This calculator will orthonormalize the set of vectors, i.e. find the orthonormal basis, using the Gram-Schmidt process, with steps shown.
Your Input
Orthonormalize the set of the vectors $$$mathbf{vec{v_{1}}} = left[begin{array}{c}0\3\4end{array}right]$$$, $$$mathbf{vec{v_{2}}} = left[begin{array}{c}1\0\1end{array}right]$$$, $$$mathbf{vec{v_{3}}} = left[begin{array}{c}1\1\3end{array}right]$$$ using the Gram-Schmidt process.
Solution
According to the Gram-Schmidt process, $$$mathbf{vec{u_{k}}} = mathbf{vec{v_{k}}} — sum_{j=1}^{k — 1} text{proj}_{mathbf{vec{u_{j}}}}left(mathbf{vec{v_{k}}}right)$$$, where $$$text{proj}_{mathbf{vec{u_{j}}}}left(mathbf{vec{v_{k}}}right) = frac{mathbf{vec{u_{j}}}cdot mathbf{vec{v_{k}}}}{mathbf{leftlvertvec{u_{j}}rightrvert}^{2}} mathbf{vec{u_{j}}}$$$ is a vector projection.
The normalized vector is $$$mathbf{vec{e_{k}}} = frac{mathbf{vec{u_{k}}}}{mathbf{leftlvertvec{u_{k}}rightrvert}}$$$.
Step 1
$$$mathbf{vec{u_{1}}} = mathbf{vec{v_{1}}} = left[begin{array}{c}0\3\4end{array}right]$$$
$$$mathbf{vec{e_{1}}} = frac{mathbf{vec{u_{1}}}}{mathbf{leftlvertvec{u_{1}}rightrvert}} = left[begin{array}{c}0\frac{3}{5}\frac{4}{5}end{array}right]$$$ (for steps, see unit vector calculator).
Step 2
$$$mathbf{vec{u_{2}}} = mathbf{vec{v_{2}}} — text{proj}_{mathbf{vec{u_{1}}}}left(mathbf{vec{v_{2}}}right) = left[begin{array}{c}1\- frac{12}{25}\frac{9}{25}end{array}right]$$$ (for steps, see vector projection calculator and vector subtraction calculator).
$$$mathbf{vec{e_{2}}} = frac{mathbf{vec{u_{2}}}}{mathbf{leftlvertvec{u_{2}}rightrvert}} = left[begin{array}{c}frac{5 sqrt{34}}{34}\- frac{6 sqrt{34}}{85}\frac{9 sqrt{34}}{170}end{array}right]$$$ (for steps, see unit vector calculator).
Step 3
$$$mathbf{vec{u_{3}}} = mathbf{vec{v_{3}}} — text{proj}_{mathbf{vec{u_{1}}}}left(mathbf{vec{v_{3}}}right) — text{proj}_{mathbf{vec{u_{2}}}}left(mathbf{vec{v_{3}}}right) = left[begin{array}{c}- frac{3}{17}\- frac{4}{17}\frac{3}{17}end{array}right]$$$ (for steps, see vector projection calculator and vector subtraction calculator).
$$$mathbf{vec{e_{3}}} = frac{mathbf{vec{u_{3}}}}{mathbf{leftlvertvec{u_{3}}rightrvert}} = left[begin{array}{c}- frac{3 sqrt{34}}{34}\- frac{2 sqrt{34}}{17}\frac{3 sqrt{34}}{34}end{array}right]$$$ (for steps, see unit vector calculator).
