Как найти основание ромба если известны диагонали - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти сторону ромба по его диагоналям? Это можно сделать разными способами.

Дано:

ABCD — ромб,

$[AC = {d_1},]$

$[BD = {d_2}.]$

Найти:

AB.

Решение:

I способ

По свойствам ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Поэтому треугольник AOB — прямоугольный,

$[AO = frac{1}{2}AC = frac{1}{2}{d_1};]$

$[BO = frac{1}{2}BD = frac{1}{2}{d_2}.]$

По теореме Пифагора,

$[A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}]$

$[A{B^2} = {(frac{1}{2}{d_1})^2} + {(frac{1}{2}{d_2})^2}]$

$[A{B^2} = frac{1}{4}(d_1^2 + d_2^2)]$

$[underline {AB = frac{1}{2}sqrt {d_1^2 + d_2^2} } ]$

Таким образом, сторона ромба равна половине квадратного корня из суммы квадратов его диагоналей:

$[underline {a = frac{1}{2}sqrt {d_1^2 + d_2^2} } ]$

II способ.

Сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов его сторон. Так как все стороны ромба равны, то

$[4A{B^2} = A{C^2} + B{D^2}]$

$[A{B^2} = frac{1}{4}(A{C^2} + B{D^2})]$

$[A{B^2} = frac{1}{4}(d_1^2 + d_2^2)]$

$[underline {AB = frac{1}{2}sqrt {d_1^2 + d_2^2} } ]$

Источник

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Ромб — это параллелограмм у которой все стороны равны, а углы непрямые.

Диагональ ромба — это прямой отрезок соединяющий вершины противоположных углов ромба.

Свойства ромба:

Все стороны ромба равны;
Диагонали ромба пересикаются под прямым углом;
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам;
Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°;
Противоположные углы ромба равны.

Как найти сторону ромба через диагонали

D
d
a
a
a
a

a = dfrac{ sqrt{D^2 + d^2} }{2}

a — сторона ромба
D — большая диагональ ромба
d — меньшая диагональ ромба

Сторона ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Содержание

Сторона ромба через высоту и площадь
Сторона ромба через высоту и угол
Сторона ромба через диагонали
Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
Сторона ромба через площадь и угол

1. Сторона ромба через высоту и площадь

Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу (1).

2. Сторона ромба через высоту и угол

Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.

Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Сторона ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

Откуда:

4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:

Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:

Подставляя (5) в (4), получим:

или

5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что ( small BO=frac{large d}{large 2}) и ( small angle ABO=frac{large alpha}{large 2}), формулу (13) можно записать так:

или

Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:

Подставляя (9) в (8), получим:

или

6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой

Из формулы (11) получим:

7. Сторона ромба через площадь и угол

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой

Из формулы (13) найдем a:

Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.

Источник

Стороны ромба

Стороны фигур

Ромб является четырехугольником, представляет собой частный случай параллелограмма. У этого четырехугольника все стороны равны, противоположные — параллельны. У ромба 2 диагонали — большая и меньшая, они пересекаются друг с другом под прямым углом и делят углы пополам.
Если известны длины обеих диагоналей ромба, длину стороны можно рассчитать по формуле:

где где d₁ — большая диагональ, d₂ — меньшая диагональ, a — сторона ромба. Т.е. сторона ромба равна половине корня из суммы квадратов его диагоналей.