-
Общее уравнение
плоскости
Всякое уравнение
первой степени определяет в заданной
прямоугольной системе координат
плоскость.
Уравнение вида:
(27)
называется общим
уравнением плоскости. Вектор
,
перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором плоскости.
-
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярную вектору
Если плоскость
проходит через точку
перпендикулярно вектору,
то её уравнение имеет вид:
(28)
-
Уравнение
плоскости, проходящей через три точки
в отрезках
Пусть плоскость
проходит через точки
,,.
Имеет вид:
(29)
Если плоскость
отсекает по осям координат соответственно
отрезку
,,
и,
то её уравнение имеет вид:
(30)
-
Угол между
плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности плоскостей
Угол
между плоскостямииопределяется по формуле:
(31)
Условие параллельности
плоскостей:
(32)
Условие
перпендикулярности плоскостей:
(33)
-
Расстояние
от точки до плоскости
Расстояние от
точки
до плоскостинаходится по формуле:
(34)
Пример 1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно вектору.
Решение. Воспользуемся
уравнением (28). Здесь
;;;;;.
Получим:
или.
Пример 2. Найти
отрезки, отсекаемые плоскостью
на осях координат.
Решение. Преобразуем
данноё уравнение плоскости к уравнению
в отрезках (30) следующим образом:
;
Следовательно,
величины отрезков, отсекаемых на осях,
равны:
;
;
Пример 3. Найти
расстояние между параллельными
плоскостями
и
Решение. Возьмём
на одной из плоскостей произвольную
точку и определим её расстояние от
другой плоскости. Например, на первой
плоскости выберем точку
и найдём её расстояние до плоскости,
пользуясь формулой (33):
Пример 4. Определить
угол, образованный плоскостями
и.
Решение. Воспользуемся
формулой (31)
-
Вопросы для
самопроверки
Как определяется
общее уравнение плоскости?
Какой вектор
называется нормальным к плоскости и
как определяются его координаты из
общего уравнения плоскости?
Как записывается
уравнение плоскости, проходящей через
точку перпендикулярно вектору?
Запишите уравнения
плоскости через три точки; в отрезках.
Как определяется
угол между плоскостями? Сформулируйте
условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
Как определяется
расстояние от точки до плоскости?
-
Примеры для
самостоятельного решения-
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
м перпендикулярной вектору. -
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и отсекающей равны отрезки на осях
координат. -
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точки
.
Через точкупровести плоскость, параллельно
плоскости. -
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно плоскостями. -
Найти угол между
плоскостями
и. -
При каких
значениях
иуравненияиопределяют параллельные плоскости? -
При каком значении
уравнениеиопределяют взаимно перпендикулярные
плоскости? -
Найти высоту
пирамиды
,
опущенную из вершинына грань АВС, если,,,.
Указание. Данную высоту можно найти
как расстояние от точкидо плоскости АВС. -
Найти длину
перпендикуляра, опущенного из точки
на плоскость. -
Составить
уравнение плоскостей, параллельных
плоскости
и отстоящих от неё на расстоянии
-
-
Ответы к
примерам
4.7.1.
. 4.7.2..
4.7.3.
. 4.7.4..
4.7.5.
. 4.7.6..
4.7.7.
;. 4.7.8..
4.7.9.
.
4.7.10.,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Чтобы определить длину отрезков, отсекаемых на осях прямой, необходимо найти точки пересечения прямой с осями координат.
Найдём точку пересечения прямой с осью абсцисс. Для этого подставим координату y=0:
2 — 3x = 0;
3x = 2;
x=2/3.
Длина искомого отрезка на оси абсцисс равна 2/3.
Найдём точку пересечения прямой с осью ординат. Для этого подставим координату x=0:
y = 2 — 0;
y = 2.
Длина искомого отрезка на оси ординат равна 2.
Ответ: На оси абсцисс отсекается отрезок 2/3; на оси ординат — 2.
По данному уравнению прямой 1 определить величины отрезков отсекаемых прямой 1 на осях координат
Общее уравнение прямой 4x — 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Чтобы заданное уравнение преобразовать к этому виду, разрешим его относительно y: 3y = 4x + 12, .
Сравнивая с уравнением y = kx + b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой , а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, b = 4 (если уравнение прямой дано в общем виде Ax + By + C = 0, то ее угловой коэффициент легко получить, если разделить коэффициент при x на коэффициент при y и взять полученное частное с обратным знаком ).
2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид
(1)
Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой 4x — 3y + 12 = 0, поступим так: в уравнении прямой положим y = 0. Получаем 4x + 12 = 0, а x = -3. Значит, наша прямая пересекает ось Ox в точке с координатами (-3, 0) и в уравнении (1) величина отрезка a = -3.
Полагая в нашем уравнении x = 0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь
Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 4), и в уравнении (1) величина отрезка b = 4.
Таким образом, наше уравнение в отрезках на осях будет иметь вид
Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач
Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.
Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры
Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .
Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.
Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.
Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.
На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.
Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Решение
Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.
Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках
Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.
Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .
В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .
Разберем следующий пример.
Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .
Решение
Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Мы получили уравнение прямой в отрезках.
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1
В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.
Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .
x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0
Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.
Решение
Действует по заранее описанному алгоритму:
x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0
Уравнение прямой в отрезках на осях
Уравнение прямой в отрезках на осях позволяет строить прямую в координатной плоскости без каких-либо дополнительных вычислений.
при условии a≠0, b≠0, c≠0 (то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через начало отсчёта).
Перепишем уравнение в виде
и разделим обе части на -с:
Это — уравнение прямой в отрезках на осях, так как числа m и n соответствуют длинам отрезков (с соответствующими знаками), которые прямая отсекает на осях координат (считая от начала отсчёта).
В самом деле, в точке пересечения с осью Ox y=0:
В точке пересечения с осью Oy x=0:
отсекает на оси Ox отрезок -2, на оси Oy — отрезок 4.
Отмечаем на координатной плоскости точки (-2; 0) и (0;4) и проводим через них прямую.
Прямая
отсекает на оси Ox отрезок 3, на оси Oy — отрезок -6.
Отмечаем точки (3;0) и (0;-6) и проводим через них прямую.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-v-otrezkah/
Задать свой вопрос
*более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»
Задача 61674 1. По данным уравнениям построить…
Условие
618e9efe3d2af604435c893e
20.11.2021 21:52:37
1. По данным уравнениям построить прямые, найти их
угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые ими на
осях координат: а) 2x — у+3 = 0; б) 5х + 2y — 8 = 0;
в) 3х + 8 + 16 = 0; г) 3х – у = 0.
математика ВУЗ
1520
Решение
5f3eaa23faf909182968dde0
21.11.2021 10:49:29
★
Написать комментарий
Меню
- Решим всё
- Найти задачу
- Категории
- Статьи
- Тесты
- Архив задач
Присоединяйся в ВК
Сообщения без ответов | Активные темы
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Заголовок сообщения: Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат Добавлено: 02 мар 2012, 07:58 |
|||
|
Помогите решить, пожалуйста, пару задач по аналитической геометрии и сборника Рябушко: 1) Доказать параллельность прямых [math]frac{x-1}{6}=frac{y+2}{2}=frac{z}{-1};~begin{cases}x-2y+2z-8= 0,\x+6z-6=0.end{cases}[/math] 2) Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через [math]M(-2;7;3)[/math] параллельно плоскости [math]x-4y+5x-1=0[/math].
|
||
Вернуться к началу |
|
||
За это сообщение пользователю Rina117 «Спасибо» сказали: kbb3805 |
|||
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
На осях координат найти точки, равноудаленные от прямых
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
vlad111 |
1 |
980 |
04 ноя 2014, 19:28 |
Найти длину отрезков в параллелепипеде
в форуме Геометрия |
lika01 |
23 |
2793 |
16 дек 2013, 20:15 |
Найти соотношение отрезков, возможно ли?
в форуме Геометрия |
BloodRedRose |
5 |
363 |
06 янв 2018, 16:29 |
Найти координаты концов отрезков
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
Selecsus |
3 |
482 |
22 окт 2013, 15:49 |
Векторный метод (найти отношение отрезков)
в форуме Геометрия |
murfel |
0 |
436 |
10 окт 2013, 17:39 |
Найти ближайшие точки двух отрезков
в форуме Геометрия |
AlexandrBuryakov |
1 |
111 |
22 апр 2019, 23:18 |
Найти длину трех равных отрезков
в форуме Геометрия |
kulikovskih |
21 |
805 |
12 ноя 2014, 09:18 |
Нахождение длин отрезков
в форуме Интересные задачи участников форума MHP |
andrei |
6 |
661 |
02 янв 2014, 06:38 |
Доказать равенство отрезков
в форуме Геометрия |
illya K |
8 |
1243 |
24 авг 2013, 16:08 |
Пересечение отрезков с прямой
в форуме Геометрия |
sfanter |
1 |
562 |
25 июн 2014, 16:10 |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |