Как найти ось пересечения с осью ординат - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Точка пересечения с осью Y – это точка, в которой график функции пересекает ось ординат. Найти такую точку можно несколькими способами, в зависимости от начальной информации.

1
Запишите значение углового коэффициента и координаты точки. Угловой коэффициент характеризует угол наклона графика по отношению к оси X. Координаты точки, лежащей на графике, записываются в виде (х,у). Если вам не даны координаты и угловой коэффициент, воспользуйтесь другим методом.
- Пример 1. Дана прямая, на которой лежит точка А (3,4) и угловой коэффициент которой равен 2. Найдите точку пересечения этой прямой с осью Y.
2

Запишите линейную функцию. Ее график представляет собой прямую. Линейная функция имеет вид у = kх + b, где k – угловой коэффициент, b – координата «у» точки пересечения с осью Y.
3
В функцию подставьте значение углового коэффициента. Подставьте данное значение вместо k.
- Пример 1. y = kx + b
  k = 2
  y = 2x + b
4
Вместо «х» и «у» подставьте данные координаты точки. Если даны координаты точки, лежащей на прямой, подставьте их в функцию вместо х и у.
- Пример 1. Точка А (3,4) лежит на прямой. То есть х = 3, у = 4.
  Подставьте эти значения в y = 2x + b
  4 = 2*3 + b
5
Найдите значение b. Напомним, что b – это координата «у» точки пересечения с осью Y. В уравнении b является единственной переменной, которую нужно обособить и найти ее значение.
- Пример 1. 4 = 2*3 + b
  4 = 6 + b
  4 — 6 = b
  -2 = b
  Координата «у» точки пересечения с осью Y равна -2 (у = -2).
6
Ответ запишите в виде пары координат точки пересечения прямой с осью Y. Точка лежит на пересечении прямой и оси Y; координата «х» любой точки, лежащей на оси Y, равна 0, поэтому координата «х» точки пересечения всегда равна 0 (х = 0).
- Пример 1. Точка пересечения прямой с осью Y имеет координаты (0,-2).
Реклама

1

Запишите координаты двух точек, лежащих на прямой. Если координаты обеих точек не даны, воспользуйтесь другим методом. Координаты каждой точки записываются в виде (х,у).
2

Пример 2. Прямая проходит через точки А(1,2) и В(3,-4). Найдите точку пересечения этой прямой с осью Y.
3
Найдите вертикальное и горизонтальное расстояние между двумя точками. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, образуемого с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.
- Вертикальное расстояние – это разность координат «у» двух точек.
- Горизонтальное расстояние – это разность координат «х» двух точек.
- Пример 2. Координаты «у» двух точек: 2 и -4, поэтому вертикальное расстояние: -4 — 2 = -6.
  Координаты «х» двух точек (в том же порядке): 1 и 3, поэтому вертикальное расстояние: 3 — 1 = 2.
4
Разделите вертикальное расстояние на горизонтальное, чтобы найти угловой коэффициент. Найденные значение подставьте в формулу: угловой коэффициент = вертикальное расстояние / горизонтальное расстояние.
- Пример 2. k = -6/2 = -3.
5

Запишите линейную функцию. Ее график представляет собой прямую. Линейная функция имеет вид у = kх + b, где k – угловой коэффициент, b – координата «у» точки пересечения с осью Y. Подставьте известное значение углового коэффициента k и координаты точки (х,у), чтобы найти b.
6
В функцию подставьте значение углового коэффициента и координаты точки. Вычисленное значение углового коэффициента подставьте вместо k. Координаты любой из данных точек подставьте вместо «х» и «у».
- Пример 2. y= kх + b
  k = -3, поэтому у = -3x + b
  На прямой лежит точка А (1,2), поэтому 2 = -3*1 + b.
7
Найдите значение b. В уравнении b является единственной переменной, которую нужно обособить и найти ее значение. Напомним, что координата «х» точки пересечения всегда равна 0.
- Пример 2. 2 = -3*1 + b
  2 = -3 + b
  5 = b
  Координаты точки пересечения прямой с осью Y равны (0,5).
Реклама

