В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.
- Определение прямоугольника
-
Свойства прямоугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Признаки прямоугольника
- Формулы
Определение прямоугольника
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).
∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°
Прямоугольник состоит из:
- длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
- ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.
Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.
Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.
Свойства прямоугольника
Свойство 1
Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.
- AD = BC = a, AD || BC
- AB = CD = b, AB || CD
Свойство 2
Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.
- a – это высота h1, проведенная к стороне b
- b – это высота h2, проведенная к стороне a
Свойство 3
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.
Свойство 4
Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.
d2 = a2 + b2
Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.
Свойство 5
Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.
- AC = BD = d
- AE = EC = BE = ED
Свойство 6
Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.
Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:
- Его диагонали равны.
- Все его углы равны.
- Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.
Формулы
1. Площадь прямоугольника (S):
S = a ⋅ b
2. Периметр прямоугольника (P):
P = a + a + b + b = 2a + 2b
Прямоугольник — это двухмерная продолговатая фигура, которая имеет 4 стороны и 4 прямых угла.
Находящиеся друг напротив друга стороны имеют одну длину, причем одна пара сторон длиннее другой.
Если все стороны прямоугольника одинакового размера, то он является квадратом. Другими словами,
квадрат — это особенный случай прямоугольника.
- Сторона прямоугольника через диагональ и угол между
диагональю и стороной - Сторона прямоугольника через диагональ и известную
сторону - Сторона прямоугольника через площадь и другую известную
сторону - Сторона прямоугольника через периметр и другую известную
сторону - Сторона прямоугольника через диагональ и угол между
диагоналями
Через диагональ и угол между диагональю и стороной
Определить неизвестную сторону прямоугольника можно в том случае, если знаешь длину диагонали и угол
средь ней и стороной. Такая конструкция образует пару прямоугольных треугольников, поэтому можно
воспользоваться следующей формулой:
a = d * sinα
где d — это диагональ, а, b — одна из сторон фигуры.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Найти сторону прямоугольника, если диагональ равна 16 см, а угол между диагональю и этой
стороной — 60º.
Решение.
D = 16, β = 60º, b = ?
b = 16 cos 60º
b = 16 * 0.5 = 8 см.
Через его площадь и известную сторону
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = ab. Следовательно
a = S / b
где S — площадь прямоугольника, b — известная сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Площадь прямоугольника равна 60 единицам, а его длина равна 12 единицам. Подставляем
известные значения в формулу, Вычислив, получим ширину = 60/12, значит ширина равна 5.
Через диагональ и известную сторону
Сторону прямоугольника можно вычислить, если известны его диагональ и другая сторона.
Диагональ
— это отрезок прямой, соединяющий любые две несмежные вершины. Диагонали AC и BD равны. Одна из них
разрезает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника, в которых диагональ образует гипотенузу, а
две соседние стороны — остальные стороны треугольника. Отсюда :
a = √(d² — b²)
где d — диагональ, а, b — стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Найти сторону прямоугольника, если диагональ равна 5 см, а другая сторона — 4 см.
Решение.
D=5, b=4, a=?
a = √(25 – 16) = √9 = 3 см.
Через диагональ и угол между диагоналями
Зная значение угла между двумя диагоналями и длину по крайней мере одной из них, можем рассчитать
сторону прямоугольника, зная следующую формулу:
a = D • sin(α/2)
где D — диагональ, α — угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Длина диагонали прямоугольника равна 20 см, а угол между диагоналями — 30º. Найти
сторону.
Решение.
a = 20 * (sin 30º / 2)
a = 20 * 0, 5 / 2 = 5 см.
Через периметр и другую известную сторону
Длину же мы можем вычислить, если известны периметр и ширина. Мы можем использовать формулу периметра
для получения длины. P = 2 (a + b).
a = (P — 2b) / 2
где P — периметр прямоугольника, b — другая известная сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Так, если P — 32 см, а b — 4 см, Подставим известные нам значения, получим a = (32 — 2*4).Вычислив,
получим 12 см.
Другие примеры по решению задач на прямоугольник с использованием длины и ширины
- Длина и ширина прямоугольника равны 7 дюймам и 21 дюйму. Найдите его периметр.
Результат: P
прямоугольника = 2 (длина + ширина) = 2 (7 + 21) дюйма = 2 (28) дюймов = 56 дюймов - Длина и ширина прямоугольника равны 0,3 м и 15 см. Найдите его площадь. Результат: Длина = 0,3
м, ширина = 15 см. Длина и ширина прямоугольника находятся в различных значениях, поэтому мы
преобразуем одно из них. Переведем длину в сантиметры, умножив ее на 100, так как 1 м = 100 см.
Итак, длина = 0,3 100 см = 30 см. Площадь = длина ширина = 30 см 15 см = 450 см². - Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти
периметр прямоугольника. Решение. Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17,
используем теорему Пифагора и составим уравнение: AB² +AD² =BD².
Получаем: х² +(х+7)² =17² ⇒ х² +х² +14х+49=289; 2х² +14х-240=0; х² +7х-120=0,
отсюда по теореме Виета х1 =-15; х2 =8.Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника: P = 2∙ (AB+AD); P = 2∙ (8+15); P = 46 см.
Ответ: 46 см.
Прямоугольник обладает широким спектром свойств. Некоторые из важных свойств прямоугольника приведены
ниже.
- Прямоугольник — это четырехугольник.
- Противоположные стороны прямоугольника являются равными и параллельны друг другу.
- Внутренний угол прямоугольника при каждой вершине равен 90°.
- Сумма внутренних углов равна 360°.
- Диагонали пересекаются друг с другом.
- Длина диагоналей равна.
- Длина диагоналей может быть получена с помощью теоремы Пифагора. Длина диагонали со сторонами a
и b равна, диагональ = ( a2 + b2). - Поскольку стороны прямоугольника параллельны, его также называют параллелограммом.
- Все прямоугольники являются параллелограммами, но все параллелограммы не являются
прямоугольниками.
Где d — диагональ,b — сторона.
Где d — диагональ,α — угол между диагональю и искомой стороной.
Где d — диагональ,α — угол между диагональю и другой стороной.
Где S — площадь, b— известная сторона.
Где P — периметр, b — известная сторона.
Где d — диагональ, α — угол между диагоналями.
- Прямоугольник — это четырехугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны AB = CD и BC = DA.
- Стороны прямоугольника являются его высотами.
- Между прилегающими сторонами угол всегда 90°.
Как найти длину стороны прямоугольника?
Сторона прямоугольника может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.
|
a = √d2 ― b2 |
|
a = d·cos(α) |
|
a = d·sin(α) |
|
a = S b |
|
a = P — 2b 2 |
|
a = d·sin(0.5·α) |
Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника
Определение.
Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 — b2
b = √d2 — a2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
| d = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| a | b |
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
| d = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 2 | 2 |
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a2 | = | 2S + 2b2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 — a2) = 2(b + √d2 — b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 — a2) = 2(b + √4R2 — b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 — a2) = 2(b + √Do2 — b2)
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
| S = | Pa — 2a2 | = | Pb — 2b2 |
| 2 | 2 |
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 — a2 = b√d2 — b2
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 — a2 = b√4R2 — b2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 — a2 = b√Do2 — b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
| R = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 4 | 4 |
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
| R = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| 2a | 2b |
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Сколько параллельных линий имеет прямоугольник?
Ответ: прямоугольник имеет 2 пары параллельных сторон.
Что такое параллельные прямые в прямоугольнике?
Резюме урока
А прямоугольник имеет две пары параллельных прямых. Квадрат также имеет две пары параллельных прямых. Параллелограмм также имеет две пары параллельных прямых. Чтобы найти параллельные линии, ищите линии, которые идут в одном направлении и никогда не пересекаются.
Как найти параллельную прямую прямоугольника?
Сколько параллельных линий имеет квадрат?
две пары Квадрат имеет две пары параллельных сторон, значит, это параллелограмм; на рисунке мы видим, что overline{AB} параллелен overline{CD}, а overline{AC} параллелен overline{BD}. Квадрат также имеет 4 прямых угла, следовательно, это прямоугольник.
См. также, какая техника используется для экспонирования изображений зубов.
Сколько линий в прямоугольнике?
Форма прямоугольника имеет четыре линии, две из которых являются вертикальными линиями. Две другие линии являются горизонтальными линиями.
Является ли прямоугольник параллельными прямыми?
Каждая пара внутренних углов является дополнительной, потому что два прямых угла складываются с прямым углом, поэтому противоположные стороны прямоугольника параллельны. Это означает, что прямоугольник является параллелограммом, поэтому: Его противоположные стороны равны и параллельны.
Все ли прямоугольники имеют 2 пары параллельных сторон?
Объяснение: Одно из определений параллелограмма — две пары параллельных сторон. Следовательно, любой параллелограмм ДОЛЖЕН иметь 2 пары параллельных сторон. Сюда входят все квадраты, ромбы и прямоугольники.
Сколько параллельных линий в прямоугольной призме?
Характеристики прямоугольной призмы
Прямоугольная призма имеет 12 ребер и 8 вершин. 12 ребер прямоугольной призмы находятся на 3 группы параллельных линии. Параллельные ребра равны по длине. Противоположные грани параллельны и конгруэнтны друг другу.
Какая фигура имеет 4 пары параллельных прямых?
Правильный восьмиугольник фигура, имеющая 4 пары параллельных сторон. Каждая сторона параллельна стороне, противоположной ей.
Какие фигуры имеют пары параллельных прямых?
Фигуры параллельны, если их линии всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не пересекаются и не соприкасаются. Некоторые фигуры с параллельными сторонами включают параллелограмм, прямоугольник, квадрат, трапеция, шестиугольник, и восьмиугольник. У трапеции одна пара параллельных сторон.
Сколько параллельных линий имеет пятиугольник?
Пятиугольник имеет пять сторон, а также не имеет наборов параллельных прямых.
Сколько осей симметрии у прямоугольника?
2
Сколько перпендикулярных прямых имеет прямоугольник?
4 прямых угла, но 2 пары перпендикулярных линий.
Какой прямоугольник имеет две линии симметрии?
В прямоугольнике две линии симметрии. Когда одна линия проводится через центр по его длине, а другая — по ширине (ширине), мы получаем две линии симметрии. Делая это, мы получаем четыре одинаковые и соответствующие формы.
Сколько углов у прямоугольника?
четыре
четырехугольник с четырьмя прямыми углами.
Сколько вершин у прямоугольника?
Прямоугольные призмы
Смотрите также, что означает денали
Он состоит из 6 прямоугольных граней. Когда вы соедините стороны вместе, она станет прямоугольной призмой с 8 вершин и 12 ребер.
Сколько параллельных и перпендикулярных прямых имеет прямоугольник?
Прямоугольники имеют четыре прямые стороны. Каждая пара противоположных сторон параллельна, а соседние стороны перпендикулярны. Это означает, что каждый угол в прямоугольнике является прямым (90∘) углом. Все синие фигуры на изображении ниже — прямоугольники.
Все ли прямоугольники имеют перпендикулярные и параллельные стороны?
Как мы упоминали ранее, прямоугольные треугольники имеют перпендикулярные стороны, прямоугольники имеют как перпендикулярные, так и параллельные стороны. стороны, но другие четырехугольники не могут. Правильный пятиугольник не имеет параллельных или перпендикулярных сторон, но неправильный пятиугольник может иметь параллельные и перпендикулярные стороны. Все зависит от полигона.
Сколько прямых сторон у прямоугольника?
Четыре прямые стороны У квадрата четыре равные стороны. У прямоугольника две пары равных сторон. Квадраты и прямоугольники имеют четыре прямые стороны и четыре прямых угла.
Что имеет только одну пару параллельных прямых?
трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон.
Сколько прямоугольных граней у прямоугольной пирамиды?
5 граней Прямоугольная пирамида имеет 5 лиц. Его основание — прямоугольник или квадрат, а остальные 4 грани — треугольники. У него 8 ребер и 5 вершин.
Что такое косая прямоугольная призма?
Наклонная прямоугольная призма
Наклонная призма это призма, основания которой не перпендикулярны друг другу. Прямоугольная призма с основаниями, которые не выровнены одно над другим, является наклонной прямоугольной призмой.
Сколько параллельных прямых у прямоугольного параллелепипеда?
12 ребер прямоугольного параллелепипеда находятся в 3 группы параллельных линий. Параллельные ребра равны по длине. Любые пересекающиеся ребра перпендикулярны друг другу.
Какой формы прямоугольник?
Прямоугольник продолговатый. У него две пары параллельных сторон и четыре прямых угла. Прямоугольник также может быть известен как равноугольный четырехугольник. Это связано с тем, что прямоугольник представляет собой четырехугольник (четырехстороннюю форму), у которого стороны параллельны, равны друг другу, а все 4 угла имеют углы, равные 90º.
Является ли прямоугольник ромбом?
Прямоугольник ромб. Квадрат — это параллелограмм. Параллелограмм правильный.
Может ли квадрат быть прямоугольником?
Да, квадрат — это особый тип прямоугольника потому что он обладает всеми свойствами прямоугольника. Подобно прямоугольнику, квадрат имеет: внутренние углы, каждый из которых равен 90∘. противоположные стороны параллельны и равны.
Смотрите также, чем похожи равнины и плоскогорья.
Что имеет параллельные стороны, но не прямоугольник?
Другой четырехугольник, который вы можете увидеть, называется ромб. Все четыре стороны ромба равны. Его свойства включают в себя то, что каждая пара противоположных сторон параллельна, что также делает его параллелограммом. Таким образом, все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.
Сколько параллельных прямых у ромба?
две пары
Основные свойства Каждый ромб имеет две диагонали, соединяющие пары противоположных вершин, и две пары параллельных сторон.
Является ли треугольник параллельным?
Треугольник — это геометрическая фигура, которая всегда имеет три стороны и три угла. Треугольники имеют ноль пар параллельных прямых. Обычно они имеют нулевые пары перпендикулярных линий. Только один тип треугольника, прямоугольный, имеет две перпендикулярные линии.
Сколько параллелей в шестиугольнике?
3 пары
Правильный шестиугольник, что означает шестиугольник с равными сторонами и равными внутренними углами, представляет собой форму, которая имеет 3 пары параллельных сторон.
Сколько параллельных сторон у восьмиугольника?
4 пары Правильный восьмиугольник имеет 4 пары параллельные стороны.
Сколько параллельных прямых имеет параллелограмм?
две пары В евклидовой геометрии параллелограмм представляет собой простой (несамопересекающийся) четырехугольник с две пары параллельных
стороны. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны.
Почему прямоугольник имеет симметрию только по двум линиям?
Есть 2 линии симметрии прямоугольника, которые исходят из его длины и ширины. Эти две линии разрезают прямоугольник на две одинаковые половины, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Если прямоугольник складывается по линии симметрии, он отлично накладывается.