Как найти остальные углы в прямоугольном треугольнике

Как найти углы прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как найти углы прямоугольного треугольника

Чтобы найти углы прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Если ∠β = , то ∠α =

0

Если ∠α = , то ∠β =

0

Формула

α = 90° — β

β = 90° — α

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

или так:

α = arctg(a/b)

β = arctg(b/a)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

∠α = arctg(5/2) = arctg(2.5) ≈ 68.2°

∠β = arctg(2/5) = arctg(0.4) ≈ 21.8°

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Формулы

sin(α) = a/c

sin(β) = b/c

cos(α) = b/c

cos(β) = a/c

или так:

α = arcsin(a/c) = arccos(b/c)

β = arcsin(b/c) = arccos(a/c)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если гипотенуза c = 6 см, а катет b = 3 см:

∠α = arccos(3/6) = arccos(0.5) = 60°

∠β = arcsin(3/6) = arcsin(0.5) = 30°

См. также

Сделано для людей! Красавцы. Спасибо человеческое!

  • reply

Спасибо хороший сайт

  • reply

Расчет лестниц секундное дело сейчас, спасибо создателям сайта

  • reply

Всё работает нормально.

  • reply

Странно! Находил углы двумя способами, по двум катетам и по катету и гипотенузе при одинаковых значениях получил разные углы.)))

  • reply

Супер помогли, и не понятно, как это делается. Если один катет 170, а другой 110, поделив их получаем 1,54. Это что? По вашим расчетам правильный угол 57 градусов. И как он получается?

  • reply

1,54 это значение тангенса угла, прилежащего к катету, находящегося в знаменателе

  • reply

Не совсем понятно как рассчитывать углы. Ввёл данные катетов, программа запрашивает величину углов! Я для того и обратился к программе, чтобы она мне рассчитала величину углов! А она меня запрашивает

  • reply

Большое спасибо! Рассчитали лестницу на 2 этаж за полминуты!

  • reply

Спасибо, очень помогает в расчетах

  • reply

Спасибо крышу посчитал за пару минут

  • reply

Спасибо, за онлайн-расчёт. Углы для спусков на ножах рассчитываю. Класс!

  • reply

Что б я делал без этой услуги?! Рассчитал стропила за минуту!

  • reply

Спасибо.Строим крышу.

  • reply

Считаю крышу, очень удобный сервис !
Спасибо !

  • reply

Спасибо! Пригодилось для нахождения угла конуса (на работе)

  • reply

Единственный сайт где углы отображены графически, все остальные (особо одаренные) не додумались. Благодарю!

  • reply

Спасибо большое, а то школьные знания с годами выветрились)))

  • reply

Спасибо. Быстро, вовремя, без загвоздка.

  • reply

Отличная программа, очень помогло

  • reply

Спасибо, сайт очень выручил. Делали перила для лестницы)))

  • reply

Удобно работать, спасибо

  • reply

Спасибо, очень пригодилось!

  • reply

Очень удобно. Спасибо!

  • reply

Спасибо. Очень удобно. Хорошо продуман интерфейс.

  • reply

Простой и нормальный сайт

  • reply

Отличный сайт. Спасибо за помощь

  • reply

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Скопировать

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

β
α

a
b
c

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

tg alpha = dfrac{a}{b}

  • tg α — тангенс угла α
  • a — противолежащий катет
  • b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x. Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

angle alpha + angle beta + angle gamma = 180°

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

angle alpha = 90° — angle beta

angle beta = 90° — angle alpha

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.


Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Содержание материала

  1. Углы треугольника
  2. Видео
  3. Тангенс — это отношение
  4. Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам
  5. Если известны катет a и гипотенуза c
  6. Если известны катеты a и b
  7. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  8. Примеры решения задач

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

angle alpha + angle beta + angle gamma = 180°

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

angle alpha = 90° — angle betaangle beta = 90° — angle alpha

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Тангенс — это отношение

Итак, есть два определения:

  1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

  2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

    Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Видео

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого углаСинус угла — sin(A), Косинус угла — cos(A), Тангенс угла — tg(A), Котангенс угла — ctg(A), Секанс угла — sec(A), Косеканс угла — cosec(A).

Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

[ b = sqrt{c^2 – a^2} ]

Угол A определится по формуле синуса:

[ sin(A) = frac{a}{c} ]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

[ B = 180° – 90° – A ]

Если известны катеты a и b

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

[ c = sqrt{a^2 + b^2} ]

Угол A определится по формуле тангенса:

[ tg(A) = frac{a}{b} ]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

[ B = 180° – 90° – A ]

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда Свойство 3.  Если катет прямоугольного треугольник. Конец доказательства.Свойство 3.  Если катет прямоугольного треугольник

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно Примеры решения задач. Конец доказательства.Примеры решения задач

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой см и катетом см найти и . Решение Поскольку в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и катета, то можно найти

Отсюда следует, что . Тогда второй острый угол треугольника

Ответ .

ПРИМЕР 2

Задание В прямоугольном треугольнике см. Найти . Решение Поскольку треугольник – прямоугольный, то

Так углы A и С равны, то – равнобедренный с боковыми сторонами см. Тогда гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора:

см Ответ см

Теги

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, соответственно два других угла дают в сумме тоже 90°. Поэтому зная один из острых углов, можно определить и второй:
α=90°-β


Используя отношения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно найти угол в прямоугольном треугольнике, зная любые две стороны:
Зная два катета:
Зная катет и гипотенузу: или

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Придумай как будет меняться направление движения ребят на обратном пути составь схему обратного пути
  • Как составить смету на замену окна
  • Купидон как найти его
  • Защитник windows код ошибки 0x800704ec как исправить
  • Известна гипотенуза как найти катеты калькулятор