1
Запишите уравнение прямой. Если дано уравнение, описывающее прямую, можно найти точку ее пересечения с осью Y.
- Пример 3. Найти точку пересечения прямой, которая задана уравнением х + 4y = 16, с осью Y.
- Примечание: уравнение, приведенное в примере 3, описывает прямую. В конце этого раздела приведен пример квадратного уравнения (в котором переменная возводится в квадрат).
2
Вместо «х» подставьте 0. Напомним, что точка пересечения лежит на пересечении прямой и оси Y; координата «х» любой точки, лежащей на оси Y, равна 0, поэтому координата «х» точки пересечения всегда равна 0 (х = 0). Подставьте х = 0 в уравнение прямой.
- Пример 3. x + 4y = 16
  х = 0
  0 + 4y = 16
  4y = 16
3
Найдите «у». Так вы вычислите координату «у» точки пересечения с осью Y.
- Пример 3. 4y = 16
  ${frac {4y}{4}}={frac {16}{4}}$
  у = 4
  Координаты точки пересечения прямой с осью Y равны (0,4).
4

Проверьте ответ, построив график (если хотите). График постройте как можно более точно. Точка, в которой прямая пересекает ось Y, является точкой пересечения.
5

Найдите точку пересечения в случае квадратного уравнения. Переменная (в большинстве случаев «х») в квадратном уравнении возводится в квадрат. В квадратное уравнение также подставляется х = 0, но имейте в виду, что квадратное уравнение описывает параболу, которая может пересекать ось Y в одной или двух точках или вообще не пересекать ось ординат. Это значит, что задача будет иметь 1 или 2 решения или вообще не иметь решений.

Реклама

Советы

В случае более сложного уравнения постарайтесь обособить члены с переменной «у» на одной стороне уравнения.
В некоторых странах в уравнении y = kx + b переменные k и b обозначаются по-другому.^[1] Это не меняет значения линейной функции.
Вычисляя угловой коэффициент, вычитайте координаты «х» и координаты «у» в любом порядке, но если какая-то точка считается первой, то и ее координаты должны считаться первыми.^[2] Например, даны координаты двух точек: (1,12) и (3, 7). Угловой коэффициент вычисляется двумя способами:

Об этой статье

Эту страницу просматривали 50 796 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

Примеры.

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

Решение:

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке (-b/k; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

Решение:

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a∙0²+b∙0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x²-9x+20=0

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Источник

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Оглавление:

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y²= 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x²+ b x + c (узнаваемый шаблон: y = x²).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

x₀= -b / (2 * a);
y₀ = y (x₀).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x² + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x²+ b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b²— 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х_{1, 2} = (-b ± D^0,5) / (2 * a);
D = 0, то х_{1, 2} = -b / (2 * a);
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей;
найти координаты вершины;
найти пересечение с осью ординат;
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х²— 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2)² — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
с осью ординат пересекается в значении у = 4;
найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
ищем корни:

Х₁= (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
Х₂= (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х² — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3)² — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х₁= (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
Х₂= (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Источник

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек
пересечения графика функции с осями координат.

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось

в двух точках, а ось

— в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции

с осью
. Сразу отметим, что в этих точках координата
. Поэтому для их поиска, нам нужно
решить уравнение:

Это
квадратное уравнение
имеет два корня:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс:

и
. Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью

эквивалентна задаче нахождения
нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата
. Поэтому для их поиска, просто подставляем значение

в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат
.

Источник

Содержание

— Как найти точку пересечения графиков в Excel?
— Как определить точку пересечения двух прямых?
— Как найти точки пересечения двух графиков без построения?
— Как найти точки пересечения с графиком?
— Как найти точки пересечения графиков квадратичной функции?
— Как соединить две диаграммы в Excel?
— Как найти точку пересечения двух графиков функций?
— Как найти точку пересечения двух отрезков?
— Как доказать что прямые пересекаются?
— Какие графики не пересекаются?
— Как найти точки пересечения параболы?
— Как правильно построить график функции?
— Как узнать что графики параллельны?
— Как показать пересечение?
— Какое название имеет точка пересечения осей координат?

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие x , а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Как найти точку пересечения графиков в Excel?

Выделяем диапазоны данных, на вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» подбираем нужный тип графика. Как: Нужно найти точки пересечения графиков со значением Х, поэтому столбчатые, круговые, пузырьковые и т.

Как определить точку пересечения двух прямых?

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Определение. Точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Как найти точки пересечения двух графиков без построения?

Можно точки пересечения находить без построения графиков – аналитически. Для этого приравнивают правые части обоих уравнений и решают получившееся уравнение. Итак, запишем уравнение из правых частей заданных функций: 2х – 1 = 5 – х.

Как найти точки пересечения с графиком?

Для того чтобы найти точки пересечения графика функции с осью ординат (Oy), необходимо подставить в уравнения функции x=0 , тем самым, найти y. Аналогично, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox), необходимо подставить в уравнение функции y=0 и найти x.

Как найти точки пересечения графиков квадратичной функции?

Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0. В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox. В точке пересечения графика с осью Oy x=0. y=a∙0²+b∙0+c=с.

Как соединить две диаграммы в Excel?

На вкладке Конструктор нажмите кнопку Изменить тип диаграммы, а затем выберите плоскую диаграмму, которую требуется добавить к существующей. Примечание: Для объединения диаграмм необходимо не менее двух рядов данных.

Как найти точку пересечения двух графиков функций?

Как найти точку пересечения двух отрезков?

Если нужно найти пересечение отрезков, то нужно лишь проверить, лежат ли ua и ub на промежутке [0,1]. Если какая-нибудь из этих двух переменных 0 <= ui <= 1, то соответствующий отрезок содержит точку пересечения. Если обе переменные приняли значения из [0,1], то точка пересечения прямых лежит внутри обоих отрезков.

Как доказать что прямые пересекаются?

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку. Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые. Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Какие графики не пересекаются?

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. … Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.

Как найти точки пересечения параболы?

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
решить полученное уравнение относительно «x»;
подставить полученные числовые значения «x» в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Как правильно построить график функции?

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью.

Как узнать что графики параллельны?

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Как показать пересечение?

Как обозначается пересечение прямых

В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩. Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом: b ∩ c — прямые b и с пересекаются; a ∩ c — прямые a и с пересекаются.

Какое название имеет точка пересечения осей координат?

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат. Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А», а с осью y называется ординатой точки «А».

Интересные материалы:

Как называется работа Дарвина?
Как называется работа в магазине раскладывать товар?
Как называется работник магазина?
Как называется рамка для фотографии?
Как называется ранняя форма египетской гробницы?
Как называется раскладная дубинка?
Как называется распитие спиртных напитков в общественном месте?
Как называется расположение листьев друг за другом?
Как называется расположение листьев когда они находятся друг за другом по спирали?
Как называется расстояние между бровями?

Источник

Советы

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

Как найти точку пересечения графиков в Excel?

Как определить точку пересечения двух прямых?

Как найти точки пересечения двух графиков без построения?

Как найти точки пересечения с графиком?

Как найти точки пересечения графиков квадратичной функции?

Как соединить две диаграммы в Excel?

Как найти точку пересечения двух графиков функций?

Как найти точку пересечения двух отрезков?

Как доказать что прямые пересекаются?

Какие графики не пересекаются?

Как найти точки пересечения параболы?

Как правильно построить график функции?

Как узнать что графики параллельны?

Как показать пересечение?

Какое название имеет точка пересечения осей координат?