Какая симметрия есть у параллелограмма?
Утверждение
Параллелограмм — центрально-симметричная фигура.
Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.
Доказательство:
Пусть X — произвольная точка параллелограмма. Проведём луч XO. На пересечении XO со стороной CD отметим точку X1. Рассмотрим треугольники XOB и X1OD:
1) BO=OD (по свойству диагоналей параллелограмма)
2) ∠BOX=∠DOX1 (как вертикальные)
3) ∠XBO=∠X1DO (как внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD).
Следовательно, треугольники XOB и X1OD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XO=X1O, то есть точки X и X1 симметричны относительно точки O.
Имеем: точка, симметричная произвольной точке параллелограмма, также принадлежит параллелограмму. Следовательно, параллелограмм является централь-симметричной фигурой.
Что и требовалось доказать.
В общем виде параллелограмм осей симметрии не имеет. Осевой симметрией обладают только его частные случаи — прямоугольник, ромб и квадрат.
Как построить треугольник по осевой симметрии?
1. для этого проведём из вершин треугольника ABC прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси. 2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
Какой симметрией обладает квадрат?
Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см.
Как обозначается симметрия?
Плоскость симметрии обозначается буквой Р Ось симметрии — воображаемая прямая линия , при повороте вокруг которой всегда на один и тот же угол происходит совмещение равных частей фигуры.
Какая симметрия у параллелограмма?
Всякий параллелограмм есть фигура центрально-симметричная с центром симметрии в точке пересечения диагоналей (смотри рисунок).
Какая фигура обладает осевой симметрией?
В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.
Какое преобразование называется осевой симметрией?
1. Симметрией относительно прямой l (обозначение: Sl) называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что l — серединный перпендикуляр к отрезку XXў. Это преобразование называют также осевой симметрией, а l — осью симметрии.
Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник?
У правильного шестиугольника 6 осей симметрии. У правильного девятиугольника 9 осей симметрии. У правильного десятиугольника 10 осей симметрии.
Как найти оси симметрии у прямоугольника?
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон. У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали. У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб. Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.
Как определить симметрию молекулы?
Молекула симметрична, если при перестановке в ней местами атомов или атомных групп не происходит никаких изменений ее структуры. Перестанавливаемые части молекулы по симметрии эквивалентны, они неразличимы, хотя и не идентичны.
Как определять элементы симметрии?
Для определения плоскости симметрии кристалл мысленно рассекается плоскостью, проходящей через его центр. Если при этом слева и справа от плоскости симметрии все части кристалла (грани, ребра, вершины) будут повторяться как предмет и его зеркальное отображение, то такая плоскость будет являться плоскостью симметрии.
Сколько у параллелограмма ось симметрии?
Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две диагонали — в плоскости фигуры; если это не квадрат с двумя дополнительными осями — медиатрисами сторон), а параллелограмм общего вида имеет одну ось симметрии (проходящую через центр перпендикулярно плоскости).
Какие существуют виды симметрии?
двусторонняя (билатеральная) симметрия — симметричность относительно плоскости симметрии (симметрия зеркального отражения). трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние (её частный случай у животных — метамерия (биология)).
Какая из фигур обладает центральной симметрией?
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.
Какие фигуры обладают симметрией?
В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник. Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой. Пример 1.
Что называется осевой и центральной симметрией?
Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок. Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.
Какое преобразование пространства называется центральной симметрией?
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка O отображается на себя и называется центром симметрии.
Сколько осей симметрии имеет правильный Семиугольник?
Ответ: 0, 1 или 7. Ось симметрии семиугольника обязательно проходит через одну из его вершин (остальные вершины разбиваются на пары симметричных вершин). Пусть у семиугольника есть ось симметрии.
Что такое симметрия
Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.
Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.
Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.
Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.
Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.
- Ось симметрии угла — биссектриса.
- Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
- Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
- У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
- У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
- Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.
Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.
Симметрия геометрических фигур и тел
Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.
А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.
Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.
У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.
Видео
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
Теги
Осевая и центральная симметрия
О чем эта статья:
Что такое симметрия
Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.
Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.
Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.
Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.
Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.
- Ось симметрии угла — биссектриса.
- Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
- Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
- У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
- У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
- Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.
Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.
Осевая симметрия
Вот как звучит определение осевой симметрии:
Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.
При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.
Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.
В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.
Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.
Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.
- Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
- Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
- С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
- Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.
- Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.
Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.
- Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
- Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
- Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
- Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.
Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.
- Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
- Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
- Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
- Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A1 и B1.
- Соединяем точки A1 и B1.
Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Центральная симметрия
Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:
Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.
Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.
Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.
Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).
- Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
- Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
- Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.
- Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.
Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).
- Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
- Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
- Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
- Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB.
- Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.
Задачи на самопроверку
В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!
Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.
Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:
Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная
Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.
Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.
Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.
Центральная симметрия
Центральная симметрия — это симметрия относительно точки.
Пусть дана некоторая точка O. Чтобы построить точку, симметричную относительно точки O некоторой точке A, надо:
1) Провести луч AO.
2) С другой стороны от точки O на луче AO отложить отрезок OA1, равный отрезку AO.
Полученная точка A1 симметрична точке A относительно точки O.
Точка O называется центром симметрии.
Таким образом, точки A и A1симметричны относительно точки O, если O — середина отрезка AA1. Точка O считается симметричной самой себе.
Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая точка A фигуры F переходит в точку A1, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно точки O.
Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O, достаточно построить точки A1, B1 и C1, симметричные точкам A, B и C относительно точки O, и соединить их отрезками.
Треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно точки O.
Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру в себя, то такая фигура называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии этой фигуры.
Примеры центрально-симметричных фигур:
1) Параллелограмм.
Центр симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.
Центр симметрии окружности — её центр.
3) Прямая.
Центром симметрии прямой является любая точка этой прямой ( то есть прямая имеет бесконечное множество центров симметрии).
Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Понятие осевой и центральной симметрии
Презентация к уроку
Цели и задачи:
- совершенствование знаний об осевой симметрии;
- познакомить с понятием центральная симметрия;
- научить распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией;
- совершенствование знаний и умений при работе с чертежно — измерительными инструментами;
- развивать пространственное воображение, конструкторские навыки и творчество;
- способствовать развитию интереса к техническому творчеству;
- расширение кругозора.
Материалы и инструменты:
- Компьютер учителя (ноутбук), мультимедийный проектор, экран; слайдовая презентация к занятию; циркуль для доски; циркули ученические, треугольники, цветной картон и бумага, ножницы, клей.
— Организационная часть (подготовка к работе).
— Актуализация опорных знаний.
— Повторение геометрического материала.
— Практическая работа, объяснение и показ основных методов выполнения работы, соревнования.
— Подведение итогов занятия, обсуждение выполненной работы.
— Уборка рабочих мест.
Организационный момент. Проверка готовности к занятию.
Задание №1. «Разделите треугольник» Слайд 2
Разделите представленный на рисунке равносторонний треугольник следующим образом:
1. Тремя линиями на четыре равные части.
2. Тремя линиями на шесть равных частей.
3. Тремя линиями на три равные части.
4. Одной линией на четыре произвольные части
Задание №2. Слайд 3
В квадрате 6 на 6 клеток нарисовать геометрический орнамент, через 2 два столбика клеток его повторить до конца листа.
В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
С симметрией мы встречаемся везде — в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?
Мы рассмотрим ту симметрию, которую можно непосредственно видеть — симметрию положений, форм, структур. Она может быть названа геометрической симметрией.
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Слайд 4
Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну линию симметрии. А равносторонний треугольник — три линии симметрии.
У неразвёрнутого угла одна линия симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла.
Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две линии симметрии, а квадрат — четыре линии симметрии.
Выступление «Зеркальная (осевая) симметрия» Приложение № 1
Найдите фигуры, обладающие линией симметрии (Задание №1) Приложение № 2
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Слайд 8
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.
Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии.
Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
Найдите фигуры, обладающие центральной симметрией (Задание №2) Приложение № 2
Найдите фигуры, имеющие обе оси симметрии (Задание №3) Приложение № 2
Выступление «Симметрия в буквах» Приложение № 3
Раз — руки вверх махнули
И при том вздохнули
Два — три нагнулись, пол достали
А четыре — прямо встали и сначала повторяем.
Воздух сильно мы вдыхаем
При наклонах выдох дружный
Но колени гнуть не нужно.
Чтобы руки не устали,
Мы на пояс их поставим.
Прыгаем как мячики
Девочки и мальчики.
Практическая работа «Летающая тарелка» Приложение № 5
На какое геометрическое тело похожа летающая тарелка? (цилиндр)
Каким инструментом мы будем пользоваться? (циркуль)
Правила техники безопасности при работе с циркулем.
Сейчас начинаем практическую работу (рис.10):
- Для изготовления летающей тарелки используем картон любого цвета.
- На изнаночной стороне картона чертим окружность R55 (1 деталь) и R36 (2 детали).
- По длине картона откладываем прямоугольник длиной 220 мм и шириной 12 мм (по длине отмечаем клапаны).
- Вырезаем все детали.
- Склеиваем детали №2 и №3, получился цилиндр.
- Приклеиваем цилиндр на деталь №1
- Получилась «Летающая тарелка».
- Оформление по собственному замыслу.
- Соревнования.
- Подведение итогов
Сегодня на занятии мы с вами повторили и изучили осевую и центральную симметрии.
- Сколько осей симметрии имеет отрезок, прямая? (по 2).
- Имеют ли центр симметрии отрезок, прямая, квадрат? (по2)
- Какие из данных букв имеют ось симметрии? (М, А, Н, Е)
- Какие из данных букв имеют центр симметрии? (Н, О) Приложение № 6
Сегодня все хорошо поработали и разобрались с симметрией, но если кто — то все-таки сомневается, я вам подготовила вот такую подсказку
Награждение и поздравление победителей соревнований.
Уборка рабочих мест.
Литература.
- Тарасов Л. Этот удивительный симметричный мир. М., 1982 г.
- Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1995 г.
- Интернет ресурсы.
http://urok.1sept.ru/articles/622273
Теорема: Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
Доказательство:
Пусть GR и HS — диагонали параллелограмма GHRS, пересекающиеся в точке А.
Пусть М — произвольная точка на границе параллелограмма, например на стороне HR. Найдем точку, симметричную точке М относительно точки А. Для этого проведем луч МА, который пересекает сторону GS в точке M1. Треугольники AMR и AM1G равны, так как у них равны углы MAR и M1AG, MRA и M1GA, а также стороны AR и AG.
Значит, АМ1 — AM. Это означает, что точки М и М1 равноудалены от точки А. Поэтому М1 — точка, центрально-симметричная точке М относительно точки А. Таким образом, для любой точки М на границе параллелограмма центрально-симметричная ей точка также лежит на границе параллелограмма. Теперь понятно, что если взять произвольную внутреннюю точку N параллелограмма GHRS, то точка N1, симметричная ей относительно точки А, также является внутренней точкой этого параллелограмма. Значит, точка А пересечения диагоналей параллелограмма GHRS является его центром симметрии.
Поскольку параллелограмм — центрально-симметричная фигура, то и его виды — прямоугольник и ромб, а значит, и вид ромба — квадрат являются центрально симметричными фигурами.
Оси симметрии и центы симметрии плоских фигур
Таким образом, параллелограмм имеет центр симметрии:
Прямоугольник имеет центр симметрии и две оси симметрии:
Ромб имеет центр симметрии и две оси симметрии:
Квадрат имеет центр симметрии и четыре оси симметрии:
Теперь вы знаете разные виды четырехугольников и основные их свойства и признаки.