Как найти отношение в математике проценты - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Проценты

Нахождение процентов от числа
Нахождение числа по его процентам
Процентное отношение двух чисел
Перевод процентов в десятичную дробь

Процент — это одна сотая часть числа. Отсюда следует, что два процента — это две сотых, двадцать процентов — двадцать сотых и так далее.

Слово процент обозначается знаком %. Так, 43% какого либо числа означает 43 процента, то есть этого числа. Однако стоит обратить внимание, что в вычислениях знак % не пишется, он может быть записан в условии задачи и в окончательном результате.

Величина, от которой вычисляются проценты (например, цена, длина, количество конфет и т. д.), составляет 100 своих сотых долей, то есть 100%.

Чтобы найти один процент от числа, надо разделить это число на 100.

Пример 1. Найти один процент от числа 300.

Решение:

300 : 100 = 3.

Ответ: Один процент от 300 равен 3.

Пример 2. Найти один процент от числа 27,5.

Решение:

27,5 : 100 = 0,275.

Ответ: Один процент от 27,5 равен 0,275.

Нахождение процентов от числа

Чтобы найти некоторое число процентов от данного числа, нужно данное число разделить на 100 и умножить на число процентов.

Задача 1. В том году в магазине к новому году купили 200 ёлок. В этом году количество купленных ёлок увеличилось на 120%. Сколько ёлок купили в этом году?

Решение: Сначала надо найти 120% от 200, для этого 200 надо разделить на 100, так мы найдём 1%, а затем полученный результат умножить на 120:

(200 : 100) · 120 = 240.

Число 240 — это 120% от 200. Значит, в этом году количество проданных ёлок увеличилось на 240 штук. То есть, количество ёлок, проданных в этом году равно:

200 + 240 = 440 (ёлок).

Ответ: В этом году купили 440 ёлок.

Задача 2. В коробке 28 конфет, 25% конфет с клубничной начинкой. Сколько конфет с клубничной начинкой в коробке?

Решение:

Ответ: В коробке 7 конфет с клубничной начинкой.

Нахождение числа по его процентам

Чтобы найти число по данной величине его процентов, нужно эту величину разделить на число процентов и умножить на 100.

Задача. Цена метра сукна снизилась на 24 руб., что составило 15% цены. Сколько стоил метр сукна до снижения?

Решение:

Ответ: Метр сукна стоил 160 рублей.

Процентное отношение двух чисел

Чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Задача. Завод по годовому плану должен выпустить продукции на сумму 1 250 000 руб. За 1-ый квартал он выпустил её на сумму 450 000 руб. На сколько процентов выполнен заводом годовой план за 1-ый квартал?

Решение:

Ответ: За 1-ый квартал план выполнен на 36%.

Перевод процентов в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо количество процентов разделить на 100.

Пример 1. Представить 25% в виде десятичной дроби.

Решение:

25 : 100 = 0,25.

Ответ: 25% — это 0,25.

Пример 2. Выразить 100% десятичной дробью.

Решение:

100 : 100 = 1.

Ответ: 100% — это 1.

Пример 3. Выразить 230% десятичной дробью.

Решение:

230 : 100 = 2,3.

Ответ: 230% — это 2,3.

Из данных примеров следует, что для перевода процентов в десятичные дроби, надо в числе, стоящем перед знаком %, перенести запятую на два знака влево.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Отношения и пропорции
Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.

Например:

14 : 7 — отношение числа 14 к числу 7;

6 : 25 — отношение числа 6 к числу 25;

— отношение числа к числу ;

1,15 : 0,36 — отношение числа 1,15 к числу 0,36.

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .

Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

51021·100%=12·100%=1002%=50%.

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

1 м = 100 см;

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .

Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).

Например:

Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 510 000;

= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 9,5 : 10 000;

= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Советуем посмотреть:

Пропорции

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Длина окружности и площадь круга

Отношения и пропорции

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 586,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 604,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 607,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 619,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 653,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 692,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 724,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 737,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 752,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 879,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 146,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 149,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 150,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 198,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 230,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 405,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 406,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 426,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 847,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 943,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 303,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Чек-лист «Решение задач на проценты»

1 тип.

