Как найти отношение площадей равнобедренных треугольников

Периметр и площадь треугольника

Периметр

Периметр любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

где P — это периметр треугольника, a, b и c — его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.

Периметр равностороннего треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.

Площадь

Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2.

Общая формула площади треугольника:

где S — это площадь треугольника, a — его основание, h_a — высота, опущенная на основание a.

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то

Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника

Формула

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 1), необходимо вычислить произведение половины основания этого треугольника на его высоту:

Напомним, что треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Равные стороны
называются боковыми сторонами рассматриваемого треугольника, а третья сторона — основанием.

Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника

Читать дальше: как найти площадь равностороннего треугольника.

Решаем задачи по геометрии: пропорциональные отрезки

Теорема 1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (рис. 1).

Определение 1. Два треугольника (рис. 2) называются подобными, если соответствующие стороны у них пропорциональны.

Теорема 2 (первый признак подобия). Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны (см. рис. 2).

Теорема 3 (второй признак подобия). Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3).

Теорема 4 (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC — в точке Z (рис. 4), то

Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 (рис. 5). Тогда треугольники A1BC1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos ∠B.

Лемма 1. Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 6), то

Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC (рис. 7), то

Лемма 3. Если треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A, то

Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 4. Проведем через точку C прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой XZ в точке K (рис. 9). Надо доказать, что

Рассмотрим две пары подобных треугольников:

Перемножив почленно эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 5. Докажем подобие треугольников A1BC1 и ABC при помощи первого признака подобия. Так как эти два треугольника имеют общий угол B, достаточно доказать, что

Но это следует из того, что из прямоугольного треугольника ABA1, а из прямоугольного треугольника CBC1. Попутно доказана и вторая часть теоремы.

Решения задач

Задача 1. Дана трапеция ABCD, причем известно, что BC = a и AD = b. Параллельно ее основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q (рис. 10). Известно, что PL = LR. Найти PQ.

Решение. Докажем сначала, что PL = RQ. Рассмотрим две пары подобных треугольников:

Согласно теореме Фалеса имеем:

Обозначим теперь PL = LR = RQ = x и рассмотрим снова две пары подобных треугольников:

Имеем далее:

Значит,
Ответ:

Задача 2. В треугольнике ABC угол A равен 45°, а угол C — острый. Из середины N стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC (рис. 11). Площади треугольников NMC и ABC относятся соответственно как 1 : 8. Найти углы треугольника ABC.

Решение. Пусть BH — высота, опущенная из вершины B на сторону AC.
Так как NM — средняя линия треугольника BHC, то S∆BHC = 4S∆NMC.
Но, согласно условию задачи, S∆ABC = 8S∆NMC.
Следовательно, S∆ABC = 2S∆BHC, поэтому S∆ABH = S∆BHC. Значит, AH = HC,
откуда ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Ответ: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.

Задача 3. Дан треугольник ABC, в котором угол B равен 30°, AB = 4 и BC = 6. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D (рис. 12). Определить площадь треугольника ABD.

Решение. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла:

Значит,

Ответ:

Статья опубликована при поддержке компании «Мир цветов». Оптово-розничный склад свадебных и ритуальных товаров, искусственных цветов в Краснодаре. Свадебные аксессуары — свечи, плакаты, бокалы, ленты, приглашения и многое другое. Ритуальные товары — ткани, одежда, фурнитура. Узнать подробнее о компании, посмотреть каталог товаров, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: flowersworld.su.

Задача 4. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O (рис. 13). Найти площадь четырехугольника OMCD.
Решение. Площадь четырехугольника OMCD будем искать как разность площадей треугольников BCD и BOM. Площадь треугольника BCD равна половине площади параллелограмма ABCD и равна Найдем площадь треугольника BOM. Имеем:

Задача 5. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольный треугольник MNC так, что угол MNC прямой, точка N лежит на AC, а точка M на стороне AB (рис. 14). В каком отношении точка N должна делить гипотенузу AC, чтобы площадь треугольника MNC составляла от площади треугольника ABC?

Решение. Можно считать, что AB = 1. Обозначим AM = x, 0 < x < 1, тогда BM = 1 – x,

Задача 6. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. Продолжения боковых сторон AB и DC пересекаются в точке K, образуя треугольник AKD с углом 45° при вершине K (рис. 15). Площадь трапеции ABCD равна S. Найти площадь треугольника AKD.

Решение. Согласно теореме 5, треугольник BKC подобен треугольнику AKD с коэффициентом подобия Следовательно, площади этих треугольников относятся как 1 : 2, а это значит, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника BKC. Поэтому площадь треугольника AKD равна 2S.
Ответ: 2S.

Задача 7. В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK : KB = 1 : 2, а на стороне BC взята точка L так, что CL : LB = 2 : 1. Пусть Q — точка пересечения прямых AL и CK (рис. 16). Найти площадь треугольника ABC, зная, что площадь треугольника BQC равна 1.

Решение. Пусть AK = x, BL = y. Тогда KB = 2x,
LC = 2y, значит, AB = 3x и BC = 3y. Применим к треугольнику ABL и секущей KQ теорему Менелая:

Задача 8. Из точки M, которая расположена внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на стороны (рис. 17). Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, b и m, c и n. Вычислить отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

Решение. Введем стандартные обозначения, то есть обозначим длины сторон треугольника ABC: BC = a, CA = b, AB = c; величины углов: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны BC, CA и AB, обозначим соответственно через D, E и F. Тогда, согласно условию задачи, MD = k, ME = m, MF = n. Очевидно, что угол EMF равен π – α, угол DMF равен π – β, угол DME равен π – γ и точка M расположена внутри треугольника DEF. Площадь треугольника DEF равна:

Площадь треугольника ABC равна:

Найдем отношение площадей треугольников DEF и ABC:

Следовательно,

Ответ:

Задача 9. Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3.
Точка R делит сторону AC этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2 (рис. 18). Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника ABC, где S и T — точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

Решение. Обозначим BP = x, AR = y; тогда
PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая:

Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR, получим:

Далее:

С другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC, получим, что

Ответ:

Задача 10. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6, длина медианы CE равна 5, расстояние от точки пересечения BD с CE до стороны AC равно 1 (рис. 19). Найти длину стороны AB.

Решение. Пусть точка O — точка пересечения прямых BD и CE. Расстояние от точки O до стороны AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая:

Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD, получим, что

откуда OE = 2CO, и с учетом OE + CO = CE = 5
получаем, что К прямоугольному треугольнику CDO применим теорему Пифагора:

Значит, Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем также воспользуемся теоремой Пифагора:

Ответ:

Задача 11. На отрезке AB лежат точки C и D, причем точка C находится между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM и MD перпендикулярны, и прямые CM и MB тоже перпендикулярны (рис. 20). Найти площадь треугольника AMB, если известно, что величина угла CMD равна α, а площади треугольников AMD и CMB равны S1 и S2 соответственно.

Таким образом, числа x и y являются корнями квадратного уравнения
t2 – (S1 + S2)t + S1S2sin2 α = 0.
Больший корень этого уравнения:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведена биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырехугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.
С-2. В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании BC, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как
8 : 5. Найдите углы треугольника.
С-3. В параллелограмме ABCD со сторонами AD = 5 и AB = 4 проведен отрезок EF, соединяющий точку E стороны BC с точкой F стороны CD. Точки E и F выбраны так, что
BE : EC = 1 : 2, CF : FE = 1 : 5. Известно, что точка M пересечения диагонали AC с отрезком FE удовлетворяет условию MF : ME = 1 : 4. Найдите диагонали параллелограмма.
С-4. Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, большее основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем EF : FC = EP : EQ = 1 : 3.
Найдите площадь треугольника EPF.
С-5. В остроугольном треугольнике ABC (где AB > BC) проведены высоты AM и CN, точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности. Известно, что величина угла ABC равна β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите длину стороны AC.
С-6. В треугольнике ABC точка K на стороне AB и точка M на стороне AC расположены так, что выполняются соотношения AK : KB = 3 : 2 и AM : MC = 4 : 5. В каком отношении точка пересечения прямых KC и BM делит отрезок BM?
С-7. Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол B прямой) взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Длины отрезков AD и DC равны соответственно a и c. Найдите длину отрезка BD.
С-8. В выпуклом четырехугольнике ABCD на стороне CD взята точка E так, что отрезок AE делит четырехугольник ABCD на ромб и равнобедренный треугольник, отношение площадей которых равно Найдите величину угла BAD.
С-9. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO : OC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника OEC.
С-10. Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AK : BK = CL : BL = CM : DM = 1 : 2. Известно, что радиус описанной около треугольника KLM окружности равен KL = 4, LM = 3 и KM < KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
С-11. Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC, если OA = 6, OD = 4, CD = 1.
С-12. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 30°, а высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников DEO и ABC.
С-13. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
С-14. В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP — точка N так, что углы BMC и ANC — прямые. Расстояние между точками M и N равно а ∠MCN = 30°.
Найдите биссектрису CL треугольника CMN.
С-15. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки D, E и F соответственно. Отрезки AE и DF проходят через центр вписанной в треугольник ABC окружности, а прямые DF и BC параллельны. Найдите длину отрезка BE и периметр треугольника ABC, если BC = 15, BD = 6, CF = 4.
С-16. В треугольнике ABC биссектриса BB’ пересекает медиану AA’ в точке O.
Найдите отношение площади треугольника BOA’ к площади треугольника AOB’, если AB : AC = 1 : 4.
С-17. В треугольнике ABC точка D лежит на AC, причем AD = 2DC. Точка E лежит на BC. Площадь треугольника ABD равна 3, площадь треугольника AED равна 1. Отрезки AE и BD пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников ABO и OED.
С-18. В параллелограмме ABCD точки E и F лежат соответственно на сторонах AB и BC, M — точка пересечения прямых AF и DE, причем AE = 2BE, а BF = 3CF. Найдите отношение AM : MF.
С-19. В прямоугольнике ABCD на сторонах
AB и AD выбраны соответственно точки E и F так, что AE : EB = 3 : 1, AF : FD = 1 : 2. Найдите EO : OD, где O — точка пересечения отрезков
DE и CF.
С-20. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем
NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите отношение PN : PR.
С-21. На сторонах острого угла с вершиной O взяты точки A и B. На луче OB взята точка M на расстоянии 3OA от прямой OA, а на луче OA — точка N на расстоянии 3OB от прямой OB. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 3. Найдите MN.
С-22. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Найдите площадь пяти­угольника ABCDE.
С-23. На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADEF и BCGH, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка AD, если BC = 2, GO = 7, а GF = 18.
С-24. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, а угол BAC равен 45°. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, причем AM = 2MC, а ∠NMC = 60°. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырехугольника ABNM.
С-25. В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка M — на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O, AN : NB = 2 : 3,
BO : OM = 5 : 2. Найдите CO : ON.

Ответы:

Садовничий Ю.

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то

Во-первых не известно какой треугольник?

Равнобедренный или произвольный?

Как проводится «серединная линия»?

Если треугольник равнобедренный и линия проводится через точку пересечения медиан, параллельно основанию треугольника, к которому примыкают равные углы, то соотношение высот большого и малого треугольника даст 1/2, стороны оснований равны также 1/2..

Значит соотношение большого и малого треугольников будет 1/4..

Тогда соотношение площадей, фигур, получаемых разделением равнобедренного треугольника через точку соединения медиан будет верхнего треугольника как 1/4 большого, а вторая часть как 3/4 треугольника, соотношение площадей будет верхнего треугольника и нижней трапеции как 1:3, т.е. площадь трапеции в 3 раза больше площади верхнего треугольника..