Как найти отношение площадей прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников

Понятие подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов пропорциональны.

A B / K L = B C / L M = A C / K M = k , ∠ A = ∠ K , ∠ B = ∠ L , ∠ C = ∠ M ⇒ Δ A B C

Отношение длин подобных треугольников называют коэффициентом подобия (k).

Также пропорциональные стороны подобных треугольников могут быть названы сходственными сторонами.

В подобных треугольниках, кроме сторон, подобны и другие величины: биссектрисы, медианы, высоты и т.д.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка теоремы: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В геометрии существует три признака подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. Отношение длин соответствующих элементов подобных элементов равно коэффициенту подобия.

Доказательство теоремы

Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: изобразим подобные треугольники Δ A B C

Из подобия треугольников по определению следует: A B / K L = B C / L M = A C / K M = k .

Воспользуемся следующей теоремой: если у двух треугольников равны углы (∠A=∠K), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем в виде формулы:

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Площади подобных треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 равны соответственно 200 см² и 50 см². Сторона A1B1=5 см. Найдите сходственную ей сторону AB треугольника ABC.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников: S a b c / S a 1 b 1 c 1 = k ² ⇒ 200 / 50 = k ² ⇒ k = 2 .

A B / A 1 B 1 = 2 , A B = A 1 B 1 * 2 , A B = 5 * 2 = 10 с м .

ΔABC и ΔA1B1C1 — подобны. Сходственные стороны AC и A1C1 соответственно равны 13 см и 0,1 м.

Найдите отношение периметров ΔABC и ΔA1B1C1.

A 1 C 1 = 0 , 1 м = 10 с м

A C / A 1 C 1 = 13 / 10 = 1 , 3 ⇒ P a b c / P a 1 b 1 c 1 = 1 , 3

Задача для самостоятельной работы

Треугольники Δ A B C

Δ K L M подобны. Площадь ΔABC равна 500 см², площадь ΔKLM равна 125 см². Сторона AC равна 18 см, найти сходственную ей сторону KM.

Проверьте, насколько верный или неверный ваш ответ.

Советуем составить краткий конспект для подготовки к уроку.

Отношение площадей подобных треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы введем понятие подобных треугольников и рассмотрим теорему об отношении их площадей. Затем будет рассмотрен ряд примеров на применение этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение»

ВИДЕОУРОК

Две фигуры подобны, если каждой точке одной
фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек  А  и  В  одной
фигуры и сопоставимых им точек  А₁  и  В₁  другой фигуры выполняется условие

где  k – одно и то же положительное число для всех точек.

Число  k – коэффициент подобия фигур.

Признаки подобия прямоугольных
треугольников.

Два прямоугольных
треугольника подобны между собой, если:

– острый угол
одного треугольника равен острому углу другого треугольника;

– катеты одного
треугольника пропорциональны катетам другого треугольника;

– гипотенуза и
катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого
треугольника.

Отношение периметров
подобных прямоугольных треугольников равно отношению сходственных сторон
(коэффициенту подобия):

Отношение площадей
подобных прямоугольных треугольников равно квадрату отношения соответствующих
сторон (квадрату коэффициента подобности).

Высота
прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит
треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному
треугольнику.

ПРИМЕР: 

∆ АВС, ∠ С = 90°, СМ – высота,

∆ АМС ∼ ∆ СМВ.

При проведении всех
трёх средних линий образуется  4  равных
треугольника, подобных исходному с коэффициентом  ¹/_2.

ЗАДАЧА:

Параллельные прямые  ВС  и  DЕ  пересекают стороны угла  А, изображённого
на рисунку.

АВ = 6 см, 

АС = 4 см, 

ЗАДАЧА:

По данным, изображённым на
рисунку, найдите высоту дерева.

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА:

Середина боковой стороны равнобедренного треугольника удалена
от его основания на  9 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника
до его основания.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Треугольники  АМD  и  АКL – подобные.

MD = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Отрезки  АС  и  СD, изображённые на
рисунку,

параллельны,

∠
АВС = 90°,  АВ
= 24 см,

ВО = 10
см, СО = 5 см.

Найдите длину отрезка  АD.

РЕШЕНИЕ:

СD ∥
АВ, ∠ АВС = 90°,

АВ = 24 см,

ВО = 10 см,

СО = 5 см.

Так как

СD ∥
АВ  і 
AВ ⊥ ВС, то

DС ⊥ ВС, то есть

∠ ВСD = 90°.

Из  ∆ AВО (∠ В = 90°):

∠ АОВ = ∠ DОС как вертикальные.

∆ DСО ~ ∆ AВО,

Поэтому,

AD = AO + OD =

= 26 + 13 = 39 см.

ОТВЕТ:  39 см

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  отрезок  ВК –
высота, отрезок  АМ – биссектриса,

ВК = 26 см,

АВ : АС
= 6 : 7.

Из точки  М  опущен
перпендикуляр  МD  на сторону 
АС. Найдите отрезок  МD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

ВМ  : МС = АВ : АС = 6 : 7.

Пусть  ВМ = 6х,
тогда 

МС = 7х,

ВС = 6х + 7х = 13х.

По условию, ВК ⊥
АС  и  

МD ⊥ АС.

Поэтому  ВК
∥ МD  и  

∆ СВК ~ ∆ СМD.

Откуда:

ВК : МD = ВС : МС,

26 : МD = 13х : 7х.

ОТВЕТ:  14 см

ЗАДАЧА:

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного
треугольника, касается большого катета и проходит через вершину противоположного
острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны  5
см  и 
12
см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть треугольник  АСВ (∠ С = 90°) – данный прямоугольный
треугольник,

АС = 5 см, ВС = 12
см,

О –
центр окружности,

ОD ⊥ ВС, D –
точка касания окружности с центром  О  до катета  ВС,

ОD = ОА –
радиус окружности.

Из прямоугольного треугольника  АСВ  имеем:

Поэтому  ОD
∥ АС  и треугольники  АСВ  и  ОDВ  подобные.

Нехай

ОD = ОА = х.

Тогда  ОВ = 13 – х.

Получим:

ОВ : ОD = АВ : АС,

(13 – х) : х = 13 : 5,

(13 – х) ∙ 5
= 13x,

65 – 5х = 13х, 18х = 65,

х = 65 : 18, х = 3¹¹/₁₈,

Поэтому, радиус окружности равен  3¹¹/₁₈
см.

ОТВЕТ:  3¹¹/₁₈ см

ЗАДАЧА:

Катет прямоугольного треугольника равен  8 см,
а гипотенуза – 16 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

∆ АВС ~ ∆ ВDС, поэтому

ЗАДАЧА:

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкою касания
вписанной окружности делится в отношении 
8
: 9, считая
от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если
радиус вписанной окружности равен  16 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – равнобедренный
треугольник  (АВ = ВС)  с центром вписанной окружности  О,

К – точка касания окружности до стороны ВС,

ОК = 16 см,

СК : КВ
= 8 : 9.

Пусть  СК = 8х,
тогда

ВК = 9х,

ВС = 8х + 9х = 17х (см).

Проведем высоту  ВD  треугольника. Треугольник  ОКВ  прямоугольный

 (∠ К = 90°), тому

По свойству касательных, проведённых из одной точки до окружности,

СD = СК = 8х.

 Из подобности прямоугольных треугольников  ВОК  и  ВСD  (у них общий острый угол) получим:

256 + 81х² = 1156,

81х² = 900, х² = ⁹⁰⁰/₈₁,

х =
¹⁰/₃.

DС = 8х = ¹⁰/₃ ∙ 8
= ⁸⁰/₃ (см).

ВС = 17х
= 17 ∙ ¹⁰/₃ = ¹⁷⁰/₃ (см).

Р = 2 ∙ (⁸⁰/₃  + ¹⁷⁰/₃) = ⁵⁰⁰/₃ (см).

S_∆ABC = ¹/₂ р ∙ r = ¹/₂ ∙ ⁵⁰⁰/₃ ∙16
=

= ⁴⁰⁰⁰/₃ = 1333¹/₃ (см²).

ОТВЕТ:  1333¹/₃ см²

ЗАДАЧА:

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник,
делить его высоту, проведённую до основания, на отрезки, длины которых равны  10
см  и 
26
см. Найдите площадь данного треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – заданный равнобедренный треугольник  (АВ = ВС),

О –
центр вписанной окружности,

ВD –
высота треугольника,

ОD = 10 см, ОВ = 26 см,

 К – точка касания кола до боковой стороны  АВ,

ОК = ОD = 10 см.

 Из прямоугольного
треугольника  ВКО (∠ К = 90°)  имеем:

ВD = ВО + ОD =

= 26 + 10 = 36 (см).

Из подобных прямоугольных треугольников

АВD  і  ОВК  имеем:

АD : ВD = КО : КВ,

АD : 36
= 10 : 24

Находим площадь треугольника  АВС.

S_ABC = ¹/₂ AC ∙
BD =

= AD ∙
BD
=

=
15 ∙ 36 = 540 (см²).

ОТВЕТ:  540 см²

ЗАДАЧА:

На медиане  ВD  равнобедренного
треугольника  АВС (АС = ВС)  взята точка 
К  такая, что 
КD = 2ВК.
Прямая  АК  пересекает сторону  ВС  в точке 
М.
Найдите площадь треугольника  АМС, если площадь треугольника  АВС  равна  20.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

ВD –
медиана треугольника  АВС, проведённая к его основанию, следовательно, ВD  является высотой
и биссектрисой. Проведём прямую  ВF  параллельную  АС  до пересечения её с продолжением  АМ  в точке  F.
Пусть

АD = DС = х, АС = 2х.

Треугольник  АКD  подобен
треугольнику  FКВ  по двум углам

(∠ КAD
= ∠ КFB, ∠ AKD = ∠ FKB),

следовательноотсюда

BF = ¹/₂ AD = ¹/₂ x.

Треугольник  АMC  подобен
треугольнику  FMB

(∠ AMC
= ∠ FMB, ∠ MAC = ∠ MFB),

поэтому

отсюда

BF = ¹/₂ AD = ¹/₂ x.

Треугольник  АMC  подобен
треугольнику  FMB

(∠ AMC
= ∠ FMB, ∠ MAC = ∠ MFB),

поэтому

Треугольники  АВС  и  АМС  имеют
одинаковую высоту, проведённую из вершины 
А. Следовательно их площади относятся также, как
стороны к которым эта высота проведена.

отсюда получим, что

S_AМC = ⁴/₅ S_AВС =

= ⁴/₅∙ 20 = 16.

ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна до боковой
стороны, а основание равно  28 см  и  100
см. Найдите длины отрезков, на которые высота трапеции, проведённая из вершины
тупого угла, делит диагональ.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (АВ ∥ СD) – равнобедренная трапеция,

ВЕ  и  СК – высоты,

АС ⊥ СD,

ВС = 28 см,

АD = 100 см,

О –
точка пересечения прямых  АС  и  ВЕ.
Проведём медиану  СМ  треугольника  АСD (∠ С
= 90°). По свойству медианы, проведённой из вершины прямого угла
прямоугольного треугольника, получим

СМ = АМ = МD = 50 (см).

MK = MD – KD =

= 50 – 36
= 14 (см).

Из треугольника 
МКС (∠ К = 90°)  имеем:

Из треугольника  АКС (∠ К = 90°)  имеем:

∆ AOE ~ ∆ СOB,

(∠ OAE = ∠ OCB, ∠ OBC = ∠ OEA), тому

откуда

Пусть  АО = 9х (см), тогда
 

ОС = 7х (см).

АО + ОС = АС,

9х + 7х = 80, х = 5 (см).

АО = 45 см, ОС = 35 см.

ОТВЕТ:  45 см, 35 см

ЗАДАЧА:

Два равных равнобедренных прямоугольных
треугольника с катетами  а  расположены так, что катет  ВС  ∆ АВС  параллельный гипотенузе  А₁В₁  ∆ А₁В₁C₁. Вершины  В  и  С  соответственно лежат на катетах А₁C₁  и  В₁C₁. Определите площадь трапеции  BCMN.

РЕШЕНИЕ:

Из  ∆ АВN  выходит, что 

MN = AM = a – MC.

∆ А₁C₁B₁ ~ ∆ BCC₁, поэтому

то есть

Откуда

MC = a(√͞͞͞͞͞2– 1);

MN = a(2
– √͞͞͞͞͞2 );

Поэтому,

Задания к уроку 15

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН <АС₁, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С₁, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В₁С₁ окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В₁С₁А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂ совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С₁Н₁:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А₁С₁Н₁. Из подобия ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в k² раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k² раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Отношение площадей подобных треугольников

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 543,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 544,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 545,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 546,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 627,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1077,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1143,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1209*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

22
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Подобные треугольники

2013-08-22
2014-01-31

Автор: egeMax |

комментариев 50