Как найти отношение длин проводников

Сопротивление проводника зависит от его длины, площади поперечного сечения и удельного сопротивления материала, из которого он изготовлен. При этом площадь поперечного сечения у обоих проводников одинакова, а материал одинаковый, поэтому разница в сопротивлении будет зависеть только от длины проводника.

Сопротивление проводника можно вычислить по формуле:

R = ρ * L / S,

где R — сопротивление проводника, ρ — удельное сопротивление материала, L — длина проводника, S — площадь поперечного сечения проводника.

Так как у обоих проводников площадь поперечного сечения одинакова, то можно записать:

R1 / R2 = (ρ * L1) / (ρ * L2) = L1 / L2,

где R1 и R2 — сопротивления первого и второго проводников соответственно, L1 и L2 — длины первого и второго проводников соответственно.

Таким образом, отношение сопротивлений двух проводников равно отношению их длин. Так как длина второго проводника в 6 раз больше длины первого, то второй проводник имеет большее сопротивление в 6 раз.

Условие задачи:

Два замкнутых круговых проводника лежат в одной плоскости. При одинаковом изменении индукции однородного магнитного поля в первом возникла ЭДС индукции 0,15 В, а во втором – 0,6 В. Во сколько раз длина второго проводника больше первого?

Задача №8.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(rm E_{i1}=0,15) В, (rm E_{i2}=0,6) В, (frac{l_2}{l_1}-?)

Решение задачи:

Понятно, что из-за изменения индукции магнитного поля (а, значит, и магнитного потока) в круговых проводниках будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

[{{rm E}_i} = frac{{Delta Phi }}{{Delta t}};;;;(1)]

Заметим, что формулу (1) можно использовать только при равномерном изменении магнитного потока (условно мы примем изменение именно таким). Так как площадь (S), охватываемая круговым проводником, не изменяется, то изменение магнитного потока (Delta Phi) следует искать по формуле:

[Delta Phi = Delta BS]

Таким образом, формула (1) примет вид:

[{{rm E}_i} = frac{{Delta BS}}{t};;;;(2)]

Если радиус кругового проводника равен (r), то его площадь (S) равна:

[S = pi {r^2}]

Домножим и поделим правую часть этой формулы на (4 pi), тогда:

[S = frac{{4{pi ^2}{r^2}}}{{4pi }}]

Так как длину окружности (l) (а, значит, и длину кругового проводника) можно найти по формуле (l = 2pi r), то справедливо:

[S = frac{{{l^2}}}{{4pi }}]

Учитывая это, формула (2) примет вид:

[{{rm E}_i} = frac{{Delta B{l^2}}}{{4pi t}}]

Запишем эту формулу применительно к двум проводникам:

[left{ begin{gathered}
{{rm E}_{i1}} = frac{{Delta Bl_1^2}}{{4pi t}} hfill \
{{rm E}_{i2}} = frac{{Delta Bl_2^2}}{{4pi t}} hfill \
end{gathered} right.]

Поделим нижнее равенство на верхнее:

[frac{{{{rm E}_{i2}}}}{{{{rm E}_{i1}}}} = frac{{l_2^2}}{{l_1^2}}]

Откуда искомое отношение длин проводников равно:

[frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = sqrt {frac{{{{rm E}_{i2}}}}{{{{rm E}_{i1}}}}} ]

Численный ответ равен:

[frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = sqrt {frac{{0,6}}{{0,15}}} = 2]

Ответ: в 2 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.5 Магнитный поток через контур изменяется от 6 до 14 Вб за 20 с. Определите абсолютную
8.4.7 Проводник длиной 2 м движется в однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл
8.4.8 В однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл равномерно вращается рамка

Зависимость электрического сопротивления от сечения, длины и материала проводника

Сопротивление различных проводников зависит от материала, из которого они изготовлены.

Можно проверить это практически на следующем опыте.

