Точное значение величины
Приближенное значение величины
Как вычислить относительную погрешность
Относительная погрешность приближенного числа – это отношение абсолютной погрешности к приближенному числу.
Для того чтобы вычислить относительную погрешность необходимо:
1. Вычислить абсолютную погрешность, то есть найти разность между приближенным числом и его точным значением.
2. Разделить абсолютную погрешность на точное значение величины.
3. Для получения округленного результата в процентах разделить абсолютную погрешность на приближенное значение величины и умножить получившееся частное на 100%.
Приведем пример, в помещении 23 человека, округлим это значение до 25. Тогда абсолютная погрешность = 25 – 23 = 2.
Относительная погрешность =
= 0.086956521739
•обучение проведению моделирования процессов и систем;
•повышение способности оценивания качества и надежности функционирования объекта проектирования.
При решении практических задач очень часто нет необходимости производить точные вычисления, поэтому используют приближенные вычисления и приближенные числа. Но при любых приближенных вычислениях очень важна точность, с которой производятся данные вычисления и точность, которая необходима для округления различных величин. Встает вопрос о погрешности величин и вычислений. Погрешности бывают двух видов: устранимые и неустранимые.
Источниками погрешностей могут служить различные причины. Вопервых, очень часто исходные данные получаются из эксперимента, а это само по себе влечет достаточно сильный разброс данных и ограниченную их точность, погрешности дают также и физические приборы, используемые во время эксперимента. Во-вторых, математическая модель, которая используется для формализации данного физического или химического процесса сама по себе является достаточно приблизительной, что тоже влечет за собой погрешности. В-третьих, иррациональные числа и физические константы в процессе вычисления берутся тоже с определенной точностью. Кроме того, потеря точности возможна и при выполнении арифметических операций, использовании бесконечных последовательностей и т.д. Влияние погрешностей на результат может быть достаточно велико, поэтому необходимо очень аккуратно обращаться с приближением чисел.
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
Обозначим A точное значение некоторого числа, а a его приближенное значение. Записывается это следующим образом A ≈ a . Если A > a , то это
— 4 —
приближение по недостатку, а если A < a , то это приближение по избытку. Например, 3,14 <π < 3,15, поэтому приближение по недостатку 3,14, а по избытку 3,15.
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а
называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением числа:
|
∆ = |
A − a |
. |
(1.1) |
||
В практике возможны два случая:
1.Если точное значение известно тогда легко можно использовать формулу (1.1),
2.Если точное значение не известно, как чаще всего и бывает, то тогда используют понятие предельной абсолютной погрешности.
Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется погрешность, которая не меньше абсолютной погрешности этого числа.
|
∆a ≥ ∆ = |
A − a |
. |
(1.2) |
||
Таким образом, точное значение числа заключено в границах: a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a ,
A = a ± ∆a ,
где a − ∆a — приближение по недостатку, а a + ∆a — приближение по избытку. Пример. Определить предельную абсолютную погрешность числа
е=2,71828…с точностью до тысячных. Число е можно оценить следующим образом 2,7181<e< 2,7183. Тогда предельная абсолютная погрешность: ∆e = 0,0001. Отметим, что этот вариант не единственный, возможны и другие значения предельной абсолютной погрешности.
Ответ: ∆e = 0,0001.
Таким образом, предельной абсолютной погрешностью может являться любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел,
— 5 —
которые удовлетворяют неравенству (1.2). Но из разумных соображений выбирают наименьшее из этих чисел. Абсолютная погрешность характеризует ошибку, приходящуюся на единицу измерения той или иной величины.
Пример. Необходимо измерить длину некоторого расстояния. Измерения
|
были проведены с |
некоторой точностью:456,25 ≤ l ≤ 456,35м. Погрешность |
|
∆l = 0,05м. Запись |
результата в этом случае имеет следующий вид: |
l = 456,3 ± 0,05 м, где 456,3 – длина отрезка, а 0,05 – точность измерения.
Ответ: l = 456,3 ± 0,05 м.
Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а
называют отношение абсолютной погрешности приближенного числа к точному значению этого числа:
|
δ = |
∆ |
= |
A − a |
. |
(1.3) |
||||
|
A |
|||||||||
|
A |
Здесь надо отметить, что, во-первых, A ≠ 0 , а во-вторых, очень редко бывает известно точное значение A. Тогда вместо A берут приближенное значение а.
Так же как и в предыдущем случае введем понятие предельной относительной
|
погрешности. |
||||
|
Определение. |
Предельной |
относительной |
погрешностью |
|
|
приближенного числа а |
называется |
погрешность, которая не меньше |
||
|
относительной погрешности этого числа: |
||||
|
δa ≥δ . |
(1.5) |
Отсюда следует, что ∆ = Aδ ≤ Aδa . На практике A ≈ a , поэтому считают ∆ = a δa . Границы точного числа А: A = a(1±δa ).
Пример. Вычислить предельную относительную погрешность при округлении числа е = 2,71828.… В одном из предыдущих примеров было
— 6 —
получено, что число e = 2,7182 ± 0,0001. Тогда предельная относительная погрешность δe = 2,718280,0001 ≈ 3,7 10−5 ≤ 4 10−5 .
Ответ: δe = 4 10−5
Докажем следующую формулу, связывающую предельную абсолютную и предельную относительную погрешности:
|
∆a = |
aδa |
. |
(1.6) |
|
1−δa |
Для определенности будем считать, что A > 0,a > 0,∆a < a .
По определению относительной и предельной относительной
|
погрешностей |
получаем δ = |
∆ |
≤ |
∆ |
, а |
δa = |
∆a |
. |
Тогда |
абсолютную |
|||||
|
A |
a + ∆ |
||||||||||||||
|
a + ∆a |
|||||||||||||||
|
погрешность |
можем представить |
∆ = |
A |
δ ≤ (a + ∆)δa . |
Выделив из этого |
||||||||||
|
неравенства |
∆, получаем |
∆ ≤ |
aδa |
. |
Тогда |
предельная |
абсолютная |
||||||||
|
1−δa |
|
погрешность равна ∆a = |
aδa |
. |
||
|
1−δa |
||||
|
На практике стараются, чтобы ∆a << a , а δ <<1; тогда можно принять |
||||
|
δ ≈ |
∆a , а ∆a ≈ aδa . |
(1.7) |
||
|
a |
Достаточно часто относительную погрешность измеряют в процентном отношении к приближенной величине. Относительная погрешность показывает, насколько велика абсолютная погрешность по отношению к самой величине.
1.2. Десятичная запись приближенных чисел. Значащие цифры
Любое положительное число А можно представить в виде бесконечной десятичной дроби
|
A =α |
m |
10m +α |
10m−1 |
+α |
m−2 |
10m−2 |
+… +α |
10m−n+1 |
+…, |
(1.8) |
|
m−1 |
m−n+1 |
— 7 —
|
где αi цифры (αi =0,1,2,…,9), |
i=m, m-1,…, причем |
αi ≠ 0 , m— |
старший |
|
десятичный разряд числа а. |
|||
|
Пример. Число 7654,7683… |
можно представить |
следующим |
образом: |
7654,7683… = 7 103 + 6 102 + 5 101 + 4 100 + 7 10−1 + 6 10−2 + 8 10−3 +…
Но работать с бесконечными числами не очень удобно, поэтому берут числа приближенные:
|
a ≈α |
m |
10m +α |
10m−1 +α |
m−2 |
10m−2 +… +α |
10m−N +1. |
|||
|
m−1 |
m−N +1 |
||||||||
|
Число (1.8) сохранено до m-N+1 разряда. |
|||||||||
|
Определение. Пусть |
αN |
первая ненулевая цифра в десятичной записи |
|||||||
|
приближенного |
числа а, |
считая слева. Тогда сама |
цифра |
αN и |
все, |
||||
|
последующие за ней, называются значащими цифрами. |
|||||||||
|
Пример. Рассмотрим |
приближенное число а=0,00234. Это число имеет |
||||||||
|
три значащие цифры 2,3,4. А приближенное число |
а=1,1030 |
имеет |
пять |
||||||
|
значащих цифр 1,1,0,3,0. |
Определение. N первых значащих цифр αm ,αm−1,…,αm−N +1 приближенного числа а называют верными, если выполняется следующее
неравенство: ∆ = A − a ≤ 12 10m−N +1 , то есть абсолютная погрешность этого
числа не более чем половина единицы разряда, выражаемого N-й значащей цифрой, считая слева направо.
Пример. Рассмотрим точное и приближенное числа А=78,98 и а=79,00. Определим количество верных цифр у приближенного числа при данном округлении.
Приближенное число будет иметь три верных цифры, так как
∆= A − a = 0,02 ≤ 12 10−1, а m − N +1 = −1 и m=1. Следовательно, N = 3 .
Ответ: приближенное число имеет три верные цифры.
—8 —
Содержание:
- Приближённые вычисления
- Абсолютная и относительная погрешности
- Выполнение действий над приближёнными числами
- Выполнение действий без точного учёта погрешности
Приближённые вычисления
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
Абсолютная и относительная погрешности
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины 
и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа 
числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность 
невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h
. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра 
называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе 
две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку 
а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде 
, число 
в виде 
Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если 
, то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе 
верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись 
означает, что 
, то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись 
3. Если 
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*103 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, 
будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью 
(омега) приближённости х величины 
называется отношением абсолютной погрешности 
этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число 
называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа 
Решение: Имеем 
Следовательно 
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что 
.
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числами
Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — 
исходные данные; 
пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; 
пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50. 
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ: 
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и 
, имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата: 
Ответ: 
Выполнение действий без точного учёта погрешности
Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Лекции:
- Уравнение сферы
- Пределы: примеры решения
- Площадь поверхности конуса
- Целые рациональные выражения
- Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
- Свойства логарифмов
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Скрещивающиеся прямые
- Скалярное призведение двух векторов
- Теоремы, связанные с понятием производной
Раздел
1
Приближенные
числа и действия над ними
Лекция 1.
1.1.
Приближенное
значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
План лекции
1. Приближенное значение величины. Погрешность
2. Численные методы
3. Абсолютная и относительная погрешности
1. Приближенное значение величины.
Погрешность
В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с
различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа
дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному,
причем степень близости определяется погрешностью вычисления.
Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5
пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 –
точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу
около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины
дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными;
кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При
взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не
чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно
подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут
быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья
были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники
включены в счет количества деревьев.
Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение
величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным
значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное
значение приближенным в целях упрощения вычислений.
Таким образом, приближенным
числом а называется число, незначительно
отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.
При решении той или иной задачи вручную или на
вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не
является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с
массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью
точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее
решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.
Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:
1) неточное отображение реальных процессов с помощью
математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его
идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы
можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие
решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи
невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами,
близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;
2) приближенное выражение величин, входящих в условие
задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных,
физических констант, чисел π, е и др.;
3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются
искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся
погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса
на некотором этапе. Например, если в ряде
sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…
взять определенное количество членов и принять их сумму за
sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;
4) округление исходных данных, промежуточных или
окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное
число цифр числа.
При отбрасывании младших разрядов числа имеет место
погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку
электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей
запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить
так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное
число примет следующий вид: 0,7835479;
5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут
появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае
погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат
вычислений.
Полная погрешность является результатом сложного
взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или
иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной
погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все
их виды.
Во всех случаях полная погрешность не может превышать по
своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но
обычно она редко достигает такой максимальной величины.
Таким образом, погрешности можно подразделить на три
большие группы:
1) исходные, или неустранимые, к которым относятся
погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов
и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с
действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все
вычисления и, являются неустранимыми;
2) погрешности округления (зарождающиеся), которые
появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и
окончательных результатов;
3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных
процессов конечной последовательностью действий;
2. Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение
математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что
мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в
привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное
значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических
методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных
ЭВМ.
Под численными методами подразумевается методы решения
задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над
числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.
В зависимости от сложности задачи, заданной точности,
применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков
многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой
задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор
таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения
задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда
решение должно быть найдено в жатые сроки.
Решение, полученное численным методом, обычно является
приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.
Оценка погрешности может быть произведена: с помощью
абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью
остаточного члена; с помощью статистических оценок.
При работе с приближенными величинами вычислитель должен
уметь:
а) давать математические характеристики точности
приближенных величин;
б) зная степень точности исходных данных, оценить степень
точности результатов;
в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы
обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком
завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных
расчетов;
г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы
избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.
3. Абсолютная и относительная
погрешности
Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное
числовое значение некоторой величины.
a* –
известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).
Абсолютная величина разности между точным числом и его
приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа:
(1)
Здесь возможны два случая.
1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная;
погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).
Пример 1. Пусть a
= 784,2737, a* = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δа
= |а- a*| = |784,2737—784,274| = 0,0003.
2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить
абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием
границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству
|a — a*| 
Δа*
Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо
превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется
предельной абсолютной погрешностью.
Следовательно, если Δа* – предельная
абсолютная погрешность, то
Δ(а*) = |а- a*| Δа* (2)
Значение точного числа А всегда заключено в следующих
границах:
a* — Δа* a a* + Δа*. (3)
Выражение a* — Δа* есть приближение числа
a по недостатку, а а + Δа* – приближение числа a
по избытку. Значение числа a записывается так:
a = а ± Δа* (3′)
Пример 2. Число 45,3 получено округлением. Точное
значение числа неизвестно, однако, пользуясь правилами округления чисел, можно
сказать, что абсолютная погрешность не превышает (меньше или равна) 0,05.
Следовательно, границей абсолютной
погрешности (предельной абсолютной погрешностью) можно считать 0,05. Записывают
это так: 45,3 ( ± 0,05). Скобки часто опускают, так что запись 45,3 ± 0,05
означает то же самое. Двойной знак ± означает, что отклонение приближенного
значения числа от точного возможно в обе стороны. В качестве границы абсолютной
погрешности берут по возможности наименьшее число.
Пример 3. При измерении длины отрезка оказалось,
что ошибка, допущенная нами, не превышает 0,5 см; тем более она не превышает 1,
2 или 3 см. Каждое из этих чисел можно считать границей абсолютной погрешности.
Однако нужно указать наименьшую из них, так как чем меньше граница абсолютной
погрешности, тем точнее выражается приближенное значение числа. В записи
приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его
предельную абсолютную погрешность.
На
практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до
1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно
равна 0,01; 1 см и т. д.
Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05
см, то пишут l= 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная
погрешность Δl*= 0,05 см, а точная величина
длины l отрезка заключена в следующих
границах: 183,95 см l 184,05 см.
По
абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или
плохо произведено измерение.
Пример 5. Пусть при измерении книги и
длины стола были получены результаты: l1 =
28,4 ±0,1 (см) и l2 = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во
втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако
второе измерение было произведено более точно, чем первое.
Для
того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить,
какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от
измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.
Относительной
погрешностью 
а приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности Δа к модулю точного числа А
(А
0), т.е.
а= 
(4)
Отсюда
Δа = |A| а (4’)
Число
*а, заведомо
превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей),
называется предельной относительной погрешностью:
а*а
.
(5)
Из
соотношений (4) и (5) вытекает, что
*а; Δа|A| а*.
Из
определения предельной абсолютной погрешности следует, что ΔаΔа*.
Тогда можно записать
Δа*=|A| а*.
(6)
и
за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно
принять
а* = 
. (7)
Учитывая,
что А, как правило, неизвестно и что А 
а,
равенства (6) и (7) можно записать так:
Δа*=|a| а*,
(6′)
а* = 
. (7’)
Возвращаясь к примеру 5, найдем
предельные относительные погрешности измерения книги и стола:
*l1 = 0,1(см)/28,4(см) 0,0035, или 0,35%;
*l2 = 0,1(см)/110,3(см) 0,009, или 0,09%.
Таким образом, измерение стола было произведено
намного точнее.
Очевидно, что как
относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность
представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых
выражаются результаты измерений.
Пример 6. Определить (в процентах) предельную
относительную погрешность приближенного числа а = 35,148 ±0,00074.
Решение. Воспользуемся формулой (7). Тогда
а* = =0,00074/35,148= 0,000021 0,0021%.
Пример 7. Определить предельную абсолютную
погрешность приближенного числа а = 4,123, если а* = 0,01%.
Решение. Запишем проценты в виде десятичной дроби
и для определения предельной абсолютной погрешности и воспользуемся формулой
(6′); тогда
Δа* = | а | а*
= 4,123 • 0,0001 = 0,00042.
Пример 8. Определить относительные погрешности
чисел х и у, полученных при измерении углов. Какой из результатов
более точный?
|
X |
Δx |
Y |
Δy |
|
50030’10’’ |
3’’ |
45015’36’’ |
2’’ |
Решение. Переведем заданные значения x и у в секунды и определим относительные
погрешности измерений. Более точным измерением будет то, где относительная
погрешность меньше. Имеем:
x=
181810″ ±3″, x = 3/181810 0,000017
= 0,0017%;
у = 162936″±2″, y=2/162936 0,000013 = 0,0013%.
Измерение y произведено более точно.
Пример 9. Определить, какое равенство точнее: a1= 13/19 
0,684
или a2 =
7,21?
Решение. Для нахождения предельных абсолютных
погрешностей берем числа a1 и a2 с большим числом десятичных знаков: 13/19 0,68421; 7,2111. Определяем предельные абсолютные погрешности,
округляя их с избытком:
Δ*а1
= |0,68421
-0,684| 
0,00022
Δ*а2= | 7,2111-7,21| 0,0012.
Находим предельные относительные
погрешности:
*а1= Δ*а1/a1 = 0,00022/0,684 0,00033
= 0,033%;
*а2 = Δ*a2/a2 =
0,0012/7,21 0,00017=0,017%.
Второе равенство является более точным,
поскольку *а2 < *а1.
Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью, или, короче, погрешностью приближенного числа, называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна (frac{3}{197}) или, округленно, (frac{3}{197}) = 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.