Как найти отношение концентрации газов

Печатать книгу

 Концентрация
частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной
системы

n=N/V,

где
V
— объем
системы.

 Основное уравнение
кинетической теории газов

p=²/зn<_п>,

где р
— давление
газа; <_п>—
средняя кинетическая энергия*
поступательного
движения молекулы.

 Средняя
кинетическая энергия:

приходящаяся на
одну степень свободы молекулы

<₁>=½kT;

• Здесь и далее
  кинетическая энергия молекул и других
  частиц обозна­чается .
  

приходящаяся на
все степени свободы молекулы (полная
энергия молекулы)

;

поступательного
движения молекулы

,

где
k
—
постоянная Больцмана; Т
—
термодинамическая темпера­тура;
i — число
степеней свободы молекулы;

вращательного
движения молекулы

 Зависимость
давления газа от концентрации молекул
и тем­пературы

p=nkT.

Скорость
молекул:

средняя квадратичная

,
или
;

средняя арифметическая

,
или
;

наиболее вероятная

,
или
,

где
m₁
—
масса одной
молекулы.

Примеры решения задач

Пример
1. В
баллоне вместимостью
V=6,9 л
находится азот массой m=2,3
г. При нагревании часть молекул
диссоциировали на атомы. Коэффициент
диссоциации*
=0,2.
Определить:
1) об­щее
число
N₁
молекул и концентрацию
n₁
молекул азота до нагрева­ния;
2) концентрацию
n₂
молекул и n₃
атомов азота после нагрева­ния.

Решение.
По определению, концентрация частиц
газа есть отношение числа частиц к
вместимости сосуда, занимаемого газом:

n=N/V.
(1)

1.
Число
N₁
молекул газа до нагревания найдем из
соотношения

.
(2)

где
v
— количество
вещества азота;
n_a
—
постоянная Авогадро;
М
— молярная
масса азота;
M_r
—
относительная молекулярная масса азота;
k=10^-3
кг/моль (см. пример
1 на с.
114). Подставив
значения величин в
(2), получим

.

*
См. примечание к задаче
8.15.

Концентрацию
n₁
найдем, подставив значения величин в
(1):

.

2.
Концентрацию после нагревания найдем
из соотношения

, (3)

где
N
— число
молекул, не распавшихся на атомы.

После подстановки
значений величин в
(3) получим

.

Концентрация
атомов после нагревания азота

. (4)

Число
2 в формуле
(4) выражает
тот факт, что каждая молекула после
распада дает два атома.

Подставим в
(4) значения
величин и произведем вычисления:

.

Пример
2. В колбе
вместимостью V=0,5
л находится кислород при нормальных
условиях. Определить среднюю энергию
поступательного движения всех молекул,
содержащихся в колбе.

Решение.
Средняя энергия
поступательного
движе­ния всех молекул может быть
выражена соотношением

,
(1)

где <_п>—
средняя энергия поступательного движения
одной моле­кулы;
N
— число
всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно,

,
(2)

где
k
—
постоянная Больцмана; Т
—
термодинамическая темпера­тура.

Число молекул,
содержащихся в колбе, найдем по формуле

N=vN_A,
(3)

где
v
— количество
вещества кислорода; N_A
— постоянная
Авогадро.

Количество
вещества v найдем из таких соображений:
известно, что при нормальных условиях
молярный объем Vm равен 22,410-3
м3/моль. Так как, по условию задачи,
кислород в колбе находится при нормальных
условиях, то количество вещества
кис­лорода в колбе выражается
соотношением

v=V/V_m.
(4)

Подставив выражение
v
по
(4) в
(3), получим

N=VN_A/V_m.
(5)

С учетом
(2) и
(5) выражение
(1) энергии
поступательного движе­ния молекул
примет вид

Проверим, дает ли
правая часть расчетной формулы единицу
энергии (джоуль). Для этого вместо
символов величин подставим единицы, в
которых эти величины выражаются:

.

Подставив значения
величин в
(6) и произведя
вычисления, най­дем

Пример
3. Найти
среднюю кинетическую энергию одной
моле­кулы аммиака
NH₃
при температуре
t=27 °С и
среднюю энергию вращательного движения
этой молекулы при той же температуре.

Решение.
Средняя полная энергия молекулы
определяется по
формуле

(1)

где
i
— число
степеней свободы молекулы;
k
—
постоянная Больцмана; Т—термодинамическая
температура газа: T=t+Т₀,
где Т₀=273
К.

Число степеней
свободы
i
четырехатомной молекулы, какой явля­ется
молекула аммиака, равно
6.

Подставим значения
величин в
(l):

.

Средняя энергия
вращательного движения молекулы
определя­ется по формуле

,
(2)

где число
3 означает
число степеней свободы поступательного
дви­жения.

Подставим в
(2) значения
величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию
вращательного движения молекул ам­миака
можно было получить иначе, разделив
полную энергию ()
на две равные части. Дело в том, что у
трех (и более) атомных молекул число
степеней свободы, приходящихся на
поступательное и враща­тельное
движение, одинаково (по
3), поэтому
энергии поступатель­ного и вращательного
движений одинаковы. В данном случае

Определение

Идеальный газ — газ, удовлетворяющий трем условиям:

• Молекулы — материальные точки.
• Потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежительно мала.
• Столкновения между молекулами являются абсолютно упругими.

Реальный газ с малой плотностью можно считать идеальным газом.

Измерение температуры

Температуру можно измерять по шкале Цельсия и шкале Кельвина. По шкале Цельсия за нуль принимается температура, при которой происходит плавление льда. По шкале Кельвина за нуль принимается абсолютный нуль — температура, при котором давление идеального газа равно нулю, и его объем тоже равен нулю.

Обозначение температуры

1. По шкале Цельсия — t. Единица измерения — 1 градус Цельсия (1 ^oC).
2. По шкале Кельвина — T. Единица измерения — 1 Кельвин (1 К).

Цена деления обеих шкал составляет 1 градус. Поэтому изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах:

∆t = ∆T

При решении задач в МКТ используют значения температуры по шкале Кельвина. Если в условиях задачи температура задается в градусах Цельсия, нужно их перевести в Кельвины. Это можно сделать по формуле:

T = t + 273

Если особо важна точность, следует использовать более точную формулу:

T = t + 273,15

Пример №1. Температура воды равна ^oC. Определить температуру воды в Кельвинах.

T = t + 273 = 2 + 273 = 275 (К)

Основное уравнение МКТ идеального газа

Давление идеального газа обусловлено беспорядочным движением молекул, которые сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Основное уравнение МКТ идеального газа связывает давление и другие макропараметры (объем, температуру и массу) с микропараметрами (массой молекул, скоростью молекул и кинетической энергией).

Основное уравнение МКТ

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

p=23n−Ek

p — давление идеального газа, n — концентрация молекул газа, −Ek — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Выражая физические величины друг через друга, можно получить следующие способы записи основного уравнения МКТ идеального газа:

p=13m0n−v2	m0— масса одной молекулы газа; n — концентрация молекул газа; −v2 — среднее значение квадрата скорости молекул газа. Среднее значение квадрата скорости не следует путать со среднеквадратичной скоростью v, которая равна корню из среднего значения квадрата скорости: v=√−v2
p=13ρ−v2	ρ — плотность газа
p=nkT	k — постоянная Больцмана (k = 1,38∙10–3 Дж/кг) T — температура газа по шкале Кельвина

Пример №2. Во сколько раз уменьшится давление идеального одноатомного газа, если среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул и концентрацию уменьшить в 2 раза?

Согласно основному уравнению МКТ идеального газа, давление прямо пропорционально произведению средней кинетической энергии теплового движения молекул и концентрации его молекул. Следовательно, если каждая из этих величин уменьшится в 2 раза, то давление уменьшится в 4 раза:

Следствия из основного уравнения МКТ идеального газа

Через основное уравнение МКТ идеального газа можно выразить скорость движения молекул (частиц газа):

v=√3kTm0=√3RTM

R — универсальная газовая постоянная, равная произведения постоянной Авогадро на постоянную Больцмана:

R=NAk=8,31 Дж/К·моль

Температура — мера кинетической энергии молекул идеального газа:

−Ek=32kT

T=2−Ek3k

Полная энергия поступательного движения молекул газа определяется формулой:

E=N−Ek

Пример №3. При уменьшении абсолютной температуры на 600 К средняя кинетическая энергия теплового движения молекул неона уменьшилась в 4 раза. Какова начальная температура газа?

Запишем формулу, связывающую температуру со средней кинетической энергией теплового движения молекул, для обоих случаев, с учетом что:

Следовательно:

Составим систему уравнений:

Отсюда:

Задание EF19012

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

---

Алгоритм решения

1.Указать, в каких координатах построен график.

2.На основании основного уравнения МКТ идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона выяснить, как меняются указанные физические величины во время процессов 1–2 и 2–3.

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

T=2−Ek3

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

νR=p1V1T1=p2V2T2

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

Ответ:

• Участок 1–2 — изобарный процесс. Температура увеличивается, давление постоянно.

• Участок 2–3 — изотермический процесс. Температура постоянно, давление увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17560

Первоначальное давление газа в сосуде равнялось р₁. Увеличив объём сосуда, концентрацию молекул газа уменьшили в 3 раза, и одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотичного движения молекул газа. В результате этого давление р₂ газа в сосуде стало равным

Ответ:

а) 13p1

б) 2p1

в) 23p1

г) 43p1

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.

3.Составить уравнения для состояний 1 и 2.

4.Выразить искомую величину.

Решение

Исходные данные:

• Начальное давление: p₀.

• Начальная концентрация молекул: n₁ = 3n.

• Конечная концентрация молекул: n₂ = n.

• Начальная средняя энергия хаотичного движения молекул: E_k1 = E_k.

• Конечная средняя энергия хаотичного движения молекул: E_k2 = 2E_k.

Основное уравнение МКТ:

p=23n−Ek

Составим уравнения для начального и конечного состояний:

p1=23n1−Ek1=233n−Ek=2n−Ek

p2=23n2−Ek2=23n2−Ek=43n−Ek

Отсюда:

n−Ek=p12=3p24

p2=4p16=23p1

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18416

Цилиндрический сосуд разделён неподвижной теплоизолирующей перегородкой. В одной части сосуда находится кислород, в другой – водород, концентрации газов одинаковы. Давление кислорода в 2 раза больше давления водорода. Чему равно отношение средней кинетической энергии молекул кислорода к средней кинетической энергии молекул водорода?

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.

3.Составить уравнения для обоих газов.

4.Найти отношение средней кинетической энергии молекул кислорода к средней кинетической энергии молекул водорода.

Решение

Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:

• Концентрации кислорода и водорода в сосуде равны. Следовательно, n₁ = n₂ = n.

• Давление кислорода вдвое выше давления водорода. Следовательно, p₁ = 2p, а p₂ = p.

Запишем основное уравнение идеального газа:

p=23n−Ek

Применим его для обоих газов и получим:

p1=23n1−Ek1 или 2p=23n−Ek1 

p2=23n2−Ek2 или p=23n−Ek2 

Выразим среднюю кинетическую энергию молекул газа из каждого уравнения:

−Ek1=3pn

−Ek2=3p2n

Поделим уравнения друг на друга и получим:

−Ek1−Ek2=3pn·2n3p=2

Ответ: 2

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18824

В одном сосуде находится аргон, а в другом – неон. Средние кинетические энергии теплового движения молекул газов одинаковы. Давление аргона в 2 раза больше давления неона. Чему равно отношение концентрации молекул аргона к концентрации молекул неона?

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.

3.Составить уравнения для обоих газов.

4.Найти отношение концентрации молекул аргона к концентрации молекул неона.

Решение

Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:

• Средние кинетические энергии теплового движения молекул газов одинаковы. Следовательно, −Ek1=−Ek2=−Ek.

• Давление аргона в 2 раза больше давления неона. Следовательно, p₁ = 2p, а p₂ = p.

Запишем основное уравнение идеального газа:

p=23n−Ek

Применим его для обоих газов и получим:

p1=23n1−Ek1 или 2p=23n1−Ek 

p2=23n2−Ek2 или p=23n2−Ek 

Выразим концентрации молекул газа из каждого уравнения:

n1=3p−Ek

n2=3p2−Ek

Поделим уравнения друг на друга и получим:

n1n2=3p−Ek·2−Ek3p=2

Ответ: 2

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 10.9k

Газ обладает высокой реакционной способностью по сравнению с жидкими и твердыми телами ввиду большой площади его активной поверхности и высокой кинетической энергии образующих систему частиц. При этом химическая активность газа, его давление и некоторые другие параметры зависят от концентрации молекул. Рассмотрим в данной статье, что это за величина и как ее можно вычислить.

О каком газе пойдет речь?

В данной статье будут рассмотрены так называемые идеальные газы. В них пренебрегают размерами частиц и взаимодействием между ними. Единственным процессом, который происходит в идеальных газах, являются упругие столкновения между частицами и стенками сосуда. Результатом этих столкновений является возникновение абсолютного давления.

Любой реальный газ приближается по своим свойствам к идеальному, если уменьшать его давление или плотность и увеличивать абсолютную температуру. Тем не менее существуют химические вещества, которые даже при низких плотностях и высоких температурах далеки от идеального газа. Ярким и всем известным примером такого вещества является водяной пар. Дело в том, что его молекулы (H₂O) являются сильно полярными (кислород оттягивает на себя электронную плотность от атомов водорода). Полярность приводит к появлению существенного электростатического взаимодействия между ними, что является грубым нарушением концепции идеального газа.

Универсальный закон Клапейрона-Менделеева

Чтобы уметь рассчитывать концентрацию молекул идеального газа, следует познакомиться с законом, который описывает состояние любой идеальной газовой системы независимо от ее химического состава. Этот закон носит фамилии француза Эмиля Клапейрона и русского ученого Дмитрия Менделеева. Соответствующее уравнение имеет вид:

P*V = n*R*T.

Равенство говорит о том, что произведение давления P на объем V всегда для идеального газа должно быть прямо пропорционально произведению температуры абсолютной T на количество вещества n. Здесь R — это коэффициент пропорциональности, который получил название универсальной газовой постоянной. Она показывает величину работы, которую 1 моль газа выполняет в результате расширения, если его на 1 К нагреть (R=8,314 Дж/(моль*К)).

Концентрация молекул и ее вычисление

Согласно определению под концентрацией атомов или молекул понимают количество частиц в системе, которое приходится на единицу объема. Математически можно записать:

c_N = N/V.

Где N — общее число частиц в системе.

Прежде чем записать формулу для определения концентрации молекул газа, вспомним определение количества вещества n и выражение, которое связывает величину R с постоянной Больцмана k_B:

n = N/N_A;

k_B = R/N_A.

Используя эти равенства, выразим отношение N/V из универсального уравнения состояния:

P*V = n*R*T =>

P*V = N/N_A*R*T = N*k_B*T =>

c_N = N/V = P/(k_B*T).

Таким образом мы получили формулу для определения концентрации частиц в газе. Как видно, она прямо пропорционально зависит от давления в системе и обратно пропорционально от абсолютной температуры.

Поскольку количество частиц в системе велико, то концентрацией c_N пользоваться неудобно при выполнении практических расчетов. Вместо нее чаще используют молярную концентрацию c_n. Она для идеального газа определяется так:

c_n = n/V = P/(R *T).

Пример задачи

Необходимо рассчитать молярную концентрацию молекул кислорода в воздухе при нормальных условиях.

Для решения этой задачи вспомним, что в воздухе находится 21 % кислорода. В соответствии с законом Дальтона кислород создает парциальное давление 0,21*P₀, где P₀ = 101325 Па (одна атмосфера). Нормальные условия также предполагают температуру 0 ^oC (273,15 К).

Мы знаем все необходимые параметры для вычисления молярной концентрации кислорода в воздухе. Получаем:

c_n(O₂) = P/(R *T) = 0,21*101325/(8,314*273,15) = 9,37 моль/м³.

Если эту концентрацию привести к объему 1 литр, то мы получим значение 0,009 моль/л.

Чтобы понять, сколько молекул O₂ содержится в 1 литре воздуха, следует умножить рассчитанную концентрацию на число N_A. Выполнив эту процедуру, получим огромное значение: N(O₂) = 5,64*10²¹ молекул.

В физике текучих субстанций большое внимание уделяется изучению газов, которое осуществляют при помощи использования модели идеального газа. В этой области было открыто много законов. В приведенной ниже статье изучим формулу концентрации молекул газа (идеального) и покажем, как ее следует применять при решении практической проблемы.

Идеальный газ

Что же это такое? Прежде чем записать формулу концентрации молекул газа, расскажем, что собой представляет модель идеального газа. В соответствии с кинетической теорией текучих субстанций, в таких веществах молекулы и атомы движутся хаотически по прямым траекториям. Расстояния между ними намного больше, чем их собственные линейные размеры, поэтому последними пренебрегают при выполнении вычислений. Кроме того, считают, что взаимодействий между молекулами не существует, поскольку их кинетическая энергия слишком велика по сравнению со слабыми потенциальными взаимодействиями.

Любые реальные газы, которые находятся при низких давлениях и достаточно высоких абсолютных температурах, по своему поведению приближаются к описанной модели. Тем не менее существуют текучие субстанции, у которых помимо ван-дер-ваальсовых взаимодействий между частицами действуют взаимодействия более сильного характера. Примером является водяной пар, у которого молекулы друг с другом связаны водородными (полярными) связями. Для описания поведения таких субстанций нельзя использовать модель идеального газа.

Универсальное уравнение

Модель идеального газа удобна при выполнении практических расчетов тем, что уравнение состояния вещества, полученное на ее основе, связывает три термодинамических параметра: температуру T, объем системы V и абсолютное давление P. Это уравнение записано ниже:

P * V = n * R * T.

Где R — постоянная, равная 8,314 Дж/(моль*К), n — количество вещества.

Современная молекулярно-кинетическая теория газов позволяет путем несложных рассуждений и математических выкладок получить теоретически это уравнение. Впервые же оно было записано в результате анализа многочисленных экспериментов, которые в течение двух веков выполняли европейские ученые, начиная от Роберта Бойля (вторая половина XVII века) и заканчивая Амедео Авогадро (начало XIX века).

Считается, что уравнение состояния идеального газа первым получил Эмиль Клапейрон, а к современной форме его привел русский химик Дмитрий Менделеев, поэтому его часто называют законом Клапейрона-Менделеева.

Понятие о концентрации молекул: виды концентраций

Когда изучают текучие субстанции, то знать концентрации компонентов, которые их образуют, является важным при решении многих практических задач. Например, от этого показателя и размеров молекул зависит общая площадь поверхности активного вещества, а значит, его реакционная способность. Другой пример, концентрация некоторых веществ в воздухе определяет допустимые их пределы для нормального протекания жизненно необходимых процессов в организме человека.

В случае газов, как правило, пользуются тремя следующими концентрациями:

• Атомная. Она определяется, как процентное содержание количества атомов или молекул компонента по отношению к объему всей системы.
• Массовая. Показывает отношение массы компонента к объему газа.
• Молярная. Она равна отношению количества вещества изучаемого компонента к объему системы.

Заметим, что все виды концентраций вычисляются по отношению к объему системы. Справедливость этих величин действительна, поскольку каждый компонент системы полностью заполняет ее объем.

Среди всех типов концентраций наиболее удобной на практике является молярная. Ниже в статье приведем формулу именно для нее.

Формула концентрации молекул газа

В соответствии с приведенным в предыдущем пункте определением, молярная концентрация i-го компонента системы c_n(i) вычисляется так:

c_n(i) = n_i / V.

Предположим, что мы имеем однокомпонентный (чистый) газ. Это может быть кислород, азот, гелий и так далее. В этом случае можно применить формулу Клапейрона-Менделеева и выразить из нее молярную концентрацию молекул. Имеем:

P * V = n * R * T =>

c_n = n / V = P / (R * T).

Из записанной формулы концентрации молекул газа легко получить атомную (молекулярную) концентрацию. Покажем, как это делается:

c_n = n / V = N / (N_A * V) = c_N / N_A =>

c_N = c_n * N_A = N_A * P / (R * T) = P / (k_B * T).

Здесь N_A и k_B — число Авогадро и постоянная Больцмана. Соответственно, N — число молекул в системе. Поскольку величина k_B имеет маленькое значение (1,38 * 10^-23), то c_N принимает огромные значения, что неудобно для ее практического использования.

Пример задачи

В результате изобарного нагрева закрытой системы с идеальным газом его температура увеличилась на 100 К и стала равной 400 К. Как изменится концентрация молекул газа, если давление в системе составляет 1,5 атмосферы.

Поскольку давление в процессе нагрева не изменилось, а температура была равна 300 К согласно условию задачи, то молярная концентрацию молекул до нагрева системы составляла:

c_n1 = 1,5 * 101 325 / (8,314 * 300) = 60,9 моль/м³.

Число молекул в системе не изменилось при нагреве, так как система является закрытой. После нагрева газа его концентрация составила:

c_n2 = 1,5 * 101 325 / (8,314 * 400) = 45,7 моль/м³.

Изменение концентрации составило:

Δc_n = c_n2 — c_n1 = 45,7 — 60,9 = -15,2 моль/м³.

Отрицательный знак говорит, что концентрация уменьшилась, что является очевидным, поскольку увеличился объем системы после нагрева, а число частиц в ней осталось прежним.