Как найти основание равнобедренного треугольника формула пифагора

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание. Вариант 1 Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание. Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника. Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2. Вот формула: b = 2√(a² — h²) Вариант 2 Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов. Нужно воспользоваться теоремой синусов: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ. c = (a*sinγ)/sinα. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов. система выбрала этот ответ лучшим Алиса в Стран­е [364K] 5 лет назад  К сожалению у нас нет условия задачи, из которой было бы ясно — на основании каких данных мы должны искать основание нашего равнобедренного треугольника (две стороны боковые которого равны между собой, а основание — это нижняя сторона, которая как раз двум другим не равна). Поэтому рассмотрим несколько вариантов. 1.) Допустим, мы знаем, чему равна боковая сторона и угол треугольника (любой из трех). Тогда мы сначала легко вычисляем два других угла треугольника, помня, что их сумма всегда равна 180 градусам, а затем применяем теорему синусов: следовательно с (основание) будет равно: 2.) Допустим, мы знаем чему равна боковая сторона и высота нашего треугольника. Тогда мы сначала находим половину его основания (она является катетом треугольника, полученного делением исходного равнобедренного треугольника его высотой на два прямоугольных треугольника), применив теорему Пифагора. где с — основание треугольника, которое мы ищем, h — его высота. Марин­а Волог­да [295K] 5 лет назад  Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию. Что такое равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две из трех сторон равны. Теперь вспомним что такое основание треугольника — это как раз третья сторона, которая не равна остальным двум. Так как у нас нет никаких данных задачи, значит следует указать только формулы, по которым можно найти основание. Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле: b = 2√(a² — h²) где h — это высота опущенная на основание; а -сторона треугольника. Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача: А вот решение для задачи: JuliG­or [3.2K] 9 лет назад  Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле: где b — длина основания треугольника; a — длина стороны треугольника; B — это угол, который противоположен основанию. Alen4­uk [161K] 5 лет назад  Для начала вспомним, какой треугольник называется равнобедренным и из этих его свойств будем уже находить величину основания. Как видим из рисунка, равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны и они называются боковыми. Третья же сторона является основанием этого треугольника. Равные стороны называются боковыми. Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание? Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой. Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой. Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника нужно разделить на 2 произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию. К сожалению, нам не даны условия задачи, поэтому можно использовать несколько формул. Все будет зависеть от данных задачи. Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы: Так же нам может помочь в решении теорема синусов. Бекки Шарп [71.2K] 5 лет назад  При решении задач с равнобедренным треугольником нужно использовать свойства как равнобедренного треугольника, так и прямоугольного, поскольку высота равнобедренного треугольника делит его на 2 одинаковых прямоугольных. Основание равнобедренного треугольника ищется, когда есть какие-то исходные данные. Например известны сторона и угол. Тогда поступаем следующим образом: Находим третий угол ( 180 градусов минус сумму двух углов) и используем теорему косинусов: где АС -основание, АВ и ВС — стороны. Рассмотри задачу, когда известны стороны равнобедренного треугольника. Тогда основание ищется, используя теорему Пифагора. Вот здесь нам и понадобится разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных. В итоге основание АС будет равно — 2 квадратных корня из разности квадратов стороны АВ и высоты ВН. 12777­1 [273K] 5 лет назад  Для начала нужно понять, что такое равнобедренный треугольник, таким треугольником называют треугольник у которого две стороны равны. Ниже рисунок такого треугольника: К сожалению нет данных в вопросе. Например, если задана площадь и высота ВH. Тогда основание (на рисунке выше сторона АС) будет равна площадь разделить на высоту BH и умножить на 0,5. Если же нам известна одна сторона и высота треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Ниже представлена формула, по которой можно вычислить основание: b = 2√(a² — h²). Возможно и другие варианты, например, если известна сторона и угол, тогда можно воспользоваться теоремой косинусов или синусов. Nelli­4ka [114K] 5 лет назад  Можно найти для начала значение половины основания, а затем умножить это значение на два. Смысл в том, что мы опускаем на основание из противоположного угла высоту (она в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и медианой), получается два прямоугольных треугольника. Вспоминаем теорему Пифагора, вычисляем разницу между гипотенузой и высотой, извлекаем корень. Конечно, в этом случае по условиям задачи нам должно быть известно значение высоты. Если же известно значение боковой стороны и противоположного основанию угла, то легче всего пойти через формулу синусов: Также можно воспользоваться формулой косинусов: Барха­тные лапки [382K] 5 лет назад  Равнобедренный треугольник — это треугольник у которого две стороны одинаковые, они боковыми, а третья сторона — это основание. Чему равняется основание возможно узнать, если у нас есть данные чему равна одна боковая сторона (а вторая боковая будет равняться также) и высота. В этом случае воспользуемся такой формулой: b = 2(a — h). Как уже видно, для этого нам нужно знать значение боковой стороны и высоты (которая в равнобедренном треугольнике будет такая же как медиана и биссектриса). Но также можно решить эту задачку и другим способом, для этого должны знать чему равняется боковая сторона и один из углов. kkkar­atist­tt [7.7K] 5 лет назад  В задачах такого типа всегда даётся вариант, где у вас известен один угол, если вы знаете одну сторону угла равнобедренного треугольника. То вы умножаете значения на два угла и высоту равнобедренного треугольника. Таким образом вы получите чему равно основание этого треугольника. Бисектриса тоже может вам помоч. Знаете ответ?

