Percentages are a function of mathematics that enables you to compare two or more unequal things by expressing both as portions of 100. You can also express the number as a fraction or a decimal. For example, 10 percent is 10 out of 100, or 1/10 or .10. Calculate percentages by dividing the fraction’s numerator by its denominator, as in 16/64 = 16 divided by 64, or 1/4, or .25 or 25 percent (%). Find the percentage of a portion of an object by dividing the area of the portion by the area of the whole original object.
Multiply the length times the width of the original piece to calculate its area in square inches, feet or centimeters. For example, if the piece is 16 inches long and 10 inches wide, 16 x 10 = 160; its area is 160 square inches.
Use the same method to calculate the area of the smaller portion for which you need the percentage. For example, if the smaller portion is 8 inches long and 5 inches wide, 8 x 5 = 40; its area is 40 square inches.
Divide the smaller portion’s area by the whole piece’s area. For example, 40 / 160 = .25. Therefore, the area of the smaller portion is 25 percent of the area of the original piece.
Уважаемый пользователь! Для получения полного доступа ко всем функциями сайта, пожалуйста, пополните счёт
690 руб.
+ 1 месяц
Получите 1 месяц полного доступа
Пополнить счёт
1500 руб.
+ 3 месяца
Вы экономите 525₽!
Получите 3 месяца полного доступа
Пополнить счёт
3890 руб.
+ 9 месяцев
Вы экономите 2119₽!
Получите 9 месяцев полного доступа
Пополнить счёт
Если вы хотите использовать платформу как репетитор или как учитель, пожалуйста, свяжитесь с нами
Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение можно записать как арифметическое действие «деление», а можно как обыкновенную дробь.
(a:b=frac{a}{b}) – так записывают отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член.
Например: отношение 75 к 25 можно записать в виде: (75:25=frac{75}{25}=3).
Отношение двух чисел показывает:
- во сколько раз одно число больше другого;
- какую часть одно число составляет от другого.
Процентное отношение
Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.
Например: вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.
По правилу: (52:400cdot100%=13 %).
Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).
Примеры.
Задача 1. Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?
1-й вариант
Решение:
1 200 изделий – это план завода, или 100% плана.
1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?
2 300 – 1 200 = 1 100 (изд.)
2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?
1 100 от 1 200 (Rightarrow 1100:1200cdot100%=91,7%).
2-й вариант
Решение:
1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?
2 300 от 1 200 (Rightarrow 2300:1200cdot100%=191,7%).
2) На сколько процентов перевыполнен план?
(191,7%-100%=91,7%).
Ответ: на 91,7%.
Задача 2. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?
Решение:
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:
(150:500cdot 100%=frac{150}{500}cdot 100% )(=frac3{10}cdot 100%=0,3cdot 100%=30%).
Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).
Задача 3. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?
Решение:
Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах: (45:36cdot 100%=1,25cdot 100%=125%).
Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Павлов А.А. 1
1МБОУ «ООШ № 12» Асбестовского городского округа
Самофалова В.В. 1
1МБОУ «ООШ № 12»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
В настоящее время людям часто приходится встречаться с понятием «процент». Современный человек должен уметь вычислять скидку на интересующий его товар; решать задачи на смеси, сплавы, растворы, в которых без процентов не обойтись. Например, нужно знать, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, как приготовить раствор для заливки фундамента дома, как разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу. На этикетках продуктов питания часто указывается массовая доля вещества, например, жира, выраженная в процентах. Задачи на проценты встречаются на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней. Это, как правило, практико-ориентированные задания. Поскольку мне тоже предстоит сдавать экзамен по математике, я решил рассмотреть задачи на проценты и способы их решения в задачах ОГЭ и ЕГЭ. Так как будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью, руководствуясь примером моей мамы, которая работает в банке, я быстро определился с практической частью моего проекта. Я провел интервью с сотрудником банка, которому задал интересующие меня вопросы.
Цель проекта: исследовать типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.
Задачи проекта:
Изучить историю возникновения процентов.
Проанализировать информационные источники по теме: «Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ».
Разобрать решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.
Провести интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста с целью понять, как начисляются проценты на кредиты и вклады.
Разработать анкету и провести анкетирование среди обучающихся основной школы №12, обработать результаты.
