Как найти основания параллелепипеда описанного около цилиндра

Задание:

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

* Объем параллелепипеда = S_осн * h, где S_осн — площадь основания, h — высота параллелепипеда. Высота вписанного цилиндра равна высоте параллелепипеда. По условию задачи h = 1.

* Цилиндр вписан в параллелепипед и его радиус r = 1, значит сторона параллелепипеда равен a = 2r = 2 * 1 = 2.

* В основании параллелепипеда — квадрат, а значит S_осн = 2 * 2 = 4 (ед)²

* Объем параллелепипеда = S_осн * h = 4 * 1 = 4 (ед)³

Ответ: 4

Параллелепипед описанный около окружности

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 80. Найдите высоту цилиндра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона основания равна 8, а площадь основания равна 64. Тогда высота цилиндра равна

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
5. Диагонали куба равны.
6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого и высота равны 5

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого и высота равны 5. Найдите объём параллелепипеда.

Основанием параллелепипеда является прямоугольник, описанный около окружности радиусом 5. Значит, этот прямоугольник является квадратом, сторона которого равна диаметру окружности основания цилиндра. Так как радиус r этой окружности равен 5, то диаметр равен двум радиусам, то есть 10. Объём параллелепипеда V находим по формуле V = S_осн. * h = (2 * r) 2 * r , где h — высота параллелепипеда, которая равна высоте цилиндра, то есть равна 5. Значит, объём параллелепипеда V = 10 2 * 5 = 500.

Прямоугольный параллелепипед описан около

Категория: Стереометрия ПРИЗМЫ | ЕГЭ-№2Объём

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

ЗАНЯТИЕ 2

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Объем параллелепипеда равен 20. Найдите поверхность и объём цилиндра. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите поверхность и объём вписанного цилиндра. Объём куба равен 8. Найдите поверхность и объём цилиндра.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Объем параллелепипеда равен 20. Найдите поверхность и объём цилиндра. В ответе напишите S V π 1, 25 2 4 4 π S 13 = π V =5 π

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите поверхность и объём вписанного цилиндра. В ответе напишите S π S 2 1 2 =6 π 2 V =2 π V π

Объём куба равен 8. Найдите поверхность и объём цилиндра. В ответе напишите S π 2 1 2 S 2 =6 π V =2 π V π

Около куба с 3 ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на . V = 36 π

. Задача 5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 4. Боковые рёбра равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. В А Т К С Задача 6. Объём цилиндра равен 18 см 3. Чему будет равен объём конуса с той же высотой и основанием, если Д высоту увеличить в 2 раза, а радиус уменьшить в 3 раза ? Задача 7. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на

. В Задача 5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 4. Боковые рёбра равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Т Решение С 6 А К 4 Д

Объём цилиндра равен 18 см 3. Чему будет Задача 6. . равен объём конуса с той же высотой и основанием, если высоту увеличить в 2 раза, а радиус уменьшить в 3 раза ? 18 6 · 2 12 : 9 6 12

. Задача 7. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на Ответ: Sсф π = 144

Объёмы многогранников

Прямоугольный параллелепипед В 1 С 1 А 1 Д 1 D А С a Д в 2 а + 2 в + 2 с Snn = 2 ав + Росн·h c В D 2 = V = авс

№ 1 Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). V = 78

№ 2 Найдите объём и площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. V=7

№ 3 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ и объём. 2 1

Два ребра прямоугольного № 4 параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ. 2 3

Объем одного куба в 8 раз больше № 5 объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

А 1 С 1 КУБ В 1 D В А d a d = D = Д 1 a Д a С

Площадь поверхности куба № 6 Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем. Snn = 2 6 a a=2 V=8

Площадь поверхности куба равна № 7 № 8 18. Найдите его диагональ. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

Объем куба равен . № 9 Найдите его диагональ.

Призма А 1 В 1 H С 1 В А Sбок = Росн·H В 1 Sосн = В V С А 1 А Snn = 2 Sосн + Sбок С 1 С призмы = Sосн·H

Основанием прямой треугольной № 10 призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

№ 11 Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Через среднюю линию основания № 12 треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

№ 13 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны

В сосуд, имеющий форму правильной № 14 треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см. .

№ В сосуд, имеющий форму правильной 15 треугольной призмы, налили 2300 см 3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см 3 .

S Пирамида SABCД АВСД — основание H h В С О А АSВ, BSC, ASД – боковые грани Д Vпир=⅓ Sосн·H M SO — высота SМ — апофема Snn = Sосн + Sбок=½ Росн·h

№ 16 Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. V = ⅓· 3· 4· 6 V = 24 6 4 3

№ 17 В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием АВСД боковое ребро равно 5, сторона основания равна 3 Найдите объём пирамиды.

№ 22 Vп/у п/д = 12 VТАВСД = ?

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. № 19

№ В правильной четырехугольной 18 пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды. 12

Объем треугольной пирамиды SABC, № 26 являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

№ Объем куба равен 12. Найдите 20 объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

№ 23 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

№ 21 Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. 3 6 6 3 3

ШТАМП Аттестационная работа по геометрии за курс 11 класса средней полной школы ученика III группы (экстернат) Иванова Дмитрия Викторовича 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 20. 01. 2015

Д/З № 9; № 18. Задача о диагоналях прямоугольного параллелепипеда.

№ 25 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

№ 24 Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

№ 27 Объем тетраэдра равен 1, 2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Д/З № 9; № 18. Задача о диагоналях прямоугольного параллелепипеда.

А 1 с а В 1 С 1 Д 1 в в В С А Д 30º 45º 60º с V = ?

V = авс V =

Дополнительные задания

Найдите площадь поверхности и объём многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его поверхность увеличится на 30. Найдите ребро куба.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, В , С 1, В 1 прямоугольного параллелепипеда , у которого АВ = 4, АД = 3, АА 1 = 5. АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Найдите угол ДВД 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого АВ = 4, АД = 3, АА 1 = 5. Ответ дайте в градусах.

Объем параллелепипеда равен 4, 5. Найдите объем треугольной пирамиды АД 1 СВ 1.

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД точка О — центр основания, МО = 4, АС = 6. Найдите боковое ребро.

В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке М. Площадь треугольника АВС равна 3, МS = 1. Найдите объем пирамиды.

В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 точка К — середина ребра АА 1 , точка Т — середина ребра А 1 В 1 , точка М — середина ребра А 1 Д 1. Найдите угол МТК . Ответ дайте в градусах.

Рубрики

• Демоверсия ЕГЭ по информатике
• Демоверсия ЕГЭ по математике
• Демоверсия ОГЭ по информатике
• Демоверсия ОГЭ по математике
• Материалы по аттестации
• Решаем ЕГЭ по математике
  • Задание 1
  • Задание 10
  • Задание 11
  • Задание 12
  • Задание 13
  • Задание 14
  • Задание 15
  • Задание 16
  • Задание 2
  • Задание 3
  • Задание 4
  • Задание 5
  • Задание 6
  • Задание 7
  • Задание 8
  • Задание 9
• Решаем ОГЭ по математике
  • Задание 21
  • Задание 22
  • Задание 24
• Скачать экзаменационные варианты по информатике
  • ЕГЭ по информатике
  • ОГЭ по информатике
• Скачать экзаменационные варианты по математике
  • ЕГЭ по математике
  • ОГЭ по математике
• Тематическое планирование