Как найти острый угол между параболами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Найти острый угол между параболами y=x^2 и y=8-x^2 В точке их пересечения имеющей положительную абсциссу Расписать пошагово …» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Главная » Алгебра » Найти острый угол между параболами y=x^2 и y=8-x^2 В точке их пересечения имеющей положительную абсциссу Расписать пошагово

Источник

Углом
между двумя кривыми
у
= f₁(x)
и у
= f₂(x)
в точке их пересечения М₀(х₀,
у₀)
называется угол между касательными к
этим кривым в точке М₀.
Этот угол определяется по формуле

=

.

Пример.
Найти угол между параболами

у
= 8 – х²
и у
= х².

□ Для
нахождения координат точек пересечения
заданных кривых решим систему уравнений

В
результате получим А(2;
4) и В(−2;
4). Продифференцируем уравнения парабол:

= −2х,

= 2х.
Найдем значения

для точки А(2;
4):

= −4,

= 4. Следовательно,

=

.

Аналогично
определяется угол между кривыми в точке
В(−2;
4):

.
■

§ 21. Формула тейлора

Теорема.
Пусть функция f(x)
имеет в точке а
и некоторой ее окрестности производные
порядка п
+ 1. Пусть х
– любое значение аргумента из указанной
окрестности, х
≠ а.
Тогда между точками а
и х
найдется точка

такая, что справедлива формула:

f(x)
= f(а)
+

(х
– а)
+
(х
– а)²+
…+

(х
– а)^п+

+
(х
– а)^п⁺¹.

Эту
формулу называют формулой
Тейлора.

Выражение

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹

называют
остаточным
членом

формулы Тейлора.

Запишем остаточный
член в другом виде:

так
как

(а,
х),
то найдется число

,
0 <

< 1, что

= а
+

(х
– а)
и тогда

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹,
0 <

< 1.

Эта
форма остаточного члена наиболее
употребительна в приложениях.

Если
в формуле Тейлора а
= 0, то получим формулу
Маклорена:

f(x)
= f(0)
+

х
+

х²+
… +

х^п+
R_n₊₁(x)

с
остаточным членом

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Разложение
некоторых элементарных функций по
формуле Маклорена

1.
f(x)
= е^х.

Так как

f(x)
=

= … = f
^п⁺¹(x)
= е^х,

f(0)
=

= … = f
^п⁺¹(0)
= 1,

то
формула Маклорена имеет вид

е^х
= 1 +

+…+

+ R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Аналогично
можно разложить по формуле Маклорена
следующие функции:

2.
f(x)
=

= х
−

−

+
…+ (−1)^т⁺¹

+ R₂_т(x),

где
R₂_т(x)
= (−1)^т
·
,
0 <

< 1.

3.
f(x)
=

= 1
−

−

+
…+ (−1)^т

+ R₂_т₊₁(x),

где
R₂_т₊₁(x)
= (−1)^т⁺¹
·
,
0 <

< 1.

4.
f(x)
= (1 + х)^т.

(1
+ х)^т
=1+
х+
х²+

х³+…+

+

х^п
+R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)=

х^п⁺¹(1
+

)^т^—^п-¹,
0 <

< 1.

Пример.
Вычислить число е.

□ Запишем
разложение е^х
по формуле Маклорена:

е^х
= 1+

+…+

+
х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
заменить функцию е^х
ее многочленом Тейлора степени п
(отбросим остаточный член), то получим
приближенное равенство

е^х

1 +

+…+

,
(1)

абсолютная
погрешность которого

| R_n₊₁(x)
| =

| х
|^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
рассматривать функцию е^х
для −1 ≤ х
≤ 1, то

|
R_n₊₁(x)
| ≤

<

.

Полагая
в (1) х
= 1, получаем приближенное значение числа

е
≈ 1+

+ …+

.

При
этом | R_n₊₁(x)
| <

Если
требуется вычислить значение е
с точностью

= 0,001, то число п
определяется из неравенства

< 0,001, или (п
+ 1)! > 3000,

которое
выполняется при п
= 6. Следовательно,

е
≈ 1+

+ …+

.

Вычисляя
с четырьмя знаками после запятой, получим

е
≈ 2,7180.

Три
знака после запятой гарантированы.
■

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

kafromprin96

Вопрос по математике:

Найти острый угол между параболами y = x^2-2 и y = -x^2+6 той точке их пересечения которая имеет положительную абциссу

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

beglyeprti

Угол между пересекающими кривыми определяется как угол между двумя касательными к кривым в точке их пересечения по формуле
, где — угловые коэффициенты касательных.
Точки пересечения парабол:

Положительная абсцисса равна 2. Точка пересечения О(2; 2).
Продифференцируем уравнения парабол:

Значения производных в точке О дадут нам угловые коэффициенты касательных к параболам

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Источник

Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле

$displaystyle tg: varphi =frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},; ; (2)$

где $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения $displaystyle P(x_{0},y_{0})$ ,
т. е. частные значения в точке $displaystyle x_{0}$ производных от по из уравнений этих кривых:

$displaystyle k_{1}=tg: alpha _{1}=left ( frac{dy_{1}}{dx} right )_{x=x_{0}};; k_{2}=tg: alpha _{2}=left ( frac{dy_{2}}{dx} right )_{x=x_{0}}.$

Рис.1

Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая displaystyle x+y-4=0 и парабола $displaystyle 2y=8-x^{2}$ ;
2) эллипс $displaystyle x^{2}+4y^{2}=4$ и парабола $displaystyle 4y=4-5x^{2}$ ;
3) синусоида displaystyle y=sin x и косинусоида displaystyle y=cos x .
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: A(0;4) и B(2;2) , рис.2.

Рис.2

Далее находим производную от по из уравнения параболы: displaystyle 2y'=-2x,: y'=-x и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и , как частные значения этой производной:

$displaystyle y'_{A}=k_{A}=0;; y'_{B}=k_{B}=-2.$

Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим

$displaystyle textrm{tg}: A=1,: A=45^{circ};; textrm{tg}: B=frac{-1+2}{1+2}=frac{1}{3},; Bapprox 18,5^{circ}.$

2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: A(1,2;-0,8), B(0;1) и C(-1,2;-0,8) рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от по из их уравнений

$displaystyle k_{1}=-frac{x}{4y};; k_{2}=-frac{5}{2}x.$

Рис.3

Подставляя координаты точки , получим $displaystyle k_{1}=frac{3}{8}$ и $displaystyle k_{2}=-3$ . Следовательно, в точке :

$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{frac{3}{8}+3}{1-frac{9}{8}}=-27;; varphi approx 92^{circ}.$

Под таким же углом кривые пересекаются и в точке вследствие их симметричности относительно оси .
В точке имеем: $displaystyle k_{1}=k_{2}=0$ , следовательно, в точке кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением displaystyle sin x=cos x , решая которое, получим

$displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n; (n=0,pm 1,pm 2,...).$

Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде: $displaystyle k_{1}=cos x;: k_{2}=-sin x.$

Рис.4

Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{cos x+sin x}{1-cos xsin x}=pm frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}}{1-frac{1}{2}}=pm 2sqrt{2}.$
Положительному знаку соответствует острый угол $displaystyle varphi approx 70,5^{circ}$ , отрицательному — тупой, смежный с ним угол $displaystyle varphi_{1} approx 109,5^{circ}$ .

Источник

Найти острый угол между параболами y = x ^ 2 — 2 и y = — x ^ 2 + 6 той точке их пересечения которая имеет положительную абциссу.

На этой странице сайта размещен вопрос Найти острый угол между параболами y = x ^ 2 — 2 и y = — x ^ 2 + 6 той точке их пересечения которая имеет положительную абциссу? из категории
Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса
соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по
заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы.
Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по
заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими
пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Источник