Объект исследования: задачи на проценты.
Предмет исследования: типы задач на проценты и способы их решения.
Гипотеза: опираясь на знания по математике, полученные в 5-6 классах по теме «Проценты», можно решить любую задачу на проценты из банка задач ОГЭ и ЕГЭ.
Методы исследования:
Изучить литературу по данной теме.
Решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.
Интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста.
Анкетирование и обработка его результатов.
Теоретическая часть
1. Истрия возникновения процентов
Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные ими таблицы, которые позволили быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить более сложные вычисления с применением процентов[19, 3].
Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римский сенат даже должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислении процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы[5].
Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 г. Симон Стевин — инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе — особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого, принимаемого за единицу [8].
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга — руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
Иногда применяют и более мелкие доли целого — тысячные, т.е. десятые части процента. Их называют «промилле» (от латинского pro mille — «с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало ее дальнейшему развитию.
Таким образом, появились проценты далеко в прошлом и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр.), экономике (налогообложении и пр.), статистике и др. Также понятие процент встречается на ОГЭ по математике.
2. Типы задач на проценты и способы их решения
В настоящие время задачи на проценты в заданиях ОГЭ встречаются под номерами 1-5 и 22, причём в одной задаче сочетаются сразу несколько типов задач на проценты. Также задачи на проценты встречаются в заданиях ЕГЭ базового и профильного уровней. Рассмотрим некоторые из них.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
Способ решения: что бы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов. 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
Способ решения: Что бы найти число от данного числа процентов, нужно количество процентов записать десятичной дробью, а затем умножить число равное количеству процентов на проценты, записанные десятичной дробью.
Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 23% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
Способ решения: Число процент, которого нужно узнать, надо сначала разделить на второе число, затем умножить на сто.
Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, процент которого требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
Способ решения: нужно к данному числу прибавить это же число делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно увеличиться число.
Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
Способ решения: нужно из данного числа вычесть это же число, делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно уменьшиться число.
Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?
Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.
Тип 6: Задачи на простые проценты.
Способ решения: формула для расчета простых процентов:
A=P*(1+IT), где
T-количество периодов;
I-процентная ставка;
P-вкладываемая сумма;
A-получаемая сумма.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку:
S = 5000 · (1 + 12 · 0,15) = 14000.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
Способ решения: формула для начисления сложного процента:
S=A*(1+R)T
A- СУММАВКЛАДА;
R- СТАВКА ПРОЦЕНТА;
T- КОЛИЧЕСТВО ПЕРИОДОВ;
S- ПОЛУЧАЕМАЯ СУММА.
Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 – искомая сумма.
Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще.
Таким образом, мною выделено семь типов задач на проценты, подробно описан способ их решения и также приведены конкретные примеры.
Практическая часть.
3. Решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.
Мною в теоретической части проекта было выделено семь типов задач на проценты, теперь подробнее рассмотрим решение задач из ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.
Задание 3 № 26631
В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?
Решение: Численность детей в городе N составляет 200 000 0,15 – это 30 000. Численность взрослого населения 200 000 − 30 000 = 170 000 человек. Из них не работает 170 000*0,45 = 76 500 человек. Значит, работает 170 000 − 76 500 = 93 500 человек.
Ответ: 93 500.
Тип 2: Находим число по его проценту.
Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.
Задание 3 № 77340
В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?
Решение: Разделим 124 на 0,25:
Значит, в школе учится 496 учеников.
Ответ: 496.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
Задача из ОГЭ по математике.
Вариант №11
Задача№3 На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил терассы. Ответ округлите до десятых.
Решение:
По теореме Пифагора найдём сторону AB
AB2=AC2+BC2=122+352=144+1225=1369
AB = 37
2. Найдём посевную площадь
S=40*37=1480 м2
3. Найдём посевную площадь после устройства терасс
S=35*40=1400
4. Составим пропорцию
1480-100%
1400-x%
X=(1400*100)/1480=94.6
5.100-94.6=5.4
Ответ: 5.4
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.
Задание 3 № 26619
Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Решение: После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1·40 = 44 рубля. Разделим 900 на 44:
Значит, можно будет купить 20 ручек.