Рисунок 1. Опыт, показывающий зависимость электрического сопротивления от материала проводника

Подберем два или три проводника из различных материалов, возможно меньшего, но одинакового поперечного сечения, например, один медный, другой стальной, третий никелиновый. Укрепим на планке два зажима а и б на расстоянии 1 —1,5 м один от другого (рис. 1) и подключим к ним аккумулятор через амперметр. Теперь поочередно между зажимами а и б будем на 1—2 сек включать сначала медный, потом стальной и, наконец, никелиновый проводник, наблюдая в каждом случае за отклонением стрелки амперметра. Нетрудно будет заметить, что наибольший по величине ток пройдет по медному проводнику, а наименьший — по никелиновому.

Из этого следует, что сопротивление медного проводника меньше, чем стального, а сопротивление стального проводника меньше, чем никелинового.

Таким образом, электрическое сопротивление проводника зависит от материала, из которою он изготовлен.

Для характеристики электрического сопротивления различных материалов введено понятие о так называемом удельном сопротивлении.

Определение: Удельным сопротивлением называется сопротивление проводника длиной в 1 м и сечением в 1 мм² при температуре +20 С°.

Удельное сопротивление обозначается буквой ρ («ро») греческого алфавита.

Каждый материал, из которого изготовляется проводник, обладает определенным удельным сопротивлением. Например, удельное сопротивление меди равно 0,0175 Ом*мм²/м, т. е. медный проводник длиной 1 м и сечением 1 мм² обладает сопротивлением 0,0175 Ом.

Ниже приводится таблица удельных сопротивлений материалов, наиболее часто применяемых в электротехнике.

Удельные сопротивления материалов, наиболее часто применяемых в электротехнике

Любопытно отметить, что например, нихромовый провод длиною 1 м обладает примерно таким же сопротивлением, как медный провод длиною около 63 м (при одинаковом сечении).

Разберем теперь, как влияют размеры проводника, т. е. длина и поперечное сечение, на величину его сопротивления.

Воспользуемся для этого схемой, изображенной на рис. 1. Включим между зажимами а и б для большей наглядности опыта проволоку из никелина. Заметив показание амперметра, отключим от зажима б проводник, которой соединяет прибор с минусом аккумулятора, и освободившимся концом проводника прикоснемся к никелиновой проволоке на некотором удалении от зажима а (рис. 2). Уменьшив таким образом длину проводника, включенного в цепь, нетрудно заметить по показанию амперметра, что ток в цепи увеличился.

Рисунок 2. Опыт, показывающий зависимость электрического сопротивления от длины проводника

Это говорит о том, что с уменьшением длины проводника сопротивление его уменьшается. Если же перемещать конец проводника по никелиновой проволоке вправо, т. е. к зажиму б, то, наблюдая за показаниями амперметра, можно сделать вывод, что с увеличением длины проводника сопротивление его увеличивается.

Таким образом, сопротивление проводника прямо пропорционально его длине, т. е. чем длиннее проводник, тем больше его электрическое сопротивление..

Выясним теперь, как зависит сопротивление проводника от его поперечного сечения, т. е. от толщины.

Подберем для этого два или три проводника из одного и того же материала (медь, железо или никелин), но различного поперечного сечения и включим их поочередно между зажимами а и б, как указано на рис. 1.

Наблюдая каждый раз за показаниями амперметра, можно убедиться, что чем тоньше проводник, тем меньше ток в цепи, а следовательно, тем больше сопротивление проводника. И, наоборот, чем толще проводник, тем больше ток в цепи, а следовательно, тем меньше сопротивление проводника.

Значит, сопротивление проводника обратно пропорционально площади его поперечного сечения, т. е. чем толще проводник, тем его сопротивление меньше, и, наоборот, чем тоньше проводник, тем его сопротивление больше.

Чтобы лучше уяснить эту зависимость, представьте себе две пары сообщающихся сосудов (рис. 3), причем у одной пары сосудов соединяющая трубка тонкая, а у другой — толстая.

Рисунок 3. Вода по толстой трубке перейдет быстрее, чем по тонкой

Ясно, что при заполнении водой одного из сосудов (каждой пары) переход ее в другой сосуд по толстой трубке произойдет гораздо быстрее, чем по тонкой. Это значит, что толстая трубка окажет меньшее сопротивление течению воды. Точно так же и электрическому току легче пройти по толстому проводнику, чем по тонкому, т. е. первый оказывает ему меньшее сопротивление, чем второй.

Обобщая результаты произведенных нами опытов, можно сделать следующий общий вывод:

 электрическое сопротивление проводника равно удельному сопротивлению материала, из которого этот проводник сделан, умноженному на длину проводника и деленному на площадь его поперечного сечения..

Математически эта зависимость выражается следующей формулой:

где R—сопротивление проводника в Ом;

ρ — удельное сопротивление материала в Ом*мм²/м;

l — длина проводника в м;

S—площадь поперечного сечения проводника в мм².

Примечание. Площадь поперечного сечения круглого проводника вычисляется по формуле

где π—постоянная величина, равная 3,14;

d—диаметр проводника.

Указанная выше зависимость дает возможность определить длину проводника или его сечение, если известны одна из этих величин и сопротивление проводника.

Так, например, длина проводника определяется по формуле:

Если же необходимо определить площадь поперечного сечения проводника, то формула принимает следующий вид:

Решив это равенство относительно ρ, получим выражение для определения удельного сопротивления проводника:

Последней формулой приходится пользоваться в тех случаях, когда известны сопротивление и размеры проводника, а его материал неизвестен и к тому же трудно определим по внешнему виду. Определив по формуле удельное сопротивление проводника, можно найти  материал, обладающий таким удельным сопротивлением.  

Закон Ома. Соединение проводников. ЗАДАЧИ на ЕГЭ

Формулы, используемые на уроках «Задачи по теме: Закон Ома. Соединение проводников» для подготовки к ЕГЭ по физике.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
  Медный проводник весом Р = 0,1 Н имеет сопротивление R = 1 мОм. Найти диаметр d его поперечного сечения. Плотность меди р_п = 8,9 • 10³ кг/м³, ее удельное сопротивление р_с = 1,7 • 10^–8 Ом•м.

Задача № 2.
  Определить напряженность Е электрического поля в серебряном проводнике с радиусом поперечного сечения r = 0,5 мм при силе тока I = 2 А. Удельное сопротивление серебра р = 1,6 • 10^–8 Ом•м.

Задача № 3.
  Напряжение на стальном проводнике U = 100 В, его длина l = 200 м. Средняя скорость упорядоченного движения свободных электронов в проводнике v = 5 • 10^–4 м/с. Найти концентрацию п свободных электронов в этом проводнике. Удельное сопротивление стали р = 1,2 • 10^–7 Ом•м, модуль заряда электрона е = 1,6 • 10^–19 Кл.

Задача № 4.
 Между обкладками плоского конденсатора находится вещество с диэлектрической проницаемостью ε и удельным сопротивлением р. Чему равно электрическое сопротивление R этого вещества, если емкость конденсатора С?

Задача № 5.
  Какой силы ток пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с источником напряжения, если из конденсатора удалить с постоянной скоростью v = 5 см/с диэлектрик? Площадь обкладок квадратной формы S = 300 см², расстояние между ними d = 3 мм, диэлектрик – слюда. Диэлектрическая проницаемость слюды ε₁ = 6. Напряжение на клеммах источника U = 4 В.

Задача № 6.
  Чему равно напряжение U на катушке, содержащей N = 500 витков стального провода с диаметром витка D = 8 см, если плотность тока в ней j = 10 А/мм² ? Удельное сопротивление стали р = 1,2 • 10^–7 Ом•м.

Задача № 7.
  Резистор из медной проволоки и амперметр включены последовательно (рис. 5-20). При температуре t₀° = 0 °С сопротивление резистора R₀ = 20 Ом. Сопротивление амперметра R_A = 10 Ом. Какую силу тока I₂ будет показывать амперметр, когда резистор нагреется до t° = 100 °С, если при t₀° = 0 °С он показывает I₁ = 4 А? Температурный коэффициент меди α = 4,3 • 10^–3 К^–1. 

Задача № 8.
Угольный и железный стержни одинакового диаметра соединены последовательно. Как должны соотноситься длины этих стержней, чтобы их общее сопротивление не зависело от температуры? Температурные коэффициенты сопротивления угля и железа соответственно равны α_угля = –0,08 • 10^–3 К^–1 и α_жел = 6 • 10^–3 К^–1. Удельные сопротивления при 0°С этих веществ р_угля = 4 • 10^–5 Ом•м и р_жел = 1,2 • 10^–7 Ом•м.
Примечание: температурный коэффициент угля отрицателен, потому что при повышении температуры его сопротивление уменьшается.

Задача № 9.
  Во сколько раз уменьшится сопротивление проводника без изоляции, если его согнуть пополам, а затем скрутить?

Задача № 10.
  Участок цепи состоит из трех последовательно соединенных проводников, подключенных к источнику напряжения U = 50 В (рис. 5-22). Сопротивление первого проводника R₁ = 2 Ом, второго R₂ = 6 Ом, а напряжение на третьем проводнике U₃ = 10 В. Найти силу тока I в этих проводниках, сопротивление третьего проводника R₃ и напряжения U₁ и U₂ на первом и втором проводниках. 

Задача № 11.
 Электрическую лампу сопротивлением R_л = 200 Ом, рассчитанную на напряжение U_л = 100 В, надо питать от сети с напряжением U_общ = 220 В. Какой длины l вольфрамовый проводник с диаметром поперечного сечения d = 0,4 мм надо включить последовательно с лампой, чтобы она не перегорела? Удельное сопротивление вольфрама р = 5,5 • 10^–8 Ом•м.

Задача № 12.
  N = 10 ламп, рассчитанных на напряжение U_л = 2,5 В и силу тока I_л = 0,1 А, надо соединить параллельно. Для их питания имеется источник напряжением U_общ = 6 В. Резистор какого сопротивления R надо подключить последовательно к этому источнику (рис. 5-24), чтобы лампы не перегорели? 

Задача № 13.
  Кабель состоит из двух стальных жил с площадью поперечного сечения S₁ = 0,4 мм² каждая и четырех медных жил с площадью поперечного сечения S₂ = 0,8 мм² каждая. Найти падение напряжения U на каждых l = 2 км кабеля при силе тока в нем I = 0,2 А. Удельное сопротивление стали p₁ = 1,2 • 10^–7 Ом•м, удельное сопротивление меди р₂ = 1,7 • 10^–8 Ом•м.

Задача № 14.
  Сопротивление одного из последовательно соединенных проводников в N = 4 раза больше сопротивления другого. Во сколько раз изменится сила тока в цепи, если эти проводники включить параллельно, а напряжение на них оставить прежним?

Задача № 15.
  Четыре одинаковых сопротивления R соединяют всеми возможными способами. Определить общие сопротивления во всех этих случаях.

Задача № 16.
  Если вольтметр включить последовательно с резистором R₁ = 100 Ом, то он покажет напряжение U₁ = 40 В при напряжении на данном участке цепи U = 120 В. Какое напряжение U₂ покажет вольтметр, если к нему подключить последовательно резистор R₂ = 30 Ом, а напряжение U оставить прежним?

Задача № 17.
  Напряжение на концах участка цепи, изображенного на рис. 5-28, равно U_общ. Найти силу тока I_общ в его неразветвленной части, если сопротивления равны R. 

Задача № 18.
  К проволочному кольцу в двух точках а и b присоединены подводящие ток провода (рис. 5-29). В каком отношении делят точки а и b длину окружности кольца, если общее сопротивление R_общ получившегося участка цепи n = 4,5 раза меньше сопротивления R проволоки, из которой сделано кольцо? 

Задача № 19.
 Сопротивление гальванометра R_г = 400 Ом. При прохождении через него тока силой I₀ = 0,2 мА стрелка гальванометра отклоняется на одно деление. Вся шкала гальванометра имеет N = 100 одинаковых делений. Если к этому гальванометру подключить один шунт, то он сможет измерять токи силой до I₁ = 2 А, а если к нему подключить другой шунт, то он сможет измерять токи силой до I₂ = 8 А. Найти сопротивления R₁ и R₂ этих шунтов. 

Задача № 20.
 Если к амперметру, рассчитанному на предельный ток силой I_А = 10 А, подсоединить шунт сопротивлением R_ш = 1 Ом, то цена деления амперметра увеличится в N = 10 раз. Какое добавочное сопротивление R_д.c. следует подключить к этому амперметру, чтобы им можно было измерять напряжение до U = 150 В?

Задача № 21.
  Из проводника сопротивлением R = 10 Ом сделали два одинаковых кольца с перемычками по диаметру и присоединили их к источнику напряжения U = 100 В (рис. 5-36, а). Найти силу тока I в неразветвленном участке цепи. Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. 

Это конспект по теме «Закон Ома. Соединение проводников. ЗАДАЧИ на ЕГЭ». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.

Электрическое сопротивление – физическая величина, характеризующая способность проводника препятствовать прохождению по нему электрического тока.

Сопротивление часто обозначается через R или r и в Международной системе единиц (СИ) измеряется в Омах.

В зависимости от среды проводника и носителей зарядов, физическая природа сопротивления может отличаться. Так, например, в металле движущиеся под действием поля электроны рассеиваются на неоднородностях ионной решетки, теряют свой импульс, и энергия их движения преобразуется во внутреннюю энергию кристаллической решетки (то есть становится меньше).

Сопротивление проводника при прочих равных условиях зависит от его геометрии и от удельного электрического сопротивления материала, из которого он выполнен.

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения зависит от свойств вещества проводника, его длины, сечения и определяется согласно зависимости

где ρ – удельное сопротивление вещества проводника, Ом·м, l  — длина проводника, м, а S — площадь сечения, мм².

Удельное сопротивление ρ – скалярная физическая величина, численно равная сопротивлению однородного цилиндрического проводника единичной длины и единичной площади сечения (рисунок 1). При расчетах это значение выбирается из таблицы.

Сопротивление проводника R зависит от внешнего фактора – температуры T, но для разных групп веществ эта зависимость имеет различные зависимости. Так, при снижении температуры металлов их сопротивление снижается (то есть способность проводить ток увеличивается). Если температура металла достигает низких значений, он переходит в состояние так называемой свехрпроводимости и его сопротивление R стремится к 0. Поведение полупроводников под воздействием температур обратное – при снижении температуры T сопротивление R растет, а при его росте наоборот падает (рисунок 2).

Закон Ома

В 1826 году немецкий физик Георг Ом открыл важный в электронике закон, названный впоследствии его фамилией. Закон Ома определяет количественную зависимость между электрическим током и свойствами проводника, характеризующими его способность противостоять электрическому току.

Существует несколько интерпретаций закона Ома.

Закон Ома для участка цепи (рисунок 3) определяет величину электрического тока I в проводнике как отношение напряжения на концах проводника U и его сопротивления R

Интерпретировать закон Ома для участка цепи можно следующим образом: если к концам проводника сопротивлением R = 1 Ом приложено напряжение U = 1 В, тогда величина тока I в проводнике будет равна 1 А

На представленном выше простом примере разберем физическую интерпретацию закона Ома, используя аналогию электрического тока и воды. В качестве аналога проводника электрического тока возьмем воронку, сужение в которой возникает из-за наличие в проводнике сопротивления R (рисунок 4). Пусть в воронку из некоторого источника поступает вода, которая просачивается через узкое горлышко. Усилить поток воды на выходе горлышка воронки можно за счет давления на воду, например, силой поршня. В аналогии с электричеством, поршень будет являться аналогом напряжения – чем сильнее на воду давит поршень (то есть чем больше значение напряжения), тем сильнее будет поток воды на выходе из воронки (тем больше будет значение силы тока).

Закон Ома может быть применен не всегда, а лишь в ограниченном числе случаев. Так закон Ома «не работает» при расчете напряжения и тока в полупроводниковых или электровакуумных приборов, содержащих нелинейные элементы. В этом случае зависимость тока и напряжения можно определить только с помощью построение так называемой вольтамперной характеристики (ВАХ). К категории нелинейных элементов относятся все без исключения полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы, стабилитроны, тиристоры, варикапы и т.д.), а также электронные лампы.

Проводимость

Величина обратная сопротивлению, называется проводимостью:

G = 1/R.

Единица проводимости называется сименс (См): G, (g) = 1/Ом = См.