Как найти оси симметрии ромба

Какова симметрия ромба? Сколько осей симметрии имеет ромб? Что является центром симметрии ромба?

Утверждение

simmetriya-rombaРомб имеет две оси симметрии.

Осями симметрии ромба являются прямые, содержащие диагонали ромба.

Доказательство:

osi-simmetrii-rombaОтметим на стороне AB произвольную точку X.

Проведём через точку X прямую, перпендикулярную прямой BD.

Точки пересечения этой прямой с прямыми BD и BC обозначим как K и X1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники XBK и X1BK.

1) BK — общий катет,

2) ∠XBK=∠X1BK (по свойству ромба).

Следовательно, треугольники XBK и X1BK равны (по катету и острому углу).

Значит, XK=X1K, то есть точка X1 симметрична точке X относительно прямой BD.

Точки B и D симметричны относительно прямой BD сами себе.

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке ромба относительно прямой BD, также принадлежит ромбу. Следовательно, прямая BD является осью симметрии ромба.

Аналогично доказывается, что прямая AC является осью симметрии ромба ABCD.

Что и требовалось доказать.

Утверждение

Ромб — центрально-симметричная фигура.

Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения его диагоналей, то это верно и для ромба, частного случая параллелограмма.

Источник

Итак, изначально нам дан ромб. Начнем с того, ромб -это отдельный вид параллелограмма.

Теми же свойствами, что и параллелограмм, обладает также ромб. Но имеются и некоторые особенности.

Если у параллелограмма равны лишь противолежащие стороны, то у ромба все стороны равны. Также у этой фигуры равны все углы. У ромба также пересекаются диагонали . И точки пересечения делятся пополам. Но диагонали ромба пересекаются под прямым углом. И, поскольку они перпендикулярны, у них образуются углы в 90 градусов.А езе диагонали ромба являются биссектрисами, т.е., они делят углы пополам.

Ромб имеет одну ось симметрии, которая проходит через одну его диагональ. А также вторую ось симметрии, которая проходит через другую его диагональ. Итак, прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии. У ромба две оси симметрии.

Источник

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаютс

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

  • Ось симметрии угла — биссектриса.
  • Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
  • Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
  • У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
  • У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
  • Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пр

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

Следует также знать то, что некоторые тела имеют м

Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

Видео

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром. 

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики. 

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Теги

Источник

Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия,  произошли от греческих слов.

 Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»

castle-1395789_640.jpg 

Рис. (1). Симметрия в архитектуре.

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

yellow-4161623_640.jpg

Рис. (2). Симметрия в природе.

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки

M

и

M1

симметричны относительно некоторой точки  (O), если точка (O) является серединой отрезка

MM1

.

Simetrija_c_punkti.png

Рис. (3). Центральная симметрия.

Точка (O) называется центром симметрии.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Simetrija_c.png

Рис. (4). Треугольники симметричны относительно точки (O).

Построим треугольник

A1B1C1

, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O).

1. Для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки.
2. Измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки

AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1

;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник

A1B1C1

, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки

M

и

M1

симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Simetrija_ass_punkti.png

Рис. (5). Осевая симметрия.
 

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.


Simetrija_ass.png

Рис. (6). Треугольники симметричны относительно прямой.

Построим треугольник

A1B1C1

, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой.

1. Для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник

A1B1C1

, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

  • для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
  • Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
  • Для равностороннего треугольника — три оси.
  • Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
  • Для квадрата — целых четыре.
  • Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
  • Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Источники:

Рис. 1 Симметрия в архитектуре. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, Архитектура/Здания, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFC5B.

Рис. 2. Симметрия в природе. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFECn.

Рис. 3. Центральная симметрия, © ЯКласс.

Рис. 4. Треугольники симметричны относительно точки O, © ЯКласс.

Рис. 5. Осевая симметрия, © ЯКласс.

Рис. 6. Треугольники симметричны относительно прямой, © ЯКласс.

Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая —   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 2:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ — пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ — параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторанами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая —   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершине   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 3:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ — пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ — параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата    равны между собой и делятся пополам.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершины   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

  • Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны    60    градусов.
  • Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
  • В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12:    В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны…      Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?)    Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?)   Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Способ связи управление как найти
  • Как найти парня в ростове на дону
  • Как найти больше сидов торрента
  • Как найти объем спроса формула задача
  • Механика как найти массу