо!
Сейчас полез в ответы и удивился увидев хороший не похожий на наш ответ! Оказалось, что на самом деле в условии $x=(7;-4;-1;2)$.
Сколько же лишних расчетов! :facepalm:
Я перерешал немного для нового X и получил хорошие числа $alpha_1=1; alpha_2=0; beta_1=-2;beta_1=-1$
$z=alpha_1 a_1+alpha_2 a_2=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}+0=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix} $y=beta_1 b_1+beta_2 b_2=-2begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}-begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}=begin{bmatrix}5\-5\-2\-1end{bmatrix}$

Теперь проверим, что решение правильное. $y+z=begin{bmatrix}5\-5\-2\-1end{bmatrix}+begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}=begin{bmatrix}7\-4\-1\2end{bmatrix}=x$

$(y,z)=5*2-5*1-2*1-1*3=0$

Значит, все правильно!

Огромное спасибо за помощь и столь развернутое и понятное объяснение!

Профиль  

svv 

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение19.03.2014, 21:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10081
Crna Gora

Рад был помочь. Выберите тот способ из описанных, который Вам больше всего понравился, и примените его к правильным данным.

Профиль  

eco_fan 

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Сообщение16.10.2015, 16:04 


14/10/15
1

Как вы нашли векторы этой системы? Можете подробно расписать я имею ввиду векторы (0,-1,1,0),(-5, 7, 0,1)

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда «XÎV $X0ÎL Ù $X^ÎL^ (причем единственные), такие что X = X0 + X^, X0 – Называется ортогональной проекцией вектора Х на подпространство L. X^ – Называется ортогональной составляющей вектора Х на подпространство L. Расстоянием Между двумя множествами M1 и M2 Называется кратчайшее из расстояний между элементами M1 и M2: r(M1, M2) = .

подпись: В частности r(X, M) = ; r2(X, Y) = |X – Y|2 = = |X – X0|2 + |X0 – Y|2 ³ ³ | X – X0 |2 = | X^ |2, где YÎL, т. е. Расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором Х и подпространством L Называется угол jÎ[0, p] такой, что .

Преобразовав , получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.

Рассмотрим – ортогональный базис в подпространстве L:

«XÎV X = X0 + X^ = a1E1 + a1E1 + … + aKEk + X^.

Умножим скалярно обе части равенства на Ei:

, т. е.

– это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора Х на подпространство L.

< Предыдущая   Следующая >
Источник

$begingroup$

The title could include «subpace with more than one base vector», because that’s what I’m having trouble with.

Say we have our subspace that is spanned by ${(1, 0 ,1),(1, 1, -1)} $ and we have the vector $(1, 2, 3)$. The subspace is already orthogonal, how do I find the orthogonal projection of the vector on the subspace?

Bernard's user avatar

Bernard

173k10 gold badges66 silver badges166 bronze badges

asked Feb 7, 2015 at 18:54

Mega Comm's user avatar

$endgroup$

$begingroup$

There is a general answer to this question that doesn’t depend on the vectors being given as orthogonal. Consider the orthogonal projection onto the span of ${ a_1,a_2,dots,a_n }$. Define $A$ to be the matrix whose $i$th column is $a_i$. Then the projection is the vector $Ax$ such that $Ax-b$ is orthogonal to $Ay$ for every vector $y$. That means:

$$y^T A^T (A x — b) = 0$$

for every vector $y$. It is not too hard to show that this implies $A^T (Ax — b)=0$, i.e. $A^T A x = A^T b$. The solution to this system is $x=(A^T A)^{-1} A^T b$, and the projection itself is $Ax=A (A^T A)^{-1} A^T b$.

When the columns of $A$ are orthonormal (meaning that they are orthogonal and have length $1$), $A^T A = I_n$, which makes the formula nicer: the projection is just $A A^T b$.

answered Feb 7, 2015 at 20:09

Ian's user avatar

IanIan

99.1k4 gold badges83 silver badges148 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

The subspace is spanned by every vectors $vec v = a(101)+b(11-1)$. Now you want to know how much parallel is the vector $(123)$ to this subspace. Assuming that $(123) = a(101)+b(11-1)+c vec w$ with another «unimportant» vector $vec w$ that completes the orthonormal Basis.

Now take the scalar product with $(101)$ and you will see that $vec w (101) = 0,(11-1)(101) = 0$ due to orthogonality. Then you get $a$.
Multiplication with $(11-1)$ and $vec w (11-1) = 0$ will lead to the coefficient $b$.

answered Feb 7, 2015 at 19:07

kryomaxim's user avatar

kryomaximkryomaxim

2,8141 gold badge12 silver badges26 bronze badges

$endgroup$

1

$begingroup$

There is a formula for the projection on a subspace $E$ when it has an orthogonal basis (which is used in the Gram-Schmidt algorithm to find orthonormal bases: if $(u_1, dots, u_r)$ is such an othogonal basis, the projection of a vector $v$ onto $E,$ is:
$$operatorname{pr}_{_E} v=sum_{i=1}^r frac{langle u_i,vrangle}{langle u_i,u_irangle},u_i$$

Here, you obtain $operatorname{pr}_{_E} v=(2,0,2)$.

answered Feb 7, 2015 at 20:23

Bernard's user avatar

BernardBernard

173k10 gold badges66 silver badges166 bronze badges

$endgroup$

1

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти провода в стене своими руками
  • Как исправить ошибку по вычету ндс
  • Усыновители как вы нашли своего ребенка
  • Как составить акт на списание товара
  • Как найти оборудование звуковое