|
Осевым сечением конуса в треугольнике, является не что иное, как произведение его длины и высоты. То есть по сути, это все внутренне пространство, которое есть внутри треугольника, а так как его образует как длина этого самого треугольника, так и его радиус, то для того что бы его найти, нужно две эти величины, просто между собой, перемножить. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Степан-16 6 лет назад Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник. Соответственно, площадь осевого сечения будет определяться формулой площади треугольника и равна половине произведения основания треугольника (или диаметра окружности — основания конуса) на высоту треугольника (или конуса). Если проще, то: произведению радиуса основания конуса на его высоту.
Anklav 8 лет назад Вообразите себе конус и разделите его на две части сверху вниз. Это будет треугольник . А формулу, как найти площади его, вы знаете: S = 1/2D h = R * h На самом деле, нахождение площади сечения в случаях в стереометрии сводится к понятиям обычной геометрии на плоскости
Ксарфакс 6 лет назад Определение из курса стереометрии: Осевое сечение — это сечение трёхмерной фигуры плоскостью, которая проходит через ось этой фигуры. Для конуса осевым сечением будут являться треугольник.
Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса необходимо найти площадь данного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к данному основанию. Высота треугольника будет совпадать с высотой конуса, она равна h. Основание треугольника будет равно диаметру окружности d (окружность является основанием конуса). Таким образом, S = 0,5*d*h. Так как половина диаметра окружности — это радиус, то формулу можно переписать в следующем виде: Sсеч = R*h.
Пчела Жужа 6 лет назад Площадь осевого сечения конуса можно высчитать, применив формулу S=1/2d*h=Rh, где S является площадью осевого сечения, R является радиусом, d является диаметром конуса, а h — это высота конуса. Стоит отметить, что осевым сечением является треугольник.
Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле: S=1/2*(h*2r),где h -это высота,r-это радиус основания.Например.если высота конуса равна 5 см, а радиус основания равен 2,5 см, то площадь осевого сечения будет равна S=0.5*(5*2*2.5)=12.5 cm
Антон75 8 лет назад Осевое сечение конуса — это треугольник.Следовательно, площадь осевого сечения конуса равна произведению высоты конуса на радиус основания. S=h*r
Oleg74 8 лет назад При осевом сечении конуса плоскость проходит через вершину данного конуса , а самим сечением получается треугольник. Площадью такого сечения является половина диаметра или радиуса, умноженного на высоту. То есть формула вычисления такой площади выглядит так : S = 1/2D h = R h где D — это диаметр конуса ( основания ), R — радиус основания, а h — это высота конуса и треугольника, соответственно.
moreljuba 6 лет назад В первую очередь хочу отметить тот факт, что осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Этот факт означает что от нас требуется найти площадь данного треугольника. Найдём площадь вот по этой формуле: В данной формуле диаметр конуса — это D. Радиус основания — это R, а высотой конуса здесь является h.
timurovec 8 лет назад Для ответа необходимо хорошее пространственное представление. Если конус разделить от вершины до средины основания , мы получим фигуру треугольника. А площадь треугольника высчитывается произведением высоты на длину нижней стороны , деленную на два , в данном случае это радиус.
Ksyusha26 8 лет назад Надо сказать, что сечение представляет собой ни что иное, как треугольник. То есть найти площадь осевого сечения конуса можно найти с помощью следующей формулы: S=1/2d*h=Rh. D признается диаметром конуса, R признается радиусом основания, h является высотой конуса Знаете ответ? |
Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Треугольник (POA) вращается вокруг стороны (PO).
(PO) — ось конуса и высота конуса.
(P) — вершина конуса.
(PA) — образующая конуса.
Круг с центром (O) — основание конуса.
(AO) — радиус основания конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось (PO) конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.
(APB) — осевое сечение конуса.
— углы между образующими и основанием конуса.
Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.
Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса
2πR
, угол развёртки боковой поверхности
α
.
В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.
Образующая конуса (l) является радиусом сектора.
Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом (l):
Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом (l), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом (R).
Сравним выражения длины дуги и выразим
α
через (R):
2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.
Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:
.
Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.
Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.
— ось конуса и высота конуса.
Круги с центрами (O) и
O1
— основания усечённого конуса.
(AO) и
A1O1
— радиусы оснований конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось
OO1
конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.
— осевое сечение конуса.
Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:
Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅PA1+AA1−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+πR−πr⋅PA1.
Так как
ΔPAO∼ΔPA1O1
, то стороны их пропорциональны:
PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅l+PA1=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅R−r=rl;PA1=rlR−r.
Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:
Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅R−r=πRl+π⋅rlR−r⋅R−r;Sбок.=πRl+πrl=πl⋅R+r.
Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье. Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.
1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.
*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.
2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.
Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая. Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:
324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:
Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:
Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 24
324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.
Построим осевое сечение:
Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):
OC это радиус основания, его можно найти:
Значит
Теперь можем вычислить площадь сечения:
*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:
Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:
Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.
Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:
Ответ: 2
323455. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 48
Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.
Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 300
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Элементы конуса
Определение. Вершина конуса — это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение. Направляющая конуса — это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса — это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) — это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) — это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса — это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса — это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания и h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Определение. Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника — это диаметр основания конуса.
Определение. Касательная плоскость к конусу — это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Определение. Прямой конус — это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение. Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
где S — площадь основы, а H — высота конуса.
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
где S1 и S2 — площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | — | z2 | = 0 |
| a2 | a2 | c2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | = | z2 |
| a2 | b2 | c2 |
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.
Круглый конус в геометрии является симметричной пространственной фигурой, имеющей ось вращения. Одной из важных его характеристик является площадь сечения осевого. В данной статье приведем формулу площади сечения осевого конуса прямого с круглым основанием и усеченного.
О какой фигуре будет идти речь?
Круглый конус — это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.
Вам будет интересно:Восхитительный — это прилагательное, без которого не обойтись: его лексическое значение
Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который «рисует» при вращении с центром в точке A круг. Катет AB — это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B — это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.
Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:
g2 = r2 + h2
Здесь g — генератриса, r — радиус, h — высота.
Осевое сечение конуса и его площадь
Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.
Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.
Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:
S = h*r
Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.
Усеченный конус и его осевое сечение
Усеченный конус получается из обычного при помощи секущей плоскости, которая параллельна его основанию. Полученная при этом фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Он показан на рисунке.
Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r1 и r2. Расстояние между основаниями называется высотой, обозначим ее буквой h.
Осевое сечение рассматриваемого конуса будет четырехугольником, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r1 и 2*r2 соответственно. Этот четырехугольник будет равнобедренной трапецией, которая показана на рисунке ниже.
Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции, чтобы записать формулу площади сечения усеченного осевого конуса . Она примет вид:
S = (2*r1 + 2*r2)/2*h = h*(r1 + r2)
То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.
Для решения геометрических задач также может потребоваться формула связи между генератрисой фигуры и ее параметрами r1, r2 и h. Соответствующее выражение приобретает вид:
g2 = h2 + (r1 — r2)2
Получить ее достаточно просто самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r1 — r2).
Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного
Покажем, как находить площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.
Известно, что высота указанной фигуры составляет 10 см. Также известно, что для конуса осевого сечения площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметры оснований отличаются ровно в два раза, необходимо найти площадь этого сечения по оси.
В соответствии с условием задачи можно записать два уравнения:
r1 = 2*r2;
h*(r1 + r2) = pi*(r12 — r22)
Значение высоты известно из условия. Таким образом, мы имеем 2 равенства и 2 неизвестные величины. Решаем эту систему:
h*(2*r2 + r2) = pi*((2*r2) 2 — r22) =>
3*pi*r22 — 3*h*r2 = 0
Мы получили неполное квадратное уравнение, которое следует решить относительно переменной r2. Уравнение имеет 2 корня, но решение r2 = 0 не является физическим, поэтому запишем только одно единственное значение для малого радиуса:
r2 = h/pi
Тогда большой радиус r1 будет равен:
r1 = 2*h/pi
Подставляя эти равенства в формулу площади осевого сечения конуса, получаем:
S = h*(r1 + r2) = 3*h2/pi
Подставляем численное значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см2.