Как найти ошибку в математической задаче - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

ВЫСТУПЛЕНИЕ

на РМО математиков

«Диагностика типичных ошибок

при решении задач»

Учитель математики

МБОУ «Ливенская СОШ №1»

Чебакова Галина Владимировна

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

«На ошибках учатся», — гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи.

Целенаправленная работа над ошибками требует их систематизации. При этом главную роль должны сыграть группы ошибок, которые объединены общими причинами их появления, общей методикой работы над ними. Такая систематизация ошибок позволяет наметить пути их исправления и предупреждения этих ошибок в дальнейшем.

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

1. Ошибки и недочёты, которые обусловлены невниманием к формированию теоретико-множественных представлений учащихся:

ошибки, связанные с недостаточно чётким владением понятиями множества, элемента множества, отношения принадлежности, равенства множеств;
ошибки, которые возникают в результате недостаточно чёткого владения операциями пересечения и объединения множеств.

2. Ошибки, которые связаны с недостаточной логической подготовкой учащихся:

ошибки, связанные с непониманием структуры теоремы;
ошибки, которые обусловлены непониманием зависимости между прямой и обратной теоремами;
ошибки, связанные с непониманием метода доказательства от противного.

3. Ошибки, которые допускают учащиеся из-за отсутствия и неустойчивости самоконтроля.

Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.
Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.
Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.
Третья трудность — это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.

Проанализируем некоторые типичные ошибки учащихся, допускаемых при решении тренировочных заданий для подготовки к ГИА

Зачастую при решении задач на движение учащиеся не обращают внимание на то, что скорость дана в одних единицах измерения, а время или расстояние в других, поэтому логически рассуждение строится верно, но в результате задача не решена. Что очень важно при ГИА, ЕГЭ – 1 части.
При сопоставлении текста задачи и уравнения для её решения уч-ся обозначают за х не ту величину, которая предложена им в задании.

(Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длинной 20 км ему потребовалось на 20 мин. Меньше, чем второму. Чему равны скорости велосипедистов? Пусть х км/ч скорость первого велосипедиста.)

Типичные ошибки:

20: (х+3)-20:х=20

При решении задач на проценты ( подорожание , скидки) учащиеся повторное изменение величины находят, не применяя правила нахождения части от предыдущей цены, путём сложения и вычитания процентов.

(Магазин закупил на складе футболки и стал продавать их по цене, приносящей доход в 40 % . В конце года цена была снижена на 50 %. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил футболки, или цена в конце года – и на сколько процентов .

Типичные ошибки: 100+40-50=90% Разница на 10 %.))

Рассмотренные ошибки и недочёты типичны на всех ступенях обучения.

Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что ученики, не справившиеся с решением задач, не смогли представить себе жизненной ситуации, отраженной в задаче, не уяснили отношений между величинами в ней, зависимости между данными и искомым, а поэтому просто механически манипулировали числами.

Почему учащиеся допустили много ошибок при повторном решении знакомых задач? Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что одна из основных причин допускаемых детьми ошибок в решении текстовых задач – неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее предметного или графического моделирования. Как правило, в процессе анализа используются лишь различные виды краткой записи условия или готовые схемы, а создание модели на глазах у детей или самими детьми в процессе разбора задачи применяется крайне редко. К тому же при фронтальном анализе и решении задачи учитель нередко ограничивается правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания, т.е. не проводятся все этапы работы над задачей.

Для устранения этих недостатков необходимо прежде всего улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися.

Типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами

Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи.

«Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» – такое часто можно видеть на уроке. И сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в некоторых учебниках, и в решебниках. Может быть, проведение этого этапа обязательно не для всех учащихся. В классе найдутся такие ученики, у которых этап анализа свернут. Они его проходят очень быстро, поэтому сразу видят решение и переходят к его оформлению. Задача педагога – помогать тем, у которых не получается. Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, преподаватель может предложить им специальные памятки.

Ошибка 2. Пропуск этапа поиска решения.

Пропуск этого этапа ведет к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач. В практике обучения традиционной является ситуация, когда учитель вызывает к доске учащегося, который знает, как решить задачу. Однако при личностно ориентированном обучении основная забота учителя должна быть связана с теми, кто испытывает затруднения при самостоятельном решении задач.

Тем же учащимся, которые без учителя могут решать задачи, необходимо подбирать задания, усиливающие их умения и способствующие их развитию (составить задачи на основе справочных данных; рассмотреть другие способы решения предложенной задачи; составить граф-схемы других уравнений по задаче и др.)

Ошибка 3. Пропуск этапа исследования решения.

Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи. Последний вопрос позволяет рассматривать каждую задачу как звено в общем умении решать задачи, что ведет к накоплению опыта по решению задач.

Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения.

Чтобы этого избежать, надо точно знать, какую цель мы преследуем на каждом этапе. Цель этапа анализа условия – выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.

Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам:

определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;

составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;

определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;

определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

Завершается этап поиска составлением плана решения задачи.

Ошибка 5. На этапе анализа условия фиксируются не все связи между величинами.

Надо стараться зафиксировать как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:

условие для составления уравнения;

возможность одну величину выразить через другие;

предусмотреть несколько способов решения.

Ошибка 6. Поиск решения задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.

Обратим внимание на то, что при перечислении этапов, которые мы проходим при поиске решения задачи алгебраическим методом, сначала был назван выбор условия для составления уравнения, затем составление схемы уравнения, и только тогда мы вводим переменную. На практике мы почти везде видим иное: сначала вводят переменную, затем выражают остальные величины через нее и затем составляют уравнение. Вот этот момент настолько «закостенел» в нашем сознании, что от него отказаться очень трудно.

На самом деле, лучше делать «по-новому». Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»

И насколько спокойнее и увереннее чувствует себя наш ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения задач; он смог составить по условию задачи таблицу; найти несколько условий для составления уравнений; записать схему уравнения для выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.

Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.

Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.

Задавая вопросы, учитель не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.

2.Для осуществления целенаправленных мер по исправлению и предупреждению ошибок учителю необходимо систематически изучать ошибки учащихся, выявлять наиболее устойчивые и типичные из них, вести учёт распространённых и индивидуальных ошибок учащихся. Знание учителем типичных ученических ошибок, а также причин их возникновения и проявления даёт ему возможность предвидеть и предупреждать их появление. Достичь этого можно путём подбора таких упражнений, которые препятствуют образованию односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Ошибки учащихся, которые регистрирует и учитывает учитель, помогают ему установить, что не понимают учащиеся, что ими плохо усвоено; это даёт возможность учителю своевременно ликвидировать пробелы в знаниях учащихся и внести соответствующие коррективы в дальнейшее преподавание с целью предупреждения повторения аналогичных ошибок.

Чтобы определить сущность допускаемых учащимися ошибок, необходимо проследить ход рассуждений, который приводит к такому ошибочному решению, установить этап, на котором зарождаются такие ошибки. Как показывает опыт, часто учащемуся непонятен не весь материал, а лишь какая-то его часть. Выявив, что именно непонятно ученику, можно сосредоточить на этом материале всё внимание, не отвлекаясь на те моменты, которые уже усвоены.

Допускаемые учеником ошибки свидетельствуют не только о недостатках его знаний, но и о потенциальных возможностях. Ошибки служат также показателем проблем, которые могут быть поставлены перед учеником, а иногда они приводят к созданию проблемных ситуаций, которые необходимы в данный момент для развития действий.

Ни в коем случае нельзя снижать оценок ученикам за ошибки в процессе поиска. Очень важно приучить их не бояться допускаемых ошибок. Ошибки, допускаемые учениками, надо исправлять тактично, обоснованно, привлекая к этой работе самих учащихся.

Боязнь допустить ошибку сковывает инициативу ученика. Боясь ошибиться, он не будет сам решать поставленную проблему, а станет ждать помощи от учителя. Он будет решать только лёгкие проблемы. Но без такого самостоятельного решения задач с последовательно нарастающей сложностью не может происходить интеллектуальное развитие. Во многих случаях по этой причине учащиеся проявляют робость и интеллектуальную пассивность, что в дальнейшем приводит к неуспеваемости.

Очень оживлённо воспринимаются учащимися “Задачи на выявление ошибки”. Речь идёт не только о софизмах, но и об ошибках, которые допускают сами школьники. Не нужно специально исправлять каждое ошибочное утверждение школьника. Лучше поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки. Если они и не допускают ошибок, то всё же нередко целесообразно проверить, насколько они “устойчивы” против типичных ошибок.

Например: Найти ошибки:

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) умения обнаружить ошибку; в) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;
проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;
оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;
проверка аналитического решения графическим .

Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочёты типа описок, пропуска цифр.

Например, рассмотрим задачу: “За неделю завод выпустил 130 холодильников, выполнив месячный план на 25%. Сколько холодильников должен выпустить завод за месяц по плану”.

Пусть решение ученика выглядит так: . Ошибка становится очевидной, если перед решением ученик прикинет в уме: “За неделю завод выпустил 130 холодильников. Следовательно, за месяц он выпустит больше. Значит, ответ должен быть больше, чем 130”. Такая прикидка в уме полезна при решении задач с дробными числами и процентами.

В жизненной практике в чертежах, схемах, расчётах, с которыми ребята будут встречаться, могут быть и ошибки. Если не научить их критически относиться к данным, то могут быть и аварии, и брак, и серьёзные упущения в работе. Чтобы этого избежать, необходимо формировать у учащихся умение анализировать данные, способность обнаруживать встречающиеся ошибки и обосновывать ошибочность положения.

Польский математик Г. Штейнгауз, отмечая большое значение работы над математическими ошибками для активизации мыслительной деятельности учащихся, пишет:

“Если учащегося заверить, что в предложенном ему доказательстве есть ошибка, то можно быть уверенным даже без специальной проверки, что материал будет изучен полностью и очень тщательно”. Поэтому составление списка математических ошибок и использование его в учебных целях является одним из важных факторов повышения эффективности обучения.

Таким образом, важную роль в предупреждении ошибок играет продуманная организация изучения нового материала. Изучение нового материала надо строить так, чтобы ученик был активным участником этого процесса. Не надо бояться, если при первом изложении материала им будут допускаться ошибки, высказываться необоснованные выводы. Важно, чтобы те или иные ошибки в понимании материала исправлялись в зародыше, чтобы ученики воспринимали материал осознанно.

Такому подходу к изучению нового материала способствует создание проблемной ситуации и решение её учащимися под руководством учителя. На таких уроках ученики проходят через следующие стадии: поиск нового, возможное появление ошибок в процессе поиска нового, обоснованное опровержение этих ошибок, снова поиски, в результате которых приходят к правильной догадке, и, наконец, доказательство составленного в поисках предложения. Всё это способствует развитию математического мышления.

Текстовые задача — это способ стимулирования мыслительной активности. Считаю необходимым сформировать такой подход к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения. Необходимо построить процесс обучения математике так, чтобы обеспечить успешное овладение учащимися методами и приемами решения задач и создать условия для формирования у них ряда общенаучных умений — таких, как анализ, синтез, обобщение, сравнение, аналогия.

Необходимо организовать деятельность учащихся на учебном занятии таким образом, чтобы она способствовала формированию исследовательской культуры.

Предлагаю на занятии несколько приемов организации интенсивной мыслительной деятельности, которые используются мною на различных этапах процесса обучения: при актуализации знаний, первичном усвоении материала, его осмыслении, применении и обобщении.

Это можно сделать на следующем содержании материала:

Правоцирующие задачи.

Это задачи, условия которых содержат упоминания, указания, намеки или другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа. Попадая в заранее подготовленную ловушку, ученик испытывает досаду, сожаление оттого, что не придал особого значения тем нюансам условия, из-за которых он угодил в неловкое положение. Простое сообщение о том, что учащиеся, как правило, допускают в заданиях такого-то рода ошибки, несравнимо менее действенно. Ибо оно, несмотря на общность, не является для конкретно взятого ученика личностно значимым, поскольку, во-первых, события, о которых сообщается, происходили когда-то давно, в прошлом, не сейчас, а во-вторых, каждый из учащихся наивно полагает, что в число неудачников сам он не попадает.

Дидактическая ценность этих задач в том, что они служат предупреждением от различного рода ошибок и заблуждений.

Провоцирующие задачи обладают высоким развивающим потенциалом, они способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления- критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, ее разносторонней оценке, повышают интерес школьников к занятиям математикой.

Я использую такие разновидности провоцирующих задач:

условия, в которых навязывают неверный ответ;
условия, которые подсказывают неверный путь решения;
условия, вводящие в заблуждение из-за неоднозначности трактовки и т.д.

В качестве примера приведу задачи, побуждающие выбор неверного способа решения.

Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?

Или, на уроке в 6 классе по теме «Простые и составные числа» предлагаю задание: «Какие из чисел 205, 206, 207, 208, 209, 210 являются простыми?»

2.Задачи стандартные с нестандартным решением.

Это задачи, при предъявлении которых учащиеся не знают заранее ни способа их решений, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Иными словами, учащиеся в ходе решения таких задач должны провести поиск плана решения задачи, установить, какой теоретический материал дает ключ к тому или иному решению. Незначительная обработка условий той или иной задачи из учебника, изменение места и времени ее постановки существенно меняют ее дидактическую значимость, оставляя неизменным практическое содержание.

Проиллюстрирую сказанное примером. Стандартная задача для учащихся 7 класса: «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и кроликов в клетке?». Данную задачу предлагаю решить не алгебраическим способом, приводя к стандартному уравнению, а арифметическим. Таким образом, по существу, данную задачу превращаем в нестандартную для шестиклассников и даже семиклассников.

Задачи такого плана всегда органически связаны с изучаемым материалом. Допуская нестандартное решение, приучаю школьников не довольствоваться шаблоном, а нацеливаю на вдумчивый подход, воспитываю стремление как можно лучше выполнить порученное дело. Они развивают гибкость, рациональность, целенаправленность математического мышления и ценны тем, что дается возможность каждому ученику с любой структурой мышления проявить себя.

3. Проблемные задачи.

Это задачи, алгоритм решения которых неизвестен до начала решения. Главное в том, чтобы открыть способ решения и убедиться в его пригодности. Следует иметь в виду, что определить, является данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи.

Задачи такого плана решаются исследовательским методом и этим очень интересны для учащихся. Ведь исследование предполагает творчество. Проблемы, которые ставятся перед учащимися, могут иметь разнообразный характер: введение в новую тему, решение задачи новым более эффективным способом, связь известного учебного материала с новым и т.д.

При подборе проблемных задач учитываю знания учащихся и уровень развития их логического мышления, поскольку непосильная задача порождает неуверенность в своих силах и в дальнейшем отвращение от решения любых задач, а излишне простая вводит в заблуждение относительно уровня собственных знаний и умений, не стимулирует поисковую деятельность.

Самое главное- это суметь правильно поставить вопрос, заинтриговать учащихся, создать проблему, а не дать ответ, решив ее. Учащиеся познают понятия, закономерности, теории в ходе поиска, наблюдения, анализа фактов, мыслительной деятельности, результатом чего является знание.

Приведу пример задачи из темы «Смежные углы» (геометрия 7 класс).

Найти два смежных угла, один из которых больше другого на прямой угол.

Возможны различные варианты решения, в частности, алгебраический и геометрический. Здесь проблемный характер проявляется в неявной форме, но ученики понимают непригодность геометрического способа решения.

Другой пример. В 5 классе в ходе изучения темы «Сравнение десятичных дробей» предлагаю вариант решения задания на сравнение дробей 0,31 и 0,6 ученика Петрова. Если целые части дробей равны, сравним дробные части: 316, значит, 0,310,6. Согласны ли вы с таким решением? Начинается обсуждение, поиск, анализ решения.

Логические задачи.(задачи-шутки, таблицы, верные и неверные утверждения, здравый смысл)

Это задачи, ведущие к формированию важнейших характеристик творческих способностей: беглость мысли, гибкость ума, оригинальность, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Опыт работы показывает, что глубокие, прочные и, главное, осознанные знания могут получить все школьники, если развивать у них не столько память, сколько логическое мышление. Логика учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связанным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. В математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы.

Основные методы решения логических задач:

метод рассуждения;
метод таблицы;
метод граф;
метод кругов Эйлера;
комбинированный метод.

Метод рассуждений сопровождаю схемами, чертежами, краткими записями, вырабатывая умения выбирать информацию, пользоваться правилом перебора.

Так, при изучении темы «Степень» в 7 классе, я даю задание: запишите степени x, x², x³, x⁴, x⁵, x⁶, x⁷, x⁸, x⁹ в пустые клетки квадрата так, чтобы произведение их по любой горизонтали, вертикали и диагонали было равно x в 15 степени. Можно рассказать о магическом квадрате, тогда задача станет еще интереснее для учеников.


	X⁵

Таблицы хорошо применять тогда, когда устанавливается соответствие между двумя множествами (можно и между тремя множествами), когда количество элементов во множествах одинаково и неодинаково. Перед составлением таблиц отрабатываю правила их заполнения.

Например, в 5 классе знакомлю детей с задачей Пуассона (на переливание). Некто имеет 12 пинт сока (пинта- 0,57л) и желает подарить половину своему другу, но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт сока в сосуд емкостью 8 пинт?

Решение.

Ходы	0	1	2	3	4	5	6	7
12 пинт	12	4	4	9	9	1	1	6
8 пинт	—	8	3	3	—	8	6	6
5 пинт	—	—	5	—	3	3	5	—

Логические связи, при помощи которых была выстроена общая схема решения задачи, помогут учащимся без труда решить подобного рода задачу.

Введение серии таких задач в содержание урока считаю необходимым. Это позволит стереть явную границу между занимательным и учебным материалом. Особенно целесообразно использовать задачи тогда, когда есть опасность неприятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.

Для каждой задачи, которую предполагаю использовать на уроке, прежде выясняю: будет ли она интересна классу, органично ли войдет в структуру урока, будет ли ее использование эффективным. Практика показала: учебный навык, на формирование которого направлена та или иная задача, вырабатывается быстрее, ибо он связан с продуктивной мыслительной деятельностью ученика.

При работе над провоцирующими, проблемными, логическими и стандартными с нестандартным решением задачами наиболее эффективной считаю групповую, парную, индивидуальную, фронтальную работу.

Приведу пример. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 часов. Однако после 2 часов пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Работа над задачей предполагает следующие действия учителя:

Предъявление задачи (читает учитель).
Определение вида задачи (творческая группа).
Выделение гипотез (индивидуальная самостоятельная работа).
Обмен мнениями (в творческой группе).
Формулировка предположительного ответа (в паре).
Проверка ответа на достоверность (фронтальная работа).

Или, задача. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12см и 20см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Предъявление задачи (творческие группы составляют задачи по готовому чертежу).
Выделение гипотез (работа в парах).
Обмен мнениями (фронтальная работа).
Формулировка предположительного ответа (индивидуальная работа).
Проверка ответа на достоверность (индивидуальная работа).

Обязательным этапом на уроке является устный и письменный счет. Целями устного счета являются, во-первых, совершенствование в вычислительных навыков, во-вторых, развитие творческого мышления учащихся.

На своих уроках я стараюсь разнообразить формы и методы устной работы:

— устный счет в начале, в середине, в конце урока;

устная форма проверки домашнего задания;
устная форма творческой работы;
устные самостоятельная и контрольная работы;
уроки устной работы.

Работая устно, воспитываю у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучаю ценить и экономить время, развиваю желание поиска рациональных путей решения задачи. В этих целях использую такие приемы, развивающие творческие способности, как «Зашифрованные задания», «Найди ошибку», «Восстановление»,

«Выбор», «Задачи- сказки», детские презентации на устный счёт, математические листы с задачами, изготовленные самими учащимися, ребусы, кроссворды, которые учащиеся составляют самостоятельно.

Обязательно провожу подробный анализ результатов работы и коррекцию знаний. Объявляя количество набранных баллов, полученных за олимпиадное задание, называю ребят, которые представили самые «красивые» решения. При этом опираюсь на формулу «красивой» задачи по В.Г. Болтянскому: красивая задача = непредсказуемость + непредполагаемость +неожиданность + удивительная простота + простота + фантазия + революционный шаг + удивление + оптимизм + труд + …

Таким образом, решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей.

Во-первых, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека — способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи.

Поэтому решение текстовых задач — это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки».

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

Наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Источник

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Сафарова А.Г. 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Ильина Светлана Владимировна 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b². Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х²— 2ху + у²= у²— 2ху + х². Имеем: ( х – у )²= ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а²– 2аb + b²= ca – cb. После преобразования получаем а²– аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х²)³ ( х – 3 )²≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )²≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 )³( х – 3 )²≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴– 2х²— 7 = 0.

Введем замену х²=z, решаем квадратное уравнение:

9z²— 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k²— ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2= =

z₁₌-1, z₂= ,

х²= — 1, х²= ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х²= — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t²-2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿarcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВ_CD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВ_CD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

Источник

И снова здравствуйте, уважаемые одиннадцатиклассники! Полагаю, что Вы хорошо отдохнули и готовы к работе для достижения своих высоких целей.

В этом году июнь месяц выдался очень продуктивным. Моя работа не закончилась 6 июня, когда мои ученики написали ЕГЭ по физике. После публикации результатов ЕГЭ (сначала по математике, а потом и по физике) стало поступать множество сообщений от учеников, даже тех, с кем я не занималась, с просьбой помочь разобраться, за что сняли баллы. А в некоторых случаях даже была необходима помощь с составлением апелляции. Бесценный опыт, если честно…..Только вот от этого опыта седых волос становится больше. И желание сжечь критерии не отпускает меня.

Сразу замечу, что апелляция возможна только по заданиям второй части. По первой части апелляция производится только тогда, когда компьютер неверно считал знак, записанный Вами в бланке ответов.

Уважаемые одиннадцатиклассники, вы должны понимать, что недостаточно просто получить верный ответ, недостаточно записать решение в стиле «я художник, я так вижу». Ваше решение будут оценивать по вполне определенным критериям. И даже абсолютно верный ответ не гарантирует полный балл за выполненное задание.

Анализ ошибок мы начнем с разбора сканов работ по профильной математике. Эти сканы я собирала не один год. К сожалению, в математике, просто за идею решения, за набор формул, не дадут ни одного балла. А снимают баллы за наличие вычислительных ошибок, недостаточную обоснованность, наличие лишних записей. Не указали необходимые признаки, свойства, теоремы – все, полный балл Вам не дадут.

Основной упор будет сделан на задачи 12, 14, 15 (уравнения, неравенства, задачи с экономическим содержанием). Это так называемый джентельменский набор, который старается выполнить большая часть выпускников. Погнали…

Для удобства статья представлена в двух форматах. Текст и видео. Вот ролик:

Уравнения

Основные ошибки:

1) неправильное использование формул приведения.

При преобразовании допущена ошибка. Минуса перед косинусом быть не должно. Задание оценивается в 0 баллов.

2) незнание свойств четных и нечетных функций. Также ребята забывают, что косинус функция честная, а вот синус, тангенс и котангенс нечетные.

Классическая ошибка! – нечетная функция, следовательно знак минус выносится вперед, а не пропадает. Если бы функция была четная, то мы смело могли бы убрать знак минус. Задание оценивается в 0 баллов.

3) неправильное или некорректное использование тригонометрических формул.

Пару лет назад мне написал ученик, которому на экзамене досталось уравнение вида .

Скан он мне не отправил, но в процессе обсуждений выяснилось, что в первой скобке для он использовал не формулу синуса суммы, а формулы приведения. Чего делать категорически нельзя! Как Вы понимаете, задание оценили в 0 баллов.

4) Самое банальное. Неверное решение простейших тригонометрических уравнений.

При решении простейшего тригонометрического уравнения допущена ошибка. Третий и четвертый корень записаны неверно. Задание оценивается в 0 баллов.

Неравенства

С неравенствами у ребят дела идут посложнее, чем с уравнениями. Тут ваша фантазия разыгрывается по полной. Какие только ошибки не встречались(( Постараюсь выделить основные.

1)Пожалуй, самая распространенная ошибка – ошибка в расстановке знаков на координатной прямой. В идеале, если выпускник умеет определять – перед ним корень четного или нечетного порядка, меняется знак или дублируется.

Нули найдены верно. Но при расстановке знаков на координатной прямой допущена ошибка. Мы видим, что единица – нуль числителя второго порядка, следовательно знак сохраняется, и в крайнем левом интервале должен быть плюс. Эта ошибка уже позволяет эксперту поставить за данное задание 0 баллов.

2)Отбрасывание знаменателя и, как следствие, потеря части корней. В примере, приведенном ниже, выпускник отбросил знаменатель и находил нули только числителя.

Это привело к тому, что на координатной прямой не хватает нулей двух скобок: .

Такая грубая ошибка на экзамене не прощается.

Оценка эксперта – 0 баллов.

3) Неравносильный переход от неравенства к системе неравенств.

Я думаю, эта ошибка даже не нуждается в комментариях. Даже несмотря на то, что ученик верно нашел нули, верно расставил знаки на координатной прямой, это задание оценили в 0 баллов. Если бы системы с тремя неравенствами не было, ученик имел бы возможность взять полный балл.

4) Ошибки при использовании свойств логарифмов.

Стоит заметить, что для снятия логарифмов в правой и левой части, необходимо, чтобы перед логарифмом не было никаких цифр или букв. Выпускник снял логарифмы, хотя по задумке нужно было в правой части свернуть в полный квадрат подлогарифмическое выражение и вынести общий множитель. Как Вы понимаете, эксперт оценил это задание в 0 баллов.

Из моего текста у Вас, возможно, сложилось впечатление, что эксперты по всем поводам снимают сразу два балла. К счастью, это не так. Один балл Вам могут поставить, если Вы допустили ошибку в скобке (вместо круглой написали квадратную или наоборот) или допустили вычислительную ошибку, но при этом присутствует верная последовательность всех шагов решения.

Экономические задачи

В решении задач с экономическим содержанием ребятам в первую очередь нужно определить, какая форма кредитования – с дифференцированными платежами, аннуитентными или иная форма кредитования.

Могу выделить несколько основных ошибок.

1)Неверное построение математической модели, связанное с неверным определением формы кредитования.

Для лучшего понимания начну с условия задачи.

В июле 2026 года будет взят кредит на три года в размере 800 тыс рублей. Условия возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10 процентов по сравнению с концом прошлого года

– размер платежей в 2027 и 2028 годах одинаковый

– к июлю 2029 года долг выплачивается полностью.

Также известно, что в 2029 году платеж составит 833,8 тыс рублей. Сколько рублей будет составлять платеж в 2027 году?

Согласно записям таблицы, ученик решил, что перед ним дифференцированная форма кредитования и остаток уменьшается у него равномерно, ровно на N рублей каждый год. Но это совсем не так. Из условия задачи, мы видим, что выплаты одинаковые первые два года. Но при этом остаток не будет уменьшаться равномерно. Правильная запись остатка во второй строчке должна выглядеть так: .

Основываясь на критериях оценивания данного задания, математическая модель построена неверно, задание оценивается в 0 баллов.

Идем дальше. Наверняка Вы встречали задачи вида:

15 января 2020 года был выдан кредит на сумму 900 тыс. рублей на 31 месяц. Условия возврата таковы:

– 1 -го числа каждого месяца долг увеличивается на 2 по сравнению с концом предыдущего месяца.

– со 2 по 14 число необходимо выплатить часть долга;

– 15 -го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долго на 15 число предыдущего месяца;

– 15 июля 2027 года долг составит 300 тыс рублей.

– 15 августа 2027 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

В этой таблице полностью неправильно записаны столбцы с остатками и выплатами. Согласно условию задачи, первые 30 месяцев долг уменьшается равномерно, на меньше чем, прошлом месяце. Но не забываем, что первоначальный долг – это S, а не Sk рублей. То есть остаток в первые 30 месяцев должен выглядеть так: . Как Вы понимаете, и выплаты будет принимать совсем другой вид, так как они получаются путем вычитания из долга после начисления процентов самого остатка. Для примера запишем первую выплату: .

С учетом полностью неправильно построенной математической модели, задание оценивается в 0 баллов.

2)Ошибки при применении формул арифметической прогрессии и расчета общей суммы выплат.

Год назад ребятам на экзамене попалась задача, где в процессе кредитования менялась процентная ставка. Приведу пример:

25 августа 2020 года был дан кредит на 12 лет в размере 300 тыс рублей.

— 25 января с 2021 по 2026 года долг возрастает на 10 процентов;

— 25 января с 2027 по 2032 года долг возрастает на 15 процентов;

– с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

– в августе каждого года долг должен быть на одну и туже величину меньше по сравнению с августом прошлого года;

– к августу 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Я уверена, что для многих ребят покажется очевидным, что нельзя складывать первую и последнюю (двенадцатую) выплату. Но я все же поясню.

Действительно, это задача на дифференцированные платежи. И можно заметить, что выплаты подчиняются арифметической прогрессии. Но так как у вас меняется процентная ставка, у Вас меняется и так называемый коэффициент или разность арифметической прогрессии. Поэтому правильно будет сначала просуммировать по формуле арифметической прогрессии первые шесть выплат, потом вторые шесть и полученные выражения сложить. Таким образом Вы получите верный ответ.

В каком же случае Вы можете получить 1 балл – если Вы верно построили математическую модель, но допустили вычислительную ошибку при получении численного значения.

PS: в подавляющем большинстве работ, которые поступали на проверку, ребята просили пояснить, почему за параметр (17 задание) и за задание на числа и их свойства так сильно срезали баллы. В большинстве случаев ребята получали по одному баллу за параметр, а в задаче на числа им засчитывали только пункт а), который также дает только один балл. Ребята, эти задачи считаются олимпиадными, не зря за их полное выполнение дается целых 4 балла. Критерии оценивания данных номеров очень жесткие. Должно быть и максимальное подробное объяснение, и разбор всех случаев и вариантов. В 17 задании это и правильно построенный график (если это необходимо), и рассчитаные все точки, и правильно раскрытый модуль, и расписанные все значения параметра и т.д и т.д.

В погоне за «легкими «баллами ребята даже не трогают планиметрию и стереометрию. А они, напомню, оцениваются в три балла каждый. Даже если Вы испытываете трудности в геометрии, пункт а (доказательство) не пропускайте мимо, как правило он значительно легче пункта б), где нужно найти численное значение той или иной величины. Но по одному первичному баллу за каждый номер Вы спокойно можете получить.

На этом мой краткий обзор подошел к концу. Я желаю удачи и сил всем одиннадцатиклассникам в этом году. Не бойтесь ЕГЭ, настраивайтесь на работу, идите к своей цели. У Вас все получится!

Все, что не убивает, делает нас сильнее!

P.S.: Вот моя группа ВКонтакте, где я выкладываю подобные тексты, ролики и полезности для ЕГЭ по физике и математике: https://vk.com/public185877660 Подписывайтесь!

Источник

Метод проб и ошибок

в решении текстовых задач.

При решении текстовых задач многие учащиеся испытывают затруднения. Главная задача учителя научить решать ученика различные типы текстовых задач. Процесс решения текстовых задач развивает у учащихся логическое мышление, учат находить выход из проблем реальной жизни, дает почувствовать уверенность в своих силах.

Текстовые задачи можно разбить на два основных класса:

текстовые арифметические задачи;
текстовые задачи на составление уравнений.

Причем это разделение довольно условно. Многие текстовые арифметические задачи можно решить с помощью уравнений, а задачи на составление уравнений (систем уравнений) часто решают по действиям, а если это не получается, то используют метод проб и ошибок или метод перебора.

Мне бы хотелось продемонстрировать решение ряда задач этими методами.

Задача №1

Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м². Найти размеры этого участка.

Пусть x м ширина участка, (x+3) м – длина участка, а площадь x·(x+3) м²,

что по условию задачи равно 70 м². Чтобы найти размеры участка надо составить уравнение x·(x+3)=70 и решить его. Но в 5^ом классе такие учащиеся решать еще не могут. Поэтому попробуем подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

пусть x=4, т.е. 4·(4+3)=28, 28≠70;
x=6, т.е. 6·(6+3)=54, 54≠70;
x=7, т.е. 7·(7+3)=70, 70=70 верно.

Т.е. мы увидели, что метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математический модель представляет собой новый, не изученный еще объект. Но, решая задачи этим способом, следует помнить, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому необходимы обоснования того, что найдены все возможные решения.

В нашей задаче, если бы x было больше 7,то x+310 и x·(x+3)70, если наоборот xx+3 x·(x+3)

Задачи для учащихся.

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

Площадь прямоугольника равна 68 дм², а длина больше ширины на 13 дм. Каковы стороны этого прямоугольника?
Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника.
Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м², а ширина в 2 раза меньше длины.
Площадь прямоугольника равна 64 дм², а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?
Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см².
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м².
Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м². каковы стороны этого прямоугольника?
Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².
Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см².

10)Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если

большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить

в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см².

Найти стороны данного прямоугольника.

Метод перебора при

нахождении НОД.

Рассмотрим еще один метод – метод перебора. Т.к. предыдущий метод решения задач – метод проб и ошибок не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом недостаток метода проб и ошибок. Но он исключен в методе полного перебора.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем «лобовой» перебор.

Задача. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны

несколько автобусов. Однако выяснилось, что если заказать

автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов

потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо

заказать?

Составим таблицу.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	252 : x	x	252
Маленькие автобусы	252 : (x+1)	x+1	252

Т.к. по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : x — 252 : (x+1) = 6. Значит решением задачи является число X, удовлетворяющее равенству: 252 : x — 252 : (x+1) = 6.

Но можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой Y число детей, которых можно разместить в большом автобусе.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	y	x	252
Маленькие автобусы	y-6	x+1	252

Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства:

xy = 252;
(x+1)·(y-6) = 252.

Искомые числа x и y должны удовлетворять как первому, так и

второму равенству. Найдем эти числа x и y.

Из равенства xy = 252 можно заметить, что числа x и y не могут быть

больше, чем 252. Однако и в этом случае «лобовой» перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Но более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа x и y – это парные делители 252: при делении 252 на x получается y, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда y6 (y-60).

Составим таблицу:

x	1	2	3	4	6	7	9	14	18	28	36
y	252	126	84	63	42	36	28	18	14	9	7

— 6

Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов. Оно означает, что число (x+1) и (y-6) так же являются парными делителями 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара x=6, y=42.

Ответ: для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов.

Задачи для учащихся.

Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.
Сумма цифр двузначного числа равна 12. число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет ⁴/₇исходного числа. Найти эти числа.
Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.
У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и трехместных лодок было у причала?
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длинна которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.
В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?
Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.
На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. в каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?
Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м². Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.

Еще один тип задач, которые решаются методом перебора.

Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

Пусть xy – задуманное двузначное число, где x – цифра десятков, а y – цифра единиц. Тогда их произведение равно xy. Само двузначное число можно записать как 10x+y. По условию 10x+y на 52 больше произведения своих цифр xy. Т.е. должно выполняться равенство 10x+y= xy+52, которое является математической моделью данной задачи.

Решается это уравнение методом перебора. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения x от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9.

Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что первая часть данного равенства больше 52. Значит, и первая его часть, т.е. задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число x не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений x – от 5 до 9.

При x=5 будем иметь равенство 50+y=5y+52, оно невозможно, т.к. 50+yy+52.

При x=6 60+y=6y+52 | -y

60=5y+52

5y=8 невозможно для натурального y.

При x=7 70+y=7y+52

70=6y+52

6y=18

y=3 Число 73

При x=8 80+y=8y+52

80=7y+52

7y=28

y=4 Число 87

При x=9 90+y=9y+52

38=8y невозможно

Таким образом, задумано либо 73, либо 84.

Условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. Поэтому два ответа: 73 или 84.

Задачи для учащихся.

Метод перебора используется при доказательстве общих утверждений, где необходимо вводить буквенные обозначения.

Например: Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

1 сл. 1,2,3 1+2+3=6, 6:3=2

2 сл. 5,6,7 5+6+7=18, 18:3=6

3 сл. 21,22,23 21+22+23=66 66:3=22

и т.д.

Возьмем произведение натурального числа и обозначим его n. Тогда следующие за ним два числа соответственно равны n+1 и n+2.

Их сумма: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) делится на 3, т.к. один из множителей делится на 3.

Источник

Математические софизмы

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Атеев А.С. 1Самарина Е.А. 1

1МБОУ «ООШ № 12» Асбестовского городского округа

Самофалова В.В. 1

1МБОУ «ООШ № 12»

1. Введение

Математика — один из наших любимых школьных предметов. Он нам нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.

Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.

Вот как это было: 6=7.

Запишем верное равенство: 42 +12 — 54 = 49 +14 – 63.

Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)

Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).

Получим, что 6 = 7 , что и требовалось доказать. Где ошибка? Ведь этого быть не может. Папа сказал, что есть такое понятия, как софизм. Так я определился с темой проекта. Катя сама выбрала тему из списка, который был предложен учителем математики. Для нее понятие софизм тоже было неизвестно, поэтому она решила узнать, что означает это незнакомое и интересное слово.

В процессе работы мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой (например, 34 =7), так и то, что прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.

Задачи:

1. Познакомиться с историей софизмов.

2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.

3. Понять, как найти ошибку в софизмах?

4. Разбор софизмов.

5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.

6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.

Гипотеза: софизмы — тренировка для ума.

Объект и предмет исследования: софизмы

Методы исследования:

1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников

2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками

3. Анкетирование одноклассников

4. Анализ и обобщение полученных данных.

2. Теоретическая часть

Что такое софизмы?

Софизм (от греч. — мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.

2.2. История возникновения софизмов

Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.

Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.

Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.

Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

Софист – это:

1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.

2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия, искусства спора, а также — философ, расходившийся с общепринятыми взглядами в вопросах религии и морали и обвинявшийся противниками в пользовании софизмами.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».

В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.

2.3. Классификация ошибок в софизмах

Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;

Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».

Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!

Практическая часть

3.1. Разбор математических софизмов

Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.

Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Дважды два – пять (2 * 2 = 5)
Доказательство:
Пусть исходное соотношение — очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы получим:
4*(1:1)=5*(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2 *2
(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в в частном, множитель можно выносить либо из суммы, либо из разности.

Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.

Софизм «5 = 6»

Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?

Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.

Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.

Софизм «Пропавший рубль»

Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.

Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9 . 3 = 27 рублей, да 2 рубля осталось у официанта. А где же еще 1 рубль?

Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!

Логические софизмы

Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:

Полный стакан равен пустому

Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.

Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен

стакану пустому. Где ошибка?

Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.

Софизм учебы

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод:

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?

Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.

Примеры софизмов приведены в Приложении 2.

Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).

3.2. Анкетирование

Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:

1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?

«Да» – 24 человека, 60 %

2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?

«Да» — 10 человек, 25 %

3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?

«Да» — 36 человек, 90 %.

Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.

Заключение

Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы — это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.

Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.

Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.

Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.

Информационные источники

«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.

«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

Т.Н. Михеева. Софизмы

«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.

«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство «Молодая гвардия», 1978 г.

Приложение 1

«Загадочное исчезновение»

Приложение 2

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Девушка — не человек

Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Разговор софиста и любителя спорить

Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”

Любитель: “нет”

Софист: “ А мёд сладкий?”

Любитель: “Да”

Софист: “А мёд желтый?”

Любитель: “Да”

Софист: “А жёлтый — значит сладкий?”

Любитель: “Нет”

Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”

Не знаешь то, что знаешь

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:

— Смежные углы равны 180 градусам;

— Накрест лежащие углы равны.

Приложение 3

Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах

Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.

Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.

Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие.

Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.

Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».

Просмотров работы: 10450

Ошибки, «прячущиеся» в софизмах

Убедительность
на первый взгляд многих софизмов, их
«логичность» связана с хорошо
замаскированной ошибкой. Софизмы
обязательно содержат одну или несколько
логических ошибок.

При
разборе софизмов выделяются основные
ошибки:

Деление
на 0;
Неправильные
выводы из равенства дробей;
Неправильное
извлечение квадратного корня из квадрата
выражения;
Нарушения
правил действия с величинами;
Проведение
преобразований над математическими
объектами, не имеющими смысла;
Неравносильный
переход от одного неравенства к другому;
Выводы и вычисления
по неверно построенным чертежам;

Софизмы в Древней Греции.

«Людям,
которые желают идти верной дорогой,
важно также знать и об отклонениях».
Аристотель

Софистов
в Древней Греции называли мудрецами,
но это были мудрецы особого рода. Их
истина не интересовала. Они были, как
правило, платными “учителями мудрости”.
Их нанимали политики для того, чтобы, в
частности, переспорить оппонентов на
собрании, а также для того, чтобы выиграть
судебное дело. Софисты славились своим
умением представить черное белым, белое
черным. Они могли сегодня упорно
доказывать какой-либо тезис, а уже завтра
с таким же рвением антитезис.

Будучи
в большинстве случаев глубоко образованными
людьми, они не столько передавали
ученикам знания из различных областей
науки, сколько стремились научить их
владеть искусством словесных состязаний.
Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались
тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь,
недостаточно внимателен и наблюдателен,
и поэтому не в состоянии отличить ложь
от истины. В результате словесного
поединка противник должен был согласиться
с доводами софиста и признать себя
побежденным, хотя истина, казалось, была
на его стороне.

Но
суть деятельности софистов много больше,
чем простое обучение искусству
красноречия. Они обучали и просвещали
древнегреческий народ, старались
способствовать достижению нравственности,
присутствия духа, способности ума
ориентироваться во всяком деле. Но
софисты не были учеными. Умение, которое
должно было быть достигнуто с их помощью,
заключалось в том, что человек учился
иметь в виду многообразные точки зрения.

Вот
один из древних софизмов («рогатый»): «Что
ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял.
Значит, у тебя рога».

Так все ли утверждения математики верны?

Вот
один из наиболее известных софизмов:
«Дважды два — пять!»

Рассмотрим
верное равенство:
16 — 36 = 25 — 45

Прибавим
к левой и правой части 81/4:
16 — 36 + 81/4 = 25
— 45 + 81/4

Преобразуем
выражение:
4*4 — 2*4*9/2 + (9/2)*(9/2) = 5*5 — 2*5*9/2 +
(9/2)*(9/2)

Теперь
можно заметить, что в левой и правой
части выражения записаны произведения
вида:
a²-2ab+b², то есть, квадрат разности:
(a-b) ². В нашем случае слева a=4, b=9/2, а справа
a=5, b=9/2.

Поэтому
перепишем выражение в виде квадратов
разности:
(4 — 9/2) ² = (5 — 9/2) ²

А
следовательно,
4 — 9/2 = 5 — 9/2

И
наконец, получаем долгожданное равенство:

4
= 5 или, 2*2 = 5

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

Если
равны квадраты чисел,то не факт что
равны сами числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Со скольки лет надо начинать изучать математику?

Все в этом мире меняется. То, что наши предшественники могли понять только к двадцати годам, люди сейчас понимают уже в 15 и ранее. Современный мир таков, что все молодеет.

Зачем нам изучать математику? Почему именно математика?

Математика — это одна из тех наук, основы, которой была заложены не год, не два и даже не сто лет назад. Математика с нами уже несколько тысяч лет.

Писать шпаргалки или не писать?

«Писать шпаргалки или не писать?» — вот в чём вопрос. Математика — предмет серьёзный и решение задач требует хорошего знания формул. Поэтому, ответ теоретиков и учащихся — писать стоит.

Шпаргалки не для нас

Как известно из многих источников есть цвета, которые очень хорошо располагают к себе человека, действуя на подсознание человека, это голубой и зеленый цвет. Вот в таких тонах и желательно одеваться на экзамен.

Математика — часть нашей жизни

Не раз приходилось слышать фразу о том, что математика — страна без границ. Несмотря на свою банальность, фраза о математике имеет под собой очень веские основания. Математика в жизни человека занимает особое место.

Математика в решении строительных задач

Математика используется повсеместно, для решения задач из самых разных областей. В том числе, и для решения задач строительства.

Подготовка к контрольной работе, концентрация

Контрольная работа, это отличный способ проверить свои знания и навыки, полученные за время обучения. Контрольные работы по математике отличаются повышенной сложностью.

Решение задач и оформление контрольных работ по дисциплине математика

Все большее количество людей, сейчас предпочитают учиться удаленно, таким образом нужно уделять много внимания правильному оформлению сделанных контрольных работ.

Как найти ошибку в софизме? Примеры софизмов

Подготовил Бакушкин Иван

Как найти ошибку в софизме?

Зачастую найти ошибку в софизме очень сложно. К тому же не существовал алгоритм нахождения ошибки в софизме. Но я, проанализировав софизмы, составил алгоритм, который может помочь в нахождении ошибки во многих софизмах.

Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи

(Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки)

Установить темы, которые отражены в софизме

(Ученики, учителя привыкли, что задания, предполагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения)

Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений

(Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие)

Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности

(Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма)

Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием

(Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам»)

Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока

(Работать блоками. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока. Удобнее проследить за одним блоком, чем за целым преобразованием)

Примеры софизмов

«Двусмысленность произношения»

Сто сорок да сто сорок будет двести сорок.

«Рассуждение о женщинах»

TranslateПеревод

Если у вас будет женщина, то вам потребуется время и деньги:

a. Женщина=Время*Деньги

Время-деньги, поэтому:

a. Время=Деньги

Из этого следует:

a. Женщина=Деньги*Деньги

b. Женщина=Деньги в квадрате

c. Деньги- это и есть все ваши проблемы:

d. Деньги=Корень из проблем

i. Из этого следует:

ii. Женщина=Корень из проблем в квадрате

Вывод: Женщина=ПРОБЛЕМЫ

«Апельсин- планета»

Земля, Марс ит. д. — круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин – планета.

«Нет конца»

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

«Продолжительность учебного года»

Можно доказать, что учителя и ученики целый год ничего не делают.

Для простоты будем считать, что в году 360 дней, из них 52 воскресных дня. Если не считать других выходных дней, останется 308 учебных дней. Ночью школа не работает, следовательно, половина количества суток пропадает, остается 154 учебных дня. В большинстве школ занятия продолжаются только до полудня, вследствие чего учебное время уменьшается вдвое. Получаем 77 учебных дней. Будем считать, что на каникулы выпадает только 60 дней, тогда для занятий останется всего 17 дней в году.

«Песенка английских студентов»

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

« Единица равна нулю»

Возьмем уравнение

х-а = 0

Разделив обе его части на х-а, получим

Откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0

Ошибка заключается в том, что на 0 делить нельзя (1).

«Семь равно тринадцати»

Рассмотрим уравнение

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь

Откуда следует

или

Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7=13

Ошибка состоит в том, что область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство(2) является не уравнением, а тождеством равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому утверждение софизма не имеет места.

«Один рубль не равен ста копейкам»

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

(Ошибка: умножение величины на себя не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

«2×2=5»

Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки.)

ГБОУ РХ СПО Хакасский политехнический колледж

Реферат

по теме:

Софизмы и парадоксы

в математике

Работу выполнила:

Шишигина Ирина,

студентки 2 курса гр. ЭП-21

Преподаватель:

Овчарук Любовь Павловна

Абакан 2015

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………….3

2. Цели и задачи…………….…………………………..…….…………….….4

3. Понятие софизма…………..………………………..……..………….………4

4. Экскурс в историю…………………………………………………….….…5

5. Математические софизмы ……………………………………………….…6

Алгебраические софизмы………..………………………………..……6

«Один рубль не равен ста копейкам» …………………….………..…7
« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»………….…8

Геометрические софизмы ……………………………………………..8

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра» ….8

Арифметические софизмы……………………………………..………8

«Дважды два равно пять» …………………………………………… 9

Логические софизмы ……………………………………………….…. 9

Многообразие парадоксов и их причины ………………..…………… .10

6.1 Парадокс Банаха – Тарского ……………………………………… 10

6.2 Задача о треугольнике ………………………………………….…. 10

6.3 Парадокс бесконечно малых величин ……………………………. 11

6.4 Парадокс изобретателя ……………………………..……………… 11

7. Заключение ………………………………………………………………..13

8. Литература…………………………………………………………….……13

ВВЕДЕНИЕ

Наверняка каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь шутка???

Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в нашей работе Математические софизмы

«Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным»

Б. Паскаль

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм — это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Надеемся, что наш проект будет интересен и принесёт пользу ребятам.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что:

Наше общество развивается большими темпами.
Для развития производства требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии.
И эти науки надо не только знать, но и понимать.

Мы считаем, что софизмы развивают логику мышления, помогают лучше усвоить и разобраться в математике, прививают навыки правильного мышления.

Поэтому мы выбрали эту тему.

Основная гипотеза проекта

Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Цель нашей работы:

Познакомиться с софизмами, показать значимость математических софизмов

при изучении математики, показать как получаются абсурдные выводы. Важно четко понимать допущенные ошибки, иначе софизмы будут бесполезны.

Задачи:

дать определение понятиям «софизм» и «парадокс», узнать в чём их отличие;

классифицировать различные виды софизмов;

понять, как найти ошибку в софизмах;

составить компьютерную презентацию.

Методы исследования:

Анкетирование;
Анализ и контроль полученных результатов, классификация софизмов;
Демонстрация полученных результатов в презентации;
Выступление на конференции.

«Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма

Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка),

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление.

Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, и довольно тонкие ошибки.

Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Мы проанализировали софизмы и выделили типичные ошибки в софизмах. Это:

запрещенные действия,
неточное использование условий теорем, формул и правил,
ошибочный чертеж,
опора на ошибочные умозаключения.

Нередко, ошибки, которые допускают в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах.

Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Работая над проектом, мы обнаружили интересную формулу успешности софиста!*

Успешность софизма определяется несколькими составляющими:

a + b + c + d + e + f и определяется величиной этой суммы, где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.

а — отрицательные качества лица (нет развития способности управлять вниманием).
b — положительные качества лица (способность активно мыслить)
с — аффективный элемент в душе искусного диалектика
d — качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
е — категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
f — пассивность слушателя.

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия.

Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

* эту формулу нашли в Интернете на сайте http://pptonline.ru/slide/related/page/13/count/100/id/101563/category/1/cpages/10

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. В Греции софистами называли и простых ораторов.

Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать их учение. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).

Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным, его и по сей день считают самым мудрым философом.

Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это — двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.

Математические софизмы

Разбор и решение нестандартных математических задач помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам.

Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке.

Мы предлагаем Вам вместе с нами попытаться разобраться с этим.

В нашей работе мы рассмотрим три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

Если a=b,

c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо

совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

10 р. =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает

1 р. = 10 000 коп.,

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Извлекая квадратный корень из равенства1 р. = 10 000 коп. получаем верное равенство 1р.=100 коп.

2) « Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство ab > b·b, а отняв от обеих его частей a·a, получим неравенство ab-a·a > b·b — a·a, которое равносильно следующему:

a(b-a) > (b+a)(b-a). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на b-a получим, что

a > b+a (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство a> b, имеем 2a >2b+a, откуда a > 2b. Итак, если a > b, то a > 2b.

Где ошибка?

Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Т.к. a > b, то b — a<0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – a, мы должны поменять знак неравенства на противоположный.

Геометрические софизмы

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС.

На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках

Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В.

Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС.

Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка?

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Арифметические софизмы.

Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«Дважды два — пять!»

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства

будем иметь:

4∙(1:1)=5∙(1:1)

или

(2∙2)(1:1)=5(1:1)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из предыдущего получаем:

2∙2=5

Где ошибка?

Нельзя выносить множитель за скобки так, как было сделано. 4∙(1:1)=5∙(1:1)

Можно так 4 (1:4) и 5 (1:5).

Логические софизмы

Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

Многообразие парадоксов и их причины

Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов). Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и попытками создать новые, которые способны объяснить появившиеся противоречия. Парадоксы присутствуют везде – и в повседневной жизни, и в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы.

Парадоксы обнажают глубинные течения познавательного процесса. Возвещая о назревшем неблагополучии в науке, они вместе с этим решительно продвигают ее вперед и именно тем, что приносят новые, еще более парадоксальные идеи.

Парадоксы математические

Существуют парадоксы в математике. И вот, действительно, самое парадоксальное — это то, что в математике вообще есть парадоксы.

1. Парадокс Банаха — Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике)

2. Задача о треугольнике.

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.

Разгадка простая: первый треугольник немного «вогнут», а второй — слегка выпуклый. В этом можно убедиться, сравнив наклон гипотенузы синего и жёлтого кусочков: у жёлтого наклон = 0.375, а у синего — 0.4. Получается, что общие площади верхнего и нижнего треугольников всё-таки различаются, а разница как раз составляет одну клетку!

3. Парадокс бесконечно малых величин

Математический кризис в этой области существовал в период XVII — XVIII веков.

Бесконечно малые — это переменные величины, стремящиеся к нулю, или, если быть точнее, к пределу, равному нулю. Проблема состояла в их туманном понимании: то они рассматриваются как числа равные нулю, то как ему неравные. Причем, при таком подходе, люди рассматривали их как постоянные величины. Тогда из этого названия таких величин следует, что бесконечное является чем-то завершенным.

Кризис перестал быть таковым после создания теории пределов в начале XIX века французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 — 1857). С того момента бесконечно малые величины рассматриваются как постоянно изменяющиеся, а не постоянные, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Постоянно изменяющиеся числа!

4. Парадокс изобретателя

Ситуация, когда доказать более сильное утверждение легче, чем более слабое, и называется парадоксом изобретателя. Он был известен еще и древним мыслителям, но придумал это название в начале XX века венгерский математик Д. Пойа, сказав о парадоксе следующие слова: «Легче доказать более сильную теорему, чем более слабую». Этот парадокс существует не только в математике, но и в других областях, в том числе и в жизненных ситуациях. Такое же название (и по праву) получили ситуации, когда решить более общую задачу легче, чем более узкую. Прием, позволяющий это сделать, заключается в том, чтобы свести задачу к более общей, относительно которой исходная задача будет являться лишь частным случаем. Приведу один пример:

В III веке до н. э. тиран города Сиракузы Гиерон поручил своему подданному и близкому родственнику Архимеду определить, не подмешано ли к его золотой короне, изготовленной ювелирами, менее благородное серебро. Эту частную задачу Архимед смог решить лишь как общую (т.к. о химическом анализе тогда еще и не помышляли; к тому же корону разрушать было нельзя), выявив закон «подъемной силы», то есть силы Архимеда, действующей на погруженное в жидкость тело.

Таким же образом появились на свет в математике интегральное (выросшее из изобретенного древнегреческим математиком Евдоксом Книдским (около 408 — около 355 до н. э.) метода «исчерпывания») и дифференциальное (когда Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 — 1716) долго бился на задачей проведения касательной к кривой в заданной точке, сведя ее к проведению секущей через две бесконечно близкие точки) исчисления, в науке изобретена пастеризация и многое-многое другое.

Заключение.

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.

Математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение.

Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются двигателями науки.

Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Помимо основных целей, поставленных в начале работы, мы преследовали еще одну: прикосновение к тому, с чем сталкивались наши далекие предки, к теме, которая имеет исторические корни. Нами были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов.

В процессе работы над проектом мы столкнулись с софизмами, в которых не смогли разобраться из-за недостаточного багажа знаний по математике. Мы будем пополнять знания на уроках математики, и вернемся к этим вопросам. Поэтому тема нашей работы далеко не исчерпана. Мы рассмотрели лишь некоторые, самые известные примеры софизмов. На самом деле их намного больше. Мы продолжим изучение этой темы в будущем.

А закончить я бы хотела словами А. Д. Александрова «Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка».

Список литературы

1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера «Математические софизмы», Москва, «Просвещение», 2003г.

2. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях».

3. Перельман Я. И. «Занимательная математика».

4. Новосёлов М. М. «Абстракция множества парадокс Рассела». «Вопросы философии. 2003г. №7.

5. Аменицкий Н. «Математические развлечения и любопытные приёмы мышления. М.,1912г.

6. Горячев Д. Н., Воронец А. Н. «Задачи, вопросы и софизмы для любителей математике», М., 1966.

7. Лямин А. А. «Математические парадоксы и интересные задачи», М., (1911г.) 2010 г.

8.http://www.peterlife.ru/download%20free%20online/humanities/fl _5_a5.htm

9. http://www.tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm

10.http://www.golovolomka.hobby.re/books/gardner/gotcha/ch2/02.html

Софизмы в математике

Секция: Математические науки.

Автор: Шеметова Анастасия, Глазунова Екатерина, 8 класс
МБОУ «СОШ №18».

Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель
математики МБОУ «СОШ №18».

Г. Миасс

Челябинская
область

Оглавление

Введение

I.
Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

1.2. Экскурс в историю

II.
Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них

2.2. Математические софизмы

2.3. Разбор математических
софизмов

2.4. Логические софизмы

2.5. Источники софизмов

III. «Софизмы из наших школьных тетрадей»

Заключение

Список литературы

Приложение 1.

Приложение 2. Арифметические софизмы

Приложение 3. Алгебраические софизмы

Приложение 4. Геометрические софизмы

В
математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.

И. Ньютон

Введение

У ученых есть такое свойство — поставят в
тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с
трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.
И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей,
любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Нас заинтересовал факт
глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых.

Актуальность: Наверное,
каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два
равно трем». Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь
логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные
им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы. Математический софизм – удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их
понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и
навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее
осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших
математических рассуждениях.

Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся
в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения на примере
математических софизмов.

Задачи:

1.
изучить понятие софизма и историю его возникновения;

2.
рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок;

3.
составить сборник разбора задач на софизмы по различным разделам
математики для 6 — 9 классов.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно
и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на
примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической
подготовки учащихся.

I. Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

Софизм в
переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим
термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента
логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.
Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать
противника и выдать ложное суждение за истинное.

Софистика –
направление философии, которое возникло в V — IV вв. до н.э. в Греции и
стало очень популярным в Афинах.

1.2. Экскурс в историю

Во
второй половине V века до н.э. в Греции появились софисты. Софистами называли
группу древнегреческих философов достигших большого искусства в логике. Они
появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам
территориях. Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов
истина не интересовала. Они были, как правило, платными «учителями мудрости».
Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в
частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть
судебное дело. В Греции софистами называли и простых ораторов —
философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить,
говорить и делать». Одним из представителей
софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а
это и есть гражданское искусство» (приложение 1, рис. 1).

Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и
поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного
поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя
побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и
обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с
годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на
чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним
непонятны. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а
наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под
влиянием Сократа философских школах.(Приложение 1,рис.2)

Термин «софизм» впервые ввел Аристотель
(приложение 1, рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую, а не
действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и «апории Зенона» (внешне парадоксальные рассуждения
на тему о движении и множестве), направленные
против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и
все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о
том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то
обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл софизмом «мнимые
доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто
субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.
Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана
с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых»
или даже «запрещённых» правил или действий.

Современный софизм, основной задачей
которого является манипуляция общественным сознанием, существует в
многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, — специалисты по
пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных
политических деятелей.

В обычном и распространенном понимании
софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий
и завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.

В нашей работе мы рассматриваем
математические софизмы.

II. Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них

Математический софизм — удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и
интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым
открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно
продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью
записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение
ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает
логическое мышление.

К типичным ошибкам
в софизмах относятся:

· запрещенные
действия;

· пренебрежение условиями
теорем, формул и правил;

· ошибочный чертеж;

· опора на ошибочные
умозаключения.

Нередко, ошибки,
допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не
сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в
софизмах.

2.2. Математические софизмы

Математические
софизмы делятся на:

1. Арифметические софизмы — это числовые
выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пример: « Дважды два — пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения
следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего
множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1)
или (2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1)
устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка.

Распределительный закон умножения применяется
только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).

2. Алгебраические
софизмы —
намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Алгебра — один из больших разделов
математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших
ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры отличаются от других отраслей
математики.

Приёмы
эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.

Пример: «Любое отрицательное число больше
положительного, имеющего то же абсолютное значение».

Этот софизм основан на очевидной истине:
«Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в
правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

и ; т.е. .

Другими словами, если в левой части
равенства + a > — a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же
соотношение.

Т.е. – a > + a.

Ошибка.

Чтобы получить из равенства +a > -a
равенство –a>+a, нужно первое равенство умножить на -1, но при это нужно сменить
знак неравенства (–a<+a).

3.Геометрические софизмы – это
умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость,
абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и
действиями над ними.

Пример: «Из точки на прямую можно
опустить два перпендикуляра.»

Рассмотрим
треугольник АВС.

Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M
и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках
M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.

Углы
AEB и BDC опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.

Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие
из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно
опустить два перпендикуляра на сторону АС.

Ошибка.

Действительно, опустив из B перпендикуляр
на AC , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут
стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их
гипотенузы будут диаметрами. Неправильный чертеж. Известно,
что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах,
пересекаются в одной точке, лежащей на третьей стороне.

2.3. Разбор математических софизмов

В математических софизмов выделяются 6 основных
ошибок:

1. Деление на 0.

Софизм №1 «Пять равно шести».

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части вынесем за скобки общий
множитель:

5(7+2-9)=6(7+2-9).

Теперь, получим, что 5=6.

Ошибка.

При делении верного равенства
5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое
равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Софизм №2 «Уравнение x-a=0 не имеет
корней».

Дано уравнение x –a = 0. Разделив обе
части этого уравнения на x-a, получим, что 1 = 0. Поскольку это равенство
неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ошибка.

Поскольку x = a – корень уравнения, то,
разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому
получили неверное равенство 1=0.(x—a=0 -на ноль делить нельзя).

2. Неправильные выводы из равенства дробей;

Софизм №3 «Отклонение от алгоритма может
привести к приобретению посторонних корней данного уравнения».

3. Неправильное извлечение квадратного корня из
квадрата выражения.

Софизм №4 = = =2-

Ошибка.

При
вычислении квадратного корня 2- < 0

= = =ç2- ç= — 2

4. Нарушения правил действия с величинами.

Софизм №5 «Один метр не равен ста
сантиметрам».

Известно, что любые два равенства можно
перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d,
то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 метр =
100сантиметрам и 10 метров = 1000 сантиметрам. Перемножая эти равенства почленно,
получим 10 метров = 100000 сантиметров и, разделив последнее равенство на 10,
получим, что 1 метр = 10000 сантиметров .

Ошибка.

Она состоит в нарушении правила действий
с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо
совершать также и над их размерностями.

«Один рубль не равен ста копейкам».

Возьмем верное равенство: 2р. = 200к. и
возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к.

Ошибка.

Здесь надо вспомнить, что
возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не
величины.

5. Проведение преобразований над математическими
объектами, не имеющими смысла.

Софизм №6 «Два
неодинаковых натуральных числа равны между собой».

Решим систему двух уравнений:

Сделаем это
подстановкой у из 2-го уравнения в 1-е, получаем х+8-х=6, откуда
8=6.

Ошибка

Уравнение (2)
можно записать как х+2у=8, так, что исходная система запишется в виде: .

В этой системе
уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между
собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного
решения.

Графически это
означает, что прямые у=3- и у=4- параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.

6. Неравносильный переход от одного неравенства к
другому.

Софизм №7 «Если А
больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных
положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В,
получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим
неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А).
(1)

После деления обеих частей
неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому
неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к
примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Ошибка.

Здесь совершен неравносильный
переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А
> В, поэтому В – А < 0.Это означает, что обе части неравенства (1)
делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств
при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак
неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из
неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к
которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное
неравенство А+В<В+2А.

7. Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Софизм
№8 ∟С=90, ВД — биссектриса угла СВА, СК=КА, ОК перпендикулярна СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

∟С=90, ВД — биссектриса ∟ СВА,
СК=КА, ОК ^ СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ ^ АВ, ОL ^
ВС.

Имеем: D
LВО=D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,

D КОА=D ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ, ∟ ОКА и

∟ ОМА — прямые), ∟ ОАК =
∟ МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и
потому ВА = ВС

Ошибка.

Рассуждения о
том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка
пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к
катету АС, находится вне треугольника АВС.

2.4. Логические софизмы

Один из видов
математических софизмов является логический софизм.

Пример № 1: «Полупустое или полуполное».

Полупустое есть то же, что и полуполное.
Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же,
что и полное

Ошибка.

Полупустое не является половиной чего либо
пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

Пример
№2: «Когда
же учиться?»

1. По ночам занятий нет, половина суток свободна.

Остаётся: 365-182=183 дня. 2.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая
половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна.
Остаётся:183-183:4=137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы
приходится 15 дней, таким образом, выходных в учебном году52-15=37 дней.

Итого остаётся 137-37=100 дней.

4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние
(7 дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году 100-100=0 дней. Когда же
учиться?!

2.5. Источники софизмов

Источниками
софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора.
Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным
сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение
логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем
перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных.
Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при
изменении ударения меняют и смысл. Построение фразы иногда очень запутанно,
как, например, «два умножить на два плюс пять». В данном случае непонятно
имеется ли в виду сумма двойки и пятерки, умноженная на два, или же сумма
произведения двоек и пятерки.

Разбор и
решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных,
помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к
таким задачам.

III.
«Софизмы из наших школьных тетрадей»

Цель практической работы: проанализировать наши тетради для
контрольных работ по математике, выявить софизмы и найти ошибки, заключенные
в них.

Известная истина гласит «Умные люди учатся
на чужих ошибках». В математике приходится учиться, в основном, на собственных
ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и
полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок
«на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря
знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и
всевозможные ляпы. Сами ученики не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

С помощью задач,
содержащих противоречие в условии, можно предупредить ошибки учащихся,
связанные с работой над математическими объектами, которые не существуют при
заданных условиях. Если учащиеся решают задачу, работая с несуществующими
объектами, то происходит выход за границы применяемости теоремы, свойства и
т.д. Эти ошибки возникают по той причине, что большинство учебных задач
содержит информацию непротиворечивую и приводящую к единственному решению.

Софизм

Ошибка

№1

— 10 × = 11 – 10 × = = = 0,8

Неправильный
порядок действий:

— 10 × = 11 – 10 × = 11 — 10 = 11 — 10 = 11 – 10 ×0,8 = 11 – 8 = 3

№2

— = — = =

Нарушение
правил приведения дробей к общему знаменателю:

— = ==

№3

Нарушение правил
сокращения дробей:

№4

+ = x²

ОДЗ:
все числа, кроме 2.

— = x²

Умножим обе
части уравнение на x-2

2 — 3x — 2 = x²(x — 2)

Разложили
на множители квадратный трёхчлен

2 — 3x – 2 = 2(x — 2) (x + ) =

= (x — 2) (2x + 1)

(x — 2) (2x + 1) = x² (x — 2)

Разделим
обе части уравнения на

х —
2,получим 2x + 1 = x²

X² -2x -1 =0

Д=4+4=8

X₁= == 1+

X₂=1-

Корни
удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:
1-; 1+.

Ошибка:
при делении уравнения

(x-2)(2x+1)=x² (x-2) , на x-2произошла
потеря корня

Верное
решение:

x² (x-2) – (x-2) (2x+1)=0

(x-2) (x²-2x-1)=0

х —
2=0 или x² — 2x — 1=0

x = 2 или x₁=1 + и x₂=1 —

Уравнение
имеет три корня: 2;

1 +
; 1 — .

Но
2 — не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:
1 + ; 1 — .

№5

= = 6⁶=46656

Верное
решение:====2²=4

Ошибка:
*

Правило:
при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются, а
основание остаётся прежним.

№6

Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как
1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона.

Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При
этом не выполняется неравенство треугольника.

№7В окружность радиуса 8 см
вписан равнобедренный треугольник АВС. Радиус ОА образует с основанием АВ
треугольника АВС угол в 30º. Найдите боковую сторону треугольника.

Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый
радиусом ОА с основанием АВ вписанного равнобедренного треугольника),
заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры: а) окружность
центра О радиуса 8 см и вписанный в эту окружность остроугольный
равнобедренный треугольник АВС; б) та же окружность и вписанный в нее
тупоугольный равнобедренный треугольник АВС1.

Заключение

Исторические
сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки
началась история софизмов. Вначале мы думали, что софизмы бывают исключительно
математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой
области, мы поняли, что софистика — это целая наука, а именно математические
софизмы — это лишь часть большого течения.

Разбор софизмов
развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого
материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к
тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Мы с большим
интересом воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем большее удовлетворение
доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки софиста.

Гипотеза, которую
мы ставили в начале работы «Если в процессе обучения математике целенаправленно и
систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на примере
софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки
учащихся», подтвердилась.

Благодаря знанию
софизмов можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится
грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда ребенок раз
притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не
делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии
проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку. Значит, математические софизмы заставляют внимательно
и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью
формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за
законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только очень сухого
человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить
ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах.
Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и
формулировки теорем при логических умозаключениях.

Нам
было очень интересно работать над данной темой. Мы создали сборник «Софизмы из
наших школьных тетрадей».

Задания,
предложенные нами в работе, можно использовать как на уроках алгебры и
геометрии, так и на внеклассных мероприятиях.

Список
литературы

1. «Софисты»
под редакцией Б.С. Чернышева

2. «Софизмы. Алгебра.
Геометрия. Тригонометрия» под редакцией Т.Н. Михеевой

3. http://gamzatovasm.ru/node/88 — Алгебраические
софизмы

4. http://reshit.ru/sofizm — Геометрические
софизмы

5. http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6 — Арифметические софизмы

6. http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy — Логические софизмы

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Апории_Зенона — Апории Зенона

Приложения

Приложение 1.

Рис. 1 Протагор

Рис.
2 Сократ

Рис. 3 Аристотель

Приложение 2.
Арифметические софизмы

1.
Верно ли равенство 7 = 8?

35 +
14 – 49 = 40 + 16 — 56

7(5 +
2 — 7)=8(5 + 2 — 7)

Следовательно,
7 = 8

Ошибка.

Обе части равенства разделили на (5 + 2 — 7),
но нарушено правило, что на «0» делить нельзя (5 + 2 – 7 = 0)

Некто
утверждал, что 45-45=45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы
последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же
чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2

Будем
последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как
9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь
нетрудно установить,

8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2 = 45.

Итак,
45 – 45 = 45.

Ошибка состоит в том,
что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

3.Меньшее число больше, чем большее».

Очевидно,что7 > 5 и что – 8 = — 8

Тогда:7 – 8 > 5 — 8 или – 1 > — 3

Это не противоречит основному понятию об
отрицательных величина, на основании которого мы считаем меньшей ту
отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (- 4).

Получим (-1)*(-4)>(-3)*(-4) или 4 > 12

Ошибка.

При умножении неравенства на отрицательное
число, знак неравенства изменяется на противоположный.

Приложение 3. Алгебраические софизмы

1.«Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных
числа а и с. Сравним два отношения: и

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить
пропорцию:

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего,
то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем
случае а > — с, следовательно, должно быть –а > с, т.е. отрицательное
число больше положительного.

Ошибка.

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые
члены пропорции отрицательны.

2. « Если
одно число больше другого, то эти числа равны»

Возьмем два
произвольных числа т и п, такие, что m > n , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых
равна d, т.е. а + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на
m, получим:

ma + mb + mc
= md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства:

ma + mb + mc
= md и nd = na
+ nb + nc

получим: ma + mb + mc + nd = na + nc + nb + md.

Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем

ma + mb + mc
– md = na + nb + nc — nd.

Вынося слева число m, а справа число n за скобки,
придем к соотношению m (a + b + c — d) = n (a + b + c — d).

Разделив обе части последнего равенства на

(a + b + c — d), находим, что m = n.

Ошибка.

a + b + c – d =0, на ноль делить нельзя.

4.
«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и
рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х = а + а + а + а +…
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х = а + (а + а + а +….) в
которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых,
равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0.

Ошибка допущена в равенстве (1) , в котором бесконечная сумма чисел
а обозначена конечным числом х.

Решим систему двух
уравнений:

Сделаем это подстановкой у из 2го
уравнения в 1, получаем х + 8 — х = 6, откуда

8 = 6

Ошибка.

Уравнение (2) можно записать как х + 2у = 8,
так что исходная система запишется в виде:

Графически это
означает, что прямые у=3 — и у = 4
— параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.

5. «Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше,
чем “2b”»

Возьмем два
произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b. Умножив это
неравенство на b, получим новое неравенство:

ab > bb, а отняв от обеих
его частей a·a, получим
неравенство:

ab—aa > bb — aa, которое
равносильно следующему: a(b—a) > (b+a)(b—a).(1)

После деления обеих частей неравенства (1)
на b—a получим, что a > b+a (2),

Прибавив к этому неравенству почленно
исходное неравенство a> b, имеем

2a >
2b + a,
откуда a > 2b.

Итак, если a > b, то a > 2b.

Ошибка совершена при
переходе от равенства (1) к (2).

Т.к. a > b, то b — a<0,
следовательно, при делении неравенства (1) на b – a, мы должны
поменять знак неравенства на противоположный.

6.«Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в
справедливости равенства

1 — 3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства
число ⁹/₄, получим новое равенство

1 — 3 + ⁹/₄= 4 — 6
+ ⁹/₄,

в котором, как нетрудно заметить, правая и
левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1 — ³/₂)=(2 — ³/₂)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего
равенства квадратный корень, получаем равенство: 1 — ³/₂
=2 — ³/₂

откуда следует, что 1=2.

Ошибка.

По определению представляет собой некоторое
неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х. Ясно, что
этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х
неотрицательно (х ≥ 0), то= х; если же число х отрицательно (х<0), то есть число –х положительно, то = — x. Отсюда заключаем, что (свойство
арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих
софизмов и приводит к ложным выводам.

7.
«Всякое
число равно своей половине.»

Запишем очевидное для любого числа a
тождество a²— a²= a²— a²,где
а — любое число.

Вынесем a в левой части за скобку,
а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим

a(a – a) = (a + a)(a — a).

Разделив обе части на a — a, получим a = a + a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим а
= а/2

Ошибка.

Мы делим обе части на ноль, а деление на
ноль запрещено

1. , а длина всякой окружности равна ее
диаметру.

Построим
на отрезке МN как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через . Тогда длина окружности будет
равна:

Поделим
MO и NO пополам точками и и построим новые окружности с центрами в
этих точках радиусами .

Найдем
длины новых окружностей:

Сумма
их длин будет равна

т.е.
равна длине большой окружности C.

Таким
же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин.

Так,
сумма длин окружностей и . и будет равна

Продолжая
деление далее, мы будем делить диаметр NM на все меньшие части, а радиусы новых
окружностей будут равны и т.д. При этом сумма длин всех этих
окружностей всегда будет равна .

Так
как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут
настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет
равна длине диаметра, так что она будет равна.

С
другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна , следовательно,

Из
этого равенства получаем или, деля на :

Ошибка: Так как сумма
длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна . Пусть — длина малой
окружности,
— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем или

Отсюда
видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему
диаметру ,
что следовало бы из результата софизма.

2.« Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами
угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с
вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки
которых АВ и CD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные
прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, АЕ :
CE = BE : DE,

Откуда АЕ·DE = BE·CE

Умножив обе части последнего
равенства на отличную от нуля разность (АВ –CD), запишем

AE·DE·AB — AE·DE·CD = AE·DE·CD
— BE·CE·CD,

или

AB(AE·DE — BE·CE) = CD(AE·DE —
BE·CE)

Разделив обе части последнего равенства на (AE·DE — BE·CE), получим
равенство АВ=CD.

Ошибка.

AE·DE — BE·CE=0

3.Все треугольники равнобедренные.

Рассмотрим
произвольный ∆АВС (рис.2).

Проведем
в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их
пересечения обозначим через О.

Из
точки O опустим перпендикуляр OD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону
ВС. Очевидно, что ОА = ОС и OD = ОЕ. Но тогда ∆AOD = ∆СОЕ по катету и
гипотенузе. Поэтому ∟DAO = ∟ЕСО. В то же время ∟ОАС = ∟ОСА,
так как ∆АОС -равнобедренный.

Получаем:
∟ВАС = ∟DAO + ∟ОАС = ∟ЕСО + ∟ОСА = ∟ВСА

Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому ∆АВС — равнобедренный:
АВ=ВС.

Ошибка. При построения чертежа. Серединный перпендикуляр к
стороне и биссектриса противоположного ей угла для не равнобедренного
треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

Приложение 4.

Логические софизмы.

1.
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

2. Одна
песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1
песчинка – тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу
песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной
математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно
неопределённым понятиям, каковым является понятие «куча песка».

3.
Что появилось раньше: яйцо или курица. Для того чтобы появилось яйцо, должна
существовать курица, но ведь курица может вылупиться только из яйца, а значит,
первичным является именно оно.

4.«Может ли
всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»

Если не может – значит, он не всемогущий.
Если может – значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это
камень.

6.В мире нет ни одного человека,
говорящего на моем языке; или короче: ни одного человека, говорящего; или еще
короче: ни одного человека.

Скачано с www.znanio.ru

Муниципальное бюджетное оБщеобразовательное учреждение «Центр образования №22 – Лицей искусств» г.Тула

Математические софизмы

Проект выполнила: ученица 10 В класса Юлина Карина Руководитель проекта: учитель математики Сватковская Е.А.

Содержание:

Паспорт проекта.

Введение. Цели, задачи проекта.

Глава первая. Понятие софизма.
1. История софизмов.Виды софизмов.
2. Классы ошибок в софизмах.
Глава вторая. Виды математических софизмов:
1. логические софизмы.
2. алгебраические софизмы.
3. геометрические софизмы.
Глава третья. Как создать софизм?
1. Принципы, по которым составляются софизмы.
2. Создание своего софизма.

Заключение

Приложение

Введение.

Всем нам хоть раз в жизни встречались высказывания, такие как «Дважды два равно пять», «Два равно трем». Откуда взялись эти утверждения? Кто их придумал? Можно ли их объяснить или это просто выдумка?

В своей работе я хочу разобраться в вопросах, связанных с математическими софизмами. Математические софизмы, по моему мнению, интереснее других своей четкостью и логичностью объяснения. И мы сталкиваемся с ними намного чаще, чем с другими софизмами.

Софизмы заставляют нас думать в различных направлениях и рассматривать проблемы с разных сторон, анализируя небольшие детали. И еще, софизм – это обман, который не каждый сможет распознать, а, следовательно, люди обманывают друг друга с помощью софизмов. Так происходит и в наше время, и происходило тысячелетия назад.

Цель моего проекта — изучение математических софизмов

Задачи:

1.Найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов.

2. Изучить историю софизмов.

3.Рассмотреть виды софизмов, выявить ошибки в математических софизмах.

4. Разделить на классы математические софизмы.

5. Разобрать логику составления и решения математических софизмов.

6. Создать собственный софизм.

7. Привлечь интерес учащихся к урокам математики.

Объект проекта: софизмы.

Предмет проекта: математические софизмы.

В этой работе былииспользованы некоторые примеры алгебраических, геометрических, логических софизмов из книг «Что не так?» Львовского С.М., «Математические софизмы» Обреимова В.И., «Математические софизмы» А.Г. Мадеры, Д.А. Мадеры^¹. Так же из “Математической шкатулки” Ф.Ф. Нагибина, Е.С. Канина^² взяли историю развития математических софизмов.

Методы исследования: определение понятий, анализ и синтез.

Практическая значимость: Видеть и замечать неявные ошибки, акцентировать внимание на мелких деталях.Данный материал можно применять на факультативных занятиях, математическом кружке, чтобы привить интерес учащихся к математике.

Глава первая. Понятие софизма.

История возникновения софизмов.

Сам софизм был введен древнегреческим софистами в V в. до н.э. как пример обучения.Софисты были личными наёмными учителями и опирались на решение задач.

Аристотель не считал софизмы научным поиском истины, а «натаскиванием» и составил в книге «О софистических опровержениях» первую классификацию софизмов, выделив 13 видов софизмов, возникающих из-за двусмысленностей двоякого рода, 6, связанных с оборотами речи, и 7 паралогизмов или неправильно построенных рассуждений.

Аристотель софизмом называл «мнимые доказательства», убедительность многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой:

семантической: возникает за счёт нарушения однозначности мысли и приводит к смешению значений терминов;
логической: подмена основной мысли доказательства, принятие лжи за истину, несоблюдение допустимых способов рассуждения, использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

В истории математические софизмы играли существенную роль: уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Особенно поучительна в этом отношении аксиомао параллельных прямых Евклида. Звучит она так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. На протяжении двух тысяч лет многие выдающиеся математики пытались это доказать, пытались это вывести из аксиом геометрии. Но попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства» оказались ошибочными. И все же они принесли огромную пользу в развитии геометрии: выяснились связи между разными теориями геометрии; тем самым была подготовлена почва для создания Неевклидовой геометрии.^³

Виды софизмов

Существует довольно большое количество видов софизмов. Вот некоторые из них:

логические;
терминологические;
психологические;
интеллектуальные;
аффективные;
волевые;
математические;
исторические.

Классы ошибок в софизмах.

В софизмах ученые выделяют 3 класса ошибок:

1. Логические ошибки.

Так как вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и любой софизм может сводиться к нарушению правил силлогизма. Наиболее часто к логическим софизмам приводят нарушения следующих правил:

вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

2. Терминологические ошибки.

Больше всего распространены ошибки употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Существует несколько классов терминологических ошибок:

ошибка омонимии;
ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного;
ошибка разделения (обратная), когда собирательному термину дается значение разделительного;
ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл;
ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы.

Более сложные софизмы происходят из неправильного построенного ряда доказательств, где ошибки являются тенью всего выражения.

3. Психологические ошибки.

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

4. Интеллектуальные причины.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignavaratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

5. Аффективные причины.

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

6. Волевые причины.

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Таким образом, софизмы — довольно древнее понятие. Существует множество видов софизмов. Но всех их объединяют схожие «ошибки». Попытки разгадать математические софизмы приводят к более полному понятию математики.

Глава вторая. Виды математических софизмов.

1) Логические софизмы.

Начнем с небольшого английского софизма в качестве разминки:

The more you study – the more you know,

The more you know – the more you forget,

The more you forget – the less you know,

The less you know – the less you forget,

The less you forget – the more you know.

Why study?^⁴

(Чем больше мы учим, тем больше знаем.

Чем больше мы знаем, тем больше забываем.

Чем больше мы забываем, тем меньше знаем.

Чем меньше мы знаем, тем меньше забываем.

Чем меньше забываем, тем больше знаем.

Зачем учиться?)

Следующий софизм довольно прост. Для начала познакомимся с одним занимательным парадоксом:

В один раз хозяину гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, которые не были свободны, нужно было принять нового гостя. Хозяин нашел очень простой выход: он каждого из постояльцев переселил в комнату, номер которой был на единицу больше, чем номер прежней комнаты. В итоге, каждый обитатель n-й комнаты переехал в (n+1)-ю и освободил первую комнату для нового гостя. Как поступить хозяину, если к немуприедут бесконечно много гостей? Все также, хозяину просто требуется переместить всех прежних жильцов в (n*2) и разместить новых гостей в освободившиеся нечетные номера.Возможно ли, разместить новых гостей хозяину, при этом, не имея счетное количество комнат?

Во взятом нами софизмом рассказывается о хитром хозяине гостиницы, разместившем в девяти номерах десять гостей так, что каждому досталась одна комната:

Их было десять чудаков,

Тех спутников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

«Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки».

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.

«Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе».

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица.

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пойти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

В чем же тут ошибка? А все очень просто, мы просто забыли про десятого, точнее хозяин вернулся к первым двум, и отдал ключ одному из них, но поселил он девятерых и отдал, допустим, второму ключ от комнаты «И», но десятый тут никак не фигурирует.

4 рубля = 40000копейкам

Возьмем верное равенств:

2 рубля = 200 копейкам и возведем его по частям в квадрат.

Мы получим: 4 рубля = 40000 копейкам.^⁵

В чем же ошибка? Вот в чем: возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.

Существует множество логических софизмов и можно найти даже такие у которых объяснение будет неоднозначным, вот пример такого:

«Учебная тревога»

Однажды командир Н-ской роты объявил солдатам следующее:

— В один из рабочих дней на следующей неделе в 5 часов утра у нас будет учебная тревога. Чтобы приблизить обстановку к боевой, эта тревога будет для вас неожиданной: пока ее не объявят, вы не будете знать, что она состоится именно в этот день.

Вечером того же дня рядовой Петров объяснял своим товарищам:

— Я все понял: никакой тревоги не будет, нам только голову морочат! Вот смотрите. В пятницу эту тревогу объявить не могут: ведь тогда уже в четверг вечером мы будем знать, что тревога будет именно в пятницу – другого-то дня не остается! А нам ведь объявили, что нам до последнего момента будет неизвестно, в какой день будет тревога, так что пятница исключается. Но могут ли объявить тревогу в четверг? Тоже нет! Ведь если в первые три дня тревоги не будет, то мы уже в среду вечером будем знать, что тревога будет в четверг или пятницу, а так как в пятницу ее объявить не могут, остается только четверг, и мы опять узнаем дату тревоги заранее, неожиданности не будет. Значит, остаются только понедельник, вторник и среда, но тут мы рассуждаем точно так же: в среду объявить тревогу невозможно, ну и так далее. Так что обойдемся без тревоги.

Рассуждение рядового Петрова всех убедило. Однако же в среду в пять утра по казарме разнеслось: «Рота, подъем! Тревога!». Как вы понимаете, для всех, включая рядового Петрова, это оказалось полной неожиданностью, так что все случилось в соответствии с тем, что объявил командир роты.

Но где же тогда ошибка в рассуждениях рядового Петрова?^⁶

И правда, в чем же ошибся рядовой?

Есть два варианта «решения» этого вопроса.

Первое объяснение, заключается в том, что Петров ошибся в самом начале своих рассуждений. Ведь вполне возможно в пятницу провести тревогу. Во-первых, потому что есть те, кто так же, как и Петров, посчитают пятницу неудачным днем для проведения «неожиданной» тревоги. Люди, опирающиеся на этот вывод, предполагают, прохождение учения раньше пятницы. Во-вторых, есть среди нас те, которые не задумываются о следующем дне, так для них тревога будет тоже неожиданной.

Петров считает, что предсказуемое событие никак не может быть неожиданным. Но саму тревогу объявляет человек, а действия его точно предсказать невозможно. Можно предугадать действия компьютерной программы, зная ее исходный код и исходные данные. У человека же есть воля.

Есть и другое объяснение не с логической точки зрения, а с житейской. Одинаковые слова, иногда, имеют разные значения в зависимости от ситуации. В нашем случае слово «неожиданный» различно в значениях. Для Петрова, как было ранее сказано, важным было значение «предугадать». А вот командир не имел в виду, что солдаты не смогут предсказать дату и время тревоги. Смысл его речи был намного проще: лишь предупредить их о планирующейся тревоге, чтобы они готовились.

2) Алгебраические софизмы

4=5

Ошибка: 

(натуральные числа)

Ошибка: По условию , значит . При делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства надо поменять, чего не было сделано.

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части:

Числа в скобках равны, поэтому:

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества .

Отрицательноечисло больше положительного.

Возьмем два положительных числа a и b. Сравним два отношения: они равны, так как каждое из них равно .Можно составить пропорцию: . Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае ; следовательно, должно быть , т.е. отрицательное число больше положительного.

Ошибка заключается в том, что свойство (если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего) может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Любое число равно числу, в два раза большему его.

Пусть – какое угодно число. Возьмем тождество . В левой части его вынесем за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: . Упростив это тождество, получим: .

В уравнении нельзя делить на , т.к. это выражение будет равно нулю.

Увеличим обе части на :

В чем же ошибка? Прибавляя к равным величинам равные, получаются равные суммы, но в этом случае величины не равны, посчитаем: .Значит, в этом случае, если мы прибавим равные величины, то получим разные суммы.

Следующий пример необычен тем, что он до сих пор не решен.

«Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона:

Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он уже её не застанет, так как она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пробежит и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперёд. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка?

Софизм Зенона далек от своего конечного решения. Вот аспекты приведенные в книге Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы»:

«Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где a – расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/сек и w=10 шагов/сек) равно 11,111111… сек.

Другими словами, примерно через 11,1 сек. Ахиллес догонит черепаху.

Подойдём теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики. Проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдёт черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдёт m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс ещё один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями «непрерывного» и «бесконечного» до сих пор не определены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики».

Софизм Зенона справедлив в теории, но на практике не применим, довольно тяжело представить себе Ахиллеса, бегущего микроскопическое расстояние.^⁷

3) Геометрические софизмы.

«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами , гипотенузой

и острым углом , противолежащим катету .

Имеем: , откуда .

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

но
, и поэтому .

Здесь ошибка заключается в том, что формула выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждениях получается замкнутый круг.

ерез точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой.

Дана пряма MN и вне ее точка A. Проведем через точку A прямую AB, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку C. На отрезке AC, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку C. Через точки A и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, а CD перпендикулярна MN, то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через A проходят две прямые, параллельные прямой MN.

Ошибка: D принадлежит AB.

«Загадочный треугольник»

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

рис.1

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рис. 2). Но мы же понимаем, что такого быть не может.

Площади закрашенных фигур, конечно, равны между собой (обе по 32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13*5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади. То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура названа треугольником (на самом деле являющаяся вогнутым четырёхугольником). Это отчётливо заметно на рис. 2 – гипотенузы верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу(23 и 58), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13*5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем – наружу).Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13*5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рис. 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.

64=65

Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано на рисунке выше. Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит, 64=65.

Ошибка: (1) и (4) части прямоугольника (отличного от квадрата) неплотно примыкают ко (2) и (3) частям его. Между ними образуется «щель» в виде вытянутого параллелограмма. Площадь этой щели как раз равна 1 квадратной единице.

Математические софизмы, какого бы вида они не были, всегда имеют логическое объяснение, и становятся сразу понятными, как только проанализировать их полностью. Даже имея некие «исключения» в виде неоднозначных и нерешенных софизмов, они все равно подтверждаются математическим путем.

Глава третья. Как создать софизм?

Принципы, по которым составляются софизмы.

Для начала берется какое-то равенство, неравенство, тождество,теорема или подчиняющееся логике выражение, и мы начинаем его менять — менять его стержень, подводя к использованию неправильных суждений. В математических софизмах это можно проворачивать согласно всем аксиомам, приведенным ниже.

Рассматривая каждый шаг преобразования, сможем найти «место» для ошибки. Хочу заметить, что большинство ошибок расположено в «спорных» случаях, в тех местах, где нужно помнить небольшие детали той или иной ситуации.

ОбреимовВ.И. в своей книге «Математические софизмы» обращается к следующим аксиомам:

Всякая величина равна самой себе;
Равные величины можно заменить равными;
Две величины, порознь равные третьей, равны между собой;
Если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные суммы;
Если к равным величинам прибавить неравные, то получим неравные суммы, причем та сумма будет больше, которая получится от прибавления большей величины;
Если от равных величин отнимем равные, то получим равные разности;
Величина не измениться, если ее одновременно увеличить и уменьшить на одно и то же число:
Если равные величины умножить на равные же, то получим равные произведения;
Если равные величины помножить на неравные, то получим неравные произведения, причем то из произведений будет больше, которое поучится от умножения на большую величину;
Если равные величины разделим на равные, то получим равные частные;
Из двух отрицательных величин больше та, которой численное значение меньше;
Целое больше своей части;
Целое равно сумме всех своих частей;
Степени двух равных величин равны между собой;
Корни из двух равных величин равны между собой.^⁸

Так же в его книге представлены общие «формулы», составления софизмов.

Логические софизмы — это какие-то истории, где рассуждения крутятся вокруг «стержня», который и является причиной рассуждений.

Создание своего софизма

Для начала стоит выбрать вид софизма. Я попробую взяться за алгебраические и логические софизмы.

Давайте начнем с алгебраических софизмов.

Возьмем один из софизмов, представленных ранее в части 2. Допустим, это будет софизм «Любое число равно числу, в два раза большему его». Первое, что мы можем сделать — это преобразовать конечный результат , нарушая правила, ведь делить на неизвестное нельзя, но эта ошибка работает только в буквенном виде. Получим: , и мы создали новый софизм. Правда, это не совсем новый софизм. Давайте подставим в софизм число 3:

Мы получили новый софизм, ошибка которого заключается в том, что мы делим на (3-3), а эта скобка равна нулю = мы делим на ноль — чего делать, конечно же, нельзя.

Попробуем поиграть еще с одним софизмом.

Возьмем так же из части 2 софизм «2=3», но воспользуемся буквенным видом, представленном в книге «Математические софизмы» Обреимова В.И.^⁹

Теперь давайте в эту «формулу» подставим совершенно другие числа (не 2 и 3), пусть будет 5 и 7:

И вот наш «новый» софизм, основанный на уже имеющемся софизме.

Сейчас вам представиться софизм, который был самостоятельно составлен не из каких-то уже извесных «формул»:

Разложим две части так, чтобы равенство было верным. И вычтем :

В левой стороне мы минус три возводим в квадрат, а в правой расскладываем по формуле разности квадратов:

Ошибка в этом софизме довольно простая, но обычно многие ее допускают. Суть в том, что когда мы возводим в квадрат, минус в данном случае не принадлежит тройке, а играет роль именно знака.

Для логических софизмов нам нужно придумать логично-нелогичную сказку.

Вот первый вариант моей «сказки»:

На день рождения Оле подарили торт, разрезанный на двенадцать частей. К ней пришло пятеро друзей, она дала каждому по кусочку, следом пришли тетя, дядя, бабушка и дедушка, и ушло три человека. К тому времени подоспели еще пятеро гостей. И каждому досталось по кусочку. Но как такое может быть? Ведь кусочков было 12, а ели торт 15 человек.

В этом примере ошибка в том, что мы вернули три уже съеденых кусочка, такого, конечно же, не может быть.

И вот второй вариант, с теми же числами:

В концертном зале осталось двенадцать мест. Пришло шесть человек, они заняли свободные места, к первому звонку пришло еще четыре человека и вышло три. К началу концерта подоспели еще пять человек, сели на свободные места и три человека вернулись, заняв свои места. Вот так вот на твенадцати местах уместилось пятнадцать человек.

В этом случае можно рассуждать двояко либо кому-то правда не досталось места, либо же никто не говорил, какие именно пять человек пришли, но говориться, что три человека вернулись, то есть они могут быть в той пятерке, которая пришла.

Таким образом, для создания нового софизма нужно рассмотреть и понять уже известные нам. Но добиться чего-то совершенно нового очень и очень сложно.

Заключение.

Софизмы не новое понятие, пришедшее к нам от древнегреческих софистов. Ученные выделили ряд ошибок, на которых построенны софизмы.

Решение математических софизмов расширяет познание самой математики, ведь людой вид математических софизмов можно «решить» и зная ошибку ее не допустить в будущем.

Хотелось бы сказать пару слов о «создании» своего софизма.Во время работы над придумыванем софизма, мне было тяжело составить, что-то новое.

Занимаясь проектом, при решении задач на уроках я стала замечать места или случаи, где возможно было бы отклонится от правил. Не думаю, что те примеры можно считать за софизмы, ведь это просто ученические ошибки, но сама работа заставила меня видеть эти места.

Как выяснилось, малое количество людей знают, что такое софизм. Но старшие классы после объяснения лучше поняли принципы и смогли сами увидеть и указат ошибки (см. прил.).

Я считаю, что все мои цели и задачи, поставленные в начале работы, были достигнуты.

Приложение

Мне также было интересно, знают ли ученики разных возрастных категорий, что такое софизмы, и смогут ли они найти ошибки в математических, заведомо ложных, умозаключениях.

В рамках данного исследования ученикам 8 «Б» и 10 «В» классов (42 ученика) были предоставлены идентичные вопросники, включающие 3 вопроса:

1. Знакомо ли Вам понятие «софизм»? (Да/Нет)

2. Возьмём числовое равенство:

35+10-45=42+12-54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки).

Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

3. Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Проанализировав ответы на вопросы, я получила следующие результаты:

1 вопрос: Знакомо ли Вам понятие «софизм»? (Да/Нет)

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма.

2 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную математическую ошибку:7+2-9=0. На ноль делить нельзя.

С данной задачей справились 18% учеников 8 класса и 70%- 10 класса. При этом 50% восьмиклассников все же нашли наличие ошибки в решении, но не указали ее точно.

3 вопрос: Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответом данной задачи было:

Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.Верно на этот вопрос ответили 22% 8-классников и 67% 10-классников, при этом наличие ошибки отметили 100% учеников обоих классов, то есть явление софизма определили все!

Список литературы:

Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры фокусы, парадоксы – М., «Омега», 1994;
Нагибин Ф.Ф.,Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд.–М.: Издательство «Просвещение», 1988;
Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019;
Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. /А.Г.Мадера,Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003;
Обреимов В.Н.Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989.

1Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019; Обреимов В.Н. «Математические софизмы» — С.-Птербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989; Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

2Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

3Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003.

4proza.ru

5Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

6Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019

7Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

8Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989

9Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989

Учительская газета, №45 от 6 ноября 2000. Читать номер

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям “очевидности”. Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в дальнейшем в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий математику разбирает софизм, он знает, что может попасть в западню, а поэтому старается обезвредить ее. Чтобы не попасть в ловушку, приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью. Вопрос стоит так: кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит, математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет разбор его.
Если софизм “не поддается”, то надо обязательно обратиться за разъяснениями к учителю. Очень важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны и, может быть, даже вредны.
1. 4 руб. = 40000 коп. Возьмем верное равенство 2 руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат. Получится 4 руб. = 40000 коп. В чем ошибка?
2. 5 = 6. Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. 5(7 + 2 – 9) = 6(7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель. Получим 5 = 6. В чем ошибка?
3. 2 . 2 = 5. Найди ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4(1 : 1) = 5(1 : 1). Числа в скобках равны. Поэтому 4 = 5, или 2 . 2 = 5.
4. 2 = 3. Найди ошибку в следующем “доказательстве”. Разности 4 – 10 и 9 – 15 равны. К каждой из них прибавим одно и то же число 25/4, тогда получим равные числа, значит, 4 – 10 + 25/4 = 9 – 15 + 25/4. Это тождество можно переписать в таком виде: (2 – 5/2)2 = (3 – 5/2)2. Отсюда: 2 – 5/2 = 3 – 5/2, или 2 = 3.
5. 5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?
6. 4 = 8. Возьмем систему уравнений:
2х + у = 8; х = 2 – у/2.
Решим эту систему способом подстановки. Получим: 4 – у + у = 8, т.е. 4 = 8. В чем здесь дело?
7. Все числа равны между собой. Попытаемся доказать, что все числа равны между собой. Пусть mn. Возьмем тождество: m2 – 2mn + n2 = n2 – 2nm + m2. Имеем (m – n)2 = (n – m)2. Отсюда m – n = n – m, или 2n = 2m, а значит, n = m. В чем ошибка?
8. Любое отличное от нуля число равно противоположному ему числу. Какая ошибка допущена в следующих рассуждениях? Возьмем произвольное, отличное от 0 число а. Обозначим его буквой х, х = а. Обе части этого равенства умножим на -4а. Получим -4ах = -4а2, или -4ах + 4а2 = 0. К обеим частям этого равенства прибавим х2. Получим х2 – 4ах + 4а2 = х2, или (х – 2а)2 = х2. Значит, х – 2а = х, но х = а, поэтому а – 2а = а, или
-а = а.
9. Любое число равно половине его. Возьмем два равных числа а и b, а = b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из них по b2. Получим а2 – b2 = аb – b2, или (а + b) (а – b) = b(а – b). Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = а/2. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?
10. Отрицательное число больше положительного. Возьмем два положительных числа а и b. Сравним два отношения: а/-b и -а/b. Они равны, так как каждое из них равно -а/b. Можем составить пропорцию: а/-b = -а/b. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то и предыдущий член второго отношения больше своего последующего. В нашем случае а > -b, следовательно, должно быть -а > b, т.е. отрицательное число больше положительного. В чем ошибка?
11. Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть а – какое угодно число. Возьмем тождество: а2 – а2 = а2 – а2. В левой части его вынесем а за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (а – а)а = (а – а) (а + а). Упростив это тождество, получим а = 2а. В чем здесь ошибка?
12. Любое число равно нулю. Найди ошибку в таком рассуждении. Каково бы ни было число а, справедливы равенства: (+а)2 = а2 и (-а)2 = а2. Следовательно, (+а)2 = (-а)2, а значит, +а = -а, или а + а = 0, но тогда 2а = 0 и поэтому а = 0.
Из книги Ф. Нагибина “Математическая шкатулка”.

Источник