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника.

Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

,

что соответствует —

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c 2 − b 2
• b = √c 2 − a 2
• c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

• если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
• если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
• если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Теорема Пифагора – формула с доказательством , когда применять

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы .

В буквах это так: или так:

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.

Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов , построенных на катетах, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами. А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус…» . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

А почему же всё только про угол ? Где же угол ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 – 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол ? Есть ли катет, который находится напротив угла , то есть противолежащий (для угла ) катет? Конечно, есть! Это катет !

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу ? Конечно же, катет . Значит, для угла катет – прилежащий, и

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Видишь, как здорово:

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот .

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла . А катет ? Прилегает к углу . Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему .

Вспомним теперь про угол . Что будет для него? Правильно:

И теперь снова углы и совершили обмен:

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

Если a 2 + b 2 = c 2 , то треугольник ABC – прямоугольный.

Возьмём треугольник ABC со сторонами a, b и c, у которого c 2 = a 2 + b 2 . Докажем, что ∠A = 90°:

По теореме Пифагора:

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам, поэтому ∠A = ∠A₁ = 90°, то есть треугольник ABC является прямоугольным. Теорема доказана.

Нахождение сторон прямоугольного треугольника

• Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.

• Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
• Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).

• В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².

• В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.

• В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.

• В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.

• Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
  • «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • с = √425
    • с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.

Типы прямоугольных треугольников

• Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

построенных на катетах.

Вычисление расстояния между двумя точками на координатной плоскости

• Чтобы найти расстояние между двумя точками, вы будете рассматривать точки в качестве вершин треугольника, не прилежащих к прямому углу прямоугольного треугольника. Таким образом, вы сможете легко найти катеты треугольника, а затем вычислить гипотенузу, которая равна расстоянию между двумя точками.

• Пример: даны точки: А(6,1) и В(3,5). Длина горизонтального катета:
  • |x₁ – x₂|
  • |3 – 6|
  • | -3 | = 3
• Длины вертикального катета:
  • |y₁ – y₂|
  • |1 – 5|
  • | -4 | = 4
• Таким образом, в прямоугольном треугольнике а = 3 и b = 4.

• В нашем примере а = 3 и b = 4. Гипотенуза вычисляется следующим образом:
  • (3)²+(4)²= c² c= √(9+16) c= √(25) c= 5. Расстояние между точками А(6,1) и В(3,5) равно 5.

Теорема Пифагора, Формула

Если угол прямой то справедлива формула

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (это Теорема Пифагора). Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов и часто применяется в разнообразных практических и теоретических вопросах.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

,

что соответствует –

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

площади внутреннего квадрата .

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

Примеры задач

Задание 1
В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, другой – 4 см. Найдите длину его гипотенузы.

Решение:
Воспользуемся формулой теоремы: c 2 = 3 2 + 4 2 = 25 см 2 . Следовательно, гипотенуза (с) = 5 см.

Задание 2
Один из катетов прямоугольного треугольника равняется 6 см, а гипотенуза – 10 см. Найдите длину второго катета.

Решение:
Допустим, 6 см – это длина катета a, и нужно найти b.
Как следует из формулы теоремы, квадрат катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета.
Т.е. b 2 = c 2 – a 2 = 10 2 – 6 2 = 64 см 2 . Следовательно, b = 8 см.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.

• По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.

• По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.

• По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник – равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.

• По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Заключение

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Теорема Пифагора

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ с длинами катетов, равными $BC=a$ и $AC=b$ и длиной гипотенузы, равной $AB=c$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Введем без доказательств теоремы о площади квадрата и треугольника.

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны, то есть

[S=a^2]

Теорема 2

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

[S=frac{1}{2}ah]

Теорема Пифагора

Теперь введем и докажем теорему, которая носит название теоремы Пифагора.

Теорема 3

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равняется квадрату гипотенузы этого треугольника.

Математически это можно записать следующим образом:

[a^2+b^2=c^2]

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Достроим его до квадрата со стороной, равной $a+b$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Этот квадрат состоит из четырех равных исходному прямоугольных треугольника и квадрата, со стороной $c$.

Площадь $S$ этого квадрата, по теореме 1, равняется

[S={(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2]

а площадь $S»$ «малого» квадрата равняется

[S»=c^2]

По теореме 2, площадь прямоугольного треугольника $S’$ равняется

[S’=frac{1}{2}ab]

По основному свойству площади многоугольника получим

[S=S^{»}+4S’] [a^2+2ab+b^2=c^2+2ab] [a^2+b^2=c^2]

Теорема доказана.

«Теорема Пифагора» 👇

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема 4

Если в произвольном треугольнике со сторонами $a, b, c$ (где $c$ — большая сторона) выполняется равенство

[a^2+b^2=c^2]

то этот треугольник будет прямоугольным.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с обозначениями, как на рисунке 1. Построим прямоугольный треугольник $A’B’C’$ с прямым углом $C$ так, что $A’C’=AC, B’C’=BC$. Применяя теорему Пифагора, получим

[{(A’B’)}^2={(A’C’)}^2+{(B’C’)}^2] [{(A’B’)}^2=a^2+b^2]

Следовательно, ${(A’B’)}^2={AB}^2, значит AB=A’B’$.

По $III$ признаку равенства треугольников

[triangle ABC=triangle A’B’C’]

Значит, угол $C$ прямой и треугольник $ABC$ прямоугольный.

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Найти основание равнобедренного прямоугольного треугольника, если его боковая сторона равняется $8$ см.

Решение.

Обозначим основание треугольника через $x$.

Так как треугольник является прямоугольным, то для нахождения основания воспользуемся теоремой Пифагора (теорема 3). Получим

[x^2=8^2+8^2] [x^2=64+64] [x^2=128] [x=sqrt{128}=8sqrt{2}]

Ответ: $8sqrt{2}$.

Пример 2

Дан треугольник со следующими сторонами:

а) $5, 12, 13$.

б) $6, 5, 4$.

в) $3, 4, 5$.

Найти среди них прямоугольные.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой. Обратной теореме Пифагора (теорема 4), подставляя значения в равенство $a^2+b^2=c^2$ и проверяя его истинность.

а) Подставляя, получим

[{13}^2={12}^2+5^2] [169=169-верно]

Значит, треугольник является прямоугольным.

б) Подставляя, получим

[6^2=4^2+5^2] [36=41-неверно]

Значит, треугольник не является прямоугольным.

в) Подставляя, получим

[5^2=4^2+3^2] [25=25-верно]

Значит, треугольник является прямоугольным.

Замечание 1

Отметим, что прямоугольные треугольники с целыми значениями длин сторон называются пифагоровыми (пример — пункт а), а со значениями сторон $3$, $4$ и $5$ — египетским (пример — пункт в).

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.05.2023

Как найти длину основания равнобедренного треугольника

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, имеющими попарно по одному общему концу. Отрезки прямых в данном определении называются сторонами треугольника, а их общие концы – вершинами треугольника. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным.

Инструкция

Основанием треугольника называется третья его сторона AC (см. рисунок), возможно отличная от боковых равных сторон AB и BC. Приведем несколько способов вычисления длины основания равнобедренного треугольника. Во-первых, можно воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника прямо пропорциональны значению синусов противолежащих углов: a / sin α = c / sin β. Откуда получаем, что c = a * sin β / sin α.

Приведем пример вычисления основания треугольника по теореме синусов. Пусть a = b = 5, α = 30°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника β = 180° — 2 * 30° = 120°. с = 5 * sin 120° / sin 30° = 5 * sin 60° / sin 30° = 5 * √3 * 2 / 2 = 5 * √3. Здесь для вычисления значения синуса угла β = 120° мы воспользовались формулой приведения, согласно которой sin (180° — α) = sin α.

Второй способ найти основание треугольника – при помощи теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Получаем, что квадрат основания c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β. Далее находим длину основании c, извлекая квадратный корень из данного выражения.

Рассмотрим пример. Пусть нам заданы такие же параметры, как в предыдущей задаче (см. пункт 2). a = b = 5, α = 30°. β = 120°. с^2 = 25 + 25 — 2 * 25 * cos 120° = 50 — 50 * (- cos 60°) = 50 + 50 * ½ = 75. В данном вычислении мы также применили формулу приведения для нахождения cos 120°: cos (180° — α) = — cos α. Извлекаем квадратный корень и получаем значение c = 5 * √3.

Рассмотрим частный случай равнобедренного треугольника – прямоугольный равнобедренный треугольник. Тогда по теореме Пифагора мы сразу же находим основание c = √(a^2 + b^2).

Видео по теме

Обратите внимание

При вычислении легко ошибиться в значениях синуса или косинуса угла, или просто в арифметических действиях. Для проверки разультата полезно вычислить длину основания двумя способами.

Полезный совет

При вычислении угла, противолежащего к основанию, будет удобно использовать следующие формулы приведения: sin (180° — α) = sin α; cos (180° — α) = — cos α.

Источники:

• как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике
• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

• Формула теоремы Пифагора
• Доказательство теоремы Пифагора
• Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
• Примеры решения задач
• Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ — общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Примеры решения задач

Историческая справка

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин» говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.