Answer
The set of the orthonormal vectors is $$$left{left[begin{array}{c}0\frac{3}{5}\frac{4}{5}end{array}right], left[begin{array}{c}frac{5 sqrt{34}}{34}\- frac{6 sqrt{34}}{85}\frac{9 sqrt{34}}{170}end{array}right], left[begin{array}{c}- frac{3 sqrt{34}}{34}\- frac{2 sqrt{34}}{17}\frac{3 sqrt{34}}{34}end{array}right]right}approx left{left[begin{array}{c}0\0.6\0.8end{array}right], left[begin{array}{c}0.857492925712544\-0.411596604342021\0.308697453256516end{array}right], left[begin{array}{c}-0.514495755427527\-0.685994340570035\0.514495755427527end{array}right]right}.$$$A
The free online Gram Schmidt calculator finds the Orthonormalized set of vectors by Orthonormal basis of independence vectors. The process looks overwhelmingly difficult to understand at first sight, but you can understand it by finding the Orthonormal basis of the independent vector by the Gram-Schmidt calculator.
The Gram-Schmidt Process:
The Gram-Schmidt process (or procedure) is a sequence of operations that enables us to transform a set of linearly independent vectors into a related set of orthogonal vectors that span around the same plan. It can be convenient for us to implement the Gram-Schmidt process by the gram Schmidt calculator.
The Gram-Schmidt orthogonalization is also known as the Gram-Schmidt process. In which we take the non-orthogonal set of vectors and construct the orthogonal basis of vectors and find their orthonormal vectors. The orthogonal basis calculator is a simple way to find the orthonormal vectors of free, independent vectors in three dimensional space.
How does the Gram Schmidt Process Work?
The Gram-Schmidt process (or procedure) is a chain of operation that allows us to transform a set of linear independent vectors into a set of orthonormal vectors that span around the same space of the original vectors. The Gram Schmidt calculator turns the independent set of vectors into the Orthonormal basis in the blink of an eye.
The Orthonormal Vectors:
The Orthonormal vectors are the same as the normal or the perpendicular vectors in two dimensions or x and y plane. When we are going to find the vectors in the three dimensional plan, then these vectors are called the orthonormal vectors. We need a special orthonormal basis calculator to find the orthonormal vectors.
Consider a set of vectors:
The original vectors are V1,V2, V3,…Vn. The orthonormal basis vectors are U1,U2,U3,…,Un
So we have:
Original vectors → orthonormal basis vectors
V1,V2, V3,…Vn→ U1,U2,U3,…,Un
The original independent Vectors
.png)
The Orthonormal basis Vectors
.png)
To find the Orthonormal basis vector, follow the steps given as under:
We can Perform the gram schmidt process on the following sequence of vectors:
U1=V1
U2= V2- {(V2,U1)/(|U|1)^2}*U1
U3= V3- {(V3,U1)/(|U1|)^2}*U1- {(V3,U2)/(|U2|)^2}*U2
Now U1,U2,U3,…,Un are the orthonormal basis vectors of the original vectors V1,V2, V3,…Vn
Now for Un, we can write:
$$ vec{u_k} =vec{v_k} -sum_{j=1}^{k-1}{frac{vec{u_j} .vec{v_k} }{vec{u_j}.vec{u_j} } vec{u_j} } ,quad vec{e_k} =frac{vec{u_k} }{|vec{u_k}|}$$
You can write the above expression as follows, We can find the orthogonal basis vectors of the original vector by the gram schmidt calculator.
Solved Example:
Consider the following two vector, we perform the gram schmidt process on the following sequence of vectors
$$V_1=begin{bmatrix}2\6\end{bmatrix},V_1 =begin{bmatrix}4\8\end{bmatrix}$$
By the simple formula we can measure the projection of the vectors
$$ vec{u_k} = vec{v_k} – Sigma_{j-1}^text{k-1} proj_vec{u_j} (vec{v_k}) text{where} proj_vec{uj} (vec{v_k}) = frac{ vec{u_j} cdot vec{v_k}}{|{vec{u_j}}|^2} vec{u_j} } $$
Step 1:
$$ vec{u_1} = vec{v_1} = begin{bmatrix} 2 \6 end{bmatrix} $$
It is simple to calculate the unit vector by the unit vector calculator, and it can be convenient for us.
$$ vec{u_1} = vec{v_1} = begin{bmatrix} 0.32 \ 0.95 end{bmatrix} $$
Step 2:
The vector projection calculator can make the whole step of finding the projection just too simple for you.
$$ proj_vec{u_1} (vec{v_2}) = begin{bmatrix} 2.8 \ 8.4 end{bmatrix} $$
The Subtraction of the vectors is :
$$ vec{u_2} = vec{v_2} – proj_vec{u_1} (vec{v_2}) = begin{bmatrix} 1.2 \ -0.4 end{bmatrix} $$
Step 3
The Final Orthonormal vector is:
$$ vec{e_2} = frac{vec{u_2}}{| vec{u_2 }|} = begin{bmatrix} 0.95 \ -0.32 end{bmatrix} $$
Working of the Gram Schmidt Calculator:
Let’s use the Gram Schmidt Process Calculator to find perpendicular or orthonormal vectors in a three dimensional plan.
Input:
- Set the vector size
- Enter the values of the vectors
- Hit the calculate button
Output:
The Gram Schmidt Calculator readily finds the orthonormal set of vectors of the linear independent vectors.
- The orthonormal set of vectors are displayed
- The steps by step process is represented
FAQs:
What is a vector?
A vector needs the magnitude and the direction to represent.
What is the main difference between the orthogonal and orthonormal?
The difference between the orthogonal and the orthonormal vectors do involve both the vectors {u,v}, which involve the original vectors and its orthogonal basis vectors. The orthonormal vectors we only define are a series of the orthonormal vectors {u,u} vectors. Where {u,v}=0, and {u,u}=1, The linear vectors orthonormal vectors can be measured by the linear algebra calculator.
What is meant by the Orthogonalized matrix?
A square matrix with a real number is an orthogonalized matrix, if its transpose is equal to the inverse of the matrix. The orthogonal matrix calculator is an especially designed calculator to find the Orthogonalized matrix.
What is the dot product of vectors?
The (a1.b1) + (a2. b2) + (a3. b3) …. + (an.bn) can be used to find the dot product for any number of vectors.
What is the condition of Orthogonality?
The two vectors satisfy the condition of the orthogonal if and only if their dot product is zero. The two vectors satisfy the condition of the Orthogonality, if they are perpendicular to each other. It can be convenient to implement the The Gram Schmidt process calculator for measuring the orthonormal vectors.
Conclusion:
In mathematics, especially in linear algebra and numerical analysis, the Gram–Schmidt process is used to find the orthonormal set of vectors of the independent set of vectors. The gram schmidt calculator implements the Gram–Schmidt process to find the vectors in the Euclidean space Rn equipped with the standard inner product.
References:
From the source of Wikipedia:Gram–Schmidt process,Example
From the source of math.hmc.edu :Gram–Schmidt Method, Definition of the Orthogonal vector
© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Калькулятор ортогональности векторов
|
Решение квадратных уравнений |
|
Решение неопределенных интегралов |
|
Калькулятор пределов |
|
Решение производных онлайн |
|
Калькулятор производной неявной функции |
|
Калькулятор частной производной |
|
Разложение дроби в сумму дробей |
|
Калькулятор параметрической производной |
|
Калькулятор сложения векторов |
|
Калькулятор разности векторов |
|
Калькулятор умножения вектора на скаляр |
|
Калькулятор скалярного произведения векторов |
|
Калькулятор векторного произведения векторов |
|
Калькулятор смешанного произведения векторов |
|
Калькулятор модуля вектора |
|
Калькулятор угла между векторами |
|
Калькулятор направляющих косинусов вектора |
|
Калькулятор проекции вектора |
|
Калькулятор площади треугольника |
|
Калькулятор площади параллелограмма |
|
Калькулятор объёма параллелепипеда |
|
Калькулятор объёма тетраэдра |
|
Калькулятор ортогональности векторов |
|
Калькулятор коллинеарности векторов |
|
Калькулятор компланарности векторов |
|
Образуют ли вектора базис |
|
Разложить вектор по базису |
решение уравнений, решение уравнений класс, решение систем уравнений, решение уравнений онлайн, решение квадратных уравнений, решение уравнений 2, решение уравнения 8, найдите решение уравнения, решение уравнений 3, решение уравнение 1, методы решения уравнений, решение уравнений 6, решение уравнений 8 класс, решение дифференциальных уравнений, решение уравнений 5, решение уравнений 4, решение линейных уравнений, помощь решения уравнения, решение уравнений 7, число решений уравнения, решение уравнений 6 класс, решение тригонометрических уравнений, решение уравнения y, решение уравнений x 2, решение уравнений примеры, решение задач +с помощью уравнений, решение рациональных уравнений, контрольная решение уравнений, решение уравнения 2 1 2, тема решение уравнений, решение уравнения 2 3, контрольная работа решение уравнений, решение систем линейных уравнений, способы решения уравнений, методы решения систем уравнений, какое решение уравнения, решение уравнения 9, решение двух уравнений, решение уравнений контрольная класс, найди решение уравнения 2, решение уравнений x 0, класс решение квадратных уравнений, общее решение уравнения, решение уравнения 3 x, x 1 x 1 решение уравнения, решение задач +с помощью уравнений класс, решение дробных уравнений, 3 1 3 решение уравнений, решение уравнений онлайн калькулятор, решение уравнения 2 2 5, решение уравнений самостоятельная, решением уравнения являются числа, решение уравнений +по математике, решение уравнений функции, решение квадратных уравнений 8, урок решения уравнений, решение уравнений +по алгебре, сколько решений уравнения, решение систем уравнений онлайн, решение квадратных уравнений 8 класс, самостоятельная работа решение уравнений, решение химических уравнений, решение уравнений +с ответами, решение уравнений 7 класс, решение дробных рациональных уравнений, алгоритм решения уравнений, решение уравнений 3 класс, решение уравнения x 4, пара чисел решение уравнения, решение уравнения 0 1, варианты решения уравнений, решение уравнения y 2, класс решение систем уравнений, решение уравнений 8 класс алгебра, решение рациональных уравнений 8, решение уравнений +с дробями, решение задач уравнением 8 класс, решение уравнений x 5, решение уравнение 4 1, решение рациональных уравнений 8 класс, решить уравнение +с решением, решение уравнений 5 3, количество решений уравнения, решением уравнения является пара чисел, формулы решения уравнений, решение систем уравнений 2, решение уравнений выберите, 2 x 0 2 решение уравнения, решение уравнений 2 класс, методы решения линейных уравнений, решение уравнения x 2 3, решение уравнений x 2 x 1, найдите решение системы уравнений, найдите 3 решения уравнения, решение уравнения y y 0, решение уравнений через, порядок решения уравнений, решение уравнений графиков функций, решение уравнений 2x, решение уравнений 5 класс, y x 2 уравнение решение, решение уравнений рисунок, частное решение уравнения, сколько решений имеет уравнение, решение простых уравнений, решение уравнений +на отрезке, решение уравнений задания, графическое решение уравнений, методы решения систем линейных уравнений, решение второго уравнения, решение уравнения 3 4 2, решение уравнения 2 6, решение системы уравнений 1, интервалы решение уравнений, решение уравнений х 2, решение систем уравнения y, решение уравнения y 3 y y, решение уравнений +и неравенств, решение уравнения 2 7 2, найти решение дифференциального уравнения, решение уравнений 10 класс, подробное решение уравнений, определите количество решений уравнения, решение логарифмических уравнений, общее решение дифференциального уравнения, решения уравнения x 2 4, решение уравнения f x, найдите общее решение уравнения, математика 6 решение уравнений, решение уравнений презентация, решение уравнений x 2 x 5, 8 решение задач +с помощью уравнений, решение уравнений 9 класс, решение нелинейных уравнений, решение дифференциальных уравнений онлайн, способы решения систем уравнений, решение неполных уравнений, решение квадратных уравнений онлайн, решение различных уравнений, решение уравнений x2, математика 6 класс решение уравнений, количество решений уравнения +на графике, решение задач +с помощью уравнений 8 класс, решение задач рациональными уравнениями, 2 3 3 5 решение уравнений, решение неполных квадратных уравнений, решение уравнений x 3 x 0, решение уравнений интервалами график, контрольная работа +по теме решение уравнений, решение уравнения x y 0, решение уравнений c, число решений системы уравнений, решение целых уравнений, решение задач уравнением 6 класс, решение систем двух уравнений, решение уравнений 11, решение уравнений мерзляк, решение дробно рациональных уравнений класс, уравнение 8 2 2 2 решение, решение дробно рациональных уравнений 8, решение дробных уравнений 8 класс, решение уравнений f x 0, решение уравнения 4 3 x, порядок решения дифференциального уравнения, решение уравнения 12, решение дробных рациональных уравнений 8 класс, запиши решение уравнений, решение уравнение x 1 3, решение уравнений 3x, x 6 уравнение решение, решение уравнений класс мерзляк, решение показательных уравнений, решение уравнений 4 класс, решить уравнение онлайн +с решением, y 5 решение уравнения, составь уравнение решение, решение уравнений 1 вариант, решением уравнения 0 x 1, решение уравнения x y 3, решение уравнений гауссом, решение уравнений 8 класс контрольная работа, решение данного уравнения, решение уравнения 2 y 0, контрольная работа +по алгебре решение уравнений, частное решение дифференциального уравнения, #ИМЯ? количество решений уравнения f x 0, решение уравнений 1 класс, решение уравнение х 3, решение уравнений реакций, решение +с помощью рациональных уравнений, найди решение уравнения x 3, решение уравнений x 7, решение задач +с помощью рациональных уравнений, решение уравнений методом гаусса, решение уравнений 6 5, решения уравнений вариант 2, решение уравнения x 5 0, работа +по математике решение уравнений, решение систем уравнений 8 класс, решение уравнения y x 1, укажите решения уравнения, решение уравнений +по химии, найти два решения уравнения, какое число является решением уравнения, 1 х 1 решение уравнений, выбери уравнение +для решения задачи, определите количество решений уравнения f x 0, решение задач +с помощью уравнений 6, решение уравнения x 3 2 0, найди решение уравнения 1 2, 4 3 0 решение уравнение, решение уравнения f x y, решение уравнения x 4 y 4, презентация решение уравнений класс, алгебра решение квадратных уравнений, найдите количество решений уравнения, решение уравнение y 2 3, решение уравнения x 3 5, решением системы уравнений является пара, решение уравнений ответ 2, решение уравнений +с модулем, алгоритм решения квадратного уравнения, решение +с помощью уравнений 6 класс, решение задач +с помощью уравнения 6 класс, найдите решение уравнения +на отрезке, решение уравнений через дискриминант, решение уравнений +с двумя переменными, методы решения нелинейных уравнений, условия решения уравнений, какие пары чисел являются решениями уравнения, решением системы уравнений являются числа, контрольная решение уравнений 3 класс, y 1 y 2 решение уравнения, контрольная работа 6 решение уравнений, 3 4 x 2 решение уравнений, решение уравнения x 2 1 3, решение уравнения 0 6, математика 3 решение уравнения, решение системы 4 уравнений, решение уравнений подстановкой, решение уравнений сложением, самостоятельная работа решение уравнений 8 класс, решение системы уравнений гауссом, решение уравнений онлайн +с подробным решением, контрольная работа 3 класс решение уравнений, три решения уравнения, решение уравнения x y 5, изобразить решение уравнения x y 0, решение квадратных уравнений дискриминант, решение уравнения 15, решение алгебраических уравнений, решить уравнение калькулятор +с решением, решение однородных уравнений, решение уравнений +с помощью систем, выполни решение уравнения, является ли решением уравнения, решение уравнения x 8, решение уравнения 8 3, методы решения дифференциальных уравнений, решения уравнения алгебра 7, решение системы уравнений методом гаусса, решение иррациональных уравнений, решение задач система уравнений, решение уравнений y 2 5, решение уравнения y 4 2 2, алгебра 8 решение квадратных