Как найти относительную частоту теория вероятности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

С абсолютной частотой все довольно просто: она определяет, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных (объектов или значений). А вот относительная частота характеризует отношение количества конкретного числа в наборе данных. Другими словами, относительная частота – это отношение количества определенного числа к общему количеству чисел в наборе данных. Имейте в виду, что вычислить относительную частоту достаточно легко.

1
Соберите данные. Если вы решаете математическую задачу, в ее условии должен быть дан набор данных (чисел). В противном случае проведите эксперимент или исследование и соберите необходимые данные. Подумайте, в какой форме записать исходные данные.
- Например, нужно собрать данные о возрасте людей, которые посмотрели определенный фильм. Конечно, можно записать точный возраст каждого человека, но в этом случае вы получите довольно большой набор данных с 60-70 числами в пределах от 10 до 70 или 80. Поэтому лучше сгруппировать данные по категориям, таким как «Моложе 20», «20-29», «30-39» «40-49», «50-59» и «Старше 60». Получится упорядоченный набор данных с шестью группами чисел.
- Другой пример: врач собирает данные о температуре пациентов в определенный день. Если записать округленные числа, например, 37, 38, 39, то результат будет не слишком точным, поэтому здесь данные нужно представить в виде десятичных дробей.
2
Упорядочьте данные. Когда вы соберете данные, у вас, скорее всего, получится хаотичный набор чисел, например, такой: 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. Такая запись кажется практически бессмысленной и с ней сложно работать. Поэтому упорядочьте числа по возрастанию (от меньшего к большему), например, так: 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.^[1]
- Упорядочивая данные, будьте внимательны, чтобы не пропустить ни одного числа. Посчитайте общее количество чисел в наборе данных, чтобы убедиться, что вы записали все числа.
3

Создайте таблицу с данными. Собранные данные можно организовать в виде таблицы. Такая таблица будет включать три столбца и использоваться для вычисления относительной частоты. Столбцы обозначьте следующим образом:^[2]

Реклама

1
Найдите количество чисел в наборе данных. Относительная частота характеризует, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных по отношению к общему количеству чисел. Чтобы найти относительную частоту, нужно посчитать общее количество чисел в наборе данных. Общее количество чисел станет знаменателем дроби, с помощью которой будет вычислена относительная частота.^[3]
- В нашем примере набор данных содержит 16 чисел.
2
Найдите количество определенного числа. То есть посчитайте, сколько раз конкретное число встречается в наборе данных. Это можно сделать как для одного числа, так и для всех чисел из набора данных.^[4]
- Например, в нашем примере число встречается в наборе данных три раза.
3

Разделите количество конкретного числа на общее количество чисел. Так вы найдете относительную частоту для определенного числа. Вычисление можно представить в виде дроби или воспользоваться калькулятором или электронной таблицей, чтобы разделить два числа.^[5]

Реклама

1
Результаты вычислений запишите в созданную ранее таблицу. Она позволит представить результаты в наглядной форме. По мере вычисления относительной частоты результаты записывайте в таблицу напротив соответствующего числа. Как правило, значение относительной частоты можно округлить до второго знака после десятичной запятой, но это на ваше усмотрение (в зависимости от требований задачи или исследования). Помните, что округленный результат не равен точному ответу.^[6]
- В нашем примере таблица относительных частот будет выглядеть следующим образом:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0,19
- 2 : 1 : 0,06
- 3 : 2 : 0,13
- 4 : 3 : 0,19
- 5 : 4 : 0,25
- 6 : 2 : 0,13
- 7 : 1 : 0,06
- Итого : 16 : 1,01
2
Представьте числа (элементы), которых нет в наборе данных. Иногда представление чисел с нулевой частотой так же важно, как и представление чисел с ненулевой частотой. Обратите внимание на собранные данные; если между данными имеются пробелы, их нужно заполнить нулями.
- В нашем примере набор данных включает все числа от 1 до 7. Но предположим, что числа 3 нет в наборе. Возможно, это немаловажный факт, поэтому нужно записать, что относительная частота числа 3 равна 0.
3
Выразите результаты в процентах. Иногда результаты вычислений нужно преобразовать из десятичных дробей в проценты. Это общепринятая практика, потому что относительная частота характеризует процент случаев появления определенного числа в наборе данных. Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нужно десятичную запятую передвинуть на две позиции вправо и приписать символ процента.
- Например, десятичная дробь 0,13 равна 13%.
- Десятичная дробь 0,06 равна 6% (обратите внимание, что перед 6 стоит 0).
Реклама

Советы

Относительная частота характеризует наличие или возникновение определенного события в наборе событий.
Если сложить относительные частоты всех чисел из набора данных, вы получите единицу. Помните, что при сложении округленных результатов сумма не будет равна 1,0.
Если набор данных слишком большой, чтобы обработать его вручную, воспользуйтесь программой MS Excel или MATLAB; это позволит избежать ошибок в процессе вычисления.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 145 917 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Относительная частота и статистическая вероятность. Основные формулы и решения типовых задач
Относительная частота (частость) события А определяется равенством

$W(A)=frac{m}{n},; ; ; ; (5)$

где n — общее число проведенных испытаний; m — число испытаний, в которых событие А наступило (иначе — частота события А).
При статистическом определении за вероятность события принимают его относительную частоту, найденную по результатам большого числа испытаний.
Задача №1. При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота появления всхожего семени?
Решение. Обозначим событие: А — отобрано всхожее семя. Найдем относительную частоту события А, применив формулу (5). Общее число проведенных испытаний n = 1000. Число испытаний, в которых событие А наступило, равно m = 1000 — 90 = 910.
Относительная частота события А равна $W(A)=frac{m}{n}=frac{910}{1000}=0,91.$

Задача №2. Для проведения исследований на некотором поле взяли случайную выборку из 200 колосьев пшеницы. Относительная частота (частость) колосьев, имеющих по 12 колосков в колосе, оказалась равной 0,123, а по 18 колосков — 0,05. Найти для этой выборки частоты колосьев, имущих по 12 и по 18 колосков.
Решение. Рассмотрим события: A — взят колос, имеющий 12 колосков; В — взят колос, имеющий 18 колосков.
Найдем частоты $m_{1}$ и $m_{2}$ событий А и В применив формулу (5).
Обозначим через $W_{1}(A)=frac{m_{1}}{n}$ относительную частоту события A, а через $W_{2}(B)=frac{m_{2}}{n}$ относительную частоту события В. Так как число проведенных испытаний n = 200, то $m_{1}=W_{1}(A)cdot n=0,125cdot 200=25,; m_{2}=W_{2}(B)cdot n=0,05cdot 200=10.$

Задача №3. Многолетними наблюдениями установлено, что в некоторой области ежегодно в среднем в тридцати хозяйствах из каждых ста среднегодовой удой молока от одной коровы составляет 4 100 — 4 300 кг. Какова вероятность того, что в текущем году в одном из хозяйств этой области, отобранном случайным образом, будет получен такой среднегодовой удой?
Решение. Обозначим событие: А — в текущем году в хозяйстве области, отобранном случайным образом, среднегодовой удой молока от одной коровы составит 4 100 — 4 300 кг.
Вероятность события А найдем, воспользовавшись ее статистическим определением.
Располагая статистическими данными, найдем, что относительная частота хозяйств области, в которых ежегодно имеют указанный средне-годовой удой молока от одной коровы, равна 0,3. Так как эти данные получены в результате проведения большого числа наблюдений, выполняемых в течение многих лет, то можно принять, что вероятность события А равна Р(А) = 0,3.

Источник

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к
основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события
называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу
фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота
события А определяется формулой

W (А) =
m / n,

где m — число появлений события, n — общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты,
заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в
действительности; определение же относительной частоты предполагает, что
испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность
вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Пример
1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в
партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления
нестандартных деталей

W (А) = 3 / 80.

Пример
2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19
попаданий. Относительчая частота поражения цели

W (А) = 19 / 24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях
производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то
относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит
в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем
меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого
постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность
появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная
частота, то полученное число можно принять за приближенное значение
вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной частотой и
вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство
устойчивости на примерах.

Пример
1. По данным шведской статистики, относительная частота рождения
девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены
в порядке следования месяцев, ничиная с января): 0,486; 0,489; 0.490; 0,471;
0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота
колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение
вероятности рождения девочек.

Заметим, что
статистические данные различных стран дают примерно то же значение
относительной частоты.

Пример
2. Многократно npoводились oпыты бросания монеты, в которых
подсчитывали число появления «герба». Результаты нескольких опытов
приведены в таб.1.

Здесь относительные
частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше
число испытаний. Например, при4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при
24000 испытаний — лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления
«герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что
относительная частота колеблется около вероятности.

Число бросаний	Число появлений «герба»	Относительная частота
4040	2048	0,5069
12000	6019	0,5016
24000	12012	0,5005

Источник

Относительная частота

Не всякий опыт
может быть сведен к системе случаев.
Пусть, например, игральная кость не
симметрична, тогда какая-то грань будет
выпадать чаще других (условие
равновозможности событий не выполняется).
Тем не менее, и в этом случае для каждой
грани существует своя определенная
степень объективной возможности ее
появления.

Определение:
Относительной
частотой
события А
называется
отношение числа опытов, в которых
появилось событие А,
к общему числу опытов:

где
— число появлений событияА,

n
– общее
число опытов.

Сопоставляя
определение вероятности и относительной
частоты, заключаем:

Определение
вероятности не требует, чтобы испытания
проводились в действительности,
Определение
относительной частоты, предполагает,
что испытания были проведены фактически.

Длительные
наблюдения показали, что если в одинаковых
условиях производятся опыты, в каждом
из которых число испытаний достаточно
велико, то относительная частота
обнаруживает свойство устойчивости:
в различных опытах относительная частота
изменяется мало (тем меньше, чем больше
производится испытаний), колеблясь
около некоторого постоянного числа.
Это число и есть вероятность появления
события.

Определение:
Статической
вероятностью события
называется число, около которого
группируются значения относительной
частоты данного события в различных
сериях большого числа испытаний.

Свойства статической вероятности

(те же, что и для
классического определения вероятности)

если А
— невозможное событие,
если А
— достоверное событие.

Примеры:

По данным шведской
статистики относительная частота
рождения девочек за 1935г. По месяцам:

0,486 0,489 0,490
0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482
0,473.

Относительная
частота колеблется около числа 0,482.

Опыт по бросанию
монеты:

Число бросаний	Число появлений герба	Относительная частота
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Теорема Бернулли:

При достаточно
большом числе опытов вероятность
события, заключающегося в том, что
разность между частотой события и его
вероятностью становится сколь угодно
малой, неограниченно приближается к
единице.

Основные теоремы теории вероятности

Определение:
Суммой двух
событий A+B
называется событие, состоящее в появлении
хотя бы одного из них.

Например: Если
событие А –
попадание в цель при первом выстреле,
событие B
– попадание
в цель при втором выстреле, то C=A+B
– попадание в цель вообще, безразлично
при каком выстреле : при первом или при
втором или при обоих вместе.

Определение:
Суммой
нескольких событий называется событие,
состоящее в появлении хотя бы одного
из них.

Определение:
Произведением
двух событий AB
двух событий называется событие,
состоящее в совместном появлении события
А и
события B.

Например: Если
событие А –
появление дамы при вынимании карты из
колоды, событие B
– появление
карты пиковой масти, то C=AB
– появление пиковой дамы.

Определение:
Событие
называетсяпротивоположным
для А,
если оно выполняется тогда и только
тогда, когда не выполняется событие А.

При вычислении
вероятностей удобно бывает представить
сложные события в виде комбинации более
простых событий, применяя операции
сложения, умножения, а так же противоположные
событие.

Пример:
— попадание при первом выстреле,

— попадание при
втором выстреле,

— попадание при
третьем выстреле.

Пусть событие В
— в результате
трех выстрелов будет только одно
попадание:

Соседние файлы в папке Тервер,лекция, домашка

Источник

Относительная частота.
Статистическая вероятность

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Относительная
частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории
вероятностей. Относительной частотой события называют отношение числа
испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных
испытаний.

Таким
образом, относительная частота события

определяется формулой:

где

– число появления события

– общее число испытаний

Сопоставляя
определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение
вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности;
определение же относительной частоты предполагает, что испытания были
произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную
частоту — после опыта.

Длительные
наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом
из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота
обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных
опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше
произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.
Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким
образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное
число можно принять за приближенное значение вероятности.

Классическое
определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания
конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных
исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение
неприменимо.

По этой
причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие
определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической
вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что
относительная частота весьма близка числу 0,4, то это число можно принять за
статистическую вероятность события.

Для
существования статистической вероятности события

требуется:

а)
возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний,
в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б)
устойчивость относительных частот появления

в различных сериях достаточно большого числа
испытаний.

Смежные темы решебника:

Классическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности

Примеры решения задач

Пример 1

Игральный
кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова относительная
частота появления шестерки?

Решение

Из
условия задачи следует, что

, поэтому

Ответ:

Пример 2

При
стрельбе по мишени относительная частота попаданий

. Найти число попаданий при
40 выстрелах.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Из
формулы

следует,
что

Так как

, то искомое число
попаданий:

Ответ:

Пример 3

Контролер, проверяя качество 400 изделий
установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные — к первому.
Найти относительная частоту изделий первого сорта, относительную частоту
изделий второго сорта.

Решение

Прежде
всего, найдем число изделий первого сорта:

Относительная
частота изделий 1-го сорта:

Аналогично
находим относительную частоту изделий второго сорта:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Найдите частоту появления простых
чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50;
в) от 51 до 70.

Задача 2

Отдел технического контроля
обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту
изготовления бракованных изделий.

Задача 3

Многолетними
наблюдениями установлено, что в некоторой области ежегодно в среднем в тридцати
хозяйствах из каждых ста среднегодовой удой молока от одной коровы составляет
4100-4300 кг. Какова вероятность того, что в текущем году в одном из хозяйств
этой области, отобранном случайным образом, будет получен такой среднегодовой
удой?

Задача 4

Для выяснения качества семян было
отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный
всход. Какова частота нормального всхода семян?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Для
проведения исследований на некотором поле взяли случайную выборку из 200
колосьев пшеницы. Относительная частота колосьев, имеющих по 12 колосков в
колосе, оказалось равной 0,123, а по 18 колосков – 0,05. Найти для этой выборки
количество колосьев, имеющих по 12 и 18 колосков.

Задача 6

Найдите частоту появления цифры при
100 подбрасываниях симметричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).

Задача 7

Найдите частоту пятибуквенных слов в
любом газетном тексте.

Задача 8

Путем опроса всех студентов Вашего
курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.

Задача 9

За лето на Черноморском побережье
было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето?
Частота пасмурных дней?

Задача 10

Найдите частоту появления шестерки
при 90 подбрасываниях игрального кубика.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Советы

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Относительная частота

Свойства статической вероятности

Основные теоремы теории вероятности

Относительная частота. Статистическая вероятность

Краткая теория

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Относительная частота.
Статистическая вероятность