Как найти параллельные прямые в кубе

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

2. Определение параллельных прямых в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

3. Теорема 1 и ее доказательство

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a,

Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b,

Доказать:

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..

Докажем, что N — это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

5. Теорема 2 и ее доказательство

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.

6. Итоги урока

Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.

Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1?

Геометрия | 10 — 11 классы

Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1.

Прямая, нележащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если данная прямая параллельна хотя бы одной прямой лежащей в данной плоскости

из рисунка видно, что прямая BC1 лежит в плоскостиBDC1, а прямая АD1 параллельна ВС1 (АD1 || BC1) — так как лежат в параллельных гранях и являются равными диагоналями этих граней, значитАD1 параллельна плоскостиBDC1, то естьАD1||(BDC1)

аналогично АВ1 || C1D = > ; AB1 ||(BDC1)

B1D1 || BD = > ; B1D1 ||(BDC1)

отв : B1D1 ; АВ1 иАD1.

Две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Можно ли утверждать что плоскости параллельны.

Верно ли утверждение, прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Верно ли утверждение, прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Прямая n параллельна прямой m параллельна плоскости а?

Прямая n параллельна прямой m параллельна плоскости а.

Следует ли из этого, что прямая n параллельна плоскости а.

Выберите верные утверждения?

Выберите верные утверждения.

А) Прямая, не лежащая в данной плоскости и параллельная какой либо прямой на плоскости, параллельна самой плоскости.

Б) Плоскость, проходящая через одну из двух параллельных прямых, параллельна другой прямой.

В) Через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной плоскости.

Г) Через одну из двух параллельных прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и только одну.

Д) Если две прямые параллельны одной плоскости, то они параллельны друг другу.

Плоскости параллельны?

Прямая а лежит на плоскости.

Верно ли, что прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости.

Отметьте верные утверждения?

Отметьте верные утверждения.

1. Прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

3. Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

4. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда : а)другая плоскость параллельна прямой ; б) прямая лежит в другой плоскости ; в)другая плоскость перпендикулярна прямой ; г)перямая ?

Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда : а)другая плоскость параллельна прямой ; б) прямая лежит в другой плоскости ; в)другая плоскость перпендикулярна прямой ; г)перямая не пресекает другую плоскость ; д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а — г.

Докажите, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна первой прямой?

Докажите, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна первой прямой.

Две плоскости пересекаются по прямой а ?

Две плоскости пересекаются по прямой а .

Прямая b лежит в одной из плоскостей и не параллельна другой плоскости .

Параллельные ли прямые а и b.

Выберете верное утверждение : а)если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в данной плоскости ; б)если плоскость альфа проходит через прямую, параллельн?

Выберете верное утверждение : а)если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в данной плоскости ; б)если плоскость альфа проходит через прямую, параллельную плоскости бета, то и плоскость альфа параллельна плоскости бета ; в)если две прямые пересекают плоскость, то они параллельны ; г)прямая и плоскость называется параллельными, если они не имеют общих точек.

Перед вами страница с вопросом Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1?, который относится к категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Площадь боковой поверхности S = (АВ + ВС + СD + АD)·АМ = 26·АМ. По условию 26·АМ = 260. АМ = 260 / 26 = 10 см. Ответ : 10 см.

Площадь параллелограмма : S = a * b * sinα, α — угол между сторонами параллелограмма а = 3 см b = 12 см S = 18 см² 18 = 3 * 12 * sinα, sinα = 1 / 2. Α = 30° β = 180° — 30°, β = 150° (α + β = 180°. Сумма углов параллелограмма прилежащих к одной стор..

Если PL = 72°, KM = 72 * Они вертикальны. 180 — 72 = 108.

Ответ д, там получается две параллельные прямые пересечены секущей, треугольник ABN получается равнобедренный, AN = AB a AB = корень (25 — 9) = 4.

АВ = 12 см — СЕ = 4 см АВ = 8 см — СЕ = 2 см АВ = 10 см — СЕ = 2 см.

Решение — в приложении.

Остроугольный треугольник, потому что каждый угол меньше 90 градусов.

45 градусов. Так как МС биссектриса а она делит угол С пополам.

Так как мс биссектриса, то угол mca равен 1 / 2 bca ответ : 45 градусов.

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

2. Определение параллельных прямых в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

Рис. 1.

3. Теорема 1 и ее доказательство

Теорема 1.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а,  (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a, 

Рис. 2.

Доказательство:

Через прямую а и точку  , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α  можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Рис. 3.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β  проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано:  а || b, 

Доказать: 

Рис. 4.

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости  α..

          Докажем, что N  — это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

5. Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано: 

 Доказать: .

Рис. 5.

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.

6. Итоги урока

Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamyh?seconds=0&chapter_id=210

http://www.youtube.com/watch?v=vLnuR_HVROY

http://verninfo.narod.ru/p2aa1.html

http://easyen.ru/load/math/10_klass/parallelnye_prjamye_v_prostranstve/41-1-0-8381

http://doc4web.ru/geometriya/teoreticheskie-samostoyatelnie-raboti-po-geometrii-klass.html

План урока:

Параллельные прямые в пространстве

Параллельность трех прямых в пространстве

Параллельность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей

Параллельные прямые в пространстве

В 7 классе мы уже изучали параллельные прямые. При этом мы рассматривали только прямые, находящиеся на одной плоскости. Сформулируем определение параллельных прямых, которое используется в стереометрии.

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ «||». В частности, запись а||b означает, что а и b– это параллельные прямые.

Рассмотрим для наглядности пример.

На этом рисунке m||n. В свою очередь пары прямых р и m, р и n непараллельны, ведь у них есть общая точка. Прямые h и nтакже непараллельны, но по другой причине – они находятся в разных плос-тях (такие прямые называют скрещивающимися).

Напомним, что в геометрии параллельными могут быть не только прямые, но также отрезки и лучи. Для параллельности отрезков требуется, чтобы они находились на параллельных прямых. Аналогичное правило действует и в отношении лучей.

Докажем одну довольно простую теорему (для удобства мы будем их нумеровать, чтобы потом ссылаться на их номера).

Действительно, пусть в пространстве есть прямая m и точка А. Мы уже знаем, что через них можно провести плос-ть. Обозначим ее буквой α.

По аксиоме параллельности мы можем через А провести единственную прямую n, параллельную m, причем n будет находиться в α. Любая другая прямая в плос-ти α, проходящая через А, не может быть параллельной m, это будет противоречить аксиоме параллельности. Любая прямая, проходящая через А и не находящаяся в α, также не будет параллельна m, ведь в противном случае она по определению параллельности находилась бы с m в одной плос-ти, и тем самым получилось бы, что через m и А проведены две различные плос-ти, а это невозможно.

Заметим ещё один очевидный факт.

Существование такой плос-ти прямо вытекает из определения параллельности. Но нам надо показать, что эта плос-ть – единственная. Пусть есть прямые m и n, причем m||n. Отметим на m точку Р, а на n точки Н и К:

Если бы через m и n можно было провести более одной плос-ти, то каждая из них проходила бы через точки Р, Н и К. Однако через них можно провести лишь единственную плос-ть. Значит, и через m и n проходит лишь одна плос-ть, ч. т. д.

Доказанная теорема показывает, что параллельные прямые однозначно определяют (или задают) плос-ть, проведенную через них.

Докажем ещё одну теорему.

Доказательство. Пусть есть прямые m и n, и m||n. Прямая m пересекает плос-ть α некоторой точке М. Нам надо показать, что и n пересекает α. Проведем через m и nплос-ть β (это можно сделать по теор. 2). Точка M как часть прямой m будет ей принадлежать. Но она же принадлежит и α. Значит, у α и β есть общая точка, то есть они пересекаются. Тогда у них должна быть и общая прямая, которую мы обозначим буквой h: 

Точка М должна находиться на прямой h, то есть m и h пересекаются в ней.Значит, h пересекает и прямую n. В противном случае получилось бы, чтобы через M проведено две прямые, h и m, каждая из которых была бы параллельна n. А это невозможно по теор. 1. Обозначим точку пересечения n и h буквой N. Оно будет общей для n и α.

Осталось лишь показать, что других общих точек у n и α нет. Действительно, если бы такая точка была, то вся прямая n должна бы принадлежать β. Тогда n стала бы общей прямой α и β, то есть совпала бы с р.Но р пересекается с m, а n – нет, то есть на самом деле это различные прямые. Получается, что α и n имеют единственную общую точку N, ч. т. д.

Параллельность трех прямых в пространстве

Напомним, что в планиметрии параллельные прямые обладали так называемым свойством транзитивности: если m||nи m||р, то и n||р. Оказывается, что это правило верно и в более общем случае, когда прямые находятся в пространстве, а не на единой плос-ти.

Это утверждение иногда именуют признаком параллельности прямых.

Доказательство. Пусть в пространстве располагаются прямые m,n и р, и р||n, а р||m. Надо доказать, что также m||n. То есть надо продемонстрировать, что m и n находятся в одной плос-ти, но не пересекаются. Отметим на n некоторую точку K и проведем через  K и m плос-ть α.

Раз n и α имеют общую точку К, то либо n пересекает α, либо n полностью лежит в α. Предположим, что n и α пересекаются. Тогда с α также пересекается и р, ведь р||n(по теор. 3). Из этого вытекает (по всё той же теор. 3), что и m пересекает α, а это не так. Значит, n полностью находиться в α. Получается, что n и m в одной плос-ти.

Осталось показать, что n и m НЕ пересекаются. Действительно, если бы они пересеклись, то через точку их пересечения проходило бы сразу две прямых, параллельных р, что невозможно (по теор. 1). Значит, n и m НЕ пересекаются, а потому представляют собой пару параллельных прямых, ч. т. д.

Теперь мы можем рассмотреть одну интересную задачу.

 

Задание. В пространстве выбраны произвольные точки М, К, Н и Р, находящиеся в разных плос-тях. Далее отметили середины отрезков:

А – середина МК

В – середина КН

С – середина НР

D – середина РМ

Докажите, что эти середины находятся в одной плос-ти, и четырехугольник АВСD – это параллелограмм.

Решение. Напомним, что мы уже сталкивались с похожей задачей, когда рассматривали так называемый параллелограмм Вариньона. Здесь разница в том, что точки М, К, Н, Р находятся в разных плос-тях.

Сначала рассмотрим ∆НКР. В нем ВС – это средняя линия, ведь она соединяет середины НК и НР. Значит, ВС||РК. В ∆КМР средней линией будет являться AD, и поэтому AD|| КР. По свойству транзитивности (теор. 4) мы можем заключить, что ВС||АD. Это уже показывает, что эти два отрезка, а значит и их точки А, В, С и D, находятся в одной плос-ти, и потому АВСD– плоский четырехугольник.

Далее рассмотрим ∆РМН. Его средняя линия – это СD, поэтому CD||НМ. Аналогично из ∆КНМ можно получить, что АВ||НМ. Отсюда вытекает (по теор. 4), что CD||АВ. В итоге мы получили, что у четырехугольника АВСD противоположные стороны параллельны, и поэтому он по определению представляют собой параллелограмм.

Параллельность прямой и плоскости

Ранее мы изучили два случая взаимного расположения прямой и плос-ти. Первый случай возникает, если прямая с плос-тью имеют две общие точки. Тогда, по одной из аксиом стереометрии, вся прямая находиться в плос-ти.

Второй случай возникает, если прямая и плос-ть имеют строго одну общую точку. Тогда говорят, что они пересекаются.

Но возможен и третий случай – прямая и плос-ть вовсе не имеют общих точек. Тогда говорят, что прямая параллельна плоскости.

Для иллюстрации этого примера рассмотрим обычный куб:

Здесь плос-ть, проходящая через нижнюю грань АЕНD, параллельна отрезкам ВС, СG, GF и BF.

Существует теорема, которая представляет собой признак параллельности прямой и плоскости.

Действительно, пусть есть плос-ть α и прямая m, не лежащая в ней. Также в αесть такая прямая n, что m||n. Тогда через mbn можно провести некоторую плос-ть β (по теор. 2):

Так как n принадлежит обеим плос-тям, и α, и β, то она является их границей.Предположим, что у α и m есть хотя бы одна общая точка К. Тогда эта точка будет общей для α и β, то есть она будет находиться на их границе – прямой n. Но тогда получится, что в К пересекаются n и m. Это противоречие, из которого вытекает, что ни одной общей точки у α и m быть не может. Это как раз и значит, что они параллельны, ч. т. д.

Интересно, верно ли обратное утверждение? Вытекает ли из параллельности прямой m и плос-ти α тот факт, что в плос-ти обязательно найдется прямая, параллельная m? Оказывается, что да, и это легко продемонстрировать.

Возьмем такую прямую m и плос-ть α, что m||α. Далее выберем на α любую точку K и проведем через нее такую прямую n, что n||m (по теор. 1):

Раз n проходит через К, то она уже имеет общую точку с α. Тогда возможны лишь два варианта: либо n пересекает α, либо лежит в ней. Но вариант с пересечением на самом деле невозможен, ведь в этом случае и m также должна пересекать α (по теор. 3), а это не так. Значит, n полностью находиться на α.

В результате мы показали, что в α обязательно есть прямая, параллельная m. Более того, немного усложнив наши рассуждения, мы покажем, что таких прямых существует бесконечно много! Продолжим наше построение и проведем через К ещё одну прямую р, находящуюся в α. Она состоит из бесконечного количества различных точек. Через каждую из них мы можем провести прямую, параллельную n и лежащую в α (по аксиоме параллельности):

В силу свойства транзитивности (теор. 3) каждая такая прямая окажется параллельной не только n, но и m.

Вернемся к примеру с кубиком:

Мы уже говорили, что ребра ВС, СG, GF и FB параллельны грани АЕНD. Теперь мы можем строго доказать этот факт. Сначала напомним, что у куба каждая грань – это квадрат, а у него, в свою очередь, параллельны противоположные стороны. Например, АЕFB – квадрат, поэтому BF||АЕ. Но прямая АЕ находится в плос-ти АЕН. Так как плос-ть АЕН содержит прямую АЕ, параллельную BF, то BF||АЕН (по теор. 5). Аналогичное доказательство можно привести и для трех других ребер верхней грани ВСGF.

Докажем ещё пару важных теорем.

Проиллюстрируем теорему картинкой:

Доказать теорему очень просто. Прямые р и m находятся в одной плос-ти α. Если бы они пересекались в некоторой точке N, то она была бы общей для прямой m и плос-ти β, ведь р полностью находится в β. Но этой невозможно, ведь m||β. Значит, и р||m.

Действительно, если прямые m, n и плос-ть α соответствуют условиям теоремы, то n не может пересекать α, иначе и m также ее пересекало бы (по теор. 3). Значит, остаются только те два варианта, которые упомянуты в теореме. 

Теперь мы можем ознакомиться с некоторыми задачами. Перед просмотром решения попытайтесь самостоятельно их решить.

Задание. Верно ли, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые m и n, находятся в одной и той же плос-ти?

Решение.m и n как параллельные прямые лежат в единственной плос-ти α (теор. 2). Любая прямая, пересекающая m и n в каких-то точках M и N, уже имеет с α две общие точки – как раз M и N. Значит, она целиком принадлежит α. Таким образом, любые прямые, пересекающие m и n, будут располагаться в одной и той же плос-ти α.

Задание. Две смежные стороны параллелограмма пересекают плос-ть α. Каково взаимное положение этой плос-ти и двух других сторон этого параллелограмма?

Решение. Пусть в параллелограмме МНРК c α пересекаются стороны МН и НР. По определению параллелограмма МН||РК, а НР||КМ. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плос-ть, то и другая делает то же самое (по теор. 3). Поэтому РК и КМ ведут себя также, как МН и НР, то есть также пересекают α.

Задание. Через среднюю линию трапеции проведена плос-ть α. Могут ли основания трапеции пересечь эту же плос-ть?

Решение. Основания трапеции параллельны ее средней линии. Если бы они пересекли α, то и средняя линия обязательно пересекала бы α (по теор. 3), а это не так. Значит, основания никак не могут пересечься с α.

Задание. В пространстве через концы отрезка АВ и его середину (оно обозначается буквой М) построены параллельные прямые. Они пересекают плос-тьα в точках А₁, В₁ и М₁ соответственно. Известно, что А₁А = 5, В₁В = 7. Отрезок АВ с плос-тью не пересекается. Вычислите длину ММ₁.

Решение.

Через параллельные прямые АА₁ и ММ₁ можно провести единственную плос-ть β (теор. 2). Прямая АВ имеет с β две минимум две общие точки – А и М. Значит, она полностью лежит в β, и тогда точка В также принадлежит β. Аналогично можно показать, что в β находятся прямая А₁В₁ и точка ВВ₁. Наконец, и прямая ВВ₁ располагается в β (по двум точкам – В и В₁). Тем самым мы можем утверждать, что АВВ₁А₁ – плоский четырехугольник, а именно трапеция, ведь ее основания АА₁ и ВВ₁ параллельны. ММ₁ будет средней линией в этой трапеции (так как она проходит через одну середину и боковой стороны и параллельна основаниям, в 8 классе мы выясняли, что этого достаточно для того, чтобы считать ММ₁ средней линией.).

Длина средней линии находится так:

Ответ: 6.

Задание. Решите предыдущую задачу в случае, если отрезок АВ и плос-ть α пересекаются.

Решение. Аналогично предыдущей задаче мы можем показать, что все точки, фигурирующие в задаче, находятся в одной плос-ти β. Пусть АВ пересекается с α в некоторой точке С. Она будет общей для плос-тей α и β и потому будет находиться на их границе, то есть на прямой А₁В₁. Изобразим отдельно плос-ть β не в пространстве, а в плоском виде, без искажения:

Теперь нам надо просто решить планиметрическую задачу и найти ММ₁. ∆АА₁С,∆ВВ₁С и ∆ММ₁С подобны, ведь ∠ВСВ₁ и ∠А₁СА одинаковы как вертикальные углы, а

Для дальнейших рассуждений нам потребуется ещё один факт: М₁ – это середина А₁В₁. Он вытекает из теоремы Фалеса. Действительно, на прямой АВ отмечены одинаковые отрезки АМ и МВ (ведь М – середина АВ). Через их концы проведены параллельные прямые, которые, по теореме Фалеса, на любой другой прямой также отсекут равные отрезки. То есть можно записать:

У подобных треугольников ∆∆АА₁С и ∆ММ₁С стороны пропорциональны, поэтому мы можем записать:

Ответ: 1.

Задание. m и n – прямые, не находящиеся в одной плос-ти. Существует ли прямая такая прямая р, что р||m и р||m?

Решение. Предположим, что р существует. Тогда она будет одновременно параллельна и m,и n. По свойству транзитивности (теор. 4) получается, что прямые m и n должны быть также параллельны друг другу. Но это невозможно, ведь они находятся в различных плос-тях. Из этого противоречия вытекает, что прямая р на самом деле не может существовать.

Задание. Докажите, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плос-тей, обязательно будет параллельна и линии их пересечения.

Решение.

Пусть есть прямая m, плос-ти α и β, и m||α, m||β. Также пусть α и β пересекаются по прямой n. Отметим на n произвольную точку K. Далее проведем через К прямую, параллельную m (используя теор. 1), и обозначим ее как р. Каково будет положение р относительно плос-тей α и β? Ни одну из этих плос-тей она пересекать не может, ведь тогда бы такую плос-ть пересекала бы и m (по теор. 3). Также р не может быть параллельна плос-тям, ведь она уже имеет с ними общую точку. Остается один вариант – она полностью находится и в α, и в β. Но это значит, что р – общая прямая для α и β, то есть она совпадает с n. В итоге получилось, что n||m, ч. т. д.

Параллельность плоскостей

В стереометрии параллельными могут быть не только две прямые, но и две плоскости.

В реальной жизни параллельны друг другу пол и потолок в квартире, противоположные грани кубика, задняя и передняя стенка шкафа.

Существует признак параллельности плоскостей.

Докажем этот признак. Пусть есть плос-ти α и β, и в α находятся прямые m и n, пересекающиеся в точке К. В свою очередь в β находятся прямые α₁ и β₁, их общая точка – это К₁. При этом m||m₁ и n||n₁:

Возможны два варианта: либо α и β пересекаются по некоторой прямой р, либо они параллельны. Рассмотрим вариант с пересечением. Заметим, что m и n параллельны плос-ти β (по теор. 5), ведь в β находятся параллельные им прямые. В таком случае и m, и n должны быть параллельны линии пересечения α и β, то есть прямой р (по теор. 7). Но тогда получится, что через точку К проведены сразу две прямые, параллельные р. Это невозможно (по теор. 1). Противоречие показывает, что на самом деле α и β не могут пересекаться, то есть они параллельны, ч. т. д.

Оказывается, что свойство транзитивности распространяется и на параллельные плос-ти:

Действительно, пусть есть три плос-ти α, β и γ, причем α||γ и β||γ. Надо продемонстрировать, что α||β. Для этого отметим на γ произвольную точку K и проведем через нее пересекающиеся прямые m и n. Далее отметим в α точку К₁, через которую построим прямые m₁ и n₁, причем так, чтобы m||m₁ и n||n₁ (это возможно по теор. 1). Аналогично через точку К₂, находящуюся на β, построим прямые m₂ и n₂ так, чтобы m||m₂ и n||n₂:

Легко заметить, что в силу свойства транзитивности (теор. 4) m₁||m₂, а n₁||n₂. Тогда получится, что в α и β есть пересекающиеся прямые, параллельные друг другу. Этого достаточно для того, чтобы считать α и β параллельными плос-тями (по теор. 9), ч. т. д.

Довольно очевиден следующий факт:

Докажем это. Возьмем плос-ть α и некоторую точку К, не находящуюся на α. Далее в α проведем какие-нибудь две пересекающиеся прямые m и n. Ясно, что мы можем через К провести такие прямые m₁ и n₁, что m₁||m и n₁||n (по теор. 1). Но любые две пересекающиеся прямые уже задают плос-ть. То есть мы можем провести плос-ть β через m₁и n₁. По признаку параллельности плос-тей (теор. 9) получаем, что α||β:

Осталось доказать, что через К нельзя провести ещё одну плос-ть γ, параллельную α. Действительно, если бы такая плос-ть γ существовала бы, то в силу свойства транзитивности (теор. 10) она была бы параллельна и β. Но у β и γ есть общая точка K, то есть они не параллельны. Значит, плос-ть γ не существует, ч. т. д.

Существует два свойства параллельных плос-тей. Сформулируем их и докажем:

В самом деле, если плос-ть γ пересекает плос-ти α и β, и α||β, то линии их пересечения не могут пересечься, ведь в противном случае у α и β будет общая точка. При этом линии пересечения находятся в одной плос-ти γ. Значит, они параллельны, ч. т. д.

Действительно, пусть параллельные плос-ти α и β пересекаются параллельными прямыми АD и ВС, причем А и В находятся на β, а С и D– на α. Тогда через AD и ВС можно провести плос-ть γ (по теор. 2), и прямые АВ и CD окажутся линиями пересечения:

Рассмотрим четырехугольник АВСD. АВ||CD(по теор. 11), а АD||ВС. Получается, что АВСD – это параллелограмм. Но у параллелограмма одинаковы противоположные стороны, поэтому AD = ВС, ч. т. д.

Рассмотрим несколько задач про параллельные плос-ти.

Задание. Докажите, что противоположные грани куба параллельны.

Решение. Построим куб и обозначим его вершины.

Покажем, что нижняя и верхняя грань (то есть плос-ти АЕН и ВFG) параллельны. Заметим, что в нижней грани располагаются пересекающиеся прямые АЕ и АD, а в верхней грани – также пересекающиеся прямые BF и ВС. При этом АЕ||BF (это противоположные стороны квадрата АЕFB) и AD||ВС (это уже стороны в квадрате АВСD). Из этого вытекает (по теор. 9), что АЕН||BFG, ч. т. д.

Задание. Даныплос-ти α и β, α||β. Верно ли, что любая прямая, находящаяся в α, будет параллельна β?

Решение. Плос-ти α и β не имеют ни одной общей точки. Значит, и любая прямая, располагающаяся в α, также не может иметь общих точек с β. А это как раз и значит, что прямая и плос-ть параллельны. То есть утверждение в условии задачи верно.

Задание. MNPQ и MNGF – параллелограммы, находящиеся в разных плос-тях. Докажите, что PQFG – это также параллелограмм.

Решение.

Так как MNPQ и MNGF – параллелограммы, то MN||FG и MN||QP. По свойству транзитивности (теор. 4) получаем, что и QP||FG.

Также из свойств параллелограмма вытекает, что стороны MN и FG одинаковы, как и стороны MN и QP. Тогда должны быть одинаковы отрезки QP и FG: 

Итак, в четырехугольнике PQFG стороны FG и PQ одновременно и параллельны, и равны. Тогда по одному из признаков параллелограмма PQFG оказывается именно этой фигурой, ч. т. д.

Задание. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂ пересекаются в точке М, являющейся серединой каждого из этих отрезков. При этом отрезки не находятся в одной плос-ти. Верно ли, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны?

Решение.

Сравним ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М. ∠В₁МА₁ и ∠А₂М одинаковы, ведь они вертикальные. По условию также одинаковы стороны, прилегающие кэти углам: В₁М и В₂М; А₁М и А₂М. Отсюда вытекает, что ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М равны.

Равенство ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М означает, что одинаковы углы ∠А₁В₁М и А₂В₂М. Но эти углы являются накрест лежащими для прямых А₁В₁ и А₂В₂, если В₁В₂ рассматривать как секущую. Из равенства накрест лежащих углов делаем вывод о том, что отрезки А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогичным образом, сравнивая ∆А₁С₁М и ∆А₂С₂М, приходим к выводу и о параллельности отрезков А₁С₁ и А₂С₂. В итоге получается, что в плос-тях А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ есть пары пересекающихся отрезков, которые соответственно параллельны: А₁В₁||А₂В₂ и А₁С₁||А₂С₂. Отсюда делаем вывод, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (по теор. 9).

Задание. На плос-ти α построен ∆MPK. Через его вершины проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекли другую плос-ть β в точках М₁, Р₁ и К₁ соответственно. Известно, что α||β. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ равны.

Решение.

Ясно, что точки М, К, М₁, К₁ находятся в единой плос-ти, ведь они располагаются на параллельных прямых. То есть МКК₁М₁ – это плоский четырехугольник. Попытаемся определить его тип.

Отрезки ММ₁ и М₁К₁ параллельны по условию, но они также и одинаковы, согласно одному из свойств параллельных плос-тей (теор. 12). Тогда МКК₁М₁ – это параллелограмм по его признаку. Но в параллелограмме одинаковы противоположные стороны, поэтому отрезки МК и М₁К₁ равны.

Аналогично рассматривая параллелограммы МРР₁М₁ и РКК₁Р₁, мы приходим к выводу о равенстве отрезков МР и М₁Р₁, РК и Р₁К₁. Тогда ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ оказываются равными по 3 одинаковым сторонам, ч. т. д.

Задание. Из точки H в пространстве проведены три прямые, пересекающие плос-ть α в точках M, Р, К, а другую плос-ть β в точках М₁, Р₁, К₁. Известно, что α||β и точки М, Р, К образуют треугольник. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны.

Решение.

Ясно, что отрезки МК м М₁К₁ находятся в единой плос-ти, задаваемой пересекающимися отрезками НК и НМ. При этом прямые МК и М₁К₁ не могут пересечься (ведь они располагаются в параллельных плос-тях). Значит, МК||М₁К₁. Аналогично можно показать, что МР||М₁Р₁ и РК||Р₁К₁.

Теперь рассмотрим ∆НМК и ∆НМ₁К₁. У них есть общий ∠МНК, а ∠НМК и ∠НМ₁К₁ одинаковы как соответственные углы при параллельных МК и М₁К₁ и их секущей НМ₁. Значит, ∆НМК и ∆НМ₁К₁ подобны. Выразим их коэффициент подобия:

Аналогично можно убедиться, что подобны ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР; ∆НР₁К₁ и ∆НРК. Причем их коэффициенты подобия будут такие же, как у пары ∆∆НМК и ∆НМ₁К₁. Так, для ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР можно написать

Получили, что все стороны ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ пропорциональны друг другу. Согласно третьему признаку подобия мы можем заключить, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны, ч. т. д.

В ходе сегодняшнего урока мы расширили понятие параллельности, распространив ее на прямые в пространстве и плос-ти. Параллельность тех или иных геометрических объектов постоянно встречается как в реальной жизни, так и в задачах. Особенно важно запомнить изученные нами признаки параллельности (теор. 5 и 9).

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.