Как найти орту прямой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формула
Примеры нахождения орта вектора

Формула

Чтобы найти орт $bar{e}$ вектора
$bar{a}$, нужно вектор
$bar{a}$ поделить на его
длину:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}$$

Если вектор задан на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}right)$$

Если вектор задан в пространстве и имеет координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$
$$=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}right)$$

Примеры нахождения орта вектора

Пример

Задание. На плоскости задан вектор
$bar{a}=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.

Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$bar{e}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{4+4}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{8}}=$$
$$=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{2 sqrt{2}}=-frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{j}$$

Таким образом, искомый орт вектора $bar{a}$
имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$

Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора
$overline{A B}$

Решение. Найдем координаты вектора
$overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки
$B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):

$$overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$

Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой

$$bar{e}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$

Подставим в неё координаты вектора $overline{A B}$, будем иметь:

$$bar{e}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{1+1+4}}=$$
$$=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{6}}=-frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{j}-frac{2}{sqrt{6}} cdot bar{k}$$

Таким образом, орт вектора $overline{A B}$ имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$

Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$

Читать дальше: как найти вектор по точкам.

Источник

Определение.
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
прямой называется её нормальным
вектором,
и обозначается
.

Теорема.
Алгебраическое уравнение 1-й степени

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, являетсяуравнением
прямой на плоскости
,
а вектор
является её нормальным вектором.

Верно
обратное:
на координатной плоскости
уравнение
любой прямой с нормальным вектором,
может быть записано в виде алгебраического
уравнения.

Определение.
Уравнение прямой вида

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, называетсяобщим
уравнением прямой.

Известно,
что прямая определяется двумя точками.
Пусть

и
–
точки, лежащие на прямой
,–
произвольная точка этой прямой. Тогда
векторы
и– коллинеарны, а их координаты
пропорциональны. Получаемуравнение
прямой, проходящей через две точки:

Определение.
Вектор,
параллельный прямой, называется
направляющим
вектором прямой.

Определение.
Пусть
– направляющий вектор прямой. Тогда из
предыдущего уравнения получаемканоническое
уравнение прямой:

Определение.
В
тех же обозначениях, параметрическое
уравнение прямой
имеет вид:
.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные, не равные нулю
действительные числа, называетсяуравнением
прямой в отрезках.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой в отрезках. Тогда,– координаты точек пересечения данной
прямой с осями координат.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные действительные числа,
называетсяуравнением
прямой с угловым коэффициентом,
коэффициент
называетсяугловым
коэффициентом данной
прямой.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Тогда,
где угол
α
равен углу наклона данной прямой к оси
,– ордината точки пересечения с осью.

Если
известны угловые коэффициенты
идвух прямых, то один из угловмежду этими прямыми определяется по
формуле:

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:
.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение:
или.

Теорема.
(Связь нормального вектора прямой с её
направляющим вектором и её угловым
коэффициентом.)

1)
Если
– нормальный вектор прямой, то– её направляющий вектор, и, если,
то– её угловой коэффициент.

2)
Если
– направляющий вектор прямой, то– её нормальный вектор, и, если, то– её угловой коэффициент.

3)
Если
угловой коэффициент прямой, то– её нормальный вектор,
–
направляющий вектор.

Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

Две
прямые на плоскости могут пересекаться,
совпадать или быть параллельными.

Теорема.
Пусть прямые заданы общими уравнениями:

L₁:,L₂:.
Тогда:

1)
если
,
то прямые совпадают, и система уравнений

имеет
бесконечное множество решений;

2)
если
, то прямые параллельные, и система
уравненийне имеет решений;

3)
если
, то прямые пересекаются и координаты
точки их пересечения являются единственным
решением системы уравнений

Определение.
Уравнение вида
,
где– расстояние от прямой до начала
координат, называетсянормальным
уравнением прямой,
– координаты орта вектора.

Чтобы
привести прямую к указанному виду,
разделим общее уравнение прямой на
, причем со знаком «+» в случае, когда, и со знаком «-» в случае, когда, получим:

Теорема.
Орт нормального вектора
имеет координаты:

где

Теорема.
Расстояние от прямой до произвольной
точки
находится
по формуле:

Чтобы
найти расстояние
между двумя параллельными прямыми,
нужно взять произвольную точку на одной
из прямых и найти расстояние от нее до
другой прямой.

Чтобы
найти множество
точек, равноудаленных от двух прямых
и, составим уравнение:

Раскрывая
модули в случае параллельных прямых,
получаем параллельную им прямую, лежащую
между данными прямыми, а в случае
пересекающихся прямых – биссектрисы
углов,
образованных пересечением прямых.

Определение.
Совокупность прямых, проходящих через
некоторую точку S,
называется пучком
прямых с центром S.

Теорема.
Если
и– уравнения двух прямых, пересекающихся
в точкеS,
то уравнение:

где
– какие угодно числа, не равные
одновременно нулю, определяют прямую,
также проходящую через точкуS.

Более
того, в указанном уравнении числа всегда
возможно подобрать так, чтобы оно
определяло любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S,
иначе говоря, любую прямую пучка с
центром S.
Поэтому уравнение вида называется
уравнением пучка с центром S.

Решение
типовых задач

Задача
№1:

Даны
уравнения двух сторон параллелограмма
,и уравнение одной из его диагоналей.
Определить координаты вершин этого
параллелограмма.

Решение:

Найдём
координаты т.
как точки пересечения прямыхи:;;
т.Выясним, какая из диагоналей задана.

Подставим
координаты т.
в уравнение диагонали:;
т.не принадлежит заданной диагонали,
следовательно– уравнение диагонали.

Найдём
координаты т.
,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.B:
в параллелограмме диагонали делят друг
друга пополам:
.
Найдём координаты т.:
т.– середина,
следовательно, т.;
т.,
но т.– середина,
следовательно,и, поэтомуи,
т..

Ответ:

Задача
№2:

Дана
прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку:

параллельно
данной прямой.
перпендикулярно
к данной прямой.

Решение:

Искомая
прямая параллельна прямой
,
поэтому её уравнение имеет вид:.

Найдём
т.:
точкапринадлежит этой прямой, поэтому её
координаты удовлетворяют записанному
уравнению:,.
Итак, прямая принимает вид:.

Т.к.
заданная и искомые прямые перпендикулярны,
то их угловые коэффициенты удовлетворяют
условию:
.

Найдём
угловой коэффициент прямой
;;
итак,тогда.
Запишем уравнение искомой прямой:.

Точка
принадлежит этой прямой, поэтому;

Уравнение
прямой принимает вид:

.

Ответ:
;.

Задача
№3:

Определить,
при каких значениях a
и b
две прямые
,
:

имеют
одну общую точку;
параллельны;
совпадают.

Решение:

Прямые
имеют одну общую точку, когда они не
параллельны (их коэффициенты при x
и y
не пропорциональны):
;
Прямые
параллельны, когда коэффициенты при x
и y
пропорциональны:
;.
Прямые
совпадают, когда все их коэффициенты
пропорциональны:
;.

Задача
№4:

Найти
проекцию точки
на прямую.

Решение:

Проведём
через т.прямую,
перпендикулярную прямой.
Точкапересечения прямых и является искомой
проекцией.

Прямая
перпендикулярна заданной прямой, поэтому
её направляющим вектором служит
нормальный вектор прямой,
т.е..

Запишем
уравнение прямой
в каноническом виде:

;

– уравнение.

Найдём
координаты т.:

;

;
т.

Ответ:

Задача
№5:

Найти
точку
,
симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через
точкии.

Решение:

Составим
уравнение
,
как прямой проходящей через 2 точки:

;

– уравнение.

Найдём
уравнение прямой
перпендикулярной.

Нормальный
вектор
прямойявляется направляющим вектором прямой,
поэтому используем каноническое
уравнение прямой:;– уравнение прямой.

Найдём
координат т.,
как точки пересечения прямыхи:

;

;
т..

Так
как точка
симметрична точкеотносительно,
следовательно,
то есть т.– середина отрезка.
Найдём координаты точки,
зная начало и середину отрезка:

, тогда

,
т..

Ответ:
.

Задача
№6:

Даны
вершины треугольника
,и.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына медиану, проведенную из вершины.

Решение:

Найдём
координаты т.,
как середины отрезка:

т.
, т..

Запишем
уравнение медианы
,
как прямой, проходящей через две известные
точки:

;

– уравнение.

Нормальный
вектор для
является направляющим для прямойперпендикулярной,
тогда уравнение примет вид:

;

– уравнение.

Ответ:
.

Задача
№7:

Даны
вершины треугольника
,,.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына биссектрису внутреннего угла при
вершине.

Решение:

Пусть
– биссектриса.

Найдём
координаты т.воспользовавшись свойством биссектрисы:

Тогда:
;

;
т.;

Уравнение
биссектрисы
примет вид:
=

⇒
,

,перпендикулярен⇒

Точка
принадлежит искомому перпендикуляру,
поэтому уравнениепримет вид:.

Ответ:

Задача
№8:

Две
стороны квадрата лежат на прямых
,.
Вычислить его площадь.

Решение:

Выберем
на прямой
некоторую точку:

пусть
,
тогда⇒
,
т.е.
.

Найдём
расстояние от точки
до прямой:

⇒,
где
и есть длина стороны квадрата.

т.е.

.

Ответ:
.

Задача
№9:

Даны
две противоположные вершины квадрата
и.
Составить уравнения его сторон.

Решение:

Зная
вершины
исоставим уравнение диагонали,
как прямой проходящей через две точки:⇒

– уравнение прямой
.

Т.к.
– квадрат, его диагонали являются
биссектрисами, поэтому;
найдём угловой коэффициент

Зная
и,
найдём угловой коэффициент:;⇒
.
Уравнение
примет вид:.

Найдём
;
Тогда уравнение.

Т.к.
перпендикулярно⇒
угловой коэффициент
.
Уравнениеимеет вид:,
тогда– уравнение.

Т.к.
– квадрат, то,
то уравнениепримет вид:.

Зная,
что точка
принадлежит прямой,
найдём свободный членискомого уравнения, итак– уравнение стороны.

Аналогично
найдём уравнение стороны
.

Ответ:

Задача
№10:

Вычислить
площадь треугольника, отсекаемого
прямой
от координатного угла.

Решение:

Запишем
уравнение прямой
в отрезках:+1.

Из
этого уравнения следует, что длины
отрезков
исоответственно равныи,
поэтомукв. ед.

Ответ:
кв.ед.

Задача
№11:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения двух его медиан.

Решение:

Выясним,
что точка
не принадлежит известным медианами.

Найдём
координаты точки
– пересечения медиан:⇒
т.

Продолжим
медиану
,
и на её продолжении отложим отрезок.
Соединим точкус вершинамии.
Полученный четырёхугольник– параллелограмм (его диагонали
пересекаясь в точке,
делятся пополам).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известным началоми серединой

Найдём
уравнение прямой
,
зная, чтои точкалежит на этой прямой:

Найдём
координаты вершины
,
как точки пересечения прямыхи:⇒
т.

Точка
– середина отрезка,
поэтому.

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:.

Зная
координаты всех вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон, как прямых
проходящих через две точки.

Ответ:

Задача
№12:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения биссектрис двух его углов:

Решение:

Очевидно,
что точка
не принадлежит заданным биссектрисами.
Найдём точку,
симметричную точкеотносительно биссектрисы.
Можно доказать, что точкапринадлежит прямой.
Опустим из т.перпендикуляр на биссектрисудо пересечения в точкеи отложим.

Т.к.
перпендикулярно,
то;
точкапринадлежит прямой,
поэтому её уравнение примет вид:

Координаты
точки
найдём как точки пересечения прямыхи:⇒

т.(;).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:().

Аналогично
найдём точку
,
симметричную т.относительно биссектрисы.
Точкапринадлежит прямой,.

Тогда
уравнение стороны
примет вид:или.

Найдём
координаты точек
и,
как точек пересечения прямойи заданных биссектрис:();

Зная
координаты вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон.

Ответ:

Задача
№13:

Составить
уравнения биссектрис углов, образованных
двумя пересекающимися прямыми:
и.

Решение:

Известно
свойство: биссектриса есть геометрическое
место точек, равноудалённых от сторон
угла.

Пусть
– произвольная точка искомой биссектрисы,
тогда;

;

Тогда
уравнения биссектрис примут вид:
.

Ответ:

Задача
№14:

Составить
уравнение биссектрисы угла между прямыми
,
в котором лежит точка

Решение:

Найдём
отклонение точки
отзаданных
прямых, для этого приведём их уравнения
к нормальному виду:;
нормирующий множитель+;+0.