Нахождение процента от числа

2 тип.

Нахождение числа по его процентам

3 тип.

Нахождение процентного отношения двух
чисел (величин).

Чтобы найти процент от числа,
необходимо ЧИСЛО разделить на 100 и умножить на количество ПРОЦЕНТОВ.

Чтобы найти число по его процентам,
необходимо ЧИСЛО разделить на количество ПРОЦЕНТОВ и умножить на 100.

Чтобы найти процентное отношение двух
чисел или величин, необходимо ПЕРВОЕ ЧИСЛО разделить на ВТОРОЕ и
умножить на 100.

Подсказки:

— известно
100 % или всё число (или вся величина);

—
в тексте задачи: «от», «из них», «от общего количества» (то есть требуется
найти % от числа или какой-либо величины);

—
в краткой записи условия: количество % и число, указанные в условии
задачи, записываются на разных строках.

Подсказки:

— известно
количество ПРОЦЕНТов;

—
в тексте задачи: «или», «что составляет» (то есть данные об «одном и
том же» указаны и в %, и числом);

—
в краткой записи условия: количество % и число (или величина),
указанные в условии задачи, записываются на одной строке.

Подсказки:

— известны
два ЧИСЛА (или две ВЕЛИЧИНЫ);

—
в тексте задачи: «какой % …от..»;

—
число (или величина), о котором необходимо дать ответ в % следует считать
ПЕРВЫМ, оно при выполнении действия деления будет являться делимым;

— в краткой записи условия: числа (или величины) записываются
на разных строках, об одном из них необходимо дать ответ в %;

Пример 1.

В книге 60 страниц, Артём
прочитал 30 %. Сколько страниц прочитал Артём?

Решение:

Всего в книге
– 60 стр. (100 %)

Прочитал — ? стр., 30 %

30 % =

60 : 100 30 =18 (стр.)

Ответ: Артём прочитал 18 страниц.

Пример 2.

Денис прочитал
45 % книги. Сколько страниц в книге, если он прочитал 180 страниц?

Решение:

Прочитал 45 % или 180 стр.

Всего страниц в книге — ? (100 %)

45 % =

180 : 45 100 = 400 (стр.)

Ответ: в книге 400 страниц.

Пример 3.

Фрекен Бок
испекла 250 пирожков, Карлсон съел 10 пирожков. Сколько процентов всех
пирожков составляют пирожки, которые съел Карлсон.

Решение:

Испекла – 250 пирожков

Съел – 10 пирожков, ? %.

10 : 250 100 = 4 (%.)

Ответ: 4 %.

Алгоритм решения задачи на проценты.

1.
Читаю
внимательно задачу.

2.
Записываю
кратко условие задачи или составляю схему. Ориентируюсь на
подсказки.

3.
Определяю
тип задачи (1, 2 или 3).

4.
Выбираю
ход решения задачи.

5.
Записываю
решение задачи и ответ.

Источник

Математика

6 класс

Урок № 9

Понятие о проценте

Перечень рассматриваемых вопросов:

Понятия о проценте.
Перевод процентов в дробь и обратно.
Решение математических задач на проценты.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины).

Процентом называют сотую часть целого, принимаемого за единицу.

Основная литература

Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каждый из вас, наверное, слышал такие фразы: «Мне дали премию в размере 30 процентов», «Какие красивые сапоги – и со скидкой 50 процентов», «За второго участника проголосовало 80 процентов наших зрителей». Можно догадаться, что понятие процента как-то связано с частью чего-либо целого. На этом занятии мы познакомимся с определением процента, научимся находить заданное количество процентов от величины и разберём способы решения задач на проценты.

Определение процента:

Одну сотую часть числа (величины) называют одним процентом этого числа (величины).

Ещё одно определение:

Задача 1.

Найдём 1 % от 400 м.

Решение.

Воспользуемся определением процента:

Ответ: 1 % от 400 м равен 4 м.

Задача 2.

Найдите 25 % от 144 л молока.

Решение.

1 способ:

Найдём, чему равен один процент от всего молока:

2 способ:

Решим задачу с помощью пропорции.

Большее количество литров соответствует большему количеству процентов, имеем прямо пропорциональную связь.

Икс является средним членом пропорции, для его нахождения нужно найти произведение крайних членов и разделить на известный средний член.

Задача 3.

Найти число, 1 % которого равен 11.

Решение.

Так как 1 % числа равен 11, то само число в 100 раз больше:

11 ∙ 100 = 1100.

Ответ: это число 1100.

Задача 4.

Найдите число, 42 % которого равны 147.

Решение.

Ответ: это число 350.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Единичный выбор.

Варианты ответов:

86 %;

43 %;

33 %.

№ 2. Выделение цветом.

Какой дроби равны 120 %?

Источник

Отношение. Процентное отношение двух чисел

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
Так с помощью букв записывают отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член. (Напоминание: дробная черта означает знак деления).

Процентное отношение.
Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.
Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.
По правилу: 52 : 400 × 100 — 13 (%).
Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).
Решения задач на процентное отношение двух чисел редко предполагают только одно действие. Чаше решение таких задач состоит из 2-3 действий.

Примеры
Задача 1.
Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?
1-й вариант
Решение:
1 200 изделий — это план завода, или 100% плана.
1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?

2 300 — 1 200 = 1 100 (изд.)
2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?
1 100 от 1 200 => 1 100 : 1 200 × 100 = 91,7 (%).

2-й вариант
Решение:
1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?
2 300 от 1 200 => 2 300 : 1 200 ×100 = 191,7 (%).
2) На сколько процентов перевыполнен план?
191,7 — 100 = 91,7 (%)
Ответ: на 91,7%.

Задача 2.
Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?
Решение
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:
150/500 = 3/10 = 0,3 = 30 %
Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).

Задача 3.
Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?
Решение
Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах:
45 : 36 = 1,25 = 125 %.

Задача 4.
В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение.
В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг). Такие задачи можно решать способом приведения к единице. Основное значение величины – 700 кг. Её мы можем принять за условную единицу. А условная единица и есть 100 %. Так как пропорциональная зависимость прямая Кратко условия задачи можно записать так:

Составим пропорцию и найдем неизвестный член пропорции:

$begin mathsize 12px style 700 over х equals 100 over 20 space space space х equals fraction numerator 700 asterisk times 20 over denominator 100 end fraction equals 140 end style$

Ответ: 140кг.

Нахождение числа по его процентам.
Задача 1.
Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?
Решение
480 кг волокна составляют 24 % от некоторой массы хлопка-сырца, которую примем за Х кг. Будем считать, что Х кг составляют 100 %. Теперь кратко условие задачи можно записать так:

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left end attributes row cell 480 space к г end cell minus cell 24 percent sign end cell row cell х space к г end cell minus cell 100 percent sign end cell end table space space space х equals fraction numerator 480 asterisk times 100 over denominator 24 end fraction equals 2000 end style$

Ответ: 2000кг = 2т.
Эту задачу можно решить и иначе.
Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число 0,24, то получим задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие задачи решают делением. Отсюда вытекает ещё один способ решения:
1) 24 % = 0,24; 2) 480 : 0,24 = 2000 (кг) = 2 (т).
Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.

Вопросы к конспектам

В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду. Сколько кустов роз в саду?

Приведите отношение к отношению натуральных чисел:

В аэропорту ждут прибытия самолета 1200 пассажиров. 45% из них мужчины. 15% общего числа женщин и детей составляют дети. Найдите число мужчин и число детей?

В классе 25 учеников, 40% (сорок процентов) из них девочки. Сколько девочек в классе?

На стоянке стоит 40 машин, 8 из них фирмы Рено. Какой процент машин фирмы Рено от всех стоящих на стоянке?

Проволоку длиной 162 м разрезали на три части в пропорций 3:2:1. Найдите длину каждой части.

Разделить 70 на две части так, чтобы одна часть составляла 40% от другой

Разделить 85 на две части так, чтобы одна часть составляла 70% от другой

Сплав содержит 20 % железа и 40% меди, остальное – бронза. Определите массу бронзы, если масса сплава 5 кг.

Чтобы доехать до базы отдыха, турист проехал 80км, что составляет 40% всего пути. Какое расстояние осталось проехать, чтобы доехать до базы?

Источник