Как найти основание трапеции когда известна высота - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти основания трапеции

Основания трапеции можно найти несколькими способами, в зависимости от заданных параметров. При известной площади, высоте и боковой стороне равнобокой трапеции последовательность расчетов сводится к вычислениям стороны равнобедренного треугольника. А также к использованию свойства равнобокой трапеции.

Начертите равнобокую трапецию. Дана площадь трапеции — S, высота трапеции — h и боковая сторона — a. Опустите высоту трапеции на большее основание. Большее основание будет разделено на отрезки m и n.

Для определения длины обоих оснований (х, y) примените свойство равнобокой трапеции и формулу расчета площади трапеции.

Согласно свойству равнобокой трапеции отрезок n равен полуразности оснований х и y. Следовательно, меньшее основание трапеции y можно представить в виде разности большего основания и отрезка n, помноженного на два: y = x — 2*n.

Найдите неизвестный меньший отрезок n. Для этого вычислите одну их сторон получившегося прямоугольного треугольника. Треугольник образован высотой – h (катет), боковой стороной – a (гипотенуза) и отрезком – n (катет). Согласно теореме Пифагора неизвестный катет n² = a² — h². Подставьте известные числовые значения и высчитайте квадрат катета n. Возьмите корень квадратный из полученного значения – это и будет длина отрезка n.

Подставьте полученное значение в первое уравнение для вычисления y. Площадь трапеции высчитывается по формуле S = ((х + y)*h)/2. Выразите неизвестную переменную: y = 2*S/h – х.

Запишите оба полученных уравнения в систему. Подставляя известные значения, найдите две искомые величины в системе двух уравнений. Полученное решение системы х представляет собой длину большего основания, а y — меньшего основания.

Источник

Как найти основания трапеции

Инструкция

Источники:

высота равнобокой трапеции

Источник

Виды трапеции

Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB over 2}
$$
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

$$
S = FE * AG
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$

Площадь трапеции через четыре стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Площадь трапеции через стороны и угол

$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длины сторон

$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длины сторон

$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$

Длина боковой стороны через диагональ и основания

$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон прямоугольной трапеции

Длины оснований

$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей через высоту

$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$

$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей

$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$

Длина диагоналей через сторону и высоту

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и высоту

$$
FE = {S over AG}
$$

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания и боковые стороны

$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$

Сторона BC через Сторону AD

$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$

Источник

Длинное основание трапеции с заданной высотой Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Трапеция ↺
Трапеция	Стороны трапеции ↺
Стороны трапеции	Длинное основание трапеции ↺

✖Короткое основание трапеции — это самая короткая сторона среди пары параллельных сторон трапеции.ⓘ Короткое основание трапеции [B_Short]			+10% -10%
✖Высота трапеции — это перпендикулярное расстояние между парой параллельных сторон трапеции.ⓘ Высота трапеции [h]			+10% -10%
✖Большой острый угол трапеции — это больший угол при длинном основании или угол, образованный длинным основанием и коротким катетом трапеции.ⓘ Больший острый угол трапеции [∠_{Larger Acute}]			+10% -10%
✖Меньший острый угол трапеции — это меньший угол при длинном основании или угол, образованный длинным основанием и длинным катетом трапеции.ⓘ Меньший острый угол трапеции [∠_{Smaller Acute}]			+10% -10%

✖Длинное основание трапеции — это самая длинная сторона среди пары параллельных сторон трапеции.ⓘ Длинное основание трапеции с заданной высотой [B_Long]

⎘ копия

Длинное основание трапеции с заданной высотой Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Короткое основание трапеции: 5 метр —> 5 метр Конверсия не требуется
Высота трапеции: 8 метр —> 8 метр Конверсия не требуется
Больший острый угол трапеции: 70 степень —> 1.2217304763958 Радиан (Проверьте преобразование здесь)
Меньший острый угол трапеции: 50 степень —> 0.872664625997001 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

14.6245589235522 метр —> Конверсия не требуется

6 Длинное основание трапеции Калькуляторы

Длинное основание трапеции с заданной высотой формула

Длинное основание трапеции = Короткое основание трапеции+(Высота трапеции*(cot(Больший острый угол трапеции)+cot(Меньший острый угол трапеции)))

B_Long = B_Short+(h*(cot(∠_{Larger Acute})+cot(∠_{Smaller Acute})))

Что такое Трапеция?

Трапеция – это четырехугольник с одной парой противоположных и параллельных сторон. Пару параллельных сторон называют основаниями трапеции, а пару непараллельных ребер — катетами трапеции. Из четырех углов трапеция обычно имеет 2 острых угла и 2 тупых угла, которые являются попарно дополнительными углами.

Источник

1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию