Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм.
Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.
Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников
Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий.
Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:
Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.
Общие признаки:
-
3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;
-
сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.
Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:
1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.
2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр.
3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).
Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.
Равносторонний треугольник
«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.
Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.
Разносторонний треугольник
Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.
Уникальных отличий не имеет, только общие:
-
все параметры имеют разные значения;
-
совпадений между вспомогательными линиями нет.
Равнобедренный остроугольный треугольник
Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.
Особенности:
-
проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;
-
вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.
Равнобедренный тупоугольный треугольник
Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.
Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.
Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.
В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.
Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки
Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм.
Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.
Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников
Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий.
Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:
Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.
3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;
сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.
Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:
1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.
2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр.
3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).
Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.
Равносторонний треугольник
«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.
Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.
Разносторонний треугольник
Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.
Уникальных отличий не имеет, только общие:
все параметры имеют разные значения;
совпадений между вспомогательными линиями нет.
Равнобедренный остроугольный треугольник
Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.
проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;
вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.
Равнобедренный тупоугольный треугольник
Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.
Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.
Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.
В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.
Остроугольный треугольник
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 251.
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 251.
В школьном курсе геометрии изучают разные виды треугольников. В задачах очень часто рассматривают остроугольный треугольник, поэтому стоит особенно пристально изучить свойства этой фигуры.
Определение понятия
Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, и трех отрезков их соединяющих. В зависимости от углов треугольник может быть:
- Прямоугольным, если один из углов равен 90 градусов;
- Тупоугольный, если один из углов тупой, т.е. больше 90 градусов;
- Остроугольным, если все углы треугольника острые.
Для решения задач с остроугольными треугольниками часто приходится использовать теорему синусов или косинусов.
Еще в Древней Греции математики изучали треугольники. Именно греки разработали основы современной геометрии, куда входит и множество теорем о треугольниках. Например, автор теоремы Пифагора родом из Древней Греции.
Характеристики
В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Но сумма углов в треугольнике всегда равна 180. В любой фигуре вершины обозначают заглавными латинскими буквами.
Одним из элементов треугольника, вместе со сторонами и углами, является внешний угол. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника.
У любого треугольника 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Любой внешний угол остроугольного треугольника всегда будет тупым.
Линии остроугольного треугольника
Остроугольный треугольник обладает рядом свойств.
Медиана геометрической фигуры будет делить сторону, на которую она опущена, пополам. Причем можно провести этот отрезок с любой вершины. Медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1.
Рис. 1. Медианы в остроугольном треугольнике
Известно, что если провести три высоты в остроугольном треугольнике, то они будут пересекаться в одной точке, которую называют ортоцентром. Эти отрезки опускают под прямым углом к противоположным сторонам. Высоты в остроугольном треугольнике разделяют эту фигуру на прямоугольные треугольники.
Рис. 2. Высоты в остроугольном треугольнике
Биссектрисы в остроугольном треугольнике не только делят углы пополам. Эти отрезки пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Также биссектриса разделяет сторону остроугольного треугольника на две части, которые пропорциональны соответствующим боковым сторонам. Данное утверждение нужно запомнить, чтобы решать некоторые задачи.
Рис. 3. Биссектрисы в остроугольном треугольнике
Свойства
Если суммировать числовые значения любых двух сторон остроугольного треугольника, то обязательно получим цифру, которая будет больше третьего отрезка данной геометрической фигуры.
Средняя линия в остроугольном треугольнике параллельна одной из сторон данной фигуры и равна ее половине.
Что мы узнали?
В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Общая сумма углов здесь также равняется 180 градусов. Нельзя забывать о характерных линиях треугольника. Поскольку с их помощью легко вычислить стороны данной треугольной фигуры или центр определенной окружности. А если в условиях задач по геометрии указаны углы, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями.
Виды треугольников
Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.
Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).
Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).
Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).
Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).
Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).
Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.
http://obrazovaka.ru/geometriya/ostrougolnyy-treugolnik-bissektrisa-mediana-vysota.html
http://matworld.ru/geometry/vidy-treugolnikov.php
Остроугольный треугольник
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 320.
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 320.
В школьном курсе геометрии изучают разные виды треугольников. В задачах очень часто рассматривают остроугольный треугольник, поэтому стоит особенно пристально изучить свойства этой фигуры.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Определение понятия
Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, и трех отрезков их соединяющих. В зависимости от углов треугольник может быть:
- Прямоугольным, если один из углов равен 90 градусов;
- Тупоугольный, если один из углов тупой, т.е. больше 90 градусов;
- Остроугольным, если все углы треугольника острые.
Для решения задач с остроугольными треугольниками часто приходится использовать теорему синусов или косинусов.
Еще в Древней Греции математики изучали треугольники. Именно греки разработали основы современной геометрии, куда входит и множество теорем о треугольниках. Например, автор теоремы Пифагора родом из Древней Греции.
Характеристики
В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Но сумма углов в треугольнике всегда равна 180. В любой фигуре вершины обозначают заглавными латинскими буквами.
Одним из элементов треугольника, вместе со сторонами и углами, является внешний угол. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника.
У любого треугольника 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Любой внешний угол остроугольного треугольника всегда будет тупым.
Линии остроугольного треугольника
Остроугольный треугольник обладает рядом свойств.
Медиана геометрической фигуры будет делить сторону, на которую она опущена, пополам. Причем можно провести этот отрезок с любой вершины. Медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1.
Известно, что если провести три высоты в остроугольном треугольнике, то они будут пересекаться в одной точке, которую называют ортоцентром. Эти отрезки опускают под прямым углом к противоположным сторонам. Высоты в остроугольном треугольнике разделяют эту фигуру на прямоугольные треугольники.
Биссектрисы в остроугольном треугольнике не только делят углы пополам. Эти отрезки пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Также биссектриса разделяет сторону остроугольного треугольника на две части, которые пропорциональны соответствующим боковым сторонам. Данное утверждение нужно запомнить, чтобы решать некоторые задачи.
Свойства
Если суммировать числовые значения любых двух сторон остроугольного треугольника, то обязательно получим цифру, которая будет больше третьего отрезка данной геометрической фигуры.
Средняя линия в остроугольном треугольнике параллельна одной из сторон данной фигуры и равна ее половине.
Что мы узнали?
В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Общая сумма углов здесь также равняется 180 градусов. Нельзя забывать о характерных линиях треугольника. Поскольку с их помощью легко вычислить стороны данной треугольной фигуры или центр определенной окружности. А если в условиях задач по геометрии указаны углы, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Людмила Рогатина
10/10
-
Алексей Рудых
10/10
-
Константин Никитич
9/10
-
Ярик Бондарев
10/10
-
Глеб Быков
10/10
Оценка статьи
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 320.
А какая ваша оценка?
Математика
3 класс
Урок № 63
Виды треугольников по видам углов. Закрепление изученного материала
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Какие виды треугольников различают по видам углов?
Как различать треугольники: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?
Тезаурус:
Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Виды треугольников по величине углов
Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой, т.е. 90º.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Основная и дополнительная литература:
1. Моро М. И. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017. С. 85-87.
2. Волкова С. И. математика. Тесты. 3 кл. – М.: Просвещение, 2018. С. 60-67.
3. Рудницкая В. Н. Математика. Дидактические материалы. ч.1 3 кл. – М. «Вентана- Граф», 2016, с. 47-53.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним, что вы уже знаете о видах треугольников.
По длине сторон различают: разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.
Но было бы несправедливо разделить все треугольники на 3 вида по длине сторон. Ведь у каждого есть ещё и по три угла.
У вас уже появились идеи?
Углы бывают:
Острые – меньше прямого
Прямые – угол 90 градусов
Тупые – больше прямого
Оказывается, по величине углов все треугольники тоже можно разделить на 3 вида:
те, у которых все углы острые, – остроугольные,
те, у которых есть прямой угол, – прямоугольные,
те, у которых есть тупой угол, – тупоугольные.
Для того чтобы безошибочно определить вид треугольника по величине углов, необходимо измерить все три угла при помощи транспортира.
Обычно вид треугольника можно определить на глаз.
Попробуйте определить виды треугольников по величине углов без измерений.
Проверим.
Прямоугольный –1, 3
Остроугольный – 6
тупоугольный– 2, 4, 7, 5
Сделаем вывод:
По величине углов различают 3 вида треугольников:
Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные
Определить вид треугольника можно тремя способами:
с помощью измерений, на глаз и по условным обозначениям.
Теперь вы можете различать виды треугольников по сторонам и по углам. Эти знания необходимы в геометрии.
Задания тренировочного модуля
Закончите предложения:
Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого ……………………
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть ……………………
Тупоугольный треугольник – треугольник, все стороны которого есть ……………………
Правильные варианты ответов:
Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол.
Тупоугольный треугольник — треугольник, все стороны которого есть тупой угол.
Определите вид треугольника по величине углов и выпишите номера треугольников по порядку:
Правильный ответ:
Остроугольные: 1, 2, 10
Прямоугольные: 4, 6, 8, 12
Тупоугольные: 3, 5, 7, 9, 11
Определение вида треугольника по длинам его сторон
Пусть а, b и c — стороны треугольника, тогда
1) если а = b, то треугольник равнобедренный.
2) если а = b = c, то треугольник равносторонний.
3) если а ≠ b ≠ с, то треугольник разносторонний.
Пусть с — бóльшая сторона, тогда
4) если с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.
5) если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный.
6) если с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный.
Успешной сдачи экзаменов!
С уважением, Васильева Анна.