Как найти основное множество

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы — прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А — подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А — часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:

Множество {а, b} имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; — множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 — элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: «множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: «множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) «Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10»;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если — универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b).

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание — это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание «Этот писатель родился в Ташкенте» может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность — ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим — ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х — четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, «и», «но»), (дизъюнкция, «или»), (отрицание,» не ….»,»неверно, что ….»).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида «не р» или «неверно, что р» называется отрицанием высказывания р и обозначается как

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F — начальные буквы английских слов «true» (истинно) и «false» (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: «Число х больше, чем 10 «.

На диаграмме U — множество всех чисел, множество Р — множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : «Число х меньше или равно 10».

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р — множество истинности высказывания р, а множество Р’ — множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «и», называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «или», называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки «если …., то …» называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация «Если р, то q» обозначается как и имеет также следующие интерпретации «Из р следует (вытекает) q», «Высказывание р достаточно для q «, «Высказывание q необходимо для р».

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q — необходимым условием для р.

высказывание q — необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях — истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: «Анора часто смотрит кинофильмы»;

q: «Барно часто смотрит кинофильмы

r: «Барно не сдаст экзамен»;

s: «произойдет чудо».

 Имеем: 1. «Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно — нет».

2. «Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет».

3. «Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо».

4. «Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен».

5. «Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен».

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как «высказывание р необходимо и достаточно для q» или как «высказывание р истинно лишь при выполнении q».

Пример:

р: х — четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х — четно.

Тогда запись читается , как «Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной». ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы». Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: «Если этот человек — учитель, что он живет поблизости от школы».

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек — учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

«Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях «Этот писатель родился в Ташкенте» и «Он родился в Ташкенте» переменными являются словосочетание». «Этот писатель» и местоимение «он» соответственно. Если вместо переменной подставить значение «Абдулла Кадыри», получим истинное высказывание «Абдулла Кадыри родился в Ташкенте». Если вместо переменной подставить значение «Шекспир», получим ложное высказывание «Шекспир родился в Ташкенте».

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде «х родился в Ташкенте».

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, «для всех … «) и (квантор существования, «существует такой, что ….»), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): «х родился в Самарканде». Тогда высказывание читается как «все родились в Самарканде», а высказывание — «некоторые родились в Самарканде».

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

 Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает «Среди моих одноклассников

не существует отличников», тогда запись означает логически равносильное ему утверждение «Все мои одноклассники не являются отличниками».

Точно также, формула означает высказывание «Неверно, что все мои одноклассники — отличники «, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание «Некоторые мои одноклассники не являются отличниками».

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у — отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание «у каждого моего одноклассника есть отец»; а означает высказывание «существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников».

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной «, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

— представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: «Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?»

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

— странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание «То, что я утверждаю сейчас — ложь».

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» — рефлексивное, а прилагательное «английский» — нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» — рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» — нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого — неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 — черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs — множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента — за В, 28 процентов — за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если  есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, — множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества   Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств — их пересечение — а разностью —  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

— множество натуральных чисел.

 — множество целых чисел;
— множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

— множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам  называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина «множество» являются термины «класс «семейство «совокупность». Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: «a принадлежит множеству A») или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , } или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом .

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде:  .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: «Множество A содержится в множестве B») или B ⊃ A (читается: «Множестоо B содержит множество A»).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что ⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x  B , или x ∈ B , но x A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =. Очевидно, что A∩A= A, A∩= .

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = , A = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x₁ и x₂, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x₁, x₂). Элементы x₁ , x^₂ называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x₁, x₂). Пары (x₁, x₂) и (y₁ , y₂) называют совпадающими, если x₁ = y₁ и x₂ = y₂ .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × B B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики , , ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как «влечет» , «равносильно» , «существует» («найдется»), «любой» («каждый» , «для каждого» , «для любого» ).

Запись A B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись «∃ x ∈ X » означает: существует элемент x из множества X .
Запись «∀ x ∈ X » означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ «:» или эквивалентный ему символ «| которые читают: «такой, что». В частности, запись «∃ x ∈ X : x² — 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x² — 1 = 0.

• Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент принадлежит множеству

Элемент не принадлежит множеству

В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству , называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества , и записывают так: Используется также запись , если множество или является подмножеством множества , или равно множеству

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству

Объединение множеств

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или )

Разность множеств

Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству

Дополнение множеств

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением множества . Другими словами, дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству (но принадлежащих универсальному множеству )

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества ), записывается с помощью специального значка е следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества и — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество задано перечислением элементов, а множество четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое .

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: , где — характеристическое свойство. Например,

В этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись означает, что принимает любое целое значение, что также можно записать как

Равенство множеств

Пусть — множество цифр трехзначного числа 312, то есть , а — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество является подмножеством множества , или равно множеству . Например,

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества и равны, то: 1) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество ; 2) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами .

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если то .

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или ).

Объединение множеств обозначают знаком (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств и из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через , то .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если

Если — подмножество , то разность называют дополнением множества В до множества (рис. 6).

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через , то : множество всех иррациональных чисел дополняет множество всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность называют дополнением множества (рис. 7). То есть дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству , но принадлежащих универсальному множеству .

Дополнение множества обозначается (можно читать: « с чертой» или «дополнение »).

Например, если и , то . Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа

Можно представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Целые числа

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

( — обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: )

Натуральные числа (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой

Свойства

1. Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Модули противоположных чисел равны

3. , то есть Каждое число не больше своего модуля

4. При

5. При

6. Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8.

9.

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают . Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа противоположным считается число , а для числа противоположным считается число . Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — , длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби , где , можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, .

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, .

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби и являются записью одного и того же рационального числа . Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем вычисляется по формуле , имеем:

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел .

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой (рис. 10), то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса с центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа вы также встречались с иррациональными числами и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

, то (поскольку ).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел и последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел и последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение ).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

, или или или

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 11), то расстояние

Если , то расстояние

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками . На рисунке 12 эти точки изображены для случая и , хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков и .

При параллельном переносе вдоль оси на единиц точка перейдет в точку , а точка (с координатой ) — в точку с координатой , то есть в точку . Тогда . Но расстояние — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, , а значит, и .

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки до точки , а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки , получаем

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если то а если , то . Следовательно, всегда

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что , то получаем неравенство . Отсюда , что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

(1)

При неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает (рис. 13), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение ).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 13),

то есть в этом случае или . Наоборот, если число удовлетворяет одному из этих неравенств, то . Следовательно, при неравенство равносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

при

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

(3)

Если в формуле (3) взять , получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при и учитывая, что при всех значениях , получаем . Следовательно,

. Для обоснования неравенства

(4)

запишем неравенство (1) для чисел и :

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Учитывая неравенство (2), имеем

(5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (4), то получим неравенство . Отсюда

(6)

Если в неравенстве (6) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

(7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы и в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что , имеем также неравенства

(8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа и где и — целые, а и — натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где — целое число, а — натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь , где — целое, — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью , где и — натуральные числа . По определению квадратного корня имеем то есть . Учитывая, что , получаем, что дробь , равная натуральному числу , должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа и не являются натуральными числами , то и — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Отсюда

Следовательно,

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби

Пример №405

Решите уравнение

Решение

I способ

►

Ответ:

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда или .

II способ

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние между точками и на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: . Тогда равенство означает, что расстояние от точки до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда или то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Следовательно, или

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид (в данном случае ), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки . На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке то есть Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

«Теория систем и системный анализ»

И. Б. Родионов

Лекция 13: Операции над множествами. Упорядоченное множество

1. Объединение множеств

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то

X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}

Пример 2. Если X={x:x — отл.гр.}, и Y={x:x — gib.}, то

X∪Y={x:x — или отл., или gib}.

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М={X₁,X₂, …,X_n} совокупность n множеств X₁,X₂, …,X_n, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

∪X_i=∪(X∈M), Х=X₁∪X₂∪…∪X_n

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

• X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
• (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Пример 7. {1,2,3} и {4,5,6}

В отличие от алгебры чисел, где могут быть три возможности: a<b, a=b, b<a между двумя множествами X и Y может быть одно из 5 cотношений:

X=Y; X⊂Y; Y⊂X; X∩Y=∅ и X и Y находятся в общем положении.

Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия:

1. существует элемент множества X, не принадлежащий Y;
2. существует элемент множества Y, не принадлежащий X;
3. существует элемент, принадлежащий как X, так и Y.

Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств:

∩X=∩X_i=X₁∩X₂∩…∩X_n

Пересечение множеств представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы М.

Для пересечения множеств справедливы:

• X∩Y=Y∩X — коммутативный закон
• (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z — ассоциативный закон

Заметим также, что имеет место соотношение X∩∅=∅.

Пример 8. A={a,b}, B={b,c}, C={a,c}.

A∩B∩C=∅, хотя A∩B={b}, B∩C={c}

3. Разность множеств

Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y.

Обозначается: XY.

Формально: x∈XY ⇔ x∈X и x∉Y

Пример 9. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, XY={1,3,5}, YX={6,8}

Разность множеств не обладает свойством коммутативности.

XY≠YX

Если AB=∅, то A⊂B — поставить ? обратно

при A∩B≠∅

4. Универсальное множество

Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. А нет ли такого множества, которое играет роль «1», т.е. удовлетворяет условию: X∪I = X, что означает, что пересечение или «общая часть» множества I и множества X для любого множества X совпадает с самим этим множеством. Это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве I.

Множество I, удовлетворяющее этому условию, называется полным, или универсальным, или единичным.

Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным и обозначать I.

Пример 12 (Пример 1). I — множество целых чисел

Пример 13 (Пример 2). I — множество студ. гр.

Пример 14 (Пример 3). I — лист бумаги, доска

Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна.

Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение X∪I = I.

5. Дополнение множества

Множество, определяемое из соотношения X¯ = IX, называется дополнением множества X (до универсального множества I).

На диаграмме множество X¯ представляет собой незаштрихованную область.

Формально: X = {x: x∈I и x∉X}.

Из определения следует, что X и X¯ не имеют общих элементов. Х∩X¯=∅.

Кроме того, не имеется элементов I, которые не принадлежали бы ни X, ни X¯ (его дополнению), так как те элементы, которые не принадлежат X, принадлежат X¯ (его дополнению). Следовательно, Х∪X¯=I.

Из симметрии данной формулы относительно Х и X¯ следует не только то, что X¯ является дополнением Х, но и что Х является дополнением X¯. Но дополнение X¯ есть X¯ ¯. Таким образом, X¯ ¯=X¯.

С помощью операции дополнения представим разность множеств:

XY = {x: x∈X и x∉Y} ={ x: x∈X и x∈Y¯ }, т.е. XY= Х∩Y¯.

Порядок выполнения операций:

1. дополнение;
2. пересечение;
3. объединение, разность.

Для изменения порядка используют скобки.

6. Разбиение множества

Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств.

Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса.

Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак.

Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств

М = {X₁, X₂, …, X_n}

Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Любое множество X из M является подмножеством множества М

   ∀X∈M: X⊆M;

2. Любые два множества X и Y из М являются непересекающимися

   ∀X∈М, ∀Y∈M: X≠Y → X∩Y=∅.

3. Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M

   X₁∪X₂∪…∪ X_n=M.

7. Тождества алгебры множеств

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения.

Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z)

1. (X∪Y)∩Z = (X∩Z)∪(Y∩Z) (аналогичное дистрибутивному закону (a+b)c=(a+c)(b+c) в обычной алгебре).
2. (X∩Y)∪Z = (X∪Z)∩(Y∪Z)
3. Если Y⊆X, то X∩Y=Y, X∪Y=X. Действительно, все элементы множества Y являются в то же время и элементами множества X. Значит пересечение этих множеств, то есть общая множеств Х и Y совпадает с Y. В объединение множеств X и Y множество Y не внесет ни одного элемента, который уже не входил бы в него, будучи элементом множества Х. Следовательно, X∪Y совпадает с X.
4. Пусть в примере 3 Y=X. Тогда, учитывая, что X⊆X, то X∩Х=Х, X∪Х=X. (идемпотентность).
5. Докажем тождество (X∪Y)¯=X¯∩Y¯. Предположим, что х∈(X∪Y)¯, то есть х∉X∪Y. Это значит, что х∉X и х∉Y, то есть и x&isinX¯ и x&isinY¯;. Следовательно, x∈X¯∩Y¯. Предположим теперь, что y∈X¯∩Y¯, то есть y∈X¯ и y∈Y¯. Это значит, что y∉X и y∉Y, то есть что y∉X∪Y. Следовательно, y∈(X∪Y)¯.
6. Тождество (X∩Y)¯=X¯∪Y¯. Обычно тождества 5) и 6) называются тождествами де-Моргана.
7. (AB)∩C=(A∩C)B=(A∩C)(B∩C)
8. AB=A(A∩B)
9. A=(A∩B)∪(AB)

Дополнение к занятию «операции над множествами»

Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой.

S = A⊕B = (AB)∪(BA) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯

Для симметрической разности выполняются следующие законы:

1. 1) A⊕B = B ⊕A — коммутативность,
2. 2) A⊕(B⊕С) = (A⊕B)⊕С — ассоциативность,
3. 3) A⊕∅ = А=∅⊕A — существование нейтрального элемента,
4. 4) A ⊕А = ∅
5. 5) A∩(B⊕С) = (A∩B)⊕(А∩С) — дистрибутивность относительно пересечения.

Упорядоченное множество

Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.

Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «( )». А=<a₁, a₂, …, a_n>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.

Частный случай: кортеж длины 1 — <a>

кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Так, кортеж <a₁, a₂> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a₁, a₂ — проекции вектора на оси 1 и 2.

Пр₁ <a₁, a₂> = a₁, Пр₂ <a₁, a₂> = a₂, Пр_i <a₁, a₂, a₃>= a_i, Пр₁2 <a₁, a₂, a₃>= <a₁, a₂> — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж.

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a₁, …, a_n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Пр_i a = a_i, i=1,2,…,n

Пр_i,j,…,l a = <a_i, a_j, …, a_l>, i=1,2,…,n

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

<a₁, …, a_m> = <b₁, …, b_n> ⇔ m = n и a₁ = b₁, b₁ = b₂, …

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

A = < <a₁, a₂>, <a₁, a₃>, <a₂, a₃> >

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Формально: X*Y = {<x,y>: x∈X, y∈Y}

Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4>

Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

X*Y ≠ Y*X

Прямое произведение множеств X₁, X₂, …, X_n — это множество, обозначаемое X₁*X₂*…*X_n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X₁, вторая — X₂ и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X₁*X₂*…*X_n = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X₁, X₂, …, X_n является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M^s=M*M*…*M, M¹=M, M⁰=∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R²=R*R — вещественная плоскость и R³=R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, …,8}

Тогда A*B ={a₁, a₂, a₃, …, h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества a_n называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A^* = ∪Aⁱ = A¹∪A²∪A³… . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О>

Теорема. Пусть a₁, a₂, …, a_n — конечные множества и |a₁| = m₁, |a₂|=m₂, …, |a_n|=m_n. Тогда мощность множества a₁*a₂*a₃*…*a_n равна произведению мощностей a₁, a₂, …, a_n

|a₁*a₂*…*a_n|=|a₁|*|a₂|*|a₃|*…*|a_n|= m₁*m₂*…*m_n

Следствие |a_n|=|A|ⁿ

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Пример. Пусть М={<1,2,3,4,5>,<2,1,3,5,5>,<3,3,3,3,3>,<3,2,3,4,3>}

тогда Пр₂М={2,1,3}, Пр₃M={3}, Пр₄M={4,5,3}, Пр₂₄M={<2,4>,<1,5>,<3,3>}, Пр₁₃M={<1,3>,<2,3>,<3,3>}, Пр₁₅M={<1,5>,<2,5>,<1,3>}, Пр₂₅M={<2,5>,<1,5>,<3,3>,<2,3>}.

Очевидно что если М=Х*Y то Пр₁М=Х, Пр₂М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр₁Q⊆Х и Пр₂Q⊆Y

Пример. V={<a,b,d>,<c,b,d>,<d,b,b>}

Пр₁V={a,c,d}

Пр₂V={b}

Пр₃V={d,b}

Пр₁2V={<a,b>,<c,b>,<d,b>}

Пр₂3V={<b,d>,<b,b>}

Пр₁3V={<a,d>,<c,d>,<d,b>}

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

Пр_iV ={Пр_iv/v∈Y}, Пр_ii…ikv = { Пр_ii…ikv/v∈Y}.

Если V =A₁*A₂*…*A_n, то Пр_ii…ikV=A_i1*A_i2*…*A_ik.

В общем случае Пр_iV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);

• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);

• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В. 

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами. 

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;

• сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность — законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 

Идемпотентность объединения и пересечения:

• S ∩ S = S;

• S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов. 

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам. 

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Теория множеств

Говоря простым языком, множество — это элементарный математический объект, который содержит определенный набор данных, предметов или чисел. Это исходное математическое понятие, которое невозможно представить другими терминами. Именно поэтому множество описывается как набор разрозненных элементов, мыслимое как единое целое. Понятие множества ввел немецкий математик Георг Кантор, который развил собственную теорию трансфинитных чисел, позволяющую оперировать вполне упорядоченными бесконечными множествами.

Георг Кантор разработал уникальную программу стандартизации всех математических знаний, согласно которой любой математический объект является тем или иным множеством. К примеру, согласно канторовской теории, любое натуральное число — это одноэлементное множество, принадлежащее надмножеству натурального ряда. Натуральный ряд, в свою очередь, считается подмножеством целого ряда, а целое множество — подмножеством действительного или вещественного ряда.

Теория Георга Кантора вызвала широкий резонанс в математических кругах. Многие современники негативно отзывались о его работах, особенно его учитель Леопольд Кронекер, который не принимал канторовского определения натурального числа. Несмотря на это, теория множеств получила признание позже, когда группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки предприняла попытку перевести весь математический аппарат на теоретико-множественный язык.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Объединение

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

$$ A cap B = {x|x in Bbb A и x in Bbb B } $$

Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ — пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ — подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cap B$ = {3;5}.

Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A cap B$ = {f|f-квадрат}.

Если A = ${n|n⋮3, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 3, B = ${n|n⋮5, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = {n|n⋮15, n in Bbb N}$ — натуральные числа, кратные 15.

Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A cap B = varnothing$.

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Примеры универсумов:

1. При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
2. При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
3. При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A — множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:

$$ bar{A} = {x|x notin A } $$

Читается «не A».

У отрицания есть любопытное свойство: $bar{bar{Α}} = Α $(два раза «нет» — это «да»).

Например:

Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $bar{A} = {1;2;6;7}$

Если U = ${x|x in Bbb R}$ — все действительные числа, A = ${x|x gt 0, x in Bbb R }$ — все положительные действительные числа, то $ bar{A} = {x|x le 0, x in Bbb R}$.

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

$$ AB = {x|x in Bbb A , x notin B} $$

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar{A} = {x|x in Bbb U, x notin A } $= UA

«Не A» — это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

Получаем:

$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;
• сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

Транзитивность — законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

• S ∩ S = S;
• S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) cup {36,6} cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей).

Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ {14} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] cup (14, 51]$, $(5, 14) cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества ${51}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) cup {51}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ {−6} ∪ (−6, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) ∪ {7} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения — полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки — сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.

Пример 1

Найти пересечение и объединение множеств $A = [-3, 4)$ и $B = [0, 7)$ .

Для решения применим графический метод:

Рисунок 1. Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видно, что объединение множеств представляет собой диапазон от крайней левой точки $-3$ включительно до крайней правой $7$ исключая ее. Пересечение множеств начинается от числа $0$. Оно входит в оба множества и ограничивает пересечение слева. Правой границей пересечения является $4$, но оно не входит в первое множество, поэтому здесь граница интервала будет открытой.

Ответ:

$A cap B = [0, 4); A cup B = [-3, 7); $

Примеры из реальной жизни

Геометрические фигуры

Допустим, существует множество X, которое содержит прямоугольники с разными длинами сторон. Также существует множество Y, содержащее ромбы с разными углами. Из курса геометрии мы знаем, что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны все углы. В множествах X и Y могут встретиться ромбы с углами по 90 градусов или прямоугольники с одинаковыми сторонами. Фигура, у которой все углы прямые, а все стороны равны — это квадрат. Соответственно, пересечением множеств ромбов X и прямоугольников Y является множество квадратов Z.

Отрезки

Пусть у нас есть два отрезка, которые задаются координатами X = [1, 3] и Y = [2, 4]. Пересечением данных множеств будет отрезок [2, 3], так как именно эти числа входят в диапазон значений обоих отрезков на числовой оси.

Еще пример

Давайте попробуем узнать пересечение пятиэлементных множеств простых и четных чисел. Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу. Четное число — число, которое делится на 2 без остатка. Итак, наши множества S = {2, 3, 5, 7, 11} и E = {2, 4, 6, 8, 10}. Введем эти данные в онлайн-калькулятор и получим результат в виде P = {2}.