Как найти отношение медиан

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

• ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
• ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
• ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

• ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
• ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Свойства медиан треугольника

Свойство медиан треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Проведем в треугольнике АВС медианы АМ и СК. Пусть АМ и СК пересекаются в точке О. Тогда МК – средняя линия треугольника АВС, и треугольник ОМК подобен треугольнику ОАС по двум углам.

. Запишем соотношение сходственных сторон треугольников ОМК и ОАС.

. Медианы АМ и СК в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Осталась третья медиана – BL. Предположим, что . Тогда в точке медианы BL и AM делятся в отношении 2 : 1. Но если , то точка совпадает с точкой О, и это значит, что три медианы треугольника пересекаются в точке О и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача ЕГЭ по теме «Медианы треугольника»

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD=18.

Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Тогда О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому .

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.

BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S₁ = S₂.

Свойство 5

Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Свойство 6

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

• BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
• FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Медиана равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать .

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать .

Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:

Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

Формула и свойства медианы в равностороннем треугольнике

Пожалуй, каждый хоть раз сталкивался с геометрическими вычислениями. Одной из самых распространённых фигур является многоугольник. Его особенность заключается в свойствах, благодаря которым можно легко и быстро определить нужные параметры. Часто при расчётах приходится использовать медиану. В равностороннем треугольнике она разбивает фигуру на две равные площади. При этом она и центр тяжести, чем зачастую и пользуются при решении задач.

Свойства и виды треугольников

Многоугольник с тремя углами называют треугольником. Образуется он тремя отрезками, соединяющими 3 точки, располагающиеся на разных прямых. Эти точки называются вершинами, а замкнутые линии — сторонами. Площадь, заключённую сторонами, называют внутренней.

Вершины фигуры принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C. Углы же греческими символами α, β, γ. Треугольники принято различать по видам. Они бывают:

• остроугольными — все углы в фигуре имеют разворот меньше 90 градусов;
• тупоугольными — один из углов треугольника больше 90 градусов;
• прямоугольными — 2 стороны фигуры образуют прямой угол.

Кроме этого, их разделяют по числу равных сторон на разносторонние, равнобедренные и равносторонние (правильные). В треугольнике можно построить так называемые замечательные прямые. Отрезок, проведённый из середины вершины к противолежащей стороне, является медианой. В любом виде фигуры может быть построено 3 таких прямых. Они будут пересекаться в центре внутренней площади треугольника, а их общая точка являться центром массы.

Кроме медианы, может быть отложена высота и биссектриса. Первая это перпендикуляр, опущенный из угла на противоположное основание, а вторая — линия, проходящая из угла и делящая противоположную сторону пополам.

Зная высоту или биссектрису, найти медиану равностороннего треугольника очень просто. Всё дело в том, что для него все 3 линии полностью совпадают. Это и есть одно из замечательных свойств равносторонней фигуры,поэтому знание этого параметра позволяет находить много различных размеров многоугольника.

В треугольник можно вписать окружность и описать её вокруг него. Радиус вписанной фигуры находится из отношения площади фигуры к полупериметру, а описанной — как произведение сторон, делённое на 4 площади. Внутреннее пространство для равносторонней фигуры можно определить по формуле: S = (a2 √3) / 4. При этом углы любого равностороннего треугольника будут равны 60 градусам.

Особенности медианы

С латинского «медиана» переводится как «средняя», поэтому так называют отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположного углу отрезка. Точку, в которой она соприкасается с прямой, называют основанием медианы. Существуют свойства, характерные только для рассматриваемой прямой. Так, можно, зная медиану, найти сторону треугольника, его площадь или угол вершины.

К свойствам отрезков, делящих сторону пополам в произвольном треугольнике, относят:

• деление медиан в точке их пересечения в отношении 2:1;
• разделение фигуры на 2 треугольника с равными площадями, то есть являющимися равновеликими;
• если построить 3 медианы, то треугольник окажется разделённым на 6 одинаковых фигур;
• зная значения сторон, длину параметров можно вычислить по следующей формуле: m = √(2b 2 + 2c 2 — a 2 ) / 2.

Для доказательства равенства площадей нужно построить треугольник и провести медиану, например, из вершины B. Точку пересечения с противоположной стороной можно обозначить буквой D. Площадь новых фигур будет равняться: S1 = (AD * BE) / 2 и S2 = (DC * BE) / 2. Так как ограниченная прямая — это медиана, то AD = DC. Отсюда следует, что фигура делится на 2 равные части. Значит, S1 = S2, что и нужно было доказать.

Доказательство равенства 6 фигур при построении трёх медиан: пусть одна из полученных фигур будет иметь вершины A, O, F. Если из угла опустить перпендикуляр на линию BF, будет верным равенство: S = (OF * AK) / 2 = (BF * AK) / 6 = S / 3. Беря во внимание свойства, что линия рассекает фигуру на 2 равные части, можно утверждать о справедливости записи: Sabf = Sabc / 2 → Saof = Sabf / 3 = Sabc / 6. Свойство доказано.

В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой. Доказать это утверждение просто. Пусть есть многоугольник ABC. Из вершины B опущена высота BD. Полученные 2 фигуры равны: ABD = CDB, значит, их сторона BD — общая и является катетом. Следовательно, AD = CD. Так как гипотенузы треугольников равны, AB = BC. Замечательное свойство доказано.

Существуют 2 следствия из свойств:

• если вокруг прямоугольного треугольника описать круг, его центр совпадёт с серединой гипотенузы;
• треугольник, где медиана равна половине длины стороны, к которой её построили, будет прямоугольным.

Эти свойства и следствия очень важны. Зная их и формулы нахождения площади, решить большинство задач не составит труда. Но при этом часто приходится использовать формулу нахождения длины медианы.

Решение задачи

Для закрепления теоретического материала преподаватель учащимся предлагает решить ряд задач. Самостоятельное вычисление ответа позволяет не только научиться применять знания на практике, но и разобраться в различных тонкостях. Вот одна из таких задач, рассчитанная на школьников среднего уровня подготовки.

Дан равносторонний треугольник ABC. Длина медианы BH, проведённой на основание AC, составляет 9 * √3. Определить, чему равны стороны фигуры. Перед тем как непосредственно перейти к решению, нужно обратить внимание, что все стороны у фигуры будут одинаковые, при этом углы также равны. По сути, равносторонний многоугольник является равнобедренным, поэтому медиана является и высотой, а значит, угол H будет составлять 90 градусов. При этом все остальные углы равны 60 градусам.

Решить задачу можно двумя способами:

1. Первый предполагает решение через тригонометрические функции. Так как известен острый угол в прямоугольном треугольнике ABH, используя синус (значение противолежащего катета к гипотенузе) можно записать: sin BAH = BH / AB. Отсюда AB = BH / sin BAH = (9 * √3) / (√3 / 2) = 9 * 2 = 18.
2. В основе второго способа лежит теорема Пифагора. Сторона AB — это гипотенуза. Для удобства её можно обозначить как х. Так как медиана делит сторону пополам, то AH = x / 2. По теореме: AB2 = AH2 + BH2. Подставив известные значения в формулу, можно получить выражение: x2 = (x/2) 2 + (9 * √3) 2 = (x 2 / 4) + 81 * 3 = 81 * 4. Отсюда x = √ 81 * √ 4 = 9 * 2 = 18.

Это классические методы, с помощью которых можно найти сторону треугольника, если известна медиана. Какой из них выбрать, зависит от предпочтения решающего задачу. Конечно же, первый занимает меньше времени, но требует знаний хотя бы основ тригонометрии.

Следует отметить, что формула: m = a √3 / 2 называется выражением медианы через высоту. И находится она как раз по теореме Пифагора. Это позволяет, зная лишь высоту или биссектрису, находить не только величину сторон, но и площадь фигуры, радиусы вписанной и описанной окружностей. При этом эта формула работает и в обратном направлении. Так, сторона будет равна: а = m / (√3 / 2).

Онлайн-расчёты на калькуляторе

Найти медиану в треугольнике при известных размерах сторон или площади фигуры довольно просто. В школьных задачах обычно подбираются исходные данные так, что при решении не нужно пользоваться калькулятором или делать сложные расчёты. Ответ часто получается в удобной форме в виде десятичных чисел.

Но на практике начальные данные, используемые для нахождения медианы, могут представлять коренные, степенные, дробные выражения, поэтому приходится выполнять громоздкие вычисления, которые могут занять много времени. При этом существует риск допустить оплошность, приводящую к неправильному ответу.

В интернете существуют математические онлайн-калькуляторы. Это сервисы, предлагающие услуги по автоматическому нахождению ответа в различных заданиях. Чтобы воспользоваться сайтом, пользователю даже не нужно знать формулы. Всё что от него требуется, это просто указать значения сторон в предложенной форме и нажать кнопку «Рассчитать» или «Вычислить». При этом эти сервисы бесплатны и не требуют даже регистрации.

Из онлайн-калькуляторов, существующих в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

1. Allcalc. Настоящий комбайн вычислений. Сайт содержит несколько сотен математических калькуляторов и конвертеров. Пользователь также может скачать бесплатное приложение для системы Android.
2. Planetcalc. Отличается удобной навигацией и интуитивно понятным интерфейсом. Работу того или иного калькулятора можно оценить в комментариях.
3. Geleot. Позиционируется не только как онлайн-расчётчик, но и как справочник.

Кроме быстрого и правильного расчёта, сайты могут предложить пользователю различный теоретический материал, касающийся вычислений. На их страницах приведены не только формулы, используемые для нахождения ответа, но и их объяснения. При этом расчёт сопровождается комментариями и подробными действиями.

Использовать онлайн-калькулятор для вычисления медианы не зазорно, особенно в процессе обучения. Благодаря ему можно не только проверить ответ, но и в случае ошибки быстро её найти и разобраться в причинах появления, поэтому ими часто пользуются не только школьники, но и инженеры, выполняющие сложные геометрические расчёты.

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

• BF – медиана, проведенная к стороне AC.
• AF = FC

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

• AO = 2OE
• BO = 2OF
• CO = 2OD

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

S₁ = S₂

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см². Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см² ⋅ 6 = 30 см².

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с  начала 8 класса.

Теорема

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Доказать:

   

   

Доказательство:

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и

   

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

   

4) Имеем:

   

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

   

Таким образом,

   

   

   

из чего следует, что

   

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

   

Что и требовалось доказать.