Как найти отношение площадей прямоугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Получи верный ответ на вопрос 🏆 «Длина прямоугольника 8 см ширина 3 см. Длина другого прямоугольника 7 см ширина 5 см. Найдите отношения площади первого прямоугольника к …» по предмету 📕 Математика, используя встроенную систему поиска. Наша обширная база готовых ответов поможет тебе получить необходимые сведения!

Найти готовые ответы

Главная » Математика » Длина прямоугольника 8 см ширина 3 см. Длина другого прямоугольника 7 см ширина 5 см. Найдите отношения площади первого прямоугольника к площади второго.

Источник

Длина прямоугольника а см, а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см, а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго. Найдите значение получившегося выражения, если:
а) а = 9, b = 2, m = 8, n = 3;
б) а = 6,4, b = 0,2, m = 3,2, n = 0,5.

reshalka.com

Математика 6 класс Виленкин. Номер №758

Решение 1

Площадь первого прямоугольника ab

.
Площадь второго прямоугольника: mn

.
Отношение площади первого прямоугольника к площади второго:

a
b

m
n

a
b

m
n

9
∗
2

8
∗
3

3
∗
1

4
∗
1

3
4

=
0
,
75

Решение 2

Площадь первого прямоугольника ab

.
Площадь второго прямоугольника: mn

.
Отношение площади первого прямоугольника к площади второго:

a
b

m
n

a
b

m
n

6
,
4
∗
0
,
2

3
,
2
∗
0
,
5

2
∗
2

1
∗
5

4
5

=
0
,
8

Источник

Планиметрия. Страница 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.Площадь прямоугольника

Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

Доказательство.

Пусть ABCD и ABC’D’ два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD’ составит:

где m — число целых делений на отрезке AD’. Т.е. длина отрезка AD’ будет заключена между m и m+1 частей.

Разделив все части неравенства на AD, получим:

Тогда и площадь прямоугольника AD’C’B также будет заключена в пределах:

где S — площадь прямоугольника ABCD.

Разделив все части неравенства на S, получим:

Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Рис.1 Площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

Перемножив два равенства между собой, получим:

2.Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD — параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно площадь параллелограмма равна:

Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

Рис.2 Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника

Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.:

Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
S — площадь треугольника
a,b,c — стороны треугольника

Рис.3 Площадь треугольника.

4.Площадь круга

Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга.

Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности.

Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны:

Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.

Рис.4 Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур

Пусть даны две побные фигуры G и G’ (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.

Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

6.Площадь трапеции

Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Рис.6 Площадь трапеции.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

7.Пример 1

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

BC 2 = AB 2 + AC 2

Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов.

Пример 2

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение:

Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

S₁ = AB * AD * sin α — площадь параллелограмма.

Подставим эти выражения в соотношение S₂ = 2 S₁:

Следовательно, угол α = 30°.

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны.

Пример 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. AD — высота, опущенная на гипотенузу ВС. BD = 36 см, DC = 64 см (Рис.9).

По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

АВ 2 = BD 2 + AD 2 — из треугольника АВD.

АC 2 = DC 2 + AD 2 — из треугольника АDC.

Первое и второе соотношение решим относительно AD 2 и приравняем их.

АВ 2 — BD 2 = АC 2 — DC 2

Учитывая, что АВС тоже прямоугольный треугольник и BC 2 = AB 2 + АC 2 , перепишем:

АВ 2 — BD 2 = BC 2 — AB 2 — DC 2

2 АВ 2 = BD 2 + BC 2 — DC 2

2 АВ 2 = 36 2 + 100 2 — 64 2

АВ 2 = 3600 или АВ = 60 см.

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника АВС: 100 2 = 60 2 + АС 2 . Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

S_ABC = AB * AC / 2 = 60 * 80 / 2 = 2400 см 2 .

Пример 4

Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC. АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см. АО = R — радиус описанной окружности, ОЕ = r — радиус вписанной окружности (Рис.10).

По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2 — из треугольника АВЕ.

ВЕ 2 = АВ 2 — АЕ 2

ВЕ 2 = 5 2 — 3 2 = 16. Откуда ВЕ = 4 см.

Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

S = 3 * 4 = 12 см 2

Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

R = АС * АВ 2 / 4S = 6 * 5 2 / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной.

Пример 5

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 см.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC. ВЕ = 8 см — высота треугольника, проведенная из вершины В. Прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ. Найти ВО (Рис.11).

Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

Найдем площадь треугольников S₁ = S_FBD и S_АВС.

S_ABC = AC * BE / 2 или S_ABC = k 2 FD * BO / 2

k 2 FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

Отсюда, k 2 = 2, k =

Следовательно, BO = BE / k = 8 / = 8 см.

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника.

Формулы площадей фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Площадь сегмента круга

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

51. Планиметрия Читать 0 мин.

51.506. Отношения

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = frac<1><2>BC$

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = frac<1><2>AB$

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

Прямоугольник или квадрат:

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_ = S_ = S$

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $frac<3><4>S$

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

источники:

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/formuly-ploshchadey-figur.php

http://reshutest.ru/theory/7?theory_id=289

Источник

Площадь. Величина поверхности называется площадью.

В начальной геометрии рассматривают площади плоских фигур, ограниченных прямыми линиями или дугами круга.

Совокупность отрезков, ограничивающих площадь, называют ее периметром или обводом. Площади обозначают, называя отрезки ее периметра.

Так площадь на чертеже 205 выговаривают словесно: площадь ABC.

Иногда площадь обозначают одной буквой, которую помещают внутри площади. Так, площадь ABC выговаривают также словесно: площадь D.

Измерить площадь значит найти вывод, получаемый из сравнения ее с другой площадью, принимаемой за единицу площадей.

Единица площадей. За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице. Эта площадь называется квадратной единицей.

Площадь квадрата, у которого одна сторона равна аршину, вершку, метру называют квадратным аршином, квадратным вершком, квадратным метром.

Измерить площадь значит найти ее отношение к квадратной единице.

Две плоские фигуры, совпадающие при наложении во всех своих точках, называются равными. Две фигуры, имеющие в своих площадях одинаковое число квадратных единиц, называются равновеликими.

В прямоугольнике одну сторону называют основанием, а другую перпендикулярную к ней высотой.

Так, в прямоугольнике ABCD (черт. 206) сторону AB можно принять за основание, тогда сторона AD будет высотой.

Если за основание примем сторону AD, то сторона AB будет высотой.

Сравнение площадей прямоугольников

Теорема 136. Два прямоугольника, имеющие одинаковые основания и высоты, равны.

Справедливость этой теоремы доказывается простым наложением.

В основе теории площадей плоских прямолинейных фигур лежит следующая теорема.

Теорема 137. Площади прямоугольников, имеющих одинаковые основания, относятся как высоты.

Даны два прямоугольника ABCD и ABFE с одинаковыми основаниями (черт. 206) и разными высотами AD и AE.

Требуется доказать, что ABCD/ABFE = AD/AE.

Доказательство. Здесь могут встретиться два случая: 1) когда высоты соизмеримы и 2) когда они несоизмеримы.

Первый случай. Высоты прямоугольников соизмеримы.

В этом случае они имеют общую меру. Предположим, что их общая мера AG укладывается m раз в большей и n раз в меньшей высоте AE, так что

AD/AE = m/n

Здесь m и n целые числа.

Проведя через точки деления отрезки, параллельные основанию, мы разделим прямоугольник ABCD на m, а прямоугольник ABFE на n равных прямоугольников, так что

ABCD/ABFE = m/n

откуда

ABCD/ABFE = AD/AE.

Второй случай. Высоты прямоугольников несоизмеримы.

В этом случае могут существовать следующие три предположения (черт. 207).

ABCD/ABFE > AD/AE, ABCD/ABFE < AD/AE, ABCD/ABFE = AD/AE.

Докажем, что первые два предположения не имеют места.

Действительно, если

ABCD/ABFE > AD/AE

то вторая дробь меньше первой, и следовательно знаменатель второй дроби надо уменьшить для того, чтобы она сравнялась с первой.

Выберем точку α такую, чтобы имело место равенство:

ABCD/ABFE = AD/Aα (a)

Разделим отрезок AD на столько равных частей, чтобы каждая часть была меньше αE, тогда одна из точек деления упадет в точку β, находящуюся между α и E.

Проведя отрезок βγ параллельно основанию, мы будем иметь прямоугольник AβγB, высота которого Aβ соизмерима с высотой AD, следовательно,

ABCD/Abγβ = AD/Aβ (b)

Разделив равенства (a) и (b), имеем равенство:

ABγβ/ABFE = Aβ/Aα

первая часть которого меньше 1, а вторая больше 1.

Такое равенство несообразно, следовательно, предположение, что ABCD/ABFE > AD/AE ведет к нелепости и не может быть допущено.

Точно также легко доказать, что неравенство

ABCD/ABFE < AD/AE

приводит к нелепости, следовательно, имеет место равенство:

ABCD/ABFE = AD/AE

Так как за основание можно принять любую сторону прямоугольника, то отсюда вытекает как простое следствие следующая теорема.

Теорема 138. Площади прямоугольников, имеющие одинаковые высоты, относятся как основания.

Теорема 139. Площади прямоугольников, имеющих разные основания и высоты, относятся как соответствующие произведения их оснований на высоты.

Дано. Два прямоугольника ABCD и abcd (черт. 208) имеют разные основания и высоты.

Требуется доказать, что

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab).

Доказательство. Начертим такой прямоугольник αβγδ, который имел бы основание одинаковое с первым и высоту одинаковую со вторым прямоугольником, т. е.

αδ = AD и αβ = ab.

На основании теорем 137 и 138 имеют место два равенства:

ABCD/ αβγδ = AB/αβ и αβγδ/abcd = αδ/ad.

Перемножив эти две пропорции, получим:

(ABCD · αβγδ) / (αβγδ · abcd) = (AB · αδ) / (αβ · ad)

Заменив αδ и αβ равными им величинами AD и ab, получим:

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab).

Теорема 140. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Дано. Полагая, что за единицу площадей выбрана площадь квадрата, у которого сторона равна единице, мы в равенстве

ABCD/abcd = (AD · AB) / (ad · ab)

должны принять ab = ad = 1, abcd = 1, следовательно,

ABCD = AB · AD.

В этом случае величины AB и AD выражают число линейных единиц, а само произведение AB · AD выражает число квадратных единиц, т. е. число квадратов, сторона которых равна единице.

Если одна сторона прямоугольника равна 5 аршинам, а другая 3 арш., то его площадь равна 3 · 5 или 15 квадратным аршинам = 15 кв. арш.

Если основание и высота прямоугольника выражены в различных линейных единицах, нужно их привести к одному наименованию, а потом для вычисления площади перемножить полученные числа, тогда площадь прямоугольника, выразится в квадратных единицах того же наименования. Так, площадь прямоугольника, имеющего своим основанием 2 сажени и выстой 3 ф. вычисляется следующим образом:

основание = 14 фут.
высота = 3 фут.
площадь = 14 · 3 кв. ф. = 42 кв. фут.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Обозначив длину стороны квадрата через a и заметив, что его высота равна тоже a, мы имеем, что площадь квадрата равна a².

В параллелограмме ABCD принимают за основание одну из сторон AD, тогда высота есть расстояние основания от другой ему параллельной стороны, считаемое по перпендикуляру к основанию. В параллелограмме ABCD основанием будет сторона AD (черт. 209), а высотой длина перпендикуляра BE.

Теорема 141. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника того же основания и той же высоты.

Доказательство. Опустив из точек A и D (черт. 210) перпендикуляры Aa и Db, мы видим, что ΔAaB = ΔDbC, ибо треугольники прямоугольные и AB = CD как стороны параллелограмма. Aa = Db как расстояния сторон параллелограмма.

Приложив к равенству

ΔAaB = ΔDbC

площадь фигуры ABbD, имеем:

AaB + ABbD = bCD + ABbD или

площадь прямоугольника AabD равна площади параллелограмма ABCD.

Отсюда вытекает заключение: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, или

ABCD = AD · Aa.

Теорема 142. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Доказательство. Всякий треугольник равен половине параллелограмма того же основания и той же высоты. Действительно, проведя через точку B треугольника ABC (черт. 211) прямую параллельную AC и через точку C прямую параллельную AB и продолжив их до взаимного пересечения в точке D, получим параллелограмм ABCD, у которого основание AC и высота BG одинаковы с основанием и высотой треугольника ABC. В этом параллелограмме ΔABC = ΔBDC, ибо BC сторона общая, AB = CD, AC = BD как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,

ABDC = ABC + BDC = 2ABC

откуда

ABC = ½ ABDC

Обозначив основание треугольника AC через b, а высоту BG через h, имеем:

ABC = (bh)/2 = ½ bh

Отношение площадей треугольников. 1. Треугольники, имеющие одинаковые основания, относятся как высоты.

Пусть b и h означают основание и высоту треугольника T, а b и h’ основание и высоту треугольника T’.

Площадь первого треугольника T = ½ bh

Площадь второго T’ = ½ bh’

Следовательно,

T/T’ = (½ bh) / (½ bh’) = h/h’

2. Площади треугольников, имеющих одинаковые высоты, относятся как основания.

Пусть b и h основание и высота треугольника T, b’ и h основание и высота треугольника T’, откуда

T/T’ = (½ bh) / (½ b’h) = b/b’

Теорема 143. Площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных сторон на высоту.

Дана трапеция ABCD (черт. 212).

Требуется доказать, что ABCD = ½ (BC + AD) · BE.

Доказательство. В данной трапеции ABCD соединим точки B и D.

Трапеция разобьется на два треугольника ABD и BCD.

Мы будем вообще площадь ABD просто называть ABD. Из чертежа видно, что

ABCD = ABD + BCD.

Площади треугольников ABD и BCD равны половине произведения основания на высоту, следовательно,

ABD = ½ AD · BE
BCD = ½ BC · DG

Так как BE = DG, то, сложив эти равенства, имеем:

ABCD = ½ AD · BE + ½ BC · BE = ½ BE (AD + BC) = BE · ((AD + BC)/2)

Если через точку F середину стороны AB проведем прямую, параллельную AD, то найдем, что

FK = FL + LK, где
FL = ½ AD
LK = ½ BC

следовательно,

½ (AD + BC) = FL + LK = FK

и площадь

ABCD = BE · FK

Площадь трапеции равна высоте, умноженной на отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон.

Теорема 144. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему.

Дан правильный многоугольник ABCDEF, O его центр (черт. 213), OG его апофема, p его периметр.

Требуется доказать, что ABCDEF = ½ p · OG.

Доказательство. Если соединим центр O с вершинами многоугольника, то он разобьется на равные треугольники AOB, BOC, COD и т. д.

Площадь ABCDEF = n · BOC

BOC = ½ BC · OG, следовательно, ABCDEF = ½ n · BC · OG

Так как p = nBC, то

ABCDEF = ½ p · OG (ЧТД).

Теорема 145. Площадь треугольника выражается по трем его сторонам. Она равна корню квадратному из произведения полупериметра на полупериметр без первой, на полупериметр без второй, на полупериметр без третьей стороны.

Дано. В треугольнике ABC даны три стороны (черт 214)

BC = a, AC = b, AB = c

Обозначим периметр его через 2p, т. е. 2p = a + b + c.

Требуется доказать, что площадь ABC =

Замечание. Обычно в треугольнике длину сторон обозначают малыми буквами тех углов, против которых лежат данные стороны.

Доказательство. Опустив перпендикуляр BD, получим:

ABC = ½ AC · BD = ½ b · BD

Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

BD² = AB² — AD² = c² — AD²

Сторона BC как сторона, лежащая против острого угла, выражается равенством:

BC² = AB² + AC² — 2AC · AD

или

a² = c² + b² — 2b · AD

откуда

Теорема 146. Всякий многоугольник можно превратить в равновеликий треугольник.

Чтобы превратить пятиугольник ABCDE (черт. 215) в равновеликий треугольник, мы превратим его сначала в равновеликий четырехугольник. Для этого проведем диагональ CE и продолжим сторону AE.

Через точку D проведем прямую DF параллельную CE до пересечения ее в точке F с прямой CE и соединим C с F.

Два треугольника CDE и CFE равновелики, ибо они имеют общее основание CE и равные высоты, так как вершины их D и F лежат на одной и той же прямой DF параллельной основанию CE, следовательно, площадь CDE равна площади CEF.

Добавив к этому равенству по равной площади BCEF, получим, что площадь пятиугольника ABCDE равна площади четырехугольника ABCF.

Подобным построением каждый многоугольник превращается в многоугольник, имеющий число сторон на единицу меньше.

Превратим теперь четырехугольник ABCF в равновеликий треугольник. Для этого проведем диагональ AC, из точки B прямую BG параллельную AC до пересечения ее с прямой AF в точке G и соединим G с C. Два треугольника ABC и AGC равновелики: площадь ABC равна площади AGC.

Прибавив по ACF, получим: площадь четырехугольника ABCF равна площади треугольника GCF.

Подобным построением каждый многоугольник превращается в равновеликий с ним треугольник.

Площадь неправильного многоугольника. Чтобы определить площадь неправильного многоугольника, нужно или разбить его на треугольники или превратить в равновеликий треугольник, а затем определить площадь этого треугольника.

Теорема 147. Квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Дан прямоугольный треугольник ABC (черт. 216) и три квадрата, построенные на его сторонах: квадрат ACDE, построенный на гипотенузе AC и квадраты BCLK, ABGF, построенные на катетах BC и AB.

Требуется доказать, что

ACDE = BCLK + ABGF

Доказательство. Из вершины B прямого угла опустим перпендикуляр BM на гипотенузу AC и продолжим его до пересечения со стороной ED в точке N.

Проведем прямые FC и BE.

Треугольник AFC имеет одинаковые основание и высоту с квадратом ABGF, следовательно,

AFC = ½ ABGF

Треугольник ABE имеем одинаковые основание AE и высоту с прямоугольником AMNE, следовательно,

ABE = ½ AMNE

У двух треугольников AFC и ABE
AB = AF как стороны квадрата AG
AE = AC как стороны квадрата AD
∠FAC = ∠BAE, ибо каждый угол состоит из прямых углов FAB и CAE, к которым приложен угол BAC, составляющий их общую часть. Следовательно, ΔAFC = ΔABE и откуда ½ ABGF = ½ AMNE и

ABGF = AMNE (a)

Точно также легко доказать, что

BCLK = CDNM

Проведя прямые AL и BD, получим два треугольника ALC и BCD.

Треугольник ALC имеет основание и высоту одинаковые с квадратом BCLK, следовательно,

ALC = ½ BCLK.

Треугольник BCD имеет основание CD и высоту одинаковые с прямоугольником CDMN, следовательно,

BCD = ½ CDNM

У двух треугольников ALC и BCD
CL = BC как стороны квадрата CK
AC = CD как стороны квадрата AD
∠ACL = ∠BCD

Следовательно, ΔALC = ΔBCD. Откуда ½ BCLK = ½ CDNM и

BCLK = CDNM (b)

Сложив равенства (a) и (b), имеем:

ABGF + BCLK = AMNE + CDNM = ACDE, т. е.
ACDE = ABGF + BCLK (ЧТД).

Это предположение называется Пифагоровой теоремой.

Теорема 148. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 217), у которых ∠A = ∠a.

Требуется доказать, что

ABC/abc = (AB · AC) / (ab · ac).

Доказательство. Принимая AC и ac за основания двух треугольников, проведем высоты BH и bh. Площади треугольников относятся как соответствующие произведения их оснований на высоты:

ABC/abc = (AC · BH) / (ac · bh) (a)

Два треугольника ABH и abh подобны, ибо они прямоугольны и ∠A = ∠a по условию, следовательно,

AB/ab = BH/bh

Заменяя в равенстве (a) отношение BH/bh отношением AB/ab, получим равенство:

ABC/abc = (AC · AB) / (ac · ab) (ЧТД).

Теорема 149. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Даны два подобных треугольника ABC и abc (черт. 218), следовательно,

∠A = ∠a, ∠B = ∠b, ∠C = ∠c и
AB/ab = AC/ac = BC/bc (a)

Требуется доказать, что ABC/abc = AB²/ab² = BC²/bc² = AC²/ac².

Доказательство. Так как ∠A = ∠a, то на основании предыдущей теоремы

ABC/abc = (AC · AB) / (ac · ab) (b)

Заменяя в равенстве (b) отношение AC/ac отношением AB/ab, по условию (a) получаем:

ABC/abc = AB²/ab²

На основании равенства (a), имеем:

ABC/abc = AB²/ab² = AC²/ac² = BC²/bc² (ЧТД).

Теорема 150. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Даны два подобных многоугольника ABCDE и abcde (черт. 219).

Требуется доказать, что

ABCDE/abcde = AB²/ab² = BC²/bc² = и т. д.

Доказательство. Из того, что многоугольники ABCDE и abcde подобны, следуют отношения:

AB/ab = BC/bc = CD/cd = DE/de = AE/ae (1)

Многоугольники разбиваются диагоналями на треугольники подобные, следовательно, на основании теоремы 149, имеем пропорции:

ABC/abc = AB²/ab²
ACD/acd = CD²/cd²
ADE/ade = DE²/de²

На основании соотношений (1) имеем равные отношения:

AB²/ab² = BC²/bc² = CD²/cd² = DE²/de² = AE²/ae²

следовательно,

ABC/abc = ACD/acd = ADE/ade = AB²/ab²

откуда по свойству пропорций имеем:

(ABC + ACD + ADE) / (abc + acd + ade) = ABCDE / abcde = AB²/ab² (ЧТД).

Так как одноименные правильные многоугольники подобны, то площади одноименных правильных многоугольников относятся как квадраты их сторон.

Теорема 151. Многоугольник, построенный на гипотенузе, равен сумме подобных многоугольников, построенных на катетах.

Дано. На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены подобные многоугольники M, N, P (черт. 220).

Требуется доказать, что P = M + N.

Доказательство. На основании теоремы 150 имеем отношения:

M/P = BC²/AC²
N/P = AB²/AC²

откуда, сложив эти равенства, имеем:

(M + N)/P = (BC² + AB²)/AC²

По свойству прямоугольных треугольников имеем:

AC² = BC² + AB²

следовательно,

(M + N)/P = 1, откуда M + N = P (ЧТД).

Теорема 152. С увеличением числа сторон площади правильных вписанных и описанных многоугольников приближаются к одному и тому же пределу.

Даны ab и AB (черт. 221) стороны одноименных правильных многоугольников вписанного и описанного.

Требуется доказать, что разность между их площадями может быть сделана меньше всякой данной величины.

Доказательство. Обозначив через S_n и s_n площади, P_n и p_n периметры, A_n и a_n стороны правильных одноименных многоугольников описанного и вписанного и через r радиус круга, мы по теореме 144 имеем:

S_n = ½ P_n · OC = ½ P_nr
s_n = ½ p_n · Oc

Так как

P_n/p_n = OC/Oc = r/Oc, P_n = p_n (r/Oc)

следовательно,

S_n = ½ p_n · (r²/Oc), s_n = ½ p_n · Oc

откуда

S_n — s_n = ½ p_n · ((r² — Oc²)/Oc).

В этом равенстве

r² — Oc² = aO² — Oc² = ac²

следовательно,

S_n — s_n = ½ p_n · (ac²/Oc²) (1)

Периметр правильного вписанного многоугольника меньше окружности p_n < 2πr.

Отношение ac/Oc с увеличением числа сторон правильного вписанного многоугольника уменьшается. Для вписанного квадрата ac/Oc = 1. Если правильный многоугольник имеет больше 4-х сторон, то

ac/Oc < 1.

Следовательно, для n > 4

p_n (ac/Oc) < 2πr

Заменив в равенстве (1) p_n (ac/Oc) через 2πr, получим неравенство:

S_n — s_n < πr · ac

Так как ac = ½ a_n, то

S_n — s_n < ½ πr · a_n (2)

В этом неравенстве величины π и r постоянные, а сторона правильного вписанного многоугольника может быть сделана меньше всякой данной величины, следовательно, разность S_n — s_n может быть сделана меньше всякой данной величины. Откуда

lim (S_n — s_n) = 0 и lim S_n = lim s_n (ЧТД).

Теорема 153. Круг есть предел площадей правильного вписанного и описанных многоугольников.

Доказательство. Обозначив площадь круга через C, через S_n и s_n площади, A_n и a_n стороны правильных многоугольников описанного и вписанного, имеющего больше четырех сторон, мы по предыдущему имеем:

S_n — s_n < ½ πr · a_n

Так как

S_n > C, s_n < C

то и подавно

C — s_n < ½ πr · a_n

следовательно, разность между площадью круга и площадью правильного вписанного многоугольника может быть с увеличением числа сторон сделана меньше всякой данной величины, поэтому

lim s_n = C

а так как lim S_n = lim s_n, то и lim S_n = C.

Теорема 154. Площадь круга равна длине окружности, умноженной на половину радиуса.

Доказательство. Обозначим через P_n и S_n периметр и площадь правильного описанного многоугольника, имеющего n сторон, через O длину окружности, C площадь и r радиус круга.

Известно, что

S_n = P_n · ½ r

Так как круг есть предел площадей описанных и вписанных правильных многоугольников, то

S_n = C + α
P_n = O + β

где с увеличением n числа сторон правильного описанного многоугольника величины α и β могут быть сделаны меньше всякой данной величины.

Вставляя вместо S_n и P_n их величины, находим:

C + α = (O + β) ½ r

Откуда на основании теоремы 129 находим выражение площади

C = O · ½ r

Так как O = 2πr, то

C = 2πr · ½ r = πr²

Площадь круга равна отношению окружности к диаметру, умноженному на квадрат радиуса.

Теорема 155. Площадь сектора равна дуге, умноженной на половину радиуса.

Доказательство. Обозначим длину дуги сектора через s и его площадь через c. Площадь круга относится к площади сектора как окружность к дуге сектора

C/c = O/s

откуда

c = sC/O

Так как

C = πr², O = 2πr, то
C/O = r/2, следовательно,
c = s · (r/2)

Для дуги, имеющей n градусов, имеем:

s = (2πr · n)/360, c = (πr² · n)/360

Теорема 156. Площади секторов двух кругов с одинаковым числом градусов относятся как квадраты радиусов.

Доказательство. Для двух кругов с радиусами r и r’ площади секторов c и c’, имеющих n градусов, выражаются формулами:

c = (πr² · n)/360, c’ = (πr’² · n)/360

откуда

c/c’ = r²/r’²

Теорема 157. Круг, построенный на гипотенузе, как на диаметре, равен сумме кругов, построенных на катетах.

Доказательство. Обозначив через a, b длину катетов и через c длину гипотенузы, через A, B, C площади кругов, построенных на них, мы имеем:

A = π(a²/4), B = π(b²/4), C = π(c²/4) (1)

Так как

c² = a² + b²

Умножив это равенство на π/4, имеем:

(πc²)/4 = (πa²)/4 + (πb²)/4

На основании равенства (1) получаем:

C = A + B (2)

Тоже заключение имеет место и для полукруга. На этом свойстве основана квадратура суммы двух криволинейных фигур, называемых Гиппократовыми луночками.

Гиппократова луночка есть фигура, ограниченная двумя дугами кругов, обращенными в одну сторону.

Взяв прямоугольный треугольник ABC (черт. 222) и построив полукруги на сторонах AC, AB и BC как на диаметрах, мы имеем равенство, обозначающее, что полукруг, построенный на диаметре AC, равен сумме полукругов, построенных на катетах AB и BC.

AFBGCA = ADBA + BECB

Вычитая из обеих частей сумму сегментов AFBA + BGCB, имеем:

ΔABC = ADBFA + BECGB

т. е. луночка ADBFA + луночка BECGB = ΔABC.

Это есть один из замечательных случаев квадратуры криволинейных фигур.

Задача. Разделить треугольник на три равные части из точки, находящейся на одной из его сторон.

Дана точка D на стороне AC треугольника ABC (черт. 223).

Требуется разделить площадь треугольника ABC прямыми, выходящими из точки B.

Решение. Положим, что прямые DH и DG действительно делят треугольник на три равные части. Разделим основание AC на три части и точки деления E и F соединим с точкой B. Отрезки BE и BF тоже делят треугольник на три равные части.

Соединим точки H и G с точками E и F.

Так как треугольники BCF и DHG имеют общий угол C, то по теореме 148

BCF/DHC = (BC · CF) / (HC · CD)

Площади BCF и DHC равны, ибо они составляют третью часть площади треугольника ABC, следовательно,

(BC · CF) / (HC · CD) = 1

откуда

BC · CF = HC · CD

или

BC/CD = HC/FC

Из этой пропорции видно, что сторона HF делит стороны треугольника BCD на части пропорциональные, следовательно, отрезок HF параллелен BD.

Точно также нетрудно доказать, что отрезок GE параллелен отрезку BD. Отсюда вытекает следующее построение. Чтобы разделить треугольник на три равные части из точки, находящейся на одной из его сторон, делим эту сторону на три равные части, соединяем данную точку с вершиной и из точек деления проводим прямые ей параллельные. Точки пересечения этих параллельных со сторонами треугольника соединяем с данной точкой. Эти отрезки и будут рассекать треугольник на три равные части.

Источник

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: