Как найти параллельную проекцию точки на плоскость

1.1.  Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Известны два метода проецирования: центральное  и параллельное.

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

S – центр проецирования (глаз наблюдателя);

π₁ – плоскость проекций;

A, B, C – объекты проецирования – точки;

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание: левой клавишей мыши можно переместить КРАСНУЮ точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и её можно будет переместить по вертикали.

 
Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Свойство 1. Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А₁ – центральная проекция точки А на плоскости проекций π₁. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С₁) на плоскости проекций π₁ совпадает с проекцией точки А (А₁):

1. С ∈  SA;
2. SC ∩ π₁=C₁ → C₁ ≡ A₁.

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π₂) и ещё один центр проецирования (S₂) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π₂. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А₁ на плоскость π₁ и А₂ на π₂ одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В).

Свойство 2. Проекция прямой есть прямая.

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π₁=А₁В₁, где А₁В₁ – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

1. Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
2. Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
3. Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Введём обозначения:

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p₁, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4), или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π₁, то проецирование называется косоугольным.

Четырехугольник АА₁В₁В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π₁ (γ⊥π₁). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование

Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746  года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π₁ и π₂ (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

π₁ – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π₂ – фронтальная (вторая) плоскость проекций

π₁∩π₂ — ось проекций (обозначим π₂/π₁)

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π₁ и π₂.

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π₁ и π₂ и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А₁ – горизонтальная (первая) проекция точки А;А₂ – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА₁ и АА₂ – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π₁ и π₂. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π₁ и π₂:

АА₁⊥π₁

А₂А₀⊥π₂/π₁ АА₁ = А₂А₀ — расстояние от точки А до плоскости π₁

АА₂⊥π₂

А₁А₀⊥π₂/π₁ АА₂ = А₁А₀ — расстояние от точки А до плоскости π₂

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π₂/π₁ плоскости проекций в одну плоскость (π₁ с π₂), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 1.7):

Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

Прямоугольный или ортогональный носит название  эпюр Монжа.

Прямая А₂А₁ называется линией проекционной связи, которая соединяет разноимённые проекции точки (А₂  — фронтальную и А₁ — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат)  А₂А₁⊥π₂/π₁. На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:

• А₀ А₁ – расстояние от точки А до плоскости π₂, соответствующее координате y_А;
• А₀ А₂ – расстояние от точки А до плоскости π₁, соответствующее координате z_А.

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π₁ в исходное положение (когда π₁⊥π₂). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А₁ и А₂ восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π₁и π₂, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π₃ перпендикулярную π₁ и π₂ (задана осью проекций π₂/π₃).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘₀A₃ позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π₂. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(X_A; Y_A; Z_A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A₁=(X_A; Y_A); A₂=(X_A; Z_A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

а                                                                                   б
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

• если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А₁ лежит под осью координат X , а фронтальная — А₂ – над осью X, то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А₁ лежит над осью координат X, а фронтальная — А₂ – под осью X, то точка А принадлежит 3-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А₁ и А₂ лежат над осью X, то точка А принадлежит 2-му квадранту;
• если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А₁ и А₂ лежат под осью X, то точка А принадлежит 4-му квадранту;
• если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
• точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения.

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Упражнение

Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка .

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X_A=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты Z_A=40, а вниз – значение координаты Y_A=20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

  
Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π₁, π₂, π₃ (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

• Е, симметричной точке А относительно плоскости проекций π₁;
• F, симметричной точке В относительно плоскости проекций π₂;
• G, симметричной точке С относительно оси проекций π₂/π₁;
• H, симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.

4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π₁ на 40 мм, от π₂ — на 15 мм.

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

Содержание:

Используются общепринятые обозначения геометрических элементов пространства: точки обозначены прописными буквами латинского алфавита (A, B, C…) или арабскими цифрами (1, 2, 3…); прямые, кривые линии — строчными буквами латинского алфавита

Отображение пространственных объектов на плоскость

Начертательная геометрия изучает методы отображения объектов трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами, по их плоским отображениям (моделям).

Простейшим объектом (элементом) пространства является точка. Точки могут быть собственными и несобственными (бесконечно удаленными). На модели стрелкой будем обозначать направление на несобственную точку. Все остальные геометрические объекты (линия, плоскость, поверхность…) можно представить как множество точек. Для моделирования объектов трехмерного пространства будем использовать операцию проецирования.

Операция проецирования

Выберем в пространстве точку — центр проецирования и плоскость — плоскость проекций Центр и плоскость проекций представляют собой аппарат проецирования.

Для построения проекции произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции:

Полученная точка называется проекцией точки A на плоскостьиз центра Аналогично строятся проекции других точек пространства.

Прямая линия — a, проходящая через центр называется проецирующей прямой и на плоскости проекций отображается (проецируется) точкой.

В зависимости от положения центра проецирование может быть центральным или параллельным. Когда является собственной точкой пространства, получаем аппарат центрального проецирования (см. рис. 1.). При центральном проецировании проекцией несобственной точки в общем случае является собственная точка Удалив центр проецирования в бесконечность, получим аппарат параллельного проецирования (рис. 2). При параллельном проецировании проекцией несобственной точки всегда будет несобственная точка

Если направление параллельного проецирования составляет с плоскостью угол то получаем аппарат косоугольного проецирования.

В частном случае параллельного проецирования, когда угол т. е. проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, получаем аппарат прямоугольного (ортогонального) проецирования.

Свойства параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекцией прямой является прямая линия. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку.
3. Инцидентность (взаимопринадлежность) точек и линий сохраняется. Из этого свойства вытекает следствие: проекции пересекающихся между собой линий пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих линий.
4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой.
5. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проецируемых отрезков.
6. Параллельная проекция фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна (равна) самой фигуре.
7. При параллельном ортогональном проецировании прямой угол проецируется прямым на плоскости проекций, если одна из его сторон является линией уровня, а другая не перпендикулярна этой плоскости.

Рассмотренные модели, полученные методом центрального или параллельного проецирования, являются необратимыми. Множеству точек, расположенных на проецирующей прямой a, на плоскости проекций соответствует одна точка — Из этого следует, что одной и той же проекции объекта на картине будет соответствовать в пространстве множество объектов. Для получения обратимой модели, по которой можно восстановить форму, размеры и положение объекта в пространстве, используют метод двух изображений.

Метод Монжа

Французский математик Гаспар Монж (1746–1818) предложил получать отображения предметов пространства, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.

На рис. 3, а изображены две взаимно перпендикулярные плоскости —

Плоскость называется фронтальной плоскостью проекций, а — горизонтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций.

Проецирование на плоскости из соответствующих центров и — ортогональное. Для перехода к плоской модели эпюру Монжа будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Моделирование точки на эпюре Монжа

Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек и расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси (рис. 3, б). Рассмотрим возможные положения проекций точек на эпюре Монжа относительно оси x12 в зависимости от их положения в исходном пространстве относительно плоскостей проекций На рис. 4 показано расположение точек А, В, С, D соответственно в I, II, III и IV четвертях пространства, а на эпюре Монжа (рис. 5, а) даны возможные варианты расположения их проекций относительно оси

Все точки биссекторной плоскости II и IV четверти моделируются тождественно совпавшими проекциями (рис. 5, б). Эта плоскость называется тождественной плоскостью.

• Чертежи на заказ

Моделирование декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа

Для определения местоположения точки в пространстве будем использовать прямоугольную декартову систему координат (xyz), которая представляет собой три взаимно перпендикулярные оси. На рис. 6 стрелками показано положительное направление осей координат. Оси координат образуют следующие координатные плоскости:

• (xOz) — фронтальная координатная плоскость;
• (xOy) — горизонтальная координатная плоскость;
• (yOz) — профильная координатная плоскость.

В этой системе точка A задается координатами Координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для моделирования системы координат на эпюре Монжа выполним следующие операции:

На рис. 8 отображены проекции осей координат x, y, z, а также проекции точки А.

Очевидно, что фронтальная проекция точки А будет определяться координатами а горизонтальная проекция — координатами

Положительные значения будут отмечаться от точки влево, вниз и вверх на проекциях соответственно, отрицательные же значения — от точки вправо, вверх и вниз на проекциях соответственно.

На рис. 9 представлены проекции точек А, В, С, D с координатами: А(30, 40, 30); В(60, -40, 20); С(40, -20, -20); D(10, 10, -30).

Как известно, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Однако при решении задач начертательной геометрии, а также при построении технических чертежей объектов часто используют профильную плоскость Проецирование на плоскость , так же как и на плоскости ортогональное.

При моделировании прямоугольной системы координат будем совмещать плоскость с координатной плоскостью (yOz) (рис. 10), тогда профильная проекция точки А определится координатами При переходе к плоской модели будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Так как координата будет общей для проекций и а координата — для проекций , то положение проекции на плоской модели можно определить следующим образом:

через точку провести прямую (линию связи) перпендикулярно прямой (рис. 11); на линии связи от прямой отложить расстояние, равное по значению координате или, другими словами, измерить расстояние от проекции до оси и отложить это значение по линии связи от оси

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(A; B; C).

Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

2*x — y + z + 4 = 0.

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90^o. Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

x = 2*λ;

y = -2 — λ;

z = λ + 3;

2*x — y + z + 4 = 0.

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) — (-2 — λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 — 0 )² + (-3,5 + 2 )² + (4,5 — 3 )²) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.

Пусть
в трехмерном пространстве нам задана
точка М₁ и
плоскость 
.
Проведем через точку М₁ прямую a,
перпендикулярную к плоскости 
.
Если точка М₁ не
лежит в плоскости 
,
то обозначим точку пересечения прямой a и
плоскости 
 как H₁.
Таким образом, точка H₁ по
построению является основанием
перпендикуляра, опущенного из точки M₁ на
плоскость 
.

Определение.

Проекция
точки М₁ на
плоскость 
 —
это сама точка М₁,
если 
,
или точка H₁,
если 
.

Данному
определению проекции точки на плоскость
эквивалентно следующее определение.

Определение.

Проекция
точки на плоскость –
это либо сама точка, если она лежит в
заданной плоскости, либо основание
перпендикуляра, опущенного из этой
точки на заданную плоскость.

На
приведенном ниже чертеже точка H₁ есть
проекция точки М₁ на
плоскость 
;
точка М₂ лежит
в плоскости 
,
поэтому М₂ –
проекция самой точки М₂ на
плоскость 
.

5. Величины отрезков прямых линий и углов наклона прямых линий к плоскостям проекций.

В
многомерном пространстве любое
изображение объекта на плоскости можно
получить с помощью проецирования.
Однако не стоит судить о геометрической
форме тела либо о форме простейших
образов в геометрии на основе одной
проекции точки. Наиболее полную
информацию об изображении геометрического
тела дает несколько проекций точек.
Для чего используют проекции точек
тела минимум в двух плоскостях.

Например,
необходимо построить проекцию точки
А. Для этого расположите две плоскости
перпендикулярно друг другу. Одну
-горизонтально, называя ее горизонтальной
плоскостью и обозначая все проекции
элементов с индексом 1. Вторую —
вертикально. Назовите ее, соответственно,
фронтальной плоскостью, а проекциям
элементов присвойте индекс 2. Обе эти
плоскости считайте бесконечными и
непрозрачными. Линией их пересечений
становится ось координат ОХ.

3атем
примите как факт, что пространство
между плоскостями проекции условно
делится на четверти. Вы находитесь в
первой четверти и видите только те
линии и точки, которые находятся в этой
области двугранного угла.

Суть
процесса проецирования состоит в
проведении луча через заданную точку,
пока луч не встретится с плоскостью
проекций. Данный метод получил название
метода ортогонального проецирования.
Согласно нему, опустите из точки А
перпендикуляр на горизонтальную и
фронтальную плоскость. Основанием
этого перпендикуляра как раз и будет
горизонтальная проекция точки А1 либо
фронтальная проекция точки А2. Таким
образом, вы получите положение этой
точки в пространстве заданных плоскостей
проекций.

6. Взаимное положение прямых линий

Две прямые в
пространстве могут: быть параллельными,
пересекаться, скрещиваться.

Параллельными называются
две прямые, которые лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек

Проекции параллельных
прямых на
любую плоскость проекций (не
перпендикулярную данным прямым) –
параллельны.

2.Пересекающимися называются
две прямые лежащие в одной плоскости
и имеющие одну общую точку.

 Прямые
пересекаются,
если их одноименные проекции также
пересекаются, а проекции точки пересечения
лежат на одной линии связи.

 3. Скрещивающимися называются
две прямые не лежащие в одной плоскости.

 Прямые
скрещиваются,
если они не пересекаются и не параллельны
между собой, а точки пересечения их
одноименных проекций не лежат на одной
линии связи.