уравнений, решение уравнения x 2 4 0, решение уравнений конспект, решение уравнения x 4 5, решение уравнений найти корень, правила решения уравнений, решением системы уравнений является пара чисел, решение уравнений 7 класс алгебра, решение задач квадратным уравнением, решение уравнения x 2 1 0, решение матричных уравнений, решение уравнения х 5, решение уравнения х 4, решение уравнений найти х, решение уравнений коэффициент, найти общее решение дифференциального уравнения, контрольная +по математике решение уравнений, решение уравнений y x 3 2, решение системы 9 уравнений, решение кубических уравнений, решение уравнения 2х, единственное решение уравнения, алгебра 8 класс решение квадратных уравнений, решение задач +с рациональными уравнениями 8 класс, решение уравнения 2 9 2, решение уравнения 2 x 3 5, способы решения квадратных уравнений, алгебра решение рациональных уравнений, решение уравнений крамера, найти частное решение уравнения, контрольная решение уравнений 6 класс, решение системы уравнений алгебра, контрольная работа +по математике решение уравнений, 1 4 4 0 решение уравнений, найдите число решений уравнения, решение уравнения 5x, найди количество решений уравнения x, решение уравнений 8 класс алгебра контрольная работа, решение уравнений видеоурок, решение уравнений x 2 6, решение уравнения x 1 5, решение уравнения 0 8, найди решение уравнения 2 x 3, найдите количество решений уравнения f, найдите количество решений уравнения +на отрезке, решение уравнений +с корнями, решить уравнение онлайн калькулятор +с решением, найти количество решений уравнения f x, решением уравнения 4 является, алгебра решение задач +с уравнениями, решение уравнения х х 0, контрольная работа решение уравнений 6 класс, решение уравнения икс минус, решение систем уравнений подстановкой, численное решение уравнений, решение уравнения 16, решение квадратных уравнений +с помощью, решение квадратных уравнений контрольная, решение тригонометрических уравнений онлайн, 7 решение систем уравнений, решения уравнения 1 2x, какие +из пар является решением уравнения, решение системы уравнений ответ, решение уравнений 3x 2, количество решений уравнения y x 2, найдите количество решений уравнения f x 0, решение уравнения 6 2 1 2, решение тригонометрических уравнений 10, решение квадратных уравнений контрольная работа, урок решение квадратных уравнений, решение уравнения x 1 2 4, класс решение тригонометрических уравнений, решение систем уравнений сложением, решение уравнения 2 x 7 x, решение рациональных уравнений контрольная работа, решение уравнения 14, решение уравнений x 9, решение уравнения 2x 3, решение уравнения 3 9, решение уравнений +с x, решение простейших тригонометрических уравнений, решение дифференциальных уравнений y, алгебра 8 класс решение рациональных уравнений, матрица решение уравнений, , , , калькулятор векторная алгебра, орт вектора онлайн калькулятор, калькулятор векторов базис, калькулятор векторов координаты, калькулятор векторов в пространстве, калькулятор векторов угол, найти орт вектора калькулятор, калькулятор векторов длина, онлайн калькулятор вектор по точкам, онлайн калькулятор векторов с решением, онлайн калькулятор векторов, калькулятор векторов скалярное произведение, орт вектора калькулятор, ортогональность векторов калькулятор, калькулятор онлайн векторы, калькулятор с векторами, калькулятор векторов по точкам, калькулятор угла векторов, угол между векторами онлайн калькулятор, калькулятор нахождения векторов, ортогональность векторов онлайн, векторы ортогональны онлайн, векторы калькулятор онлайн, калькулятор 3 векторов, ортогональный вектор онлайн, ортогональность векторов онлайн, ортогональность векторов это, ортогональность векторов по координатам, ортогональность векторов mathprofi, ортогональность векторов в пространстве онлайн, ортогональность векторов в трехмерном пространстве, ортогональность векторов произведение, ортогональность векторов в плоскости, ортогональность векторов задачи, ортогональность вектора, ортогональность векторов как проверить, ортогональность векторов калькулятор, вектор ортогональный данному, вектор ортогональный плоскости, ортогональный базис векторы, ортогональность векторов в пространстве, ортогональные векторы в параллелепипеде, ортогональные векторы в алгебре, ортогональные системы векторов в евклидовом пространстве, условия ортогональности векторов в координатах, ортогональность векторов геометрия, ортогональность двух векторов, доказать ортогональность векторов онлайн, векторы ортогональны если, ортогональный вектор это, векторы ортогональны значит, ортогональность векторов по их координатам, коллинеарность и ортогональность векторов, как проверить коллинеарность и ортогональность векторов, ортогональность векторов координаты, ортогональность векторов как, ортогональность и коллинеарность векторов, ортогональны ли векторы, ортогональность векторов матпрофи, условия ортогональности векторов на плоскости, ортогональность векторов как определить, ортогональные векторы примеры, ортогональные проекции вектора, ортогональность векторов скалярное произведение, ортогональность собственных векторов, ортогональность соответствующих векторов, ортогональные системы векторов, проверить ортогональность системы векторов, свойства ортогональных векторов, ортогональность трех векторов, ортогональные векторы теория, векторы ортогональны тогда и только тогда когда, ортогональность вектора условия, условия ортогональности векторов, ортогональность векторов формула, условия ортогональности векторов формула, ортогональность векторов через координаты, ортогональность векторов что это, векторы ортогональны что это значит, условия ортогональности векторов это, определить ортогональность векторов, вектор ортогональный двум векторам, ортогональность 3 векторов, ортогональность векторов, условие ортогональности векторов, ортогональность векторов онлайн, ортогональность системы векторов, ортогональность векторов +в пространстве, проверка ортогональности векторов, ортогональность векторов +в евклидовом пространстве, #ИМЯ? ортогональность двух векторов, коллинеарность +и ортогональность векторов, скалярное произведение ортогональность векторов, условие коллинеарности +и ортогональности векторов, проверка ортогональности векторов онлайн, проверить ортогональность векторов онлайн, условие ортогональности двух векторов, ортогональность +и компланарность векторов, калькулятор ортогональности векторов, коллинеарность компланарность ортогональность векторов, формула ортогональности векторов, ортогональность 3 векторов, отношение ортогональности +на множестве векторов +на плоскости, условия ортогональности коллинеарности +и компланарности векторов, свойство ортогональности векторов, ортогональность векторов примеры, ортогональность векторов +по координатам, #ИМЯ? ортогональность собственных векторов, скалярное произведение векторов условие ортогональности векторов, ортогональность векторов определение, ортогональность трех векторов, ортогональность векторов онлайн калькулятор, признак ортогональности векторов, критерий ортогональности векторов, проверить ортогональность +и коллинеарность векторов, необходимое +и достаточное условие ортогональности векторов, проверить +на ортогональность два вектора, #ИМЯ? #ИМЯ? запишите условие ортогональности векторов,
Базисом
в
-мерном пространстве называется упорядоченная система из
линейно-независимых векторов.
Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.
Выражение вида:
, где
−
некоторые числа и
называется
линейной комбинацией
векторов
.
Если существуют такие числа
из которых хотя бы одно не равно нулю (например
) и при этом выполняется равенство:
, то система векторов
−
является
линейно-зависимой.
Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа
,
тогда система векторов
−
является
линейно-независимой.
Базис
может образовывать только
линейно-независимая
система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием
ранга матрицы.
Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов
базис.
При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.