Вычисление погрешностей измерений
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые |
150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм |
0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см3 | 5 см3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25, 25–50, 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность  |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 |  |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | |
| Cx | CΔx |  |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 |  |
 |
 |
|
| xn | |n||x|n−1Δx |  |
| lnx | |
 |
| sinx | |cosx| Δx |  |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx |  |
 |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое
измерение
– определение значения физической
величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное
измерение
– определение значения физической
величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми
прямыми измерениями.
А, В, С, … — физические величины.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической
величины.
— относительная погрешность измерения
физической величины.
иА
– абсолютная
инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в
большинстве случаев
половине цены деления; при
измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения
обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата
измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде,
что и цифра погрешности:
Результат
измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных
измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1.
Определить среднее
значение величины А:
(при трех
измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения,
его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить
относительную погрешность и выразить ее в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
3 |
|
|
Многократные измерения
предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных
факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка
изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение
погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение
физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность
определяют так, как показано в таблице:
|
Формула величины |
Формула |
|
1. |
|
|
2. 3. |
|
|
4. |
|
Абсолютную погрешность определяют
по формуле:
(
выражается десятичной дробью)
Пример: пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений: 
Тогда 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
Графическое
представление результатов эксперимента
Правила построения
графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают
специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям
координат следует руководствоваться следующими правилами:
— значение независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
— цена наименьшего деления масштабной
сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
— точка пересечения оси абсцисс и оси
ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует
иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник
со сторонами 
и
.
В
|
|
|||||
|
|
|||||
 |
|||||
 |
0
А
При выполнении простых лабораторных
работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить
крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут
обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное
значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила
приближенных вычислений
1. Основное
правило округления.
Если первая
отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр
увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из
сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и
вычитании приближенных чисел
в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе
с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении
и делении приближенных чисел
в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении
в квадрат приближенного числа
нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое
в степень число, например:
5. При извлечении
квадратного корня в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число,
например:
6. При вычислении
промежуточных результатов в
них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при
подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном
результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении
углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если
значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с
точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две
значащие цифры, например:
Задача № 1
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 67 мA, если измерения проводились магни-тоэлектрическим миллиамперметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1.0 и пределом измерения А = 100 мA.
Решение Для магнитоэлектрического миллиамперметра класс точности
определяется
значением максимальной приведенной погрешности, т.е. g = 1,0 %. Так как
,
то предел инструментальной абсолютной погрешности
(мА).
Миллиамперметр имеет равномерную шкалу с нулем в начале шкалы, и поэтому XN = A = 100 мA:
.
Предел инструментальной относительной погрешности
.
Задача № 2
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U=8,6 B, если измерения проводились магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в середине шкалы, классом точности 2,5 и пределами измерения А = 25 В.
Решение
Как и в предыдущей задаче, предел абсолютной погрешности находится из формулы:
.
Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы. Поэтому
XN = |—25| + |25| = 50 (B),
D = (2,5×50)/100 %=1,25 (В). Найдем предел относительной погрешности измерения:
d = (D/U)×100 %= (1,25×100)/8,6 » 15 (%).
Задача № 3
Oценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магнитоэлектрическими миллиамперметрами с классами точности 0,5 и 1.0 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также, могут ли показания I1 = 19,0 мA и I2 = 18,6 мA исправных приборов отличаться так, как задано в условии? Миллиамперметры имеют нули в начале шкалы и пределы A1 =
= 50 мA и A2 = 20 мA.
Решение Инструментальные абсолютные погрешности можно найти из формул:
D1 = (g1 ХN1)/100 %= (g1 A1)/100 %= (0,5×50)/100 = 0,25 (мA),
D2 = (g2 ХN2)/100 %= (g2 A2)/100 %= (1,0×20)/100 = 0,20 (мA).
Для определения, какое из измерений проведено с большей точностью, необходимо определить инструментальные относительные погрешности:
d1 = (D1/I1) 100 % = (0,25/19,0)×100 % » 1,3 %, d2 = (D2/I2) 100 % = (0,20/18,6)×100 % » 1,1 %.
Видно, что второе измерение проведено с большей точностью, так как точность обратно пропорциональна модулю относительной погрешности.
В наихудшем случае (когда погрешности приборов будут иметь противоположные знаки) модуль разницы между результатами измерений | D| = |I1 — I2| не должен превышать сумму модулей абсолютных погрешностей, т.е.
|D| < |D1| + |D2| .
Получаем
|D| = 0,4 (мA) < |D1| + |D2| = 0,45 (мA).
Таким образом, при исправных миллиамперметрах можно получить указанные значения I1 и I2.
Задача № 4
Определить инструментальную абсолютную погрешность измерения сопротивления Rx = 200 кОм с помощью комбинированного прибора, если он имеет класс точности 4,0, длину рабочей части шкалы L = 80 мм, отметке 200 кОм соответствует длина шкалы l = 40 мм.
Решение
В комбинированном приборе используется магнитоэлектрический омметр, причем шкала прибора при измерении сопротивлений неравномерная. Инструментальная относительная погрешность измерения сопротивления с помощью таких омметров вычисляется через их класс точности по формуле
,
т.е.
C другой стороны
,
где — инструментальная абсолютная погрешность измерения сопротивления.
Тогда
(кОм).
Задача № 5
Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения сопротивлений R1 = 0,52 Ом; R2 = 120,00 Ом; R3 = 18412,00 Ом с помощью образцового магазина сопротивлений, если его класс точности 0,05/4 10-6, магазин содержит 7 декад и цена младшей декады 0,01 Ом.
Решение Сначала определим наибольшее значение воспроизводимой данным
магазином сопротивлений величины:
Rк = 9 104 + 9 103 + 9 102 + 9 101 + 9 100 + 9 10−1 + 9 10−2 (Ом);
Rк = 99999,99 (Ом) » 105 (Ом).
Для нормирования пределов погрешности магазинов мер одночленные формулы не применяются, поскольку они не отражают всегда имеющей место зависимости абсолютной или относительной погрешности меры от номинального значения воспроизводимой величины. Для них используются двухчленные формулы:
для абсолютной погрешности:
D = (a + b×Х), для относительной погрешности:
d= [c + d×(|Xк/X|—1)].
Внашем случае заданы величины c и d:
c = 0,05 %; d = 4×10−6 %.
Найдем относительные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3:
=[0,05 + 4×10−6 (|105 /0,52| — 1)] » 0,3 (%),
=[0,05 + 4×10−6 (|105 /120| — 1)] » 0,53 (%),
= [0,05 + 4×10−6 (|10|−5 /18412| — 1)] » 0,050 (%). Известно, что связь между a, b, c, d — следующая:
d = a/Rк , c = b+d.
Для удобства выразим c и d в относительных единицах: c = 5×10−4 , d = 4×10−8.
Тогда
a = d |Rк| = 4×10−8 10−5 = 0,004 (Ом); b = c—d = 5×10−4 — 4×10−8 » 5×10−4.
Теперь можно определить абсолютные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3
=(0,004+5 10−4 × 0,52) » 0,0043 (Ом),
=(0,004+5 10−4 × 120) » 0,0064 (Ом),
=(0,004+5 10−4 × 18412) » 9,2 (Ом).
Соседние файлы в папке задачи
- #
- #
- #
- #
1. Введение (измерения и погрешности измерений)
Физика как наука родилась более 300 лет назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений: физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел, формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.
Познакомимся с некоторыми характерными особенностями любых измерений.
Измерение- это нахождение числового значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (линейки, вольтметра, часы и т.д.).
Измерения могут быть прямыми и косвенными.
Прямое измерение- это нахождение числового значения физической величины непосредственно средствами измерений. Например, длину — линейкой, атмосферное давление- барометром.
Косвенное измерение- это нахождение числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются электроизмерительными приборами.
Рассмотрим пример измерения.
Измерим длину бруска линейкой (цена деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.
Поэтому измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью — отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения.
Перечислим некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.
1. Ограниченная точность изготовления средств измерения.
2. Влияние на измерение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения.).
3. Действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза.).
4. Приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых величин.
Перечисленные причины появления погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для установления достоверности выводов, полученных в результате научных исследований существуют методы оценки данных погрешностей.
2. Случайные и систематические погрешности
Погрешности, возникаемые при измерениях делятся на систематические и случайные.
Систематические погрешности- это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней.
Причины возникновения систематических погрешностей:
1) несоответствие средств измерения эталону;
2) неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
3) несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
4) несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).
Случайные погрешности- это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.
3. Абсолютные и относительные погрешности
Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.
Как уже говорилось, любое измерение дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать интервал, который содержит ее истинное значение:
Апр— DА < Аист < Апр+DА
Величина DА называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. Апр— значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.
Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e. e= DА/Апр или e= (DА/Апр)*100%.
Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.
4. Погрешности средств измерений
Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную погрешность обозначают DиА.
Если сведений о допустимой погрешности не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять половину цены деления.
При взвешивании абсолютная инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто
встречающихся в школьном эксперименте средств измерения.
|
Средства измерения |
Предел измерения |
Цена деления |
Допустимая погрешность |
|
линейка ученическая |
до 50 см |
1 мм |
1 мм |
|
линейка демонстрационная |
100 см |
1 см |
0.5 см |
|
лента измерительная |
150 см |
0.5 см |
0.5 см |
|
мензурка |
до 250 мл |
1 мл |
1 мл |
|
гири 10,20, 50 мг |
1 мг |
||
|
гири 100,200 мг |
2 мг |
||
|
гири 500 мг |
3 мг |
||
|
гири 1 г |
4 мг |
||
|
гири 2 г |
6 мг |
||
|
гири 5 г |
8 мг |
||
|
гири 10 г |
12 мг |
||
|
гири 20 г |
20 мг |
||
|
гири 50 г |
30 мг |
||
|
гири 100 г |
40 мг |
||
|
штангенциркуль |
150 мм |
0.1 мм |
0.05 мм |
|
микрометр |
25 мм |
0.01 мм |
0.005 мм |
|
динамометр |
4 Н |
0.1 Н |
0.05 Н |
|
весы учебные |
200 г |
0.1 г |
|
|
Секундомер |
0-30 мин |
0.2 с |
1с за 30 мин |
|
барометр-анероид |
720-780 мм рт.ст. |
1 мм рт.ст |
3 мм рт.ст |
|
термометр лабораторный |
0-100 градусов С |
1 градус |
1 градус |
|
амперметр школьный |
2 А |
0.1 А |
0.08 А |
|
вольтметр школьный |
6 В |
0.2 В |
0.16 В |
5. Класс точности электроизмерительных приборов
Стрелочные электроизмерительные приборы по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности gпр прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей шкалы прибора.
gпр = (DиА/Амакс)*100%.
Например абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от его шкалы.
Если известен класс точности прибора и его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность измерения
DиА=(gпр * Амакс)/100.
Для повышения точности измерения стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой, чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.
6. Погрешность отсчета
Погрешность отсчета получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.
В большинстве случаев абсолютную погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).
Абсолютную погрешность отсчета принято обозначать DоА
7. Полная абсолютная погрешность прямых измерений
При выполнении прямых измерений физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: DиА, DоА и DсА (случайную). Конечно, иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов, несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть исключены.
Полная абсолютная погрешность прямого измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.
Если случайная погрешность мала по сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для определения значения физической величины достаточно одного измерения. В противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики. Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.
8. Запись окончательного результата прямого измерения
Окончательный результат измерения физической величины А следует записывать в такой форме;
А=Апр+ DА, e= (DА/Апр)*100%.
Апр— значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. DА- полная абсолютная погрешность прямого измерения.
Абсолютную погрешность обычно выражают одной значащей цифрой.
Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.
9. Погрешности косвенных измерений
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= DХ/Хпр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле DХ=Хпр*e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений.
|
Вид функции |
Формула |
|
Х=А+В+С |
|
|
Х=А-В |
|
|
Х=А*В*С |
|
|
Х=Аn |
|
|
Х=А/В |
|
|
Х= |
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. Fтр=0,6 Н
μ=0,33. Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н. Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
, следовательно, абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет 0,22*0,33=0,074
Ответ: