Как найти относительную погрешность ускорения

4.1 Относительные
погрешности вычислить для каждого из
трех опытов по формуле:

(4.1)

где
i
= 1,2,3 – номера опытов;

δ – относительная
погрешность каждого опыта (без %);

 l,Т
– погрешности
линейки и секундомера, соответственно;

 l
= 1 мм = 10^-3
м = 0,001 м;

Т
= 0,1 с;

l
_i
– длина маятника, м;

Т_i
– период, с.

4.2
Вычислить абсолютные погрешности g
для трех опытов по формуле:

g
= δ_i
· g_i

где
i
= 1,2,3 – номера опытов;

g_i
– абсолютная погрешность каждого опыта,
м/с²;

δ_i
– относительная
погрешность из (4.1) (без %);

g_i
– найденное значение ускорения свободного
падения в каждом

опыте,
м/с².

4.3 Вычислить среднее
значение относительной погрешности (в
процентах) по формуле:

4.4 Вычислить среднее
значение абсолютной погрешности по
формуле:

4.5 Вычислить среднее
значение ускорения свободного падения
по формуле:

5 Запись полученных результатов

Полученные
результаты – значение ускорения
свободного падения с абсолютной
погрешностью, единицами измерения и
относительной погрешностью, а также
табличное значение записать следующим
образом:

Записать
результат по форме: g
= (g_ср
± 
g_ср)

Сравнить полученные
значения результатов с табличными
значениями:

Например,
для Москвы g
= 9,8156 м/с².

Пояснения
к форме записи результатов:

Примечания.

• В
  окончательной записи результатов
  значения ускорения свободного падения
  и её абсолютной погрешности ∆g
  округлить до десятых долей.

• Количество
  знаков после запятой в значениях g
  и ∆g
  — должно быть одинаковым.

• Значение
  относительной
  погрешности
  выразить в
  процентах
  и округлить до десятых долей процента).

• Выписать
  из таблиц в справочниках значение
  ускорения свободного падения («табличное»
  значение) — g
  
  _табл.

• Не
  забудьте записать единицы измерений
  g
  ,
  ∆g,
  g
  _табл
  !

1. Как написать вывод о проделанной работе

Сделать вывод с
использованием рекомендаций в таблице
7.1.

Задача: рассмотреть и разобрать, как можно определить ускорение тела при его движении по наклонному жёлобу.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, наклонный жёлоб; упор в виде металлического цилиндра. Движущееся тело — это шарик. Счётчик времени — метроном. Измерительная лента понадобится для измерения расстояния.

Известно, что шарик скатывается по прямолинейному наклонному желобу равноускорено.

При равноускоренном движении без начальной скорости пройденное расстояние определяется по формуле:

Откуда

Зная ускорение, можно определить мгновенную скорость по формуле:

Если измерить промежуток времени от начала движения шарика до его остановки при ударе о цилиндр и расстояние, пройденное им за это время, то по формуле (2) мы вычислим ускорение шарика, а по формуле (3) — его мгновенную скорость.

Промежуток времени измеряется с помощью метронома.

Метроном настраивают на 120 ударов в минуту, значит, промежуток времени между двумя следующими друг за другом ударами будет равен 0,5 секунды.

Удар метронома, одновременно с которым шарик начинает движение, считается нулевым.

В нижней половине желоба помещают цилиндр для торможения шарика. Положение цилиндра опытным путем подбирают так, чтобы удар шарика о цилиндр совпадал с третьим или четвертым от начала движения ударом метронома. Тогда время движения можно вычислить по формуле:

где n — число ударов метронома, не считая нулевого удара (или число промежутков времени по 0,5 секунды от начала движения шарика до его остановки).

Начальное положение шарика отмечается мелом. Расстояние s, пройденное им до остановки, измеряют сантиметровой лентой.

Составим таблицу, состоящую из шести столбцов, каждый из которых необходимо заполнить.

Порядок выполнения работы.

1. Укрепите желоб с помощью штатива в наклонном положении под небольшим углом к горизонту. У нижнего конца желоба положите в него металлический цилиндр.

2. Пустив шарик (одновременно с ударом метронома) с верхнего конца желоба, подсчитайте число ударов метронома до столкновения шарика с цилиндром.

3. Меняя угол наклона желоба к горизонту и, производя небольшие передвижения металлического цилиндра, добивайтесь того, чтобы между моментом пуска шарика и моментом его столкновения с цилиндром было 4 удара метронома (3 промежутка между ударами).

4. По формуле (4) вычислите время движения шарика.

5. С помощью измерительной ленты определите длину перемещения шарика.

Не меняя наклона желоба (условия опыта должны оставаться неизменными), повторите опыт еще три раза, добиваясь снова совпадения четвертого удара метронома с ударом шарика о металлический цилиндр (цилиндр для этого можно немного передвигать).

6. По формуле

найдите среднее значение модуля перемещения и промежутка времени, а затем рассчитайте среднее значение модуля ускорения по формуле (2), подставляя в нее найденные средние значения пройденного пути и времени.

По формуле (3) рассчитайте среднее значение модуля мгновенной скорости тела.

7. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

8. Вычисляем погрешности измерений.

Приборные погрешности определяем по паспорту прибора.
Для измерительной ленты:

Δs = ± 0,005 м.

Для промежутка времени:  Δt = 1 c.

Вычисляем абсолютные погрешности каждого из измерений.
Для этого сначала вычисляем модули абсолютных погрешностей каждого отдельного измерения по формулам:

и

где i — это номер опыта.

Далее оцениваем абсолютную погрешность прямых измерений.
Вычисляем абсолютную и относительную погрешность косвенных измерений.

Относительную погрешность для ускорения рассчитаем по формуле:

Тогда абсолютная погрешность для ускорения равна

Результат записываем в интервальной форме.

Аналогичным способом находим погрешности в вычислениях и для мгновенной скорости тела.
Результат также записываем в интервальной форме.
Таким образом, выяснили, как можно определить ускорение движущегося тела.

Определение относительной погрешности измерений

Например:

Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ — погрешность достаточно велика.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$

$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$

$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$