Как найти отношение сопротивлений двух проводников

Запишем выражение, для определения удельного сопротивления провода:
ρуд=R*Sсеч/l, где R — сопротивление провода, l — длина провода, Sсеч — площадь поперечного сечения.
Выразим отсюда R:
R=ρуд*l/Sсеч
Для второго проводника:
R1=ρуд*l/Sсеч
Для первого проводника:
R2=ρуд*2*l/2*Sсеч
Найдем отношение R2/R1:
R2/R1=(ρуд*2*l/2*Sсеч)/(ρуд*l/Sсеч)=ρуд*2*l*Sсеч/2*Sсеч*ρуд*l=1
Ответ: сопротивление обоих проводников одинаково.

Дано:

R₁ = R₂ = R

L₁ = L₂ = L

S₁ = 1 мм²

S₂ = 2,5 мм²

ρ₁/ρ₂ — ?

Решение:

R = ρL/S — формула сопротивления проводника через его геометрические параметры и удельное сопротивление.

Выразим удельное сопротивление из формулы:

R = ρL/S = ρ*(L/S)

ρ = R/(L/S) = RS/L =>

ρ₁ = RS₁/L

ρ₂ = RS₂/L =>

ρ₁/ρ₂ = (RS₁/L) : (RS₂/L) = (RS₁/L) * L/(RS₂) = S₁/S₂ = 1/2,5 — отношение удельного сопротивления материала, из которого изготовлен первый проводник, к удельному сопротивлению материала второго проводника.

Ответ: ρ₁ < ρ₂ в 2,5 раза.

Как я и обещал в статье про переменные резисторы (ссылка), сегодня речь пойдет о возможных способах соединения, в частности о последовательном соединении резисторов и о параллельном.

Последовательное соединение резисторов.

Давайте начнем с рассмотрения цепей, элементы которой соединены последовательно. И хоть мы и будем рассматривать только резисторы в качестве элементов цепи в данной статье, но правила, касающиеся напряжений и токов при разных соединениях, будут справедливы и для других элементов. Итак, первая цепь, которую мы будем разбирать выглядит следующим образом:

Здесь у нас классический случай последовательного соединения — два последовательно включенных резистора. Но не будем забегать вперед и рассчитывать общее сопротивление цепи, а для начала рассмотрим все напряжения и токи. Итак, первое правило заключается в том, что протекающие по всем проводникам токи при последовательном соединении равны между собой:

А для определения общего напряжения при последовательном соединении, напряжения на отдельных элементах необходимо просуммировать:

В то же время, по закону Ома для напряжений, сопротивлений и токов в данной цепи справедливы следующие соотношения:

Тогда для вычисления общего напряжения можно использовать следующее выражение:

U = U_1 + U_2 = IR_2 + IR_2 = I(R_1 + R_2)

Но для общего напряжения также справедлив закон Ома:

Здесь R_0 — это общее сопротивление цепи, которое исходя из двух формул для общего напряжения равно:

Таким образом, при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений всех проводников.

Например, для следующей цепи:

Общее сопротивление будет равно:

R_0 = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 + R_9 + R_{10}

Количество элементов значения не имеет, правило, по которому мы определяем общее сопротивление, будет работать в любом случае. А если при последовательном  соединении все сопротивления равны (R_1 = R_2 = … = R), то общее сопротивление цепи составит:

В данной формуле n равно количеству элементов. С последовательным соединением резисторов разобрались, логичным образом переходим к параллельному.

Параллельное соединение резисторов.

При параллельном соединении напряжения на проводниках равны:

А для токов справедливо следующее выражение:

То есть общий ток разветвляется на две составляющие, а его значение равно сумме всех составляющих. По закону Ома:

I_1 = frac{U_1}{R_1} = frac{U}{R_1}

I_2 = frac{U_2}{R_2} = frac{U}{R_2}

Подставим эти выражения в формулу общего тока:

I = frac{U}{R_1} + frac{U}{R_2} = Umedspace (frac{1}{R1} + frac{1}{R2})

А по закону Ома:

Приравниваем эти выражения и получаем формулу для общего сопротивления цепи:

frac{1}{R_0} = frac{1}{R_1} + frac{1}{R_2}

Данную формулу можно записать и несколько иначе:

R_0 = frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}

Таким образом, при параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Аналогичная ситуация будет наблюдаться и при большем количестве проводников, соединенных параллельно:

frac{1}{R_0} = frac{1}{R_1} + frac{1}{R_2} + frac{1}{R_3} + frac{1}{R_4} + frac{1}{R_5} + frac{1}{R_6}

Смешанное соединение резисторов.

Помимо параллельного и последовательного соединений резисторов существует еще смешанное соединение. Из названия уже понятно, что при таком соединении в цепи присутствуют резисторы, соединенные как параллельно, так и последовательно. Вот пример такой цепи:

Давайте рассчитаем общее сопротивление. Начнем с резисторов R_1 и R_2 — они соединены параллельно. Мы можем рассчитать общее сопротивление для этих резисторов и заменить их в схеме одним единственным резистором R_{1-2}:

R_{1-2} = frac{R1cdot R2}{R1 + R2} = 1

Теперь у нас образовались две группы последовательно соединенных резисторов:

• R_{1-2} и R_3
• R_4 и R_5

Заменим эти две группы двумя резисторами, сопротивление которых равно:

R_{1-2-3} = R_{1-2} + R_3 = 5

Как видите, схема стала уже совсем простой. Заменим группу параллельно соединенных резисторов R_{1-2-3} и R_{4-5}  одним резистором R_{1-2-3-4-5}:

R_{1-2-3-4-5}enspace = frac{R_{1-2-3}medspacecdot R_{4-5}}{R_{1-2-3} + R_{4-5}} = frac{5cdot24}{5 + 24} = 4.14

И в итоге у нас на схеме осталось только два резистора соединенных последовательно:

Общее сопротивление цепи получилось равным:

R_0 = R_{1-2-3-4-5}medspace +medspace R_6 = 4.14 + 10 = 14.14

Таким вот образом достаточно большая схема свелась к банальнейшему последовательному соединению двух резисторов. Тут стоит отметить, что некоторые схемы невозможно так просто преобразовать и определить общее сопротивление — для таких схем нужно использовать правила Кирхгофа, о которых мы обязательно поговорим в будущих статьях. А сегодняшняя статья на этом подошла к концу, до скорых встреч на нашем сайте 🤝