Как найти основание степени 5 класс

Степень числа

• Возведение в степень
• Выражения со степенями. Порядок действий
• Калькулятор возведения в степень

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

5 · 5 · 5 = 125.

Произведение  5 · 5 · 5  можно записать так:  5³  (пять в третьей степени). Выражение  5³  — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 5³ = 125.

Рассмотрим выражение  5³ . В этом выражении число  5  — основание степени, а число  3  — показатель степени.

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

• 7²  —  семь во второй степени.

  Вторую степень числа также называют квадратом этого числа. Следовательно, выражение 7² можно прочесть так: семь в квадрате или квадрат числа семь.

• 2³  —  два в третьей степени.

  Третью степень числа также называют кубом этого числа. Следовательно, выражение 2³ можно прочесть так: два в кубе или два куб.

• 6⁴  —  шесть в четвёртой степени.
• 10¹⁵  —  десять в пятнадцатой степени.
• aⁿ  —  a  в энной степени  или  a  в степени эн.

Возведение в степень

Возведение числа в степень — это вычисление произведения одинаковых множителей. Например, возвести число  2  в третью степень  (2³)  — это значит найти произведение  2 · 2 · 2 , то есть

2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2³ = 8,

2  — это основание степени,  ³  — показатель степени,  8  — степень.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

5² + 2²

и

(5 + 2)²

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

5² + 2² = 25 + 4 = 29,

(5 + 2)² = 7² = 49.

Калькулятор возведения в степень

Данный калькулятор поможет вам выполнить возведение в степень. Просто введите основание с показателем степени и нажмите кнопку Вычислить.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями
(с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа.
Для записи произведения числа самого на себя несколько раз
применяют сокращённое обозначение.

Вместо
произведения шести одинаковых множителей
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут
4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• ⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и
показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запись «aⁿ» читается так:
«а в степени
n» или «n-ая степень числа
a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ()⁴
  =
  ·

  ·

  ·

  =

  3 · 3 · 3 · 3

  4 · 4 · 4 · 4

  =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
(−5)⁴ и
−5⁴ это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
   действие вычитание).
   
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«Возведение в степень онлайн».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Степень числа 5 класс

Как найти степень числа. • Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени». 4 • 4 • 4 • 4 = 46

Выражение 4 в степени 6 • 4 — основание степени; • 6 — показатель степени.

• В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните! • Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a». • Исключение составляют записи: • a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»; • a 3 — её можно произносить как «а в кубе».

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

• Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени: • a 2 — «а во второй степени»; • a 3 — «а в третьей степени».

• Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0). • • Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число: a 1 = a • Любое число в нулевой степени равно единице. a 0 = 1 • Ноль в любой натуральной степени равен нулю. 0 n = 0 • Единица в любой степени равна 1. 1 n = 1

• Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом. • (-32)ст0 = 1 • 0 ст253 = 0 • 1 ст4 = 1 • При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

• При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени. • Пример. Возвести в степень. • 5 ст3 = 5 • 5 = 125 • 2. 5 ст2 = 2. 5 • 2. 5 = 6. 25

Возведение в степень отрицательного числа 5 класс

Запомните! • Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

• При возведении в степень положительного числа получается положительное число. • При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

• При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел. • Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

• Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните! • Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное. • Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, число отрицательное. • Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть: a 2 ≥ 0 при любом a.

Пример 2 • (- 3)ст2 = 2 • (- 3) = 2 • 9 = 18 — 5 • (- 2)ст3 = — 5 • (- = 40

• При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (5)ст4 и -5 ст4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

• Вычислить (- 5)ст4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа. • (- 5)ст4 = (- 5) • (- 5) = 625

• В то время как найти -5 ст4 означает, что пример нужно решать в 2 действия: • Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 5 ст4 = 5 • 5 • 5 = 625 • Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). -5 ст4 = — 625

Обратите внимание! • • • Вычислить: — 6 ст2 — (- 1)ст4 6 ст2 = 6 • 6 = 36 -6 ст2 = — 36 (- 1)ст4 = (- 1) • (- 1) = 1 — (- 1)ст4 = — 1 — 36 — 1 = — 37

Порядок действий в примерах со степенями. 5 класс

• Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните! • В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. • Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример • Вычислить:

• Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней.

Спасибо за внимание!

Математика

5 класс

Урок № 13

Степень с натуральным показателем

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— понятие степени с натуральным показателем;

— вычисление квадрата числа;

— вычисление куба числа.

Тезаурус

Степень числа а с натуральным показателем n (n > 1) – это произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а. Записывается aⁿ, а- основание степени, n- показатель.

Квадрат числа – это вторая степень числа.

Куб числа – это третья степень числа.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нам известно, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче – в виде произведения:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 5

Произведение одинаковых чисел также можно записать короче:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4⁵

Это произведение можно записать короче, полученный результат называют степенью. Читается так: «четыре в пятой степени».

Запись 4³ (четыре в степени три) означает 4 ∙ 4 ∙ 4. При этом число 4 называют основанием степени, а число 3 – показателем степени. Число три показывает, сколько раз нужно взять множителем основание степени – число 4: 4³ = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.

Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называют произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а:

Рассмотрим несколько примеров. Вычислим 2⁵, 2 в качестве множителя повторяется 5 раз, значит: 2⁵ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32.

Теперь вычислим 3⁷. 3 в качестве множителя повторяется 7 раз, значит: 3⁷ = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 2187.

Таким образом, можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, большим единицы. Стоит запомнить, что любое число в первой степени будет ровняться ему самому, т. е. a¹ = a.

Вторую степень числа называют квадратом числа. Запись 4² читают «четыре в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа. Запись 4³ читают «четыре в кубе».

Обратите внимание на таблицы квадратов и кубов натуральных чисел. Со временем вы их запомните.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Найдите чему равно 13⁴ = ____.

Решение: чтобы узнать чему равно 13⁴, надо представить 13⁴ в виде произведения четырёх одинаковых множителей и выполнить умножение: 13⁴ = 13 ∙ 13∙ 13 ∙ 13 = 28561.

Ответ: 13⁴ = 28561

№ 2. Чему равна пятая степень 19? Выберите верный ответ.

1. 247699
2. 2476099
3. 247609
4. 2467099

Решение: чтобы вычислить 19⁵, надо представить 19⁵ в виде произведения пяти одинаковых множителей и выполнить умножение: 19⁵ = 19 ∙ 19∙ 19 ∙ 19 = 2476099.

Ответ: 2. 2476099