Как найти ортогональную составляющую вектора на вектор - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; — 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; — 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; — 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов

Угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа .

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора и (рис.1.22). Построим равные им векторы и . На плоскости, содержащей лучи и , получим два угла . Меньший из них, величина которого не превосходит , принимается за угол между векторами и .

Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен (если векторы противоположно направлены).

Ортогональные проекции векторов

Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.

Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.

Любой ненулевой вектор , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора принимается за положительное, а направление противоположного вектора — за отрицательное. Кроме того, длину вектора — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.

Ортогональной проекцией вектора на ось, задаваемую вектором , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором , будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора на прямую (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.13) будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора а на плоскость (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать .

Разность между вектором и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:

— — ортогональная составляющая вектора относительно вектора ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно прямой ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно плоскости .

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора :

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль прямой (рис.1.23,а);

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль плоскости (рис.1.23,б);

— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).

На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора :

— относительно оси (вектора ): (рис.1.23,а);

— относительно плоскости (рис.1.23,в).

Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).

Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).

1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые и , то любой вектор на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. (рис. 1.24,а).

2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в одной точке, то любой вектор в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. (рис. 1.24,6).

3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.

Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника (рис. 1.24,а) или треугольников и (рис. 1.24,6)).

В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.

На рис.1.24,а проекции вектора на оси одновременно являются ортогональными составляющими: и . На рис. 1.24,6 вектор является проекцией вектора на плоскость , содержащую прямые и : , а вектор является ортогональной составляющей вектора относительно плоскости .

Алгебраическое значение длины проекции

Пусть – угол между ненулевым вектором и осью, задаваемой вектором , т.е. угол между ненулевыми векторами и .

Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором , называется длина его ортогональной проекции , взятая с положительным знаком, если угол не превышает , и с отрицательным знаком, если угол больше , т.е.:

Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, поскольку угол между векторами и острый, a , так как угол между векторами и тупой.

Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:

1. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;

2. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора

1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что , т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.

Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором , можно представить в виде

Если — единичный вектор, то .

2. Равенство можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами и (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами и (рис. 1.26)).

3. Углом между ненулевым вектором и прямой называется угол между вектором и его ортогональной проекцией на прямую . Величина угла может быть найдена по формуле

4. Углом между ненулевым вектором и плоскостью называется угол между вектором и его ортогональной проекцией на плоскость . Величина угла может быть найдена по формуле

Пример 1.7. Основания и равнобокой трапеции равны и соответственно; точка — середина стороны (рис. 1.27). Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов и на ось, задаваемую вектором .

Решение. Пусть — высота трапеции, — точка пересечения прямых и . По свойству равнобокой трапеции ; из равенства треугольников и .

Обозначим через искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств

и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/orthogonality/

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ugol-mezhdu-vektorami-i-ortogonalnye-proektsii-vektorov

Источник

Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов

Угол между векторами

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора vec{a} и vec{b} (рис.1.22). Построим равные им векторы overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} . На плоскости, содержащей лучи и , получим два угла angle AOB . Меньший из них, величина varphi которого не превосходит pi~(0leqslantvarphileqslantpi) , принимается за угол между векторами vec{a} и vec{b} .

Ортогональные проекции векторов

Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.

Любой ненулевой вектор vec{e} , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора vec{e} принимается за положительное, а направление противоположного вектора (-vec{e}) — за отрицательное. Кроме того, длину вектора vec{e}nevec{o} — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.

Ортогональной проекцией вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o} , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o} , будем обозначать $overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ .

Ортогональную проекцию вектора vec{a} на прямую (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.13) будем обозначать $overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}$ .

Ортогональную проекцию вектора а на плоскость rho (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать $overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}$ .

Разность между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:

— $vec{a}_{perpvec{e}}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно вектора vec{e} ;

— $vec{a}_{perp l}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}$ — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно прямой ;

— $vec{a}_{perprho}-overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}$ — ортогональная составляющая вектора vec{a} относительно плоскости rho .

Ортогональные проекции векторов на прямую и на плоскость

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора vec{a}=overrightarrow{AB} :

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором vec{e} ) вдоль прямой $mcolonoverrightarrow{A_lB_l}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ (рис.1.23,а);

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором vec{e} ) вдоль плоскости $alphacolonoverrightarrow{A_lB_l}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ (рис.1.23,б);

— на плоскость rho вдоль прямой $mcolonoverrightarrow{A_{rho}B_{rho}}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}$ (рис.1.23,в).

На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора vec{a} :

— относительно оси (вектора vec{e} ): $vec{a}_{perp l}=vec{a}_{perpvec{e}}$ (рис.1.23,а);

— относительно плоскости $rhocolonvec{a}_{perprho}$ (рис.1.23,в).

Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).

Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).

1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые l_1 и l_2 , то любой вектор vec{a} на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. $vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a}$ (рис. 1.24,а).

2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые l_1,~l_2 и l_3 , пересекающиеся в одной точке, то любой вектор vec{a} в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. $vec{a}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_3}vec{a}$ (рис. 1.24,6).

$vline,vec{a},,vline,^2=,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a},vline,^2;~~~~~vline,vec{a},,vline,^2=,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a},vline,^2+,,vlineoverrightarrow{operatorname{pr}}_{l_3}vec{a},vline,^2.$

Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника OA_1A (рис. 1.24,а) или треугольников OA_1A_2 и OA_2A (рис. 1.24,6)).

В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.

Ортогональные проекции вектора

На рис.1.24,а проекции вектора vec{a} на оси одновременно являются ортогональными составляющими: $overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_1}vec{a}=vec{a}_{perp l_2}$ и $overrightarrow{operatorname{pr}}_{l_2}vec{a}=vec{a}_{perp l_1}$ . На рис. 1.24,6 вектор $overrightarrow{OA_2}$ является проекцией вектора vec{a} на плоскость rho , содержащую прямые l_1 и l_2 : $overrightarrow{OA_2}=overrightarrow{operatorname{pr}}_{rho}vec{a}$ , а вектор $overrightarrow{A_2A}$ является ортогональной составляющей вектора vec{a} относительно плоскости $rhocolonoverrightarrow{A_2A}=vec{a}_{perprho}$ .

Алгебраическое значение длины проекции

Пусть varphi – угол между ненулевым вектором vec{a} и осью, задаваемой вектором vec{e}nevec{o} , т.е. угол между ненулевыми векторами vec{a} и vec{e} .

Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o} , называется длина его ортогональной проекции $overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ , взятая с положительным знаком, если угол varphi не превышает $frac{pi}{2}$ , и с отрицательным знаком, если угол varphi больше $frac{pi}{2}$ , т.е.:

$operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}=left{!!begin{aligned}bigl|,overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a},bigl|,quad&0leqslantvarphileqslantdfrac{pi}{2},\[2pt]-bigl|,overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a},bigl|,quad&dfrac{pi}{2}leqslantvarphileqslantpi.end{aligned}right.$

Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, $operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}>0$ , поскольку угол varphi между векторами vec{a} и vec{e} острый, a $operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}<0$ , так как угол psi между векторами vec{b} и vec{e} тупой.

Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:

1. $overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}bigl(vec{a}+vec{b}bigl)=overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}+overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{b}$ — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;

2. $overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}bigl(lambdacdotvec{a}bigl)=lambdacdotoverrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}$ — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора

Ортогональная проекция вектора на ось

Замечания 1.4.

1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что $operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}=|vec{a}|cosvarphi$ , т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.

Ортогональную проекцию вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором vec{e}nevec{o} , можно представить в виде

$overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}=operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}cdotfrac{1}{|vec{e}|}cdotvec{e}=frac{|vec{a}|cosvarphi}{|vec{e}|}cdotvec{e}.$

Если vec{e} — единичный вектор, то $overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{e}}vec{a}=operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}cdotvec{e}=|vec{a}|cosvarphicdotvec{e}$ .

2. Равенство $operatorname{pr}_{vec{e}}vec{a}= |vec{a}|cosvarphi$ можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами vec{a} и vec{b} (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами vec{a} и vec{b} (рис. 1.26)).

