Как найти отношение чисел треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Соотношения в треугольнике

228. В этой главе мы будем главным образом понимать под обозначениями отрезков AB, AC и т. д. выражающие их числа.

Мы знаем (п. 226), что если даны геометрически два отрезка a и b, то мы можем построить средний пропорциональный между ними. Пусть теперь отрезки даны не геометрически, а числами, т. е. под a и b будем понимать числа, выражающие 2 данных отрезка. Тогда нахождение среднего пропорционального отрезка сведется к нахождению числа x из пропорции a/x = x/b, где a, b и x числа. Из этой пропорции имеем:

x² = ab
x = √ab

229. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (чер. 224).

Опустим из вершины его прямого угла (∠B прямой) перпендикуляр BD на гипотенузу AC. Тогда из п. 225 мы знаем:

1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.

Отсюда мы получаем:

AB² = AC · AD и BC² = AC · DC.

Сложив по частям полученные равенства, получим:

AB² + BC² = AC · AD + AC · DC = AC(AD + DC).

т. е. квадрат числа, выражающего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты прямоугольного треугольника.

Сокращенно говорят: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Если мы дадим полученной формуле геометрическое толкование, то получим уже известную нам теорему Пифагора (п. 161):

квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Из уравнения AB² + BC² = AC² иногда приходится находить катет прямоугольного треугольника, по гипотенузе и другому катету. Получим, напр.:

AB² = AC² – BC² и, следов.,

230. Найденное числовое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника позволяет решать множество вычислительных задач. Решим некоторые из них:

1. Вычислить площадь равностороннего треугольника по данной его стороне.

Пусть ∆ABC (чер. 225) равносторонний и каждая его сторона выражается числом a (AB = BC = AC = a). Для вычисления площади этого треугольника надо узнать сначала его высоту BD, которую мы назовем чрез h. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота BD делит основание AC пополам, т. е. AD = DC = a/2. Поэтому из прямоугольного треугольника DBC имеем:

BD² = BC² – DC²,

или

h² = a² – a²/4 = 3a²/4 (выполняем вычитание).

Отсюда имеем:

(выносим множитель из под корня).

Следовательно, называя число, выражающее площадь нашего треугольника, чрез Q и зная, что площадь ∆ABC = (AC · BD)/2, находим:

Мы можем смотреть на эту формулу, как на один из способов измерения площади равностороннего треугольника: надо измерить его сторону в линейных единицах, возвести найденное число в квадрат, умножить полученное число на √3 и разделить на 4 — получим выражение площади в квадратных (соответствующих) единицах.
2. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21 лин. един. Вычислить его площадь.

Опустим высоту h в нашем треугольнике (чер. 226) на большую сторону — она непременно пройдет внутри треугольника, так как в треугольнике тупой угол может быть расположен только против большей стороны. Тогда большая сторона, = 21, разделится на 2 отрезка, один из которых обозначим чрез x (см. чертеж) — тогда другой = 21 – x. Получим два прямоугольных треугольника, из которых имеем:

h² = 10² – x² и h² = 17² – (21 – x)²

Так как левые части этих уравнений одинаковы, то

10² – x² = 17² – (21 – x)²

Выполняя действия получим:

10² – x² = 289 – 441 + 42x – x²

Упрощая это уравнение, найдем:

42x = 252,

откуда

x = 6

Тогда из уравнения h² = 10² – x², получим:

h² = 10² – 6² = 64

и, следовательно,

h = √64 = 8

Тогда искомая площадь найдется:

Q = (21 · 8)/2 квад. един. = 84 квад. един.

3. Можно решить общую задачу:

как вычислить площадь треугольника по его сторонам?

Пусть стороны треугольника ABC выражены числами BC = a, AC = b и AB = c (чер. 227). Положим, что AC есть большая сторона; тогда высота BD пойдет внутри ∆ABC. Назовем: BD = h, DC = x и тогда AD = b – x.

Из ∆BDC имеем: h² = a² – x².

Из ∆ABD имеем: h² = c² – (b – x)²,

откуда a² – x² = c² – (b – x)².

Решая это уравнение, последовательно получаем:

2bx = a² + b² – c² и x = (a² + b² – c²)/2b.

Далее, подставляя это выражение в уравнение h² = a² – x², найдем

(Последнее написано на том основании, что числителя 4a²b² – (a² + b² – c²)² можно рассматривать, как равность квадратов, которую разлагаем на произведение суммы на разность).

Или

Эту формулу преобразовывают, вводя периметр треугольника, который обозначим чрез 2p, т. е.

a + b + c = 2p

Вычитая по 2c из обеих частей равенства, получим:

a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):

Также найдем:

c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).

Тогда получим:

(p выражает полупериметр треугольника).
Этою формулою можно пользоваться для вычисления площади треугольника по трем его сторонам.

231. Упражнения.

Основание равнобедренного треугольника равно 10 дм., а его площадь = 60 кв. дм. Найти (вычислить) его периметр.
Параллельные стороны равнобочной трапеции равны 16 и 40 дм., а каждая из непараллельных сторон = 37 дм. Вычислить его площадь.
Стороны трапеции равны: параллельные 15 и 36 дм., а непараллельные 13 и 20 дм. Вычислить их площадь.
Сторона ромба и его меньшая диагональ одинаковы. Найти формулу для измерения площади такого ромба по его стороне.
Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 8 дм. Найти отрезок гипотенузы, заключенный между биссектором прямого угла треугольника и высотою, опущенною из вершины прямого угла.
Биссектор прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на 2 отрезка, равные соответственно лин. един. Вычислить его площадь.
Найти сторону квадрата, равновеликого равнобедренному треугольнику, боковая сторона которого = 12 ½ лин. един., а высота относится к основанию, как 2 : 3.
Стороны параллелограмма равны a и b и один из его углов = 45°. Найти формулу для его площади.
Угол параллелограмма = 30°; выразить его площадь чрез его стороны (a и b).

232. В п. 229 мы нашли зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Можно найти подобную же зависимость для сторон (с присоединением еще одного отрезка) косоугольного треугольника.

Пусть имеем сначала ∆ABC (чер. 228) такой, чтобы ∠A был острый. Постараемся найти выражение для квадрата стороны BC, лежащей против этого острого угла (подобно тому, как в п. 229 нашли выражение для квадрата гипотенузы).

Построив BD ⊥ AC, получим из прямоугольного треугольника BDC:

BC² = BD² + DC²

Заменим BD2, определяя его из ABD, откуда имеем:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC заменим чрез AC – AD (очевидно, что DC = AC – AD). Тогда получим:

BC² = AB² – AD² + (AC – AD)² = AB² – AD² + AC² – 2AC · AD + AD²

Выполнив приведение подобных членов, найдем:

BC² = AB² + AC² – 2AC · AD.

Эта формула читается: квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, минус удвоенное произведение одной из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.

233. Пусть теперь ∠A и ∆ABC (чер. 229) тупой. Найдем выражение для квадрата стороны BC, лежащей против тупого угла.

Построив высоту BD — она теперь расположится несколько иначе: на 228 где ∠A острый, точки D и C располагаются по одну сторону от A, а здесь, где ∠A тупой, точки D и C расположатся по разные стороны от A. Тогда из прямоугольного ∆BDC получим:

BC² = BD² + DC²

Мы можем BD2 заменить, определяя его из прямоугольного ∆BDA:

BD² = AB² – AD²,

а отрезок DC = AC + AD, что очевидно. Заменяя, получим:

BC² = AB² – AD² + (AC + AD)² = AB² – AD² + AC² + 2AC · AD + AD²

Выполняя приведение подобных членов найдем:

BC² = AB² + AC² + 2AC · AD,

т. е. квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, плюс удвоенное произведение одной из них на ее отрезок от вершины тупого угла до высоты.
Эта формула, а равно и формула п. 232, допускают геометрическое истолкование, которое легко найти.

234. Пользуясь свойствами пп. 229, 232, 233, мы можем, если нам даны стороны треугольника в числах, узнать, есть ли у этого треугольника прямой или тупой угол.

Прямой или тупой угол в треугольнике может быть расположен лишь против большей стороны, каков же угол против нее, легко узнать: этот угол острый, прямой или тупой, смотря по тому, будет ли квадрат большей стороны меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Узнать, имеется ли прямой или тупой угол в следующих треугольниках, определяемых своими сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. и 14 дм.; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.

235. Пусть имеем параллелограмм ABCD (чер. 230); построим его диагонали AC и BD и его высоты BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.

Тогда, если ∠A (∠BAD) острый, то ∠D (∠ADC) непременно тупой (ибо их сумма = 2d). Из ∆ABD, где ∠A считаем острым, имеем:

BD² = AB² + AD² – 2AD · AK,

а из ∆ACD, где ∠D тупой, имеем:

AC² = AD² + CD² + 2AD · DL.

Заменим в последней формуле отрезок AD равным ему отрезком BC и DL равным ему AK (DL = AK, ибо ∆ABK = ∆DCL, в чем легко убедиться). Тогда получим:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Сложив выражение для BD2 с последним выражением для AC², найдем:

BD² + AC² = AB² + AD² + BC² + CD²,

так как члены –2AD · AK и +2AD · AK взаимно уничтожаются. Полученное равенство можем прочитать:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

236. Вычисление медианы и биссектора треугольника по его сторонам. Пусть в треугольнике ABC (чер. 231) построена медиана BM (т. е. AM = MC). Зная стороны ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, вычислить медиану BM.

Продолжим BM и отложим отрезок MD = BM. Соединив D с A и D с C, получим параллелограмм ABCD (выяснить это легко, так как ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).

Называя медиану BM чрез m, получим BD = 2m и тогда, пользуясь предыдущим п., имеем:

237. Вычисление радиуса, описанного около треугольника круга. Пусть около ∆ABC (чер. 233) описан круг O. Построим диаметр круга BD, хорду AD и высоту треугольника BH.

Тогда ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d — угол A прямой, потому что он вписанный, опирающийся на диаметр BD и ∠D = ∠C, как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB). Поэтому имеем:

BD/BC = AB/BH,

или, называя радиус OB чрез R, высоту BH чрез h и стороны AB и BC, как и раньше, соответственно чрез c и a:

2R/a = c/h,

откуда

R = ac/2h,

но площадь ∆ABC = Q = bh/2, откуда h = 2Q/b.

Следовательно, R = (abc) / (4Q).

Мы умеем (п. 230 зад. 3) вычислять площадь треугольника Q по его сторонам. Отсюда можем вычислить R по трем сторонам треугольника.

238. Вычисление радиуса вписанного в треугольник круга. Впишем в ∆ABC, стороны которого даны (чер. 234), круг O. Соединив его центр O с вершинами треугольника и с точками касания D, E и F сторон к кругу, найдем, что радиусы круга OD, OE и OF служат высотами треугольников BOC, COA и AOB.

Называя радиус вписанного круга чрез r, имеем:

Источник

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Геометрия

План урока:

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м 2 и 300 м 2 . Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

Отношение площадей подобных треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы введем понятие подобных треугольников и рассмотрим теорему об отношении их площадей. Затем будет рассмотрен ряд примеров на применение этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение»

источники:

http://100urokov.ru/predmety/urok-6-podobnye-treugolniki

http://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/otnoshenie-ploschadey-podobnyh-treugolnikov

Источник

22
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Подобные треугольники

2013-08-22
2014-01-31

Определение

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – $k=frac{AO}{OC}.$

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax |

комментариев 50

Источник

Даны треугольники (ABC) и (DEF).

Если известно, что

ABDE=BCEF=ACDF=k

∠A=∠D;∠B=∠E;∠C=∠F

то можно сделать вывод, что

ΔABC∼ΔDEF.

При записи подобия треугольников важно соблюдать порядок букв. Равным углам соответствуют определённые буквы.

Число k, которое равно отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия треугольников.

Чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не обязательно знать длины всех сторон и градусные меры всех углов треугольников, это можно сделать проще, используя признаки подобия треугольников.

Источник