Как найти отрезки отсекаемые плоскостью - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Общее уравнение
плоскости

Всякое уравнение
первой степени определяет в заданной
прямоугольной системе координат
плоскость.

Уравнение вида:

(27)

называется общим
уравнением плоскости. Вектор
,
перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором плоскости.

Уравнение
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярную вектору

Если плоскость
проходит через точку
перпендикулярно вектору,
то её уравнение имеет вид:

(28)

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки
в отрезках

Пусть плоскость
проходит через точки
,,.

Имеет вид:

(29)

Если плоскость
отсекает по осям координат соответственно
отрезку
,,
и,
то её уравнение имеет вид:

(30)

Угол между
плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности плоскостей

Угол
между плоскостямииопределяется по формуле:

(31)

Условие параллельности
плоскостей:

(32)

Условие
перпендикулярности плоскостей:

(33)

Расстояние
от точки до плоскости

Расстояние от
точки
до плоскостинаходится по формуле:

(34)

Пример 1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно вектору.

Решение. Воспользуемся
уравнением (28). Здесь
;;;;;.

Получим:
или.

Пример 2. Найти
отрезки, отсекаемые плоскостью
на осях координат.

Решение. Преобразуем
данноё уравнение плоскости к уравнению
в отрезках (30) следующим образом:

;

Следовательно,
величины отрезков, отсекаемых на осях,
равны:

;
;

Пример 3. Найти
расстояние между параллельными
плоскостями
и

Решение. Возьмём
на одной из плоскостей произвольную
точку и определим её расстояние от
другой плоскости. Например, на первой
плоскости выберем точку
и найдём её расстояние до плоскости,
пользуясь формулой (33):

Пример 4. Определить
угол, образованный плоскостями
и.

Решение. Воспользуемся
формулой (31)

Вопросы для
самопроверки

Как определяется
общее уравнение плоскости?

Какой вектор
называется нормальным к плоскости и
как определяются его координаты из
общего уравнения плоскости?

Как записывается
уравнение плоскости, проходящей через
точку перпендикулярно вектору?

Запишите уравнения
плоскости через три точки; в отрезках.

Как определяется
угол между плоскостями? Сформулируйте
условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.

Как определяется
расстояние от точки до плоскости?

Примеры для
самостоятельного решения
1. Составить
  уравнение плоскости, проходящей через
  точку
  м перпендикулярной вектору.
2. Составить
  уравнение плоскости, проходящей через
  точку
  и отсекающей равны отрезки на осях
  координат.
3. Составить
  уравнение плоскости, проходящей через
  точки
  .
  Через точкупровести плоскость, параллельно
  плоскости.
4. Составить
  уравнение плоскости, проходящей через
  точку
  перпендикулярно плоскостями.
5. Найти угол между
  плоскостями
  и.
6. При каких
  значениях
  иуравненияиопределяют параллельные плоскости?
7. При каком значении
  уравнениеиопределяют взаимно перпендикулярные
  плоскости?
8. Найти высоту
  пирамиды
  ,
  опущенную из вершинына грань АВС, если,,,.
  Указание. Данную высоту можно найти
  как расстояние от точкидо плоскости АВС.
9. Найти длину
  перпендикуляра, опущенного из точки
  на плоскость.
10. Составить
  уравнение плоскостей, параллельных
  плоскости
  и отстоящих от неё на расстоянии

Ответы к
примерам

4.7.1.
. 4.7.2..

4.7.3.
. 4.7.4..

4.7.5.
. 4.7.6..

4.7.7.
;. 4.7.8..

4.7.9.
.
4.7.10.,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Решение типовых задач по теме «Плоскость». Часть 1
Задача №1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а) 5x+2y+3z-15=0, б) 3x+2y+3z-6=0, в) 3z-5=0,
г) x-4y+2z=0, д) 3x-z=0.
Построение. а) Чтобы построить плоскость, не проходящую через начало координат, необходимо найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Отрезок, отсекаемый плоскостью на оси Ох, мы найдем, если в уравнении плоскости положим у=0 и z=0; тогда 5х—15=0, а=х=3; аналогично, если x=0 и z=0, то $b=y=7frac{1}{2}$ ; если х = 0; y=0, то c=z=5.
Отложив на координатных осях отрезки а=3, b=7,5 и с=5, соединяем полученные точки М, N, Р прямыми линиями. Эти прямые — следы данной плоскости на координатных плоскостях (рис.1).
plisk02

Рис.1

б) Так как уравнение плоскости Зх+2y-6 0 не содержит члена с координатой z (с=0), то плоскость параллельна оси Oz. Следовательно, плоскость отсекает на осях Ох и Оу отрезки а и b конечной величины, а на оси Oz — отрезок с бесконечно большой величины.
Найдем отрезки а и b вышеуказанным способом: а=2, b=3. Отложив эти отрезки на осях Ох и Оу, соединив их концы, получим след плоскости в плоскости хОу. Следы данной плоскости в координатных плоскостях xOz и yOz будут параллельны оси Oz (рис.2).
plisk04

Рис.2

в) Так как в уравнении Зz-5=0 коэффициенты A=0 и В=0, то плоскость, одновременно параллельная оси Ох и оси Оу, параллельна плоскости хОу. Она отсекает на оси Oz отрезок с, равный $frac{5}{3}$ . Следы данной плоскости в координатных плоскостях хOz и yOz параллельны соответственно осям Ох и Оу (рис.3).
plisk06

Рис.3

г) Плоскость, заданная уравнением x-4y+2z=0 , проходит через начало координат, следовательно, она не отсекает отрезков на осях координат. Будем строить плоскость путем непосредственного нахождения следов плоскости на координатных плоскостях. Следами плоскости на координатных плоскостях являются прямые. Чтобы найти уравнения этих прямых, в уравнении плоскости будем последовательно полагать х=0, у=0, z=0. Получим след плоскости на yOz:
х=0, — 4у+2z=0, или $left{begin{matrix} 2y-z=0,\ x=0; end{matrix}right.$
на xOz: $left{begin{matrix} x+2z=0,\ y=0; end{matrix}right.$
на хОу: $left{begin{matrix} x-4y=0,\ z=0. end{matrix}right.$
Строим полученные прямые в соответствующей координатной плоскости.
Следом данной плоскости в плоскости yOz является прямая ОР; в плоскости xOz — прямая ON; в плоскости хОу — прямая OQ. Следы ОР и OQ —видимые, а след ON невидимый, так как его закрывает плоскость yOz (рис.4).
plisk08

Рис.4

д) В уравнении 3x-z=0 коэффициент B=0 и свободный член D=0, следовательно, плоскость проходит через ось Оу.
Следом данной плоскости в плоскости xOz является прямая Зх-z=0 (прямая ОР). Следы в плоскостях хОу и yOz совпадают с осью Оу (рис.5).
plisk10

Рис.5

Решение этой задачи также изложено в следующем видео:

Источник

940 Составить уравнение плоскости,
которая проходит: 940.1 через точку М₁(2; -3; 3) параллельно
плоскости Оху; 940.2 через точку М₂(1; -2; 4) параллельно
плоскости Oxz; 940.3 через точку М₃(-5; 2; -1) параллельно
плоскости Oyz. 941 Составить
уравнение плоскости, которая проходит: 941.1 через ось Ох и точку
М₁(4; -1; 2); 941.2 через ось Oy и точку
М₂(1; 4; -3); 941.3 через ось Oz и точку
М₃(3; -4; 7); 942 Составить
уравнение плоскости, которая проходит: 942.1 через точки М₁(7; 2; -3) и М₂(5;
6; -4) параллельно оси Ох; 942.2 через точки P₁(2; -1; 1) и P₂(3; 1;
2) параллельно оси Оу; 942.3 через точки Q₁(3; -2; 5) и Q₂(2; 3;
1) параллельно оси Oz. 943 Найти точки
пересечения плоскости

с
координатными осями. 944 Дано уравнение
плоскости

. Написать для нее
уравнение в отрезках. 945 Найти отрезки,
отсекаемые плоскостью

на
координатных осях. 946 Вычислить площадь
треугольника, который отсекает плоскость

от координатного угла Оху. 947 Вычислить объем
пирамиды, ограниченной плоскостью

и
координатными плоскостями. 948 Плоскость проходит
через точку М₁(6; -10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок a=-3
и на оси апликат отрезок c=2. Составить для этой
плоскости уравнение в отрезках. 949 Плоскость проходит
через точки М₁(1; 2; -1) и M₂(-3; 2; 1) и
отсекает на оси ординат отрезок b=3. Составить для
этой плоскости уравнение в отрезках. 950 Составить
уравнение плоскости, которая проходит через
точку М₁(2; -3; -4) и
отсекает на координатных осях отличные от нуля
отрезки одинаковые величины (считая каждый
отрезок направленными из начала координат). 951 Составить
уравнение плоскости, которая проходит через
точки М₁(-1; 4; -1), М₂(-13;
2; -10) и отсекает на осях абсцисс и
апликат отличные от нуля отрезки одинаковой
длины. 952 Составить
уравнение плоскостей, которые проходят через
точку М₁(4; 3; 2) и
отсекают на координатных осях отличные от нуля
отрезки одинаковой длины. 953 Составить
уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок
c=-5 и перпендикулярной к ветору n={-2; 1; 3}. 954 Составить
уравнение плоскости, параллельной вектору l={2; 1;
-1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу
отрезки a=2, b=-2. 955 Составить
уравнение плоскости, перпендикулярной к
плоскости

и отсекающей на
координатных осях Ох и Оу отрезки a=-2, b=2/3.

Источник

Содержание:

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

Определение: Уравнение вида

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36).

Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37).

Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

3. С=0; D=0; Ах+ By=0 — плоскость проходит через начало отсчета параллельно оси аппликат (Рис. 38).

Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

4. — плоскость проходит через точку параллельно плоскости (Pис. 39).

Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости

5. В = С = D = 0; Ах = 0=>х = 0 — уравнение описывает плоскость (Рис. 40).

Рис. 40. Координатная плоскость .

Другие уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении коэффициент тогда выполним следующие преобразования

Введем следующие обозначения тогда уравнение примет вид которое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41):

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка через которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору ОЗ. Вектор называется нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку и образуем вектор соединяющий точку с точкой М (Рис. 42). Тогда

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор лежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Используя условие перпендикулярности векторов в проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору:

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. параллельно плоскости

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости (см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости ) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем:

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(—1; 1 ;2) и В(0; —1; —1) параллельно вектору = (0; 0; -2):

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор и вычислим нормальный вектор как векторное произведение векторов

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору имеет вид:

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек брать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора компланарные, используя условие компланарности векторов получим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки:

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Решение:

Составим определитель третьего порядка Раскроем определитель по элементам первой строки Вычислим определители второго порядка: -7(x-l) + 5y + 4(z + 2) = 0. Умножив уравнение на (-1) и раскрыв скобки, получим окончательный ответ:

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости которые имеют нормальные векторы

Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора Меньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):

Рис.44. Угол между плоскостями.

В силу того, что то угол между нормальными векторами равен углу между векторами Из векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой:

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: .

Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей:

2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки до заданной плоскости определяется по формуле:

Пример:

На каком расстоянии от плоскости находится точка

Решение:

Воспользуемся приведенной формулой:

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей:

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, были неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств:

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору который называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример:

Как расположена прямая относительно координатных осей.

Решение:

Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку Приравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:

Пример:

Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Решение:

Приравняем каждую дробь к параметру t: Если прямая проходит через две известные точки то ее уравнение имеет вид: и называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки А (— 1; 1; 2 ), В (0; -1; -1) И С (1; 0; -1), D (l; 0; 1 ).

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению или Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению прямой

Основные задачи о прямой в пространстве

1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

Пример:

Записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Положив х = 0, получим СЛАУ Складывая уравнения, найдем у = -4. Подставив это значение переменной у во второе уравнение системы, получим z = —5. Таким образом, прямая проходит через точку Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей:

Запишем каноническое и параметрическое уравнения прямой:

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые имеют направляющие вектора

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле:

Следствие: Если прямые перпендикулярны (), то условием перпендикулярности прямых является равенство:

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: Если прямая (L) задана каноническим уравнением а плоскость (Q)

Рассмотрим возможные случаи:

если выполняются условия , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
при условиях прямая лежит на плоскости;
если , прямая пересекает плоскость в одной точке.

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением и плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде Подставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Найденное значение параметра подставим в параметрическое уравнение прямой Таким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке

Заказать решение задач по высшей математике

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором и пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором (Рис.45).

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол является углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через Из рисунка видно, что Следовательно,

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: .

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

D = 0, Ах + By + Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.
С = 0, Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.
С = D = 0, Ах + By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
С = В = 0, Ах + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей:

Прямая в пространстве может быть задана:

как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
двумя своими точками тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
точкой ей принадлежащей, и вектором ей коллинеарным.

Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система равносильна системе такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе прямая параллельна оси Oz.

Пример:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение:

По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: Итак,

Пример:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью

Решение:

Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнениемодновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, По формуле косинуса угла В между двумя плоскостями

Решая квадратное уравнение находим его корни откуда получаем две плоскости

Пример:

Составьте канонические уравнения прямой:

Решение:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

где — координаты направляющего вектора прямой, — координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, х = 0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть х = 0, тогда у + z = 0, Зу-2z + 5 = 0 , откуда у = -l, z = l. Координаты точки принадлежащей данной прямой, мы нашли: М(0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Пример:

В пучке, определяемом плоскостями найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).

Решение:

Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид где не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив в уравнение пучка:

Т.к. и (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: или

Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Матричный метод
Производная сложной функции
Пределы в математике
Функции многих переменных
Уравнения прямых и кривых на плоскости

Источник

Плоскость задана уравнением 2x 3y z 6 0 указать отрезки отсекаемые плоскостью на осях координат

Какие отрезки на координатных осях отсекает плоскость 2x + 3y — 5 z + 30 = 0?

У точки, лежащей на оси Ox, координаты y и z равны нулю.

Полагая в уравнении плоскости y = z = 0, получим для определения величины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Oy, полагаем в уравнении плоскости x = 0 и z = 0 и получаем 3y + 30 = 0, или y = -10. Наконец, величину отрезка, отсекаемого на оси Oz, найдем, положив в уравнении плоскости x = 0 и y = 0. Получим -5z + 30 = 0 и z = 6.

Этим заканчивается решение задачи. Можно было бы поступить и проще, преобразовав данное уравнение к виду в отрезках на осях

Для этого перенесем в правую часть равенства свободный член. Данное уравнение запишется в виде 2x + 3y — 5z = -30.

Разделим теперь обе его части на -30 и получим

Величины отрезков, отсекаемых на координатных осях, равны:

Уравнение плоскости в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:

где a, b, c отличные от нуля числа.

Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M₁(a, 0, 0), M₂(0, b, 0) и M₃(0, 0, с).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:

Приведение уравнения плоскости в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:

Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умножив обе части уравнения на 10, получим:

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Уравнение плоскости в отрезках: описание, примеры, решение задач

Данный раздел будет полностью посвящен теме «Уравнение плоскости в отрезках». Мы последовательно рассмотрим, какой вид имеет уравнение плоскости в отрезках, применение этого уравнения для построения заданной плоскости в прямоугольной системе координат, переход от общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках. В статье мы рассмотрим большое количество примеров, которые облегчат усвоение информации.

Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 , где a , b и c – это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат O х , O у и O z в трехмерной системе координат O х у z . Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

Действительно, координаты точек a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

a a + 0 b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + b b + 0 c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1 0 a + 0 b + c c = 1 = 1 ⇔ 1 = 1

Поясним этот момент, расположив заданные точки на графике.

Проиллюстрируем описанное выше примером.

Плоскость проходит через точки — 2 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 и 0 , 0 , — 1 2 на осях координат в прямоугольной системе координат O x y z . Необходимо записать уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Определим положение отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. На оси абсцисс откладываем в отрицательном направлении отрезок длиной 2 единицы. На оси ординат в положительном направлении откладываем отрезок длиной 3 . На оси аппликат в отрицательном направлении откладываем отрезок длиной 1 2 .

При этом, уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1 .

Ответ: x — 2 + y 3 + z — 1 2 = 1

Уравнение плоскости в отрезках удобно использовать для построения чертежей. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Плоскость в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнением плоскости в отрезках вида x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 . Необходимо изобразить эту плоскость на графике.

Решение

Изобразим оси координат, обозначаем начало координат и единичные отрезки на осях. Отмечаем длины отрезков, отсекаемых плоскостью, на каждой из осей. Соединяем концевые точки отрезков прямыми линиями. Полученная плоскость имеет вид треугольника. Она соответствует заданному уравнению плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Ответ:

Плоскость может быть задана уравнением плоскости другого вида. Для того, чтобы изобразить заданную плоскость на чертеже, можно сначала перейти к уравнению плоскости в отрезках. Получив уравнение плоскости в отрезках, нам останется лишь отметить точки a , 0 , 0 , 0 , b , 0 , 0 , 0 , c и соединить их прямыми линиями.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

Мы имеем общее уравнение плоскости в пространстве вида A x + B y + C z + D = 0 . И мы можем получить уравнение плоскости в отрезках. Сделать это можно в том случае, если плоскость пересекает все координатные оси, причем не в начале координат.

Не получится перевести общее уравнение плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках в тех случаях, когда плоскость проходит через одну из координатных осей или располагается параллельно оси. Другими словами, мы можем работать лишь с полным уравнением плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , где A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 .

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в пространстве производится следующим образом. Переносим слагаемое D в правую часть уравнения с противоположным знаком.

A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = — D

Так как D ≠ 0 , то обе части полученного уравнения можно разделить на – D : A — D x + B — D y + C — D z = 1 .

Так как A ≠ 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , то мы можем отправить в знаменатели коэффициенты перед переменными x , y и z . Последнее уравнение эквивалентно равенству x — D A + y — D B + z — D C = 1 . При этом мы использовали очевидное равенство p q = 1 q p , p , q ∈ R , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В итоге, мы получаем уравнение плоскости в отрезках. Это становится хорошо видно в том случае, если обозначить — D A = a , — D B = b , — D C = c .

Разберем решение примера.

Плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в пространстве задана уравнением вида 3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 . Переведем это уравнение в уравнение плоскости в отрезках.

Решение

Данное в условии задачи уравнение является полным уравнением плоскости. Это дает нам возможность привески его к уравнению плоскости в отрезках. Перенесем — 6 в правую часть равенства, а затем разделим обе части равенства на 6 :

3 x + 9 y — 6 z — 6 = 0 ⇔ 3 x + 9 y + 6 z = 6 3 x + 9 y — 6 z = 6 ⇔ 1 2 x + 3 2 y — z = 1

Коэффициенты при переменных x, y и z отправим в знаменатели: 1 2 x + 3 2 y — z = 1 ⇔ x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1 . Полученное уравнение и есть уравнение плоскости в отрезках.

Ответ: x 2 + y 2 3 + z — 1 = 1

Уравнение плоскости в отрезках. Примеры решения задач

Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.

Что собой представляет уравнение в отрезках?

Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:

Вам будет интересно: Значение и происхождение фамилии Федоров

Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.

Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y — равную q, на z — длиною r.

Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).

Далее приведем несколько задач, в которых покажем, как работать с этим уравнением.

Связь общего и в отрезках уравнений

Известно, что плоскость задана следующим равенством:

2*x — 3*y + z — 6 = 0.

Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.

Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:

2*x/6 — 3*y/6 + z/6 = 1 =>

Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.

При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак «+». Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.

Нормальный вектор и точка на плоскости

Известно, что некоторая плоскость имеет направляющий вектор (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.

Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:

Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).

Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Теперь можно записать полностью уравнение:

Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:

Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.

Две прямые, задающие плоскость

Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.

Известны два уравнения прямых:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.

Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:

Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:

Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:

Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.

Три точки и плоскость

Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:

Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:

QP¯ = P — Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M — Q = (2; 4; 0);

n¯ = [QP¯*QM¯] = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah.php

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah/

http://1ku.ru/obrazovanie/40999-uravnenie-ploskosti-v-otrezkah-primery-reshenija-zadach/

Источник