Как найти острые углы прямоугольника

Как найти углы прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как найти углы прямоугольного треугольника

Чтобы найти углы прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Если ∠β = , то ∠α =

0

Если ∠α = , то ∠β =

0

Формула

α = 90° — β

β = 90° — α

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

или так:

α = arctg(a/b)

β = arctg(b/a)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

∠α = arctg(5/2) = arctg(2.5) ≈ 68.2°

∠β = arctg(2/5) = arctg(0.4) ≈ 21.8°

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

∠α =

0

∠β =

0

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Формулы

sin(α) = a/c

sin(β) = b/c

cos(α) = b/c

cos(β) = a/c

или так:

α = arcsin(a/c) = arccos(b/c)

β = arcsin(b/c) = arccos(a/c)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если гипотенуза c = 6 см, а катет b = 3 см:

∠α = arccos(3/6) = arccos(0.5) = 60°

∠β = arcsin(3/6) = arcsin(0.5) = 30°

См. также

Острый угол в прямоугольном треугольнике

Свойства острых углов в прямоугольном треугольнике

Острый угол в прямоугольном треугольнике — угол,
градусная мера которого менее 90º.

  1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол надо из 90º
    вычесть известный угол.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против острого угла в 30º,
    равен половине гипотенузы.
  3. Если в прямоугольном треугольнике острые углы равны, значит и катеты равны.

Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

  1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол надо из 90º
    вычесть известный угол.
  2. Если известны катет a и катет b: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу тангенса.
  3. Если известна гипотенуза c и катет a: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу синуса.
  4. Если известна гипотенуза c и катет b: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу косинуса.

Определение синуса, косинуса, и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Острый угол

Острый угол — это угол, меньший прямого.

Градусная мера острого угла больше нуля, но меньше 90 градусов.

∠ABC, ∠MNK, ∠DEF — острые углы.

Чтобы построить острый угол заданной градусной меры, пользуются транспортиром.

Построить с помощью транспортира угол 72º.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От точки проводим луч — сторону угла.

3) Совмещаем вершину угла с отметкой в центре транспортира (у разных моделей транспортира положение этой отметки может быть разным) так, чтобы отметка 0º была расположена на стороне угла.

4) Находим 72º на той шкале, где находится 0º, и ставим точку.

5) От вершины угла через отмеченную точку проводим луч — вторую сторону угла.

На рисунках изображено построение угла 72º с началом отсчёта по нижней шкале и с началом отсчёта по верхней шкале.

∠ABC=72º

∠CDE=72º

Чтобы определить по рисунку, является ли угол острым, можно воспользоваться угольником. Если приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника прошла через одну сторону угла, то другая сторона угольника закроет вторую сторону угла:

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

источники:

Острый угол

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

Обновлено 08.05.2021

Содержание

  1. Свойства острых углов в прямоугольном треугольнике
  2. Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике
  3. Определение синуса, косинуса, и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Свойства острых углов в прямоугольном треугольнике

Острый угол в прямоугольном треугольнике — угол,
градусная мера которого менее 90º.

  1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол надо из 90º
    вычесть известный угол.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против острого угла в 30º,
    равен половине гипотенузы.
  3. Если в прямоугольном треугольнике острые углы равны, значит и катеты равны.

Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Острый угол в прямоугольном треугольнике

  1. Если известны 2 угла: чтобы найти острый угол надо из 90º
    вычесть известный угол.
  2. Если известны катет a и катет b: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу тангенса.
  3. Если известна гипотенуза c и катет a: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу синуса.
  4. Если известна гипотенуза c и катет b: чтобы найти острый угол надо
    использовать формулу косинуса.

Определение синуса, косинуса, и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Острый угол в прямоугольном треугольнике

Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, вероятно, — одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым «штанам» конкуренцию может составить лишь «Эврика!» Архимеда.

Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Вам понадобится

  • — чертеж треугольника;
  • — линейка;
  • — транспортир.

Инструкция

Как правило, вершины углов треугольника обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а противоположные им стороны маленькими латинскими буквами (a, b, c) или по названиям вершин треугольника, образующих эту сторону (AC, BC, AB).

Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она называется гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и называются катетами (AC, BC).

Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо измерить величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.

Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую проходит гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого — большую.

Величину угла можно рассчитать, сделав несложные математические вычисления. Вам понадобится знание основ тригонометрии. Если известны длина гипотенузы AB и катета ВС, вычислите значение синуса угла А: sin (A) = BC / AB.

Полученное значение найдите в справочных таблицах Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.

В наше время достаточно взять калькулятор с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение «Калькулятор», в пункте меню «Вид» выберете пункт «Инженерный». Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке расчета функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла — 30 градусов.

Источники:

  • Таблицы Брадиса (синусы, косинусы)

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Скопировать

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

β
α

a
b
c

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

tg alpha = dfrac{a}{b}

  • tg α — тангенс угла α
  • a — противолежащий катет
  • b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x. Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

angle alpha + angle beta + angle gamma = 180°

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

angle alpha = 90° — angle beta

angle beta = 90° — angle alpha

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.


Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти амплитуду силы тока формула
  • Как найти платье по этикетке
  • No bootable device insert boot disk and press any key на ноутбуке lenovo как исправить
  • В компьютере есть вай фай как найти
  • Как составить штатное расписание форма т3