Ответ: 20.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
Задание из ОГЭ по математике.
Вариант №6. Задача №4. Доставка печи из магазина до участка стоит 500 рублей. При покупке печи ценой свыше 20000 рублей магазин делают 3% скидку на товар и 35% процентов скидку на доставку. Сколько будет стоить доставка печи «кентавр» вместе с доставкой на этих условиях?
Решение:
1. Найдём сколько составляет 3% от 25000.
25000*0,03=750 рубля
2. Вычисляем стоимость печи со скидкой 3%
25000-750=24250 рубля
3. Найдём сколько составляет 35% от 500.
500*0,35=175 рубля
4.Вычисляем стоимость доставки со скидкой 35%.
500-175=325 рубля
5. 24250+375=24575 рубля
Ответ: 24575
Тип 6: Задачи на простые проценты.
Задание из ОГЭ по математике.
Задание 5 № 367104
В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
|
Банк |
Обслуживание счета * |
Процентная ставка |
|
Банк А |
40 руб. в год |
2 |
|
Банк Б |
8 руб. в месяц |
3,5 |
|
Банк В |
Бесплатно |
1,5 |
* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
Решение.
Рассмотрим все варианты.
В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету останется 10 000 − 40 = 9 960 руб. К концу года на счету окажется 9 960 + 0,02 · 9 960 = 10 159,2 руб.
В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со счета 12 · 8 = 96 руб. Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9 904 руб. К концу года на счету окажется 9 904 + 0,035 · 9 904 = 10 250,64 руб.
В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму. К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015 · 10 000 = 10 150 руб.
Ответ: 10 250,64.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
Задача из сборника: Математика. Профильный уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко, М.:Экзамен, 2018
31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение:Sо=So*a=So(1+a)=5460000(1+0,2)=5460000*1,2, где So-сумма кредита, a-процентная ставка, x-определенная сумма ежегодного платежа.
Составляем уравнение
(((5460000*1,2-х)*1,2-х)*1,2-х)=0
((5460000*1,22-2,2х)*1,2-х)=0
5460000*1,23-3,64х=0
3,64х=5460000*1,23
Х==2592000 рублей.
Ответ: 2592000 рублей-сумма ежегодного платежа.
Таким образом, мною было выделено семь типов задач на проценты, рассмотрены задачи с сайтов решу ОГЭ и решу ЕГЭ, сборников под ред. И.В.Ященко Математика: ОГЭ, ЕГЭ базовый и профильный уровень.
Опрос клиентов и сотрудника банка ПАО КБ «УБРиР»
города Асбеста
Для того, что бы узнать, как проценты влияют на банковские операции, мною проведено интервьюирование сотрудника банка ПАО КБ «УБРиР». Также, чтобы узнать владеют ли клиенты банка информацией об операциях с процентами, мною был проведён опрос среди клиентов данного банка. Для этого я разработал сценарий интервью, который представлен в Приложении 1.
В ходе интервью мы выяснили, что в банке предоставляются два вида
платежей по кредитам:
1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым[6, 7].
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.
В ходе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» представил мне график погашения кредита дифференцированными платежами, который представлен ниже.
|
Параметры сделки: |
|||||
|
Сумма кредита — 1 200 000 руб. |
|||||
|
Срок кредита — 12 месяцев |
|||||
|
Процентная ставка — 13 % |
|||||
|
График погашения кредита дифференцированными платежами |
|||||
|
Месяц |
Ежемесячный платеж (руб.) |
Погашение процентов (руб.) |
Погашение основного долга (руб.) |
Остаток основного долга (руб.) |
|
|
1 |
113 000,00 |
13000 |
100 000 |
1 200 000 |
|
|
2 |
111 916,67 |
11917 |
100 000 |
1 100 000 |
|
|
3 |
110 833,33 |
10833 |
100 000 |
1 000 000 |
|
|
4 |
109 750,00 |
9750 |
100 000 |
900 000 |
|
|
5 |
108 666,67 |
8667 |
100 000 |
800 000 |
|
|
6 |
107 583,33 |
7583 |
100 000 |
700 000 |
|
|
7 |
106 500,00 |
6500 |
100 000 |
600 000 |
|
|
8 |
105 416,67 |
5417 |
100 000 |
500 000 |
|
|
9 |
104 333,33 |
4333 |
100 000 |
400 000 |
|
|
10 |
103 250,00 |
3250 |
100 000 |
300 000 |
|
|
11 |
102 166,67 |
2167 |
100 000 |
200 000 |
|
|
12 |
101 083,33 |
1083 |
100 000 |
100 000 |
|
|
ИТОГО: |
1 284 500,00 |
84500,00 |
1 200 000 |
||
Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах использовалась следующая формула:
In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период;
Sn – остаток задолженности по кредиту;
p – годовая процентная ставка.
Действительно, рассчитаем долю процентов в дифференцированных платежах за первый платёж: .
Расчёт остатка ссудной задолженности:
Sn = 1 200 000 – 100 000 = 1 100 000 руб.
Расчёт начисленных процентов:
I n = 1 100 000 * 13 % / 12 = 11 917 руб.
В процессе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» также предоставил информацию, как вычисляется доходность по вкладу. На сайте банка представлены виды вкладов (Приложение 2).
Используя полученные данные, получены следующие расчёты:
Параметры вклада следующие:
Сумма вклада – 200 000 руб.
Срок – 210 дней
Процентная ставка – 6 % годовых.
Для расчета размера дохода по вкладу используем формулу простых процентов.
Первоначальную сумму вклада нужно умножить на годовую процентную ставку и разделить на число дней в текущем году.
Таким образом я узнал, сколько процентов будет начисляться в день.
Затем полученную сумму необходимо умножить на срок вклада.
Например, вы размещаете на вклад 200 000 руб.
Находим, сколько процентов будет начислено в день:
200 000 * 6% / 365 = 32 ,88 руб.
Полученную сумму умножаем на срок вклада – 210 дней.
32,88 * 210 = 6905 руб.
Чтобы узнать, какую сумму выдаст банк при снятии вкладанеобходимо прибавить к ним первоначальную сумму вклада.
В нашем случае – 200 000 руб.
200 000 + 6905 = 206 905 руб.
Таким образом, в ходе интервью с сотрудниками и клиентами банка ПАО КБ «УБРиР» я получил подробную информацию о том, как вычисляются доходность по вкладу и задолженность по кредиту.
5. Анкетирование
Мною была разработана анкета для обучающихся шестых, седьмых и девятых классов:
1.Умеешь ли ты решать задачи на процент?
_____________________________________________________________
2.Решал ли ты задачи на процент на сайте Решу ОГЭ?
_____________________________________________________________
3.Где по-твоему могут встретиться проценты в жизни?
_____________________________________________________________
4.Планируешь ли ты в будущем взять кредит или оформить вклад?
_____________________________________________________________
5.Сможешь ли ты рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу?
Проанализировав результаты анкетирования, получил следующую информацию:
Опрошены обучающиеся шестого, седьмого, девятого классов основной школы № 12. Всего участвовало в анкетировании 72 человека. Результаты представлены ниже:
|
6 класс |
Да |
Нет |
|
1 вопрос |
86% |
14% |
|
2 вопрос |
28% |
72% |
|
3 вопрос |
магазин 72% банк-18% незнаю-10% |
|
|
4 вопрос |
21% |
79% |
|
5 вопрос |
22% |
78% |
|
7 класс |
Да |
Нет |
|
1 вопрос |
85% |
15% |
|
2 вопрос |
50% |
50% |
|
3 вопрос |
магазин 57% банк-43% |
|
|
4 вопрос |
21% |
79% |
|
5 вопрос |
50% |
50% |
|
9 класс |
Да |
Нет |
|
1 вопрос |
85% |
15% |
|
2 вопрос |
98% |
2% |
|
3 вопрос |
магазин 62% банк-38% |
|
|
4 вопрос |
76% |
24% |
|
5 вопрос |
86% |
14% |
Для наглядности результатов изобразим результаты в виде диаграмм.
1. Умеешь ли ты решать задачи на проценты?
2. Решал ли ты задачи на проценты на сайте «Решу ОГЭ»?
4. Планируешь ли ты в будущем взять кредит или оформить вклад?
5. Сможешь ли ты рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу
Таким образом, можно сделать вывод, что большинство школьников умеют решать задачи на процент и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на процент лучше умеют решать ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшие количество обучающихся.
Заключение
В современной жизни очень важно уметь правильно выполнять операции с процентами. Для того чтобы понять, как решаются задачи на проценты, а так же как рассчитать доходность по вкладу или переплату по кредиту, я решил исследовать эту тему.
Работая над проектом, я научился находить информацию, обрабатывать ее и выделять в ней главное. Выяснил, что появились проценты давно, и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр.), экономике (налогообложении и пр.), статистике и др. Также задачи на проценты встречается на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней по математике.
Сегодня трудно найти экономически развитую страну, где отсутствуют кредитные продукты и вклады. В настоящее время существует различные виды кредитов и вкладов. В своей работе я подробно рассмотрел кредит с дифференцированным платежом, а также изучил расчет доходности по вкладу, используя метод простых процентов. В ходе работы выделил наиболее выгодный способ для погашения кредита – с помощью дифференцированного платежа.
Проведя анкетирование среди обучающихся шестых, седьмых, девятых классов основной школы № 12, я выяснил, что не все школьники умеют решать задачи на проценты и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на проценты лучше умеют решать только ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшее количество людей.
Я рассмотрел 7 прототипов задач из ЕГЭ базового и профильного уровня. Все задачи подробно разобраны и дается полное объяснение их решения. При разборе заданий я использовал знания по математике 5 и 6 класса. Но для меня пока сложными являются задания № 17 ЕГЭ по «Финансовой математике». Я уверен, что работа над проектом, полученные знания и умения пригодятся мне на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Также я считаю, что эти знания и умения обязательно пригодятся мне в повседневной жизни. Думаю, что без труда смогу научить своих одноклассников решать задачи на проценты. Материал моего проекта будет полезен для обучающихся выпускных классов как пособие для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, к олимпиадам по экономике и математике.
Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи
решены и цель достигнута, гипотеза подтвердилась.
Свою будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью. Работа над проектом для меня была интересной и увлекательной. И это еще раз подтвердило, что направление моей будущей профессиональной деятельности выбрано правильно.
Список литературы
1. Абчук В. «Занимательная экономика и бизнес», С-П: Тригон,1998.
2. Банковское дело. Справочное пособие. Под ред. Ю. А. Бабичевой- М.:
«Экономика», 1994.
3. Буслаев А.“Сложные проценты”. Газета “Математика” №30. 2002. стр.29
4. Вигман С.Л. Финансы, кредит, деньги в вопросах и ответах: учеб. пособие.-
М: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2010
5.Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и
бизнесе.- М., 1997.
6. Демин Ю. Все о кредитах. Понятно и просто. – СПб.: Питер, 2007
7. Ершов Ю.С. «Финансовая математика в вопросах и ответах», Новосибирск:
Сибирское соглашение, 1999.
8. Кац М. “Проценты”. Газета “Математика” №20. 2004. стр.22; №22. 2004.
стр.29; №23. 2004. стр.28
9. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. Алгебра 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций- М.: Просвещение, 2018
10. Лаврушин О.И. Деньги, кредит, банки: Учебник. — М.: Финансы и
статистика, 2000
11. Липцис И.В. «Экономика без тайн», Москва, изд. «Вита» 2004г.
12. Математика. ЕГЭ Профильный уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,
М.:Экзамен, 2020
13. Математика. ЕГЭ Базовый уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,
М.:Экзамен, 2020
14. Математика. ОГЭ по математике 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,
М.:Экзамен, 2020
15. Процентные вычисления. 10-11кл.:Учеб.метод.пособие/Г.В.Дорофеев,
Е.А.Седова. — М.: Дрофа, 2003
16. Петрова И.Н.. Проценты на все случаи жизни. М.: «Просвещение», 2006.
17. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. – М.: Вита-Пресс,1999.
18. Седова Е.А. Проценты в X классе общеобразовательного направления. //
журнал «Математика в школе».-1994-№4.
19. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. М.Д. Аксенова. М.: Аванта+, 2001.
20. Сайт решу ОГЭ математика [https://math-oge.sdamgia.ru/]
21. Сайт решу ЕГЭ математика базовый уровень[https://mathb-ege.sdamgia.ru/]
22. Сайт решу ЕГЭ математика профельный уровень[https://math-ege.sdamgia.ru/]
23. Сайт ПАО КБ «УБРиР» [https://www.ubrr.ru/]
Приложение 1
Сценарий интервьюирования сотрудника и
клиентов банка ПАО КБ «УБРиР».
Я на крыльце банка.
Очень часто люди обращаются в банк по разным причинам. В большинстве случаев, для оформления кредита или вклада. В основе данных банковских продуктов лежит начисление процентов. Правильно рассчитать стоимость кредита и доходность по вкладу помогут мне сотрудники Асбестовского офиса Уральского банка реконструкции и развития.
В юридическом отделе спрашиваю у клиента:
— Добрый день. Подскажите, пожалуйста, с какой целью вы посетили банк?
Клиент банка отвечает.
Я:
— На что вы обращаете внимание при выборе того или иного кредита?
Клиент банка отвечает.
В юридическом отделе спрашиваю старшего специалиста по кредитованию юридических лиц:
— Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, что такое кредит?
Кредитный специалист отвечает.
Я:
— Клиенты при выборе кредитного продукта, особое внимание обращают на размер процентной ставки и способ начисления процентов. Расскажите, как начисляются проценты в вашем банке при кредитовании?
Кредитный специалист отвечает.
Я:
— Подскажите, возможно ли рассмотреть пример начисления процентов?
Кредитный специалист отвечает.
Я:
— На сайте вашего банка очень большой выбор кредитных продуктов. На мой взгляд, наиболее выгодные условия кредитования предлагаются по кредиту «Бизнес-привилегия». Давайте рассмотрим дифференцированные платежи по данному кредиту.
Специалист банка отвечает.
Я:
— Спасибо большое! Теперь я понял, как начисляются проценты на кредит. А этот график я приложу к своему проекту.
Я спрашиваю у клиента:
— Добрый день. Подскажите, пожалуйста, для чего вы посетили банк?
Клиент банка отвечает.
Я:
— Чем Вы будете руководствоваться, выбирая вклад?
Клиент банка отвечает.
Я подхожу к специалисту банка и спрашиваю:
— Здравствуйте, на сайте банка я познакомился с различными видами вкладов для физических лиц. Меня привлек вклад «Мобильный Он-Лайн». Не могли бы Вы рассказать, как начисляются проценты по этому вкладу? Например, я бы хотел оформить вклад на 200 000 рублей на срок 210 дней.
Специалист отвечает.
Я:
— Действительно, очень легко. Теперь я понял принцип начисления процентов по вкладам. А как узнать какую сумму выдаст банк при снятии вклада?
Специалист отвечает.
Я:
— Спасибо! Теперь я знаю, что такое доходность вклада.
Приложение 2
Просмотров работы: 1235
Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.
Задачи на проценты учат решать с 5 класса.
Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:
- нахождение процента от числа,
- нахождение числа по его проценту,
- нахождение процентного отношения.
На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент.
Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.
Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.
Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 • а
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.
Как найти 1% от числа?
Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Пример. Найти: 25% от 120.
Решение:
- 25% = 0,25;
- 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Решение:
Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.
Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.
Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Решение:
66 : 60 = 1,1 — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.
Ответ: 110%.
Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Решение:
- 6+ 34 =40 (кг) – масса всего сплава.
- 34 : 40 = 0,85 = 85 (%) – сплава составляет медь.
Ответ: 85%.
Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?
Решение:
- 100 – 20 = 80 (%) – после весны.
- 80 + 80 • 0,3 = 104 (%) – после лета.
- 104 – 104 • 0,2 = 83,2 (%) – после осени.
- 83,2 + 83,2 • 0,1 = 91,52 (%) – после зимы.
Ответ: похудел на 8,48%.
Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?
Решение:
- 100 – 99 = 1 (%) = 0,01 – доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
- 20 • 0,01 = 0,2 (кг) – сухого вещества.
- 100 – 98 = 2 (%) = 0,02 – доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
- 0,2 : 0,02 = 10 (кг) – стало крыжовника.
Ответ: 10 кг.
Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.
0,75 •1,25х= 0,9375х,
тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.
х — 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 • 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А : В) • 100%.
Пример. Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
- 15% = 0,15;
- 30 : 0,15 = 200.
Или
х — данное число;
0,15 • х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?
Решение:
Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480 : 0,24= 2000 кг = 2 т
Ответ: 2 т.
Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
Решение:
1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг : 0,05=20 кг.
Ответ: 20 кг.
Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
- 22 • 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
- 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
Ответ: 2,5 кг.
Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.
В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.
Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.
Решение:
- 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
- 300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.
- 312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.
- 324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.
Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.
Ответ: 337 459,2 рубля
Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?
Далее в 6 классе решают подобного типа задачи уже с применением пропорции. На эту базу знаний и опираются, готовя учеников к итоговым экзаменам в 9 и 11 классах.
Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.
Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?
Решение:
Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.
1 способ.
400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400 : 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 • 125 = 500 (руб.)
2 способ.
Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500.
3 способ.
Применение свойства пропорции:
400 руб. – 100 %
х руб. – 125 %, получим х = 125 • 400 / 100 = 500 (руб.)
Ответ: 500 рублей.
Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?
Решение:
Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:
57 кг – 100 %
х кг – 150 %, получим х = 57 • 150 / 100 = 85,5 (кг)
Ответ: 85,5 кг.
Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?
Решение:
1 способ.
Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 • 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.
2 способ.
Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А – 0,52А = 0,48А.
Составим пропорцию:
А – 100%
0,48А – х %, получим х = 0,48А • 100 / А = 48 (%).
Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.
Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение:
До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.
1 способ.
680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.
2 способ.
Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)
3 способ.
С помощью пропорции:
680 руб. – 85 %
х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)
Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.
Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».
Самые простые задачи этого типа приведены ниже.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
- 10 + 15 = 25 (кг) — сплав;
- 10 : 25 • 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве;
- 15 : 25 • 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве.
Ответ: 40%, 60%.
В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?
Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.
Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.
Тогда:
- концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
- процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
- Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
- Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение:
300 • 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.
Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К — концентрация вещества;
P — процентное содержание вещества (в процентах).
Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Решение:
Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).
При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х
Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75
Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:
0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.
Ответ: 135 кг.
Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 • х
II у 60% = 0,6 0,6 • у
вода 2 – –
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)
Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:
0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).
Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.
Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.
Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение:
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:
3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).
Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).
Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 – 0,01р).
Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)
Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?
Решение:
1 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.
Составим пропорцию
5000 руб. – 100%
у руб. – (100 – х)%, получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.
Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 • (100 – х) руб. – 100%
z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)2 рублей – стоимость товара после второго понижения.
Получим уравнение 0,5 • (100 – х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .
2 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.
Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 • (1 – 0,01х)2 = 4050.
Решив его, получим, что х = 10 %.
Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.
Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)
Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?
Решение:
Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.
Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
3000 • (1 + 0,01х)2 = 3630.
Решив его, получим, что х = 10 %.
Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.
Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Решение:
Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:
(1 + 0,01 х)(1 – 0,01 х)А = (1 – 0,09)А,
1 – (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.
Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.
Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.
Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.
Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.
Тогда долг после второго платежа 13А/15.
Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:
А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.
А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
1,08А/15 = 108,
А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.
2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.
Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:
(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.
Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 1620000 рублей.
Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/24 – 0,01А = А – А/24 = 23А/24.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 23А/24.
Второй платеж А/24 + 0,01• 23А/24.
Тогда долг после второго платежа 1,01• 23А/24 – А/24 – 0,01• 23А/24 = 23А/24(1,01 – 0,01) – А/24 = 23А/24 – А/24 = 22А/24.
Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А • 24/24 + А/24 + 0,01• 23А/24 + А/24 + 0,01• 22А/24 + … + А/24 + 0,01• 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.
А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей – планируется взять в кредит.
Ответ: 300000 рублей.
В помощь учителю
Уважаемые коллеги! Опубликуйте свою педагогическую статью или сценарий мероприятия на Учительском портале и получите свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.
Для добавления статьи на портал необходимо зарегистрироваться.
Конкурсы
Диплом и справка о публикации каждому участнику!
Найди отношение площади, которую занимает гараж, к площади всего участка. Найди, сколько процентов от участка составляет гараж, ответ округли до целых.