Найдём
отклонение
₁
т.от прямой, для этого в левую часть
нормального уравнения подставим
координаты т.:₁
——0.

Аналогично
найдём отклонение
₂
т.от второй прямой:₂0.
Отклонения имеют разные знаки, поэтому
при раскрытии модулей (см. решение
предыдущей задачи) справа ставим знак
«минус».

⇒

Уравнение
биссектрисы принимает вид:

Ответ:
.

Задача
№15:

На
прямой
найти точки, равноудалённые от прямыхи

Решение:

Точки
равноудалённые от прямых
и,
лежат на биссектрисах углов, образованных
этими прямыми. Аналогично решению
предыдущих задач найдём их:.

Тогда
искомые точки являются точками пересечения
этих биссектрис и прямой
,
поэтому найдём их, решая системы:и.

Ответ:

Задача
№16:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения медианыи высоты,
проведённых из различных вершин.

Решение:

Убедимся,
что точка
не принадлежит заданным медиане и
высоте.

Найдём
уравнение стороны
,
зная, что.⇒

тогда уравнение примет вид:
,
зная координаты т.,
принадлежащей,
найдём,
тогда уравнение примет вид:.

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи
медианы:⇒
.

Пусть
точка
имеет координатыи,
найдём их. Точка– середина,
поэтому

Точка
принадлежит медиане,
точкапринадлежит высоте,
поэтомуинайдём, решая систему:

Откуда
Зная координаты вершин треугольника,
найдём уравнения всех его сторон.

Ответ:
.

Задача
№17:

Через
точку
провести прямую так, чтобы её отрезок,
заключённый между прямыми,
делился бы в точкепополам.

Решение:

Обозначим
через
иточки пересечения заданных прямых и
искомой прямой и пустьтогдат.к.– середина отрезка.
Координатынайдём, составив систему уравнений:⇒
⇒.

Составим
уравнение искомой прямой, которая
проходит через две точки, например,
и:

Ответ:

Задача
№18:

Составить
уравнения сторон треугольника
,
зная одну из его вершина также уравнение высотыи биссектрисы,
проведённых из одной вершины. Решить
задачу, не вычисляя координат вершини.

Решение:

Можно
проверить, что т.не принадлежит ни высоте,
ни биссектрисе.
Найдём уравнение стороны,
поэтому;,
зная координаты т.,
найдём.

Итак,
уравнение
имеет вид:.

Рассмотрим
пучок с центром в т.:.

Пусть
,
тогда уравнение пучка примет вид:

.
(1)

–прямая
пучка, причём координаты т.известны, поэтому найдёмдля прямой:,
поэтому уравнениепримет вид:,
т.е..

Найдём
угол между прямыми
и:tg
1⇒
.

Тогда
угол
равен 90°, т.е.;
—.
С другой стороны найдёмиз уравнения (1):

Итак,
⇒
.

Найдём
уравнение стороны
зная, что она принадлежит пучку. Подставимв уравнение (1) и получим уравнение
стороны.

Ответ:

Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.

Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.

Источник

Орт:

это вектор,
он лежит на оси,
направлен туда же, куда направлена ось,
его длина равна единице.

На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.

Рис. 1. Единичные векторы – орты, располагаются на осях координат

Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:

Орт ( vec{i} ) направлен вдоль оси Ox;
Орт ( vec{j} ) направлен вдоль оси Oy;
Орт ( vec{k} ) направлен вдоль оси Oz;

Орты обладают единичной длиной:

[ |vec{i}| = |vec{j}| = |vec{k}| = 1]

Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.

Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:

Орты ( vec{i} ) и ( vec{j} ) лежат в плоскости xOy;
Орты ( vec{i} ) и ( vec{k} ) лежат в плоскости xOz;
Орты ( vec{j} ) и ( vec{k} ) лежат в плоскости yOz;

Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).

Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.

Пример:

Сравните два способа обозначения вектора

[ vec{a} = left{ -2; 7; -5 right} ]

[vec{a} = -2 cdot vec{i} + 7cdot vec{j} – 5 cdot vec{k} ]

Источник

5.4.1. Канонические уравнения прямой

Для лёгкого понимания темы целесообразно освоить или вспомнить уравнение «плоской» прямой, поскольку будет очень много похожих вещей. Но будут и отличия, на одно из которых вы уже наверняка обратили внимание. Я выделил прописной буквой окончание слова «уравнениЯ», подчеркивая, что оно находится ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ. И это не случайно: особенность пространственной прямой состоит в том, что она задаётся не одним уравнением, а некоторым множеством уравнений.

Теперь о совпадениях: пространственную прямую точно так же обозначают строчными латинскими буквами , как вариант, с подстрочными индексами: . Либо двумя точками, принадлежащими данной прямой: .

И точно так же – её можно задать несколькими способами. Начнём с канонов, точки и направляющего вектора:

Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю. Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.

Задача 143

Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение: по соответствующим формулам:

Ответ:

Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу:

Сократить, точнее, можно, но это режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.

А во-вторых, проверка, которая очень легко (и быстро!) выполняется устно:

Сначала смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора ? Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок», эта мера позволит исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован от «наваждения», или вдруг вы условие неправильно переписали?

Далее подставляем координаты точки в найденные уравнения:

– получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.

Довольно часто требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу (помним, что ноль уже был), например, к единице: .

Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:

Проверим, удовлетворяет ли точка уравнениям :
– получены верные равенства, значит, точка действительно принадлежит данной прямой.

Выполним чертёж в прямоугольной системе координат:

Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве. Строим точку :

– от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир);

– вторая координата нулевая, поэтому «не уходим» с оси ни влево, ни вправо;

– в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир). Строим точку :

– отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, заметьте, что они находятся в нижнем полупространстве и расположены ПЕРЕД осью .

Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть частичку линии сверху и снизу точки скрещивания.

У прямой бесконечно много направляющих векторов, например:
(красная стрелка). Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность (такую уж я выбрал точку ). Любой коллинеарный вектор, например, тоже будет направляющим вектором данной прямой (вспоминаем, как их получить)

Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжим тренировать пространственное воображение. Изобразите в тетради декартову систему координат . Напоминаю удобный масштаб: 2 клетки = 1 ед. – по осям и диагональ одной клетки = 1 ед. – по оси .

Теперь я буду рассказывать о прямых, а вы их мысленно представляйте! Рассмотрим все шесть случаев:

1) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения:

или короче:

Что это за прямая?

Поскольку направляющий вектор коллинеарен орту , то такая прямая будет параллельна оси , в частности, уравнения задают саму ось абсцисс. В чём смысл уравнений ? «Игрек» и «зет» ВСЕГДА (при любом «икс») равны нулю. А это ось . Кроме того, есть и другая интерпретация – ведь перед нами уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – плоскость . Смотрим на чертёж и ищем их пересечение!

Задача 144

Составить уравнения прямой по точке и вектору .

Решение и ответ в одну строчку:

Какому условию удовлетворяет каждая точка этой прямой? «Иксовая» координата может быть любой: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают). А вот «игрековая» и «зетовая» координата постоянны, равны конкретным числам: .

Самостоятельно осмысливаем два «родственных» случая:

2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .

Такие прямые будут параллельны координатной оси , в частности, уравнения ( любое) задают координатную саму ось ординат.

3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами . Данные прямые параллельны координатной оси , а уравнения ( любое) задают саму ось аппликат.

Обкатываем вторую тройку:

4) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на пропорцию и уравнение плоскости .

Задача 145

Составить уравнения прямой по точке и вектору .

Решение и ответ в одну строчку:

Разберём суть полученной записи. Уравнение задаёт плоскость, причём данная плоскость будет параллельна «родной» координатной плоскости . Из пропорции легко выразить уравнение «плоской» прямой, единственное, эта прямая будет находиться не на плоскости , а на высоте .

Если высота нулевая: , то уравнения принимают вид , и вот это уже в точности наша «плоская» прямая, лежащая в плоскости .

Таким образом, рассмотренный случай задаёт прямую, параллельную координатной плоскости . Действительно, задумайтесь, ведь направляющий вектор параллелен данной плоскости, ибо «зетовая» координата равна нулю.

Аналогично – читаем, вдумываемся и представляем:

5) Прямая, заданная точкой и направляющим вектором , параллельна координатной плоскости , и её канонические уравнения выражаются формулами: . В частности, уравнения определяют прямую, лежащую в плоскости .

6) Прямая, заданная точкой и направляющим вектором , параллельна координ атной плоскости , и её канонические уравнения выражаются формулами: . В частности, уравнения определяют прямую, лежащую в плоскости .