Как найти относительную частоту выборки - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

С абсолютной частотой все довольно просто: она определяет, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных (объектов или значений). А вот относительная частота характеризует отношение количества конкретного числа в наборе данных. Другими словами, относительная частота – это отношение количества определенного числа к общему количеству чисел в наборе данных. Имейте в виду, что вычислить относительную частоту достаточно легко.

1
Соберите данные. Если вы решаете математическую задачу, в ее условии должен быть дан набор данных (чисел). В противном случае проведите эксперимент или исследование и соберите необходимые данные. Подумайте, в какой форме записать исходные данные.
- Например, нужно собрать данные о возрасте людей, которые посмотрели определенный фильм. Конечно, можно записать точный возраст каждого человека, но в этом случае вы получите довольно большой набор данных с 60-70 числами в пределах от 10 до 70 или 80. Поэтому лучше сгруппировать данные по категориям, таким как «Моложе 20», «20-29», «30-39» «40-49», «50-59» и «Старше 60». Получится упорядоченный набор данных с шестью группами чисел.
- Другой пример: врач собирает данные о температуре пациентов в определенный день. Если записать округленные числа, например, 37, 38, 39, то результат будет не слишком точным, поэтому здесь данные нужно представить в виде десятичных дробей.
2
Упорядочьте данные. Когда вы соберете данные, у вас, скорее всего, получится хаотичный набор чисел, например, такой: 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. Такая запись кажется практически бессмысленной и с ней сложно работать. Поэтому упорядочьте числа по возрастанию (от меньшего к большему), например, так: 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.^[1]
- Упорядочивая данные, будьте внимательны, чтобы не пропустить ни одного числа. Посчитайте общее количество чисел в наборе данных, чтобы убедиться, что вы записали все числа.
3

Создайте таблицу с данными. Собранные данные можно организовать в виде таблицы. Такая таблица будет включать три столбца и использоваться для вычисления относительной частоты. Столбцы обозначьте следующим образом:^[2]

Реклама

1
Найдите количество чисел в наборе данных. Относительная частота характеризует, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных по отношению к общему количеству чисел. Чтобы найти относительную частоту, нужно посчитать общее количество чисел в наборе данных. Общее количество чисел станет знаменателем дроби, с помощью которой будет вычислена относительная частота.^[3]
- В нашем примере набор данных содержит 16 чисел.
2
Найдите количество определенного числа. То есть посчитайте, сколько раз конкретное число встречается в наборе данных. Это можно сделать как для одного числа, так и для всех чисел из набора данных.^[4]
- Например, в нашем примере число встречается в наборе данных три раза.
3

Разделите количество конкретного числа на общее количество чисел. Так вы найдете относительную частоту для определенного числа. Вычисление можно представить в виде дроби или воспользоваться калькулятором или электронной таблицей, чтобы разделить два числа.^[5]

Реклама

1
Результаты вычислений запишите в созданную ранее таблицу. Она позволит представить результаты в наглядной форме. По мере вычисления относительной частоты результаты записывайте в таблицу напротив соответствующего числа. Как правило, значение относительной частоты можно округлить до второго знака после десятичной запятой, но это на ваше усмотрение (в зависимости от требований задачи или исследования). Помните, что округленный результат не равен точному ответу.^[6]
- В нашем примере таблица относительных частот будет выглядеть следующим образом:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0,19
- 2 : 1 : 0,06
- 3 : 2 : 0,13
- 4 : 3 : 0,19
- 5 : 4 : 0,25
- 6 : 2 : 0,13
- 7 : 1 : 0,06
- Итого : 16 : 1,01
2
Представьте числа (элементы), которых нет в наборе данных. Иногда представление чисел с нулевой частотой так же важно, как и представление чисел с ненулевой частотой. Обратите внимание на собранные данные; если между данными имеются пробелы, их нужно заполнить нулями.
- В нашем примере набор данных включает все числа от 1 до 7. Но предположим, что числа 3 нет в наборе. Возможно, это немаловажный факт, поэтому нужно записать, что относительная частота числа 3 равна 0.
3
Выразите результаты в процентах. Иногда результаты вычислений нужно преобразовать из десятичных дробей в проценты. Это общепринятая практика, потому что относительная частота характеризует процент случаев появления определенного числа в наборе данных. Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нужно десятичную запятую передвинуть на две позиции вправо и приписать символ процента.
- Например, десятичная дробь 0,13 равна 13%.
- Десятичная дробь 0,06 равна 6% (обратите внимание, что перед 6 стоит 0).
Реклама

Советы

Относительная частота характеризует наличие или возникновение определенного события в наборе событий.
Если сложить относительные частоты всех чисел из набора данных, вы получите единицу. Помните, что при сложении округленных результатов сумма не будет равна 1,0.
Если набор данных слишком большой, чтобы обработать его вручную, воспользуйтесь программой MS Excel или MATLAB; это позволит избежать ошибок в процессе вычисления.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 145 917 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Мода и медиана

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?

Все верно, это число ( displaystyle 181), так как два игрока имеют рост ( displaystyle 181) см; рост же остальных игроков не повторяется.

Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?

Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.

Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?

Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!

Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).

Вот, что у меня получилось:

statistika vyborka i mediana uporyadochennaya 1

Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.

Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?

Все верно – игроков ( displaystyle 11), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.

Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

Ну вот, чисел у нас ( displaystyle 11), значит, по краям остается по пять чисел, а рост ( displaystyle 183) см будет медианой в нашей выборке.

Не так уж и сложно, правда?

Частота и относительная частота

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост ( 176)?

Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом ( 176) в нашей выборке равна ( 1).

Сколько игроков имеет рост ( 178)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом ( 178) в нашей выборке равна ( 1).

Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).

То есть в нашем примере: ( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11)

Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.

Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.

Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем ( left( n=11 right)) .

Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.

Источник

Download Article

Preparing, calculating, and reporting your data

Download Article

Absolute frequency is a simple concept to grasp: it refers to the number of times a particular value appears in a specific data set (a collection of objects or values). However, relative frequency can be a little trickier. It refers to the proportion of times a particular value appears in a specific data set. In other words, relative frequency is, in essence, how many times a given event occurs divided by the total number of outcomes. If you organize your data, calculating and presenting relative frequency can become a simple task.

1
Collect your data. Unless you are just completing a math homework assignment, calculating relative frequency generally implies that you have some form of data. Conduct your experiment or study and collect the data. Decide how precisely you wish to report your results.^[1]
- For example, suppose you are collecting data on the ages of people who attend a particular movie. You could decide to collect and report the exact age of everyone who attends. But this is likely to give you 60 or 70 different results, being every number from about 10 through 70 or 80. You may instead wish to collect data in groups, like “Under 20,” “20-29,” “30-39,” “40-49,” “50-59,” and “60 plus.” This would be a more manageable set of six data groups.
- As another example, a doctor might collect body temperatures of patients on a given day. In this case, just collecting whole numbers, like 97, 98, 99, might not be precise enough. It might be necessary to report data in decimals in this case.
2
Sort the data. After you complete your study or experiment, you are likely to have a collection of data values that could look like 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. In this form, the data appear almost meaningless and difficult to use. It is more helpful to sort the data in order from lowest to highest. This would result in the list 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.
- When you are sorting and rewriting your collection of data, be careful to include every point correctly. Count the data set to make sure you do not leave off any values.
Advertisement
3
Use a data table. You can summarize the results of your data collection by creating a simple data frequency table. This is a chart with three columns that you will use for your relative frequency calculations. Label the columns as follows:^[2]
- . This column will be filled with each value that appears in your data set. Do not repeat items. For example, if the value 4 appears several times in the list, just put under the column once.
- , or . In statistics, the variable is conventionally used to represent the count of a particular value. You may also write , which is read as “n of x,” and means the count of each x-value. A final alternative is , which means the “frequency of x.” In this column, you will put the number of times that the value appears. For example, if the number 4 appears three times, you will place a 3 next to the number 4.
- Relative Frequency or . This final column is where you will record the relative frequency of each data item or grouping. The label , which is read “P of x,” could mean the probability of x or the percentage of x. The calculation of relative frequency appears below. This column will be used after you complete that calculation for each value of x.

1
Count your full data set. Relative frequency is a measure of the number of times a particular value results, as a fraction of the full set. In order to calculate relative frequency, you need to know how many data points you have in your full data set. The will become the denominator in the fraction that you use for calculating.^[3]
- In the sample data set provided above, counting each item results in 16 total data points.
2
Count each result. You need to determine the number of times that each data point appears in your results. You may want to calculate the relative frequency of one particular item, or you may be summarizing the overall data for the full data set.^[4]
- For example, in the data set provided above, consider the value . This value appears three times in the list.
3

Divide each result by the total size of the set. This is the final calculation to determine the relative frequency of each item. You can set it up as a fraction or use a calculator or spreadsheet to perform the division.^[5]

1
Present your results in a frequency table. The frequency table that you began above can be used to present the results in a format that is easy to review. As you perform each of the calculations, fill in the results in the corresponding places in the table. It is common to round your answers to two decimal places, although you will need to decide this for yourself based on the needs of your study. Because of rounding the end result may total something close to , but not exactly 1.0.^[6]
- For example, using the data set above, the relative frequency table would appear as follows:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0.19
- 2 : 1 : 0.06
- 3 : 2 : 0.13
- 4 : 3 : 0.19
- 5 : 4 : 0.25
- 6 : 2 : 0.13
- 7 : 1 : 0.06
- total : 16 : 1.01
2
Report items that do not appear. It may be just as meaningful to report items whose frequency is 0 as to report those items that do appear in your data set. Look at the kind of data you are collecting, and if you notice any gaps in your sorted data, you may need to report them as 0s.
- For example, the sample data set you have been working with includes all values from 1 to 7. But suppose that the number 3 never appeared. That could be important, and you would report the relative frequency of the value 3 as 0.
3
Show your results as percentages. You may wish to turn your decimal results into percentages. This is a common practice, as relative frequency is often used as a predictor of the percentage of times that some value will occur. To convert a decimal number to a percentage, simply shift the decimal point two spaces to the right, and add a percent symbol.^[7]
- For example, the decimal result of 0.13 is equal to 13%.
- The decimal result of 0.06 is equal to 6%. (Don’t just skip over the 0.)

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

What is frequency of the event?

It’s a measurement of how often the event occurs in a given time period.
Question

How can you calculate frequency from relative frequency?

The word «frequency» alone is not very clear. In statistics, there are absolute frequency (the number of times a data point appears), relative frequency (usually presented as a percentage), or cumulative frequency. Cumulative frequency begins at 0 and adds up the frequencies as you move through your list. If you are just asked for «frequency,» from the relative frequency, it probably means the absolute frequency. Take your relative frequency, and multiply it by the total number of items in the full data set, and you will have the absolute frequency.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Physically speaking, the relative frequency tells you the presence or occurrence of a particular event in a set of events.
If you add up the relative frequencies of all items in a data set, you should get a sum of 1. If you round off your values, the sum may not be exactly 1.0.
If your data set is too large for simple counting, you may need to use a software package like MS-Excel or MATLAB to avoid mistakes.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To stop face sweating, try applying an astringent containing tannic acid, like witch hazel, to your face twice a day using a cotton ball. Additionally, apply an antiperspirant spray to your scalp, temples, and upper forehead to temporarily block your sweat glands. Alternatively, try using a dry shampoo to manage scalp sweating by holding it 8 inches from your head, then spraying it in 2 inch sections of your hair at a time. After that, massage the dry shampoo into your scalp for even distribution. For more tips, like how to show your results as percentages, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 103,402 times.

Did this article help you?

Источник

НАШИ относительная частота это очень важно для анализа статистики, так как показывает, какой процент представляют эти данные по отношению ко всем полученным результатам. Он используется для анализа результатов, полученных в заданном наборе данных.

Для его расчета достаточно разделить абсолютную частоту на суммарные полученные данные, и преобразовать этот результат в процент, умножаем на 100. Для статистического анализа данных очень часто строят таблицу с частотами, и в нее всегда помещается относительная частота каждых данных.

Узнать больше: Что такое статистические меры центральной тенденции?

Сводка по относительной частоте

Это тип частоты, изучаемый в статистике.
Это процент, который представляют данные данные по отношению к целому.
Обычно его представляют в процентах.
Для его расчета мы делим абсолютную частоту на общее количество полученных результатов.
Абсолютная частота — это количество раз, когда были собраны одни и те же данные.
В дополнение к простой относительной частоте существует кумулятивная относительная частота, которая представляет собой накопление относительной частоты.

Не останавливайся сейчас… После рекламы есть еще

Что такое относительная частота?

относительная частота процент, который часть данных представляет по отношению к целому. В повседневной жизни довольно часто встречаются ситуации, когда информация передается через проценты. Этот процент часто является относительной частотой, поскольку он позволяет нам сравнивать поведение одной части данных по отношению к другим.

Например, если мы говорим, что в ходе опроса можно было сделать вывод, что 87% бразильцев против гражданского оружия, это позволяет оценить полученный результат по отношению к целому. Есть и другие ситуации, в которых мы используем относительную частоту, которая по-прежнему очень важна в статистика и в принятии решений. В статистических исследованиях после сбора данных важно рассчитать относительную частоту, чтобы можно было провести анализ полученных результатов.

Как рассчитывается относительная частота?

Чтобы вычислить относительную частоту, вам нужно:

найти абсолютную частоту;
разделите его на общее количество собранных данных.

Важный: Абсолютная частота — это не что иное, как количество раз, когда были собраны одни и те же данные.

Типы относительной частоты

Существует два типа относительной частоты: простая и кумулятивная. Начнем с первого.

простая относительная частота

Вот как рассчитать простую относительную частоту на примере.

Пример:

В классе с 50 учениками учитель физкультуры посоветовал им, какой вид спорта будет их любимым. Полученные ответы регистрировались по их абсолютной частоте:

футбол → 20 учеников
волейбол → 12 учеников
сожжено → 8 студентов
гандбол → 6 учеников
другие → 4 ученика

Разрешение:

Всего было собрано 50 ответов, поэтому для расчета относительной частоты каждого из них мы разделим количество появлений каждого ответа на 50.

Относительная частота:

футбол → 20: 50 = 0,4
волейбол → 12: 50 = 0,24
сожжено → 8: 50 = 0,16
гандбол → 6: 50 = 0,12
другие → 4: 50 = 0,08

Относительная частота может быть выражена десятичным числом, но обычно выражается в процентах. Чтобы преобразовать найденные десятичные числа в проценты, просто умножьте на 100, так что мы имеем:

футбол → 20: 50 = 0,4 = 40%
волейбол → 12: 50 = 0,24 = 24%
сожжено → 8: 50 = 0,16 = 16%
гандбол → 6: 50 = 0,12 = 12%
другие → 4: 50 = 0,08 = 8%

Эти данные обычно представляются в виде таблицы, известной как таблица частот:

Спорт	абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР)	относительная частота (фр.)	Относительная частота (%) (ФР%)
Футбольный	20	0,4	40%
Волейбол	12	0,24	24%
Сгорел	8	0,16	16%
Гандбол	6	0,12	12%
Другие	4	0,08	8%
Всего	50	1	100%

Накопленная относительная частота

Как следует из названия, кумулятивная относительная частота накопление относительной частоты. Для его расчета необходимо сначала вычислить относительную частоту, как и в предыдущем примере.

С данными, организованными в таблице частот:

сначала вставляем в частотную таблицу еще один столбец;
затем копируем первую полученную относительную частоту;
мы выполняем в этом новом столбце и позже, чтобы найти другие накопленные частоты, сумму относительной частоты строки с накопленной частотой предыдущей строки.

Спорт	абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР)	относительная частота (фр.)	относительная частота накопленный
Футбольный	20	0,4	0,4
Волейбол	12	0,24	0,4 + 0,24 = 0,64
Сгорел	8	0,16	0,64 + 0,16 = 0,80
Гандбол	6	0,12	0,80 + 0,12 = 0,92
Другие	4	0,08	0,92 + 0,08 = 1
Всего	50	1

Тогда мы можем отобразить таблицу частот следующим образом:

Спорт	абсолютная частота (ВЕНТИЛЯТОР)	относительная частота (фр.)	относительная частота накопленный
Футбольный	20	0,4	0,4
Волейбол	12	0,24	0,64
Сгорел	8	0,16	0,80
Гандбол	6	0,12	0,92
Другие	4	0,08	1,00
Всего	50	1

Эта кумулятивная относительная частота также может быть выражена в процентах:

Спорт	Частота абсолютный (ВЕНТИЛЯТОР)	Частота родственник (фр.)	Частота родственник накопленный	Частота родственник % (ФР%)	Частота родственник накопленный %
Футбольный	20	0,4	0,4	40%	40%
Волейбол	12	0,24	0,64	24%	64%
Сгорел	8	0,16	0,80	16%	80%
Гандбол	6	0,12	0,92	12%	92%
Другие	4	0,08	1,00	8%	100%
Всего	50	1	100%

В чем разница между абсолютной частотой и относительной частотой?

Мы видим, что абсолютная частота сама по себе не дает нам столько информации, сколько относительная частота, потому что:

Абсолютная частота — это количество раз, когда один и тот же ответ появлялся для данного набора.
Относительная частота показывает отношение этих данных ко всем собранным данным.

Важный: Стоит отметить, что оба важны, и что можно рассчитать относительную частоту только тогда, когда мы знаем абсолютную частоту набора данных.

Читайте также: Меры разброса — амплитуда и девиация

Решенные упражнения на относительную частоту

Вопрос 1

(EsSA) Определите альтернативу, которая представляет абсолютную частоту (fi) элемента (xi), относительная частота (fr) которого равна 25%, а общее количество элементов (N) в выборке равно 72.

А) 18

Б) 36

В) 9

Г) 54

Д) 45

Разрешение:

Альтернатива А

Поскольку относительная частота составляет 25%, мы знаем, что

фи: 72 = 25%

фи: 72 = 0,25

фи = 0,25 ⋅ 72

фи = 18

вопрос 2

(Cesgranrio) В таблице ниже показана абсолютная частота диапазонов месячной заработной платы 20 сотрудников небольшой компании.

Диапазон заработной платы (BRL)	Количество
Менее 1000,00	6
Больше или равно 1000,00 и меньше 2000,00	7
Больше или равно 2000,00 и меньше 3000,00	5
Больше или равно 3000,00	2
Всего	20

Относительная частота сотрудников, зарабатывающих менее 2000 реалов в месяц, составляет:

А) 0,07

Б) 0,13

В) 0,35

Г) 0,65

Д) 0,70

Разрешение:

Альтернатива D

Всего 6 + 7 = 13 сотрудников, которые зарабатывают менее 2000 реалов. Вычисляя относительную частоту, имеем:

13: 20 = 0,65

Источник

эмпирическая
функция распределения

Пусть исследуется произвольная случайная
величина
и
относительно этой случайной величины
производится ряд независимых опытов
(испытаний) при наличии определённого
комплекса условий. Далее, пустьиз
генеральной совокупности извлечена
выборка, причем значениенаблюдалось

раз,
наблюдалосьраз, и так далее
наблюдалосьраз, при этом натуральное числои

выражает объём выборки,
значенияназываютвариантами
с.в..Вся совокупность
значений с.в.представляет
собой первичный статистический материал,
который подлежит дальнейшей обработке,
сначала подлежатьупорядочению.
Операцию по упорядочению значений
случайной величины (признака) по не
убыванию называют «ранжированием»
статистических данных. Полученная таким
способом последовательность значенийслучайной
величины,
где;,называетсявариационным рядом.

Числа
,
показывающие, сколько раз встречаются
варианты (числа)в ряде наблюдений, называютсячастотами.
А числаравное отношениек объёму выборки,
называютсяотносительными частотами,
т.е.

(1)

Перечень вариантов
и соответствующие им частость
или относительных
частот называют
статическим распределением
выборки или статическим рядом.

Статистическое распределение
записывается в виде таблицы, где в первой
строке пишут численные значения
вариантов, а вторая заполняется их
соответствующими частотами.
Из

этой таблицы затем составляют
новую таблицу с указанием частотностей
(относительных

частот)
,
где должен выполняться «контроль»

Пример
2. Задано распределение
частот выборки объема
,

Эта таблица означает, что
принимается
три раза,принимается 10 раз ипринимается 7 раз. В итоге:.

Написать таблицу распределение
относительных частот.

Решение.
Найдем относительные частоты, для чего
разделим частоты на объем выборки:

Теперь, составим таблицу распределения
относительных частот:

Контроль:

Пример 3. В
результате тестирования группы из 10
человек для приёма на работу претенденты
набрали баллы:
Составить

а) вариационный ряд;

б) статический ряд;

в) таблицу частот и относительных
частот.

Решение. а)
Упорядочив статические данные, получим
вариационный ряд:

;

б) Подсчитав частоту
и относительную частотность
вариантов:
получим статическое распределение
выборки (так называемый дискретный
ряд).

	0	1	2	3	4	5
	1	2	1	1	2	3

где
.
Контроль.

Построим таблицу относительную частоту

	0	1	2	3	4	5

где
.
Контроль.

Статистическое распределение выборки
является оценкой неизвестного
распределения.

По теореме Бернулли, относительные
частоты
сходятся прик соответствующим вероятностям,т.е..
Поэтому, при больших значенияхстатическое распределение мало отличается
от истинного распределения.

В случаях, когда количество значений
признака (с.в.)
достаточно велико или когда случайная
величинаявляется непрерывной (т.е. её значение
заполняет некоторый отрезок числовой
прямой),составляют интервальный
статистический ряд.

В первую очередь образуют частичные
промежутки,
которые берут обычно с одинаковыми
длинами, равными.

Интервалы
Частота
Частость

Эта таблица означает, что весь диапазон
изменения величиныразбит на интервалы

(границами
го
интервала являются,и);
числоесть частота попадания вй
интервал,,
гдеколичество
чисел в исходном ряде (выборке),
приходящихся в—
й интервал. На практике число интервалов
выбирается обычно в пределах одного-двух
десятков. Также следует отметить, что
в общем случае длины интервалов не
обязаны быть одинаковыми.

Для определения величины интервала
существуют разные подходы, в качестве
одного из таких способов разбиения,
может быть использована формула
Стерджесса:

где
выражает
разность между наибольшим и наименьшим
значениями признака,

числа интервалов
;.
За начало первого интервала рекомендуется
брать величину,
и если конец последнего промежутка
входит во множестве с.в.,
то оно также включается в число элементов,
входящих в последний промежуток. После
завершения «разбиения» первую строку
таблицы статического распределения
заполняют полученными частичными
промежутками. Во второй строчке
статистического ряда вписывают числа—
количество наблюдений, попавших в каждый
интервал, а затем составляют вторую
таблицу относительных частот по выше
указанному принципу, где мы для удобства
объединили обе таблицы.

Заметим, что в теории вероятностей под
распределением понимают соответствие
между возможными значениями случайной
величины и их вероятностями, а в
математической статистике —
соответствие между наблюдаемыми
вариантами и их частотами, иличастость
(относительные частоты).

Пример 4. Измерили рост (с некоторой
точностью скажем до 1 см.) 30 наудачу
отобранных студентов. Результаты
измерения показали:

Построить интервальный статистический
ряд.

Решение.Сначала упорядочим полученные
данные.

Следует, что
рост
студентов является непрерывной с.в. При
более точном измерении роста значения
с.в.обычно
не повторяется и может отличиться друг
от друга на несколько миллиметров.
Вероятность наличия на Земле двух
человека с одинаковым ростом, например,

метров, равна нулю.

Отсюда следует, что
;
в соответствии с формулой Стерджесса,
при,
находим длину частичного интервала
разбиения:

Если примем за
,
тогдаВсе исходные данные разбиваем наинтервалов (при):

Подсчитав общее число студентов
,
попавших в каждый из полученных
промежутков, получим интервальный
статистический ряд:

Рост	[150-156)	[156-162)	[162-168)	[168-174)	[174-180)	[180-186)
Частота	4	5	6	7	5	3
Частость	0,13	0,17	0,20	0,23	0,17	0,10

Одним из способов статистической
обработки вариационного ряда является
построение

эмпирической функции распределения.

Пусть известно статистическое
распределение частот количественного
признака

число наблюдений, при которых наблюдалось
значение признака,
а
общее
число наблюдений (объем выборки).

Эмпирической (статистической) функцией
распределения называется функция,определяющая для каждого значениячастость события:

(2)
.

В отличие от эмпирической функции
распределения выборки, интегральную
функцию
распределения генеральной совокупности
называюттеоретической функцией
распределения. Различие
между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функция

(3)

— определяет вероятность
события,
а эмпирическая функция
определяет
относительную частоту этого же события.

Очевидно, что функция
удовлетворяет
тем же условиям, что и истинная функция(см.Т.3).Другими словами,
числа
и мало отличаются одно от
другого. Уже отсюда следует целесообразность
использования эмпирической функции
распределения выборки для приближенного
представления теоретической (интегральной)
функции

-распределения генеральной
совокупности. Такое заключение
подтверждается и тем, что
обладает всеми
свойствами .
Действительно, из
определения функции вытекают следующие ее
свойства:

1. Значения эмпирической функции
принадлежат отрезку [0,1];

2.
неубывающая функция;

3. Если
наименьшая
варианта, то
при
;
и если

наибольшая варианта, то при
,.

На основании теорем ЗБЧ при увеличении
числа
наблюдений (опытов) относительная
частота событияприближается к истинной вероятности
этого события.

Эмпирическая функция распределения
является
как бы «оценкой» вероятности события,
т.е. оценкой теоретической функции
распределенияс.в..

Таким образом, можно заключить, что
имеет место утверждение,

Пусть
является теоретическая функция
распределения случайной величины,
аеё эмпирической функцией распределения.
Тогда для любогосправедливо предельное соотношение