$cosvarphi=frac{operatorname{pr}_{vec{b}}vec{a}}{|vec{a}|}=frac{operatorname{pr}_{vec{a}}vec{b}}{|vec{b}|}.$

Косинус угла между ненулевыми векторами

3. Углом между ненулевым вектором vec{a} и прямой называется угол varphi между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией $overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}$ на прямую . Величина угла $varphi~!left(0leqslantvarphileqslantfrac{pi}{2}right)$ может быть найдена по формуле

$cosvarphi=frac{bigl|overrightarrow{operatorname{pr}}_{l}vec{a}bigl|}{|vec{a}|}$

4. Углом между ненулевым вектором vec{a} и плоскостью alpha называется угол psi между вектором vec{a} и его ортогональной проекцией $overrightarrow{operatorname{pr}}_{alpha}vec{a}$ на плоскость alpha . Величина угла $psi~!left(0leqslantpsileqslantfrac{pi}{2}right)$ может быть найдена по формуле

$cospsi=frac{bigl|overrightarrow{operatorname{pr}}_{alpha}vec{a}bigl|}{|vec{a}|}$

Пример 1.7. Основания и равнобокой трапеции ABCD равны и соответственно; точка — середина стороны (рис. 1.27). Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов overrightarrow{AM} и на ось, задаваемую вектором overrightarrow{AB} .

Решение. Пусть — высота трапеции, — точка пересечения прямых и . По свойству равнобокой трапеции $AL=frac{a-b}{2}$ ; из равенства треугольников CDM и BNMcolon BN=CD=b .

Равнобокая трапеция

Обозначим через $x=operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM},~y=operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD}$ искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств

overrightarrow{AM}+overrightarrow{MD}=overrightarrow{AD} , overrightarrow{AM}-overrightarrow{MD}= overrightarrow{AM}+ overrightarrow{MN}= overrightarrow{AN}

и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:

$begin{aligned} operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}Bigl(overrightarrow{AM}+overrightarrow{MD}Bigl)&= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM}+operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD}= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AD}~Leftrightarrow~x+y=frac{a-b}{2};\[3pt] operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}Bigl(overrightarrow{AM}-overrightarrow{MD}Bigl)&= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AM}-operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{MD}= operatorname{pr}_{overrightarrow{AB}}overrightarrow{AN}~Leftrightarrow~x-y=a+b. end{aligned}$

Решая систему $begin{cases}x+y=dfrac{a-b}{2},\[4pt]x-y=a+b,end{cases}$ находим $begin{cases}x=dfrac{3a+b}{4},\[7pt]y=-dfrac{a+3b}{4},end{cases}$ , т.е. $operatorname{pr}_{{}_{overrightarrow{AB}}}overrightarrow{AM}=dfrac{3a+b}{4},~operatorname{pr}_{{}_{overrightarrow{AB}}}overrightarrow{MD}=-dfrac{a+3b}{4}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение. Два множества F
и G векторов евклидова
пространства E
называются ортогональными, если каждый
вектор из F ортогонален
каждому вектору из G.

Определение. Пусть F
– подпространство E.
Совокупность всех векторов подпространства
E, ортогональных
подпространству F,
называется ортогональным дополнением

подпространства F.

Всякое ортогональное дополнение

является, в свою очередь, линейным
подпространством.

Всякое произвольное евклидово пространство
E разлагается в прямую
сумму своего произвольного подпространства
F и его ортогонального
дополнения

Примеры

1. Требуется найти базис ортогонального
дополнения

подпространства L,
натянутого на векторы

,

,

Будем считать, что базис, относительно
которого заданы векторы, ортонормированный.
По определению, если

,
то

.
Далее, каждый вектор

из

должен быть ортогонален к

.
Для этого достаточно, чтобы

.
Расписывая скалярные произведения,
получим три уравнения относительно
координат

вектора

Совокупность решений этой системы и
образует ортогональное дополнение. За
базис в

можно принять любую фундаментальную
систему решений. Например, вектор

.

2. Линейное подпространство

задано уравнениями

Требуется найти уравнения, которые
задают ортогональное дополнение

Пусть

,

.
Тогда

.
Этому условию удовлетворяют два линейно
независимых вектора

и

,
которые образуют коэффициенты системы
уравнений, задающей F.
Далее,

.
Ранг системы равен 2. Значит

и, так как

,
то

.
Поэтому найденные векторы можно принять
за базис в

,
и

есть линейная оболочка данных векторов.
Далее задача решается так же как в
примере из § 3. Дословно повторяя решение,
получим следующую систему уравнений

которая и задает
.

5.3. Проектирование вектора на подпространства

Пусть

.
Тогда всякий вектор

можно представить в виде

,
где

и

.
Вектор

называется ортогональной проекцией
вектора x на
подпространство L, а
вектор

называется ортогональной составляющей
вектора

Пусть

— расстояние между векторами

,
тогда

Таким образом, ортогональная проекция
есть ближайший к

вектору подпространства L.
Часто используются следующие обозначения

,

.

Укажем в заключение как вычисляются
координаты вектора

.
Пусть

— базис в L. Так как

,
то

.
Поэтому

Отсюда имеем, что в случае ортонормированного
базиса

Примеры

1. Найти ортогональную проекцию

и ортогональную составляющую

вектора

на линейное подпространство L,
натянутое на векторы

.
Все векторы заданы координатами
относительно ортонормированного базиса.

,

,

Нетрудно убедиться, что

и что за базис можно принять векторы

.
Нам будет удобно перейти к ортонормированному
базису в L. Применяя
процедуру ортогонализации к векторам

,
получим ортонормированный базис в L:

Заметьте, что векторы

линейно выражаются через

и, значит, также принадлежат L.
Имеем теперь

2. Требуется найти расстояние от точки,
заданной вектором

до плоскости (линейного многообразия),
заданной системой уравнений

Расстояние между точкой

и множеством L
определится следующим образом

Для вычисления расстояния удобно перейти
к параметрическому уравнению плоскости.
Имеем

и поэтому всякий вектор

представляется в виде

где

— фиксированный радиус-вектор точки
плоскости;

— базис направляющего линейного
подпространства, которое задается
соответствующей однородной системой.
Решая уравнение, получим, например,

,

,

Затем

Векторы

принадлежат направляющему подпространству
M плоскости L.
Вектор

.
Так как

,
а

,
то

Правая часть этого неравенства и есть
искомое расстояние. Осталось вычислить
вектор

и найти его норму. Проделав для этого
аналогичные вычисления и вычислив длину
вектора, получим, что

.

3. Пусть

— ортонормированная система векторов
евклидова пространства E_n.
Нужно доказать, что для любого вектора

имеет место неравенство Бесселя

с равенством тогда и только тогда, когда

,
т.е. векторы

образуют ортонормированный базис в E_n.

Так как

— ортонормированная система, то ее
всегда можно векторами

достроить до ортонормированного базиса
в E_n.
Разложим вектор

по этому базису. Имеем

Далее,

или

С равенством тогда и только тогда, когда

.
Исключение составляют случаи, когда

или когда

принадлежит линейной оболочке векторов

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда «XÎV $X0ÎL Ù $X^ÎL^ (причем единственные), такие что X = X0 + X^, X0 – Называется ортогональной проекцией вектора Х на подпространство L. X^ – Называется ортогональной составляющей вектора Х на подпространство L. Расстоянием Между двумя множествами M1 и M2 Называется кратчайшее из расстояний между элементами M1 и M2: r(M1, M2) = .

В частности r(X, M) = ; r2(X, Y) = |X – Y|2 = = |X – X0|2 + |X0 – Y|2 ³ ³ | X – X0 |2 = | X^ |2, где YÎL, т. е. Расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором Х и подпространством L Называется угол jÎ[0, p] такой, что .

Преобразовав , получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.

Рассмотрим – ортогональный базис в подпространстве L:

«XÎV X = X0 + X^ = a1E1 + a1E1 + … + aKEk + X^.

Умножим скалярно обе части равенства на Ei:

, т. е.

– это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора Х на подпространство L.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 17:37
14/11/13 244

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 18:06

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

В процессе решения системы уравнений Вы как-то её преобразовывали, при этом выяснялось, что некоторые уравнения являются линейными комбинациями остальных (или, как частный случай, сводятся к $0=0$ ). Такие уравнения Вы выбрасывали. Приведите, пожалуйста, конечный вид системы после этих преобразований.

SlayZar	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 18:37
14/11/13 244

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 18:58

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Хорошо.
Можно ещё первое уравнение вернуть к исходному виду, чтобы дробей не было:
$begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}$
Напрашиваются ещё кой-какие преобразования, но это уже дело вкуса.

Посмотрите на матрицу системы как на два вектора (записанных в строку): $a_1=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}quad a_2=begin{bmatrix}0\1\1\-7end{bmatrix}$ .
А найденные решения обозначим $b_1=begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}quad b_2=begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}$

Так как векторы удовлетворяют системе, то
$begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}begin{bmatrix}0&-5\-1& 7\ 1& 0\ 0& 1end{bmatrix}=begin{bmatrix}0& 0\0& 0end{bmatrix}$
А теперь увидьте в этой записи четыре скалярных произведения:

Увидите — напишите «увидел».

SlayZar	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 19:07
14/11/13 244	Да, увидел! Получается $begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\ 0& 1& 1& -7end{bmatrix}begin{bmatrix}0&-5\-1& 7\ 1& 0\ 0& 1end{bmatrix}=begin{bmatrix}&a_1& \ &a_2&end{bmatrix}begin{bmatrix}b_1 \\ b_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}(a_1,b_1)& (a_1,b_2)\(a_2,b_1) & (a_2,b_2)end{bmatrix}=begin{bmatrix}0& 0\0& 0end{bmatrix}$

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 19:33

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

SlayZar	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 20:01
14/11/13 244	Решая эту систему у меня получились довольно странные и неприятные числа, но вроде бы правильные! $alpha_1=frac{241}{101}; alpha_2=frac{68}{101}; beta_1=frac{-410}{101}; beta_2=frac{-45}{101}$ Но тогда если находить то ответ получается совсем некрасивым… Так и должно быть?

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 20:15

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Вы пока получите эти два вектора (можно вынести $frac 1{101}$ за вектор, чтоб не было знаменателей).
А я покажу, как другим способом найти, это будет проверка.

Система уравнений, данная в задаче, определяет подпространство $M$ , к которому $L$ является ортогональным дополнением. Надо представить $x=y+z$ , где .

Мы нашли базис $M$ : это векторы $a_1$ и $a_2$ . Так как $yin L$ , то , поэтому

Получаем систему
$begin{bmatrix}(a_1, a_1)&(a_1, a_2)\(a_2, a_1)&(a_2, a_2)end{bmatrix}begin{bmatrix}alpha_1\alpha_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}(a_1, x)\(a_2, x)end{bmatrix}$
или
$begin{bmatrix}15&-19\-19&51end{bmatrix}begin{bmatrix}alpha_1\alpha_2end{bmatrix}=begin{bmatrix}23\-11end{bmatrix}$
Откуда $alpha_1=frac{241}{101}, alpha_2=frac{68}{101}$

Теперь находим и $y=x-z$ .
В этом способе мы не решаем систему, данную по условию, а только преобразуем её, чтобы найти базис $M$ .

SlayZar	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 20:43
14/11/13 244	$z=alpha_1 a_1+alpha_2 a_2=frac{241}{101}begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}+frac{68}{101}begin{bmatrix}0\1\1\-7end{bmatrix}=begin{bmatrix}frac{482}{101}\\frac{309}{101}\\frac{309}{101}\\frac{247}{101}end{bmatrix}=frac{1}{101}begin{bmatrix}482\309\309\247end{bmatrix}$ $y=beta_1 b_1+beta_2 b_2=frac{-410}{101}begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}+frac{-45}{101}begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}=begin{bmatrix}frac{225}{101}\\frac{95}{101}\\frac{-410}{101}\\frac{-45}{101}end{bmatrix}=frac{1}{101}begin{bmatrix}225\95\-410\-45end{bmatrix}$

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 20:46

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

SlayZar	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 21:21
14/11/13 244	Да, в решении все понятно, огромное спасибо! Сейчас полез в ответы и удивился увидев хороший не похожий на наш ответ! Оказалось, что на самом деле в условии . Сколько же лишних расчетов! Я перерешал немного для нового X и получил хорошие числа $z=alpha_1 a_1+alpha_2 a_2=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}+0=begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix} $y=beta_1 b_1+beta_2 b_2=-2begin{bmatrix}0\-1\1\0end{bmatrix}-begin{bmatrix}-5\7\0\1end{bmatrix}=begin{bmatrix}5\-5\-2\-1end{bmatrix}$ Теперь проверим, что решение правильное. $y+z=begin{bmatrix}5\-5\-2\-1end{bmatrix}+begin{bmatrix}2\1\1\3end{bmatrix}=begin{bmatrix}7\-4\-1\2end{bmatrix}=x$ Значит, все правильно! Огромное спасибо за помощь и столь развернутое и понятное объяснение!

svv

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

19.03.2014, 21:25

Заслуженный участник

23/07/08
10077
Crna Gora

Рад был помочь. Выберите тот способ из описанных, который Вам больше всего понравился, и примените его к правильным данным.

eco_fan	Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 16.10.2015, 16:04
14/10/15 1	Как вы нашли векторы этой системы? Можете подробно расписать я имею ввиду векторы (0,-1,1,0),(-5, 7, 0,1)

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник