Как найти отношение обратное данному отношению

Обратное отношение в математике — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному.

Определение

Пусть на множестве задано бинарное отношение Тогда его обратным называется отношение построенное следующим образом:

Свойства

• Если отношение обладает одним из перечисленных свойств: рефлексивностью, нерефлексивностью, симметрией, антисимметрией, асимметрией, транзитивностью или полнотой, то и обратное отношение также обладает им.
• Если инъективно, сюръективно или функционально, то , вообще говоря, не обязано обладать таким же свойством.

Примеры

п·о·р Бинарное отношение
между двумя множествами: инъективное · сюръективное · биективное · полное слева · полное справа · функциональное
на множестве: рефлексивное · нерефлексивное · симметричное · антисимметричное · асимметричное · транзитивное · полное · евклидово

Отношение, обратное данному.

ПРИМЕР:

На рисунке отношение  р  между элементами множества  Х  и элементами множества  Y  задано с помощью стрелок.

Поменяем направление стрелок.

Получим другое отношение –
отношение  q  между элементами множества  Y  и элементами
множества  Х.

Говорят, что  q  есть отношение,
обратное отношению  р. В свою очередь отношение  р  является обратным отношению  q.

Областью определения
отношения  p  является множество 

{–3; –2; –1},

а областью значений –
множество 

{2; 3; 4; 5}

Для отношения  q,
обратного отношению  р,
областью определения служит множество 

{2; 3; 4; 5},

а областью значений –
множество 

{–3; –2; –1}.

Таким образом, область определения и область значений взаимно-обратных
отношений меняются ролями.

Отношение  p  между элементами
множеств  Х  и  Y  определяется множеством пар:

{(–3; 2); (–2; 3); (–1; 4); (–1; 5)}

Поменяв в каждой паре местами
её элементы, получим множество пар, которым задаётся отношение  q, обратное  р:

{(2; –3); (3; –2); (4; –1); (5; –1)}

Если отношение
определяется некоторым множеством пар, то обратное ему отношение определяется множеством
пар, которое получено из первого перестановкой элементов в каждой паре.

ПРИМЕР:

Вернёмся к рассмотренным выше
взаимно-обратным отношениям  р  и  q.

На рисунке построен график
отношения  р.

На рисунке построен график
отношения  q.

Построим теперь графики
отношений  р  и  q  в одной и той же системе координат.

Нетрудно заметить, что точки с координатами 

(–3; 2)  и  (2; –3), (–1;
4)  и  (4; –1)  и т. д.,

т. е. точки, у которых абсцисса первой является ординатой
второй и ордината первой является абсциссой второй, симметричны относительно
прямой

у = х.

Каждой точке графика отношения  р 
соответствует симметричная относительно прямой  у = х 
точка графика отношения  q,
и наоборот, каждой точке графика отношения 
q  соответствует
симметричная относительно прямой  у
= х  точка графика
отношения  р.
Поэтому графики отношений  р  и  q  симметричны относительно прямой  у = х.

Вообще справедлива
следующая теорема:

Графики взаимно-обратных отношений между числами
симметричны относительно прямой  у
= х.

Приведём примеры взаимно-обратных отношений

ПРИМЕР:

На рисунке с помощью стрелок
показано отношение <<меньше>> между элементами множества

А = {5; 7; 10}

Отношение <<быть делителем>> и <<быть кратным>> между
натуральными числами – взаимно-обратные отношения.

Действительно, если  а  и  b  – некоторые натуральные числа и  а  делитель  b,
то  b  кратно 
а, и наоборот, если  b  кратно  а,
то  а  делитель 
b. Например, из того, что 
<<2
делитель 6>>,
следует, что  <<6 кратно 2>>; из того, что  <<24
кратно 8>>,
следует, что  <<8 делитель 24>>.

Понятие функции, обратной данной.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Приведённые примеры показывают, что отношение, обратное функции, может быть
функцией, а может и не быть функцией.

Функция  f  называется обратимой, если обратное ей
отношение – функция.

В этом случае отношение, обратное функции 
f,
называют функцией, обратной  f.

Мы рассмотрели примеры функций  p  и  f,
заданных с помощью стрелок. Обратимой оказалась функция в том случае, когда к
любому элементу области её значений было проведено не более одной стрелки, т.
е. когда каждое своё значение функции принимала только при одном значении
аргумента.

Функция
обратима тогда и только тогда, когда каждое своё значение она принимает лишь
при одном значении аргумента.

ПРИМЕР:

Функция  h  необратима, так как существует такое значение
функции, например  у
= 3, которое соответствует трём различным значениям
переменной  х  (прямая  у = 3  пересекает график в трёх точках).

Всякая
возрастающая функция обратима.

Функция,
обратная возрастающей, является возрастающей.

Всякая убывающая
функция обратима.

Функция,
обратная убывающей, является убывающей.

Если некоторое
отношение  f  задано уравнением с двумя 
переменными  х  и  у,
то для задания уравнением отношения, обратного 
f,
достаточно в данном уравнении поменять обозначения  х  на  у  и  у  на  х.

ПРИМЕР:

Функция  f,
заданная формулой 

у = –2х + 3,

убывающая. Поэтому она
обратима. Обратная ей функция также убывающая.

Чтобы задать формулой функцию,
обратную  f,
поменяем в уравнении

у = –2х + 3,

обозначения  х  на  у  и  у  на  х. Получим
уравнение

х = –2у + 3,

Обычно при задании функции
уравнением с переменными  х  и  у  переменную 
у  выражают через
переменную  х.

В данном случае имеем:

2у = –х + 3,

у = –0,5х + 1,5.

Мы получили формулу, которой
задаётся функция, обратная  f.

ПРИМЕР:

Пусть  дана функция:

у = 3х – 2.

ПРИМЕР:  

Для функции, заданной равенством:

у = х²

На

 ]–∞; +∞
[,

обратной не существует. А для
функции:

у = х²

заданной на промежутке 

[0; +∞ [,

обратная функция существует.

Графики двух взаимно обратных функций симметричны друг к другу относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой 

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

Содержание

• — Как найти отношение чисел объяснение?
• — Что значит вычислить отношение?
• — Как определить соотношение?
• — Что такое отношение двух величин?
• — Что такое соотношение чисел?
• — Что такое пропорция В математике 6 класс?
• — Что такое обратное отношение?
• — Как посчитать в процентном соотношении?
• — Чем отличается отношение от дроби?
• — Как посчитать соотношение 1 к 2?
• — Как понять пропорция 1 к 3?
• — Как рассчитать соотношение 1 к 3?
• — Что такое отношение 2 к 3?
• — Как рассчитать отношение одного числа к другому?

Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением числа к числу . Отношение числа к числу записывается как или .

Как найти отношение чисел объяснение?

Отношением двух чисел называют их частное.
…

1. отношение a к b — это результат от деления a на b;
2. если a > b, то отношение a : b обозначает, во сколько раз a больше b;
3. если a отношение a : b обозначает, какую часть составляет a от b;
4. процентное отношение a к b — это отношение a : b, умноженное на 100 процентов.

Что значит вычислить отношение?

Отношение двух чисел — это их частное. Отношение двух чисел показывает: во сколько раз одно число больше другого; какую часть одно число составляет от другого.

Как определить соотношение?

Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел , нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100. Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400. По правилу: 52 : 400 * 100 — 13 (%).

Что такое отношение двух величин?

Отношение (математич.)

— Отношение двух чисел, частное от деления первого числа на второе. О. двух однородных величин называется число, получающееся в результате измерения первой величины, когда вторая выбрана за единицу меры.

Что такое соотношение чисел?

, а иногда выражаемое арифметически как безразмерное отношение (результат деления) двух чисел, непосредственно отображающее, сколько раз первое число содержит второе (не обязательно целое). … Проще говоря, соотношение показывает для каждого количества чего-то одного сколько есть чего-то другого.

Что такое пропорция В математике 6 класс?

Пропорция — это равенство двух отношений. Соединив их знаком равенства, мы получим пропорцию. В пропорции различают крайние и средние члены. 8 и 5 называют крайними членами.

Что такое обратное отношение?

Обратное отношение в математике — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному.

Как посчитать в процентном соотношении?

Процентное отношение определяет, какой процент от целого составляет данное число. Для нахождения процента нужно разделить одно число на другое и умножить на 100%. Пример: Процентное соотношение числа 25 от 50 будет составлять 50%, так как 25/50×100%=50%.

Чем отличается отношение от дроби?

Отношение двух чисел — это их частное. Дробь— число, состоящее из одной или нескольких частей единицы.

Как посчитать соотношение 1 к 2?

Рецепт строят из соотношений между продуктами. Например, для приготовления овсяной каши обычно требуется стакан хлопьев на два стакана молока или воды. Получается соотношение 1 : 2 («один к двум» или «один стакан хлопьев на два стакана молока»).

Как понять пропорция 1 к 3?

Ответ: Пошаговое объяснение: 1:3 это когда первое число в 3 раза меньше второго. 3:1 это когда первое число в 3 раза больше второго.

Как рассчитать соотношение 1 к 3?

Это обозначает, что, например, на два литра молока вы должны класть две столовые ложки соли и шесть столовых ложек сахара, чтобы сохранялась требуемая пропорция: 2/6=1/3.

Что такое отношение 2 к 3?

Понимание «Отношение чисел» используется для сравнения двух величин и показывает во сколько раз первое число больше второго, либо какую часть первое число составляет от второго. В нашем примере отношение показывает, что число 2 составляет 2/3 от числа 3. Отношение показывает, что число 5 составляет 1/2 от числа 10.

Как рассчитать отношение одного числа к другому?

Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100. Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400. По правилу: 52: 400 × 100 — 13 (%).

Интересные материалы:

Что такое канифоль скрипка?
Что такое каппа?
Что такое хронологический возраст?
Что такое кислотные дожди чем они опасны для всего живого?
Что такое кластер по литературе?
Что такое климатические показатели?
Что такое кмс по художественной гимнастике?
Что такое конструктор слайдов?
Что такое коррекция ногтей?
Что такое Круизер скейт?

В математике, обратное отношение или транспонирование, бинарного отношения — это отношение, которое возникает при изменении порядка элементов в отношении. Например, отношение «дочерний элемент», обратное отношению «родительский элемент». Формально, если X и Y — множества и L ⊆ X × Y — отношение от X к Y, то L — отношение, определенное так, что y L x тогда и только тогда, когда x L y. В нотации конструктора множеств L = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ L}.

Обозначения аналогичны обозначениям для обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция , отображающая отношение в обратное отношение, является инволюцией, поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией на бинарных отношениях на множестве, или, в более общем смысле, вызывает категорию кинжала в категории отношений как, подробно описанное ниже. Как унарная операция, взятие обратного (иногда называемого преобразованием или транспонированием ) коммутирует с операциями, связанными с порядком исчисления отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Обратное отношение также называется отношением или транспонированием — последнее ввиду его сходства с транспонированием матрицы. Его также называли противоположным или двойным исходного отношения, или обратным исходному отношению, или обратным L ° отношения L.

Другие обозначения для обратного отношения включают L, L, L, L ˘ { displaystyle { breve {L}}}, L °, или L.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 Инверсии
  • 3.1 Обратное отношение функции
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Примеры

Для обычных (может быть, строгих или частичных) отношений порядка обратным является наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, ≤ T = ≥, < T =>. { displaystyle { leq ^ { mathsf {T}}} = { geq}, quad {<^{mathsf {T}}}={>}.}

Отношение может быть представлено в виде логической матрицы например

(1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1). { displaystyle { begin {pmatrix} 1 1 1 1 1 \ 0 1 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0 0 0 1 end {pmatrix}}.}

Тогда обратное отношение представлено его транспонированной матрицей :

(1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1). { Displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 0 \ 1 1 0 0 \ 1 0 1 0 \ 1 1 0 1 end {pmatrix}}.}

Обратные отношения родства называются: «A является дочерним элементом B» имеет обратное «B является родительским элементом A «.» A является племянником или племянницей из B «имеет обратное выражение» B является дядей или тетей из A «. Отношение» A является родственник из B «является его собственным обратным, поскольку это симметричное отношение.

В теории множеств предполагается универсум U дискурса, а фу Основное отношение принадлежности к множеству x ∈ A, когда A является подмножеством U. мощный набор всех подмножеств U является областью обратного ∋ = ∈ T. { displaystyle { ni} = { in ^ { mathsf {T}}}.}

Свойства

В моноиде двоичных эндореляций на множестве (с бинарной операцией на отношениях, являющейся композицией отношений ), обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. е. если L — произвольное отношение на X, тогда L ∘ LT { displaystyle L circ L ^ { mathsf {T}}}не равно тождественному отношению на X в целом. Обратное отношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией : (LT) T = L { displaystyle left (L ^ { mathsf {T}} right) ^ { mathsf {T}} = L}и (L ∘ R) T = RT ∘ LT { displaystyle left (L circ R right) ^ { mathsf {T} } = R ^ { mathsf {T}} circ L ^ { mathsf {T}}}.

Так как обычно можно рассматривать отношения между различными наборами (которые образуют категорию, а не моноид, а именно категория отношений Rel ), в этом контексте обратное отношение соответствует аксиомам категории кинжала (также известной как категория с инволюцией). Отношение, равное его обратному, является симметричным отношением ; на языке категорий кинжала это самосопряженный.

Кроме того, полугруппа эндореляций на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным квантом. Аналогично, категория разнородных отношений, Rel также является упорядоченной категорией.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция перехода к обратному отношению) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутируется с унарной операцией дополнения, а также с взятием suprema и infima. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.

Если отношение рефлексивное, иррефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричный, транзитивный, всего, трихотомический, частичный порядок, всего порядок, строгий слабый порядок, общий предварительный порядок (слабый порядок) или отношение эквивалентности, его обратное тоже.

Инверсия

Если I представляет отношение идентичности, то отношение R может иметь обратное следующим образом:

Отношение R называется правообратимым, если существует существует отношение X с R ∘ X = I { displaystyle R circ X = I}, и обратимое слева, если существует Y с Y ∘ R = I { стиль отображения Y circ R = I}. Тогда X и Y называются правым и левым обратными R соответственно. Обратимые вправо и влево отношения называются обратимыми . Для обратимых однородных отношений все обратные справа и слева совпадают; используется понятие инверсия R. Тогда R = R.

Обратное отношение функции

A function является обратимым тогда и только тогда, когда его обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции f: X → Y { displaystyle f: X to Y}— это отношение f — 1: Y → X { displaystyle f ^ {- 1}: от Y до X}определяется графиком f — 1 = {(y, x) ∣ y = f (x)} { displaystyle operatorname { graph} , f ^ {- 1} = left {(y, x) mid y = f (x) right }}.

Это не обязательно функция: одно необходимое условие — чтобы f была injective, поскольку else f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}}является многозначным. Этого условия достаточно, если f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}}является частичной функцией, и ясно, что f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}}then является (итоговой) функцией тогда и только тогда, когда f является сюръективным. В этом случае, т.е. если f равно bijective, f — 1 { displaystyle f ^ {- 1}}может называться обратной функцией. из ф.

Например, функция f (x) = 2 x + 2 { displaystyle f (x) = 2x + 2}имеет обратную функцию f — 1 (x) = x 2 — 1 { displaystyle f ^ {- 1} (x) = { frac {x} {2}} — 1}.

Однако функция g (x) = x 2 { displaystyle g (x) = x ^ {2}}имеет обратную связь g — 1 (x) = ± x 1 2 { displaystyle g ^ {- 1} ( x) = pm x ^ { frac {1} {2}}}, которая не является функцией, будучи многозначной.

См. Также

• Биекция
• График транспонирования

Ссылки

• Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств, стр. 40, ISBN 978-0-387-90092-6