Как найти параметр а в функции плотности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Ранее
непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот
способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно
также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью
распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной
функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины

называют функцию

– первую производную от функции распределения

Из этого определения следует, что
функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания
распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность
распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина

примет
значение, принадлежащее интервалу

равна
определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от

до

Геометрически полученный результат
можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу

, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью

, кривой распределения

и прямыми

В частности, если

– четная
функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то:

Зная плотность распределения

можно найти
функцию распределения

по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1.

Плотность
распределения – неотрицательная функция:

Свойство 2.

Несобственный
интеграл от плотности распределения в пределах от

до

равен единице:

Смежные темы решебника:

Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Интегральная функция распределения вероятностей

Примеры решения задач

Пример 1

Задана
плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной
величины X. Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики F(x) и f(x);

4) найти
математическое ожидание и дисперсию X;

5) найти
вероятность того, что X примет значение из
интервала (α,β):

α=1; β=1.7

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

, сразу можем
отметить, что:

Остается
найти выражение для

, когда

принадлежит
интервалу

Получаем:

3) Построим графики

График плотности распределения

График функции распределения

4)
Математическое ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле:

5)
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала

Пример 2

Плотность
распределения вероятности непрерывной случайной величины равна

, x∈(0,∞). Найти нормировочный множитель C,
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Нормировочный множитель

найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле:

Пример 3

Непрерывная
случайная величина

имеет плотность распределения:

Найти
величину a, вероятность P(X<0) и математическое
ожидание X.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Постоянный
параметр

найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности имеет вид:

Вероятность:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а)
параметр a;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания случайной величины X в интервал (6.5; 11);

г)
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);

Построить
график функций f(x) и F(x).

Задача 2

Задана
функция распределения непрерывной случайной величины:

Найти и
построить график функции плотности распределения вероятностей.

Задача 3

Случайная
величина X задана функцией распределения F(x).
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить график функции
F(x).

Задача 4

Задана
плотность вероятности f(x) или функции распределения
непрерывной случайной величины X. Найти a, M[X], D[X], P(α<x<β).

α=1,β=2

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Непрерывная
случайная величина

задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется
найти:

— функцию
распределения вероятностей;

—
математическое ожидание;

—
дисперсию;

— среднее
квадратическое отклонение;

— вероятность
того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не
более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой
величины;

—
построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Задача 6

Случайная
величина X равномерно распределена на интервале (2;7).
Составить f(x),F(x), построить графики. Найти
M(X),D(X).

Задача 7

Случайная
величина X~N(a,σ)

a=25;
σ=4; α=13; β=30; δ=0.1.

Требуется:

—
составить функцию плотности распределения и построить ее график;

— найти
вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет
значение, принадлежащее интервалу (α; β);

— найти
вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания не превысит δ.

Задача 8

Плотность
вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:

Найти
постоянную C, функцию распределения Fξ (x), математическое
ожидание и дисперсию Dξ случайной величины ξ.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 9

Случайная
величина X задана функцией распределения вