Как найти отношение площади треугольника к четырехугольнику

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

---

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

---

Фотографии предоставлены

Решение задачи 6. Вариант 234

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки P и Q так, что BP:PA=1:2 и BQ:QC=4:1. Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к
площади треугольника PBQ.

Вспомним формулу площади треугольника через угол

Пусть ​ ( BP=x ) ​, тогда ​ ( AB=3x ) ​

Пусть ​ ( BQ=4y ) ​, тогда ​ ( BC=5y ) ​

Как найти отношение площади четырехугольника к треугольнику

• 

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,	(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,	(2)
`S=pr`,	(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` — формула Герона,	(4)
`S=(abc)/(4R)`.	(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.<1>^<○>$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

$$ 2.<2>^<○>$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.<3>^<○>$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` — середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

2. Через точку `D` проведём прямую `DL«||«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«||«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK«||«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` — площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` — середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` — точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Условие:

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).

Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°

Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.

б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:

 

Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:

 

Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: ({BCover BK}={2Rover BH})

Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:

(k={BCover BK}={2Rover BH}=4)

Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

Ответ: (1 over 15)

Автор — Андрей Найденов

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:  

 `DeltaABC:`  `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:`  `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`,  `KM=sqrt(15)`;

 Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`,  по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

 `R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))`  и по формуле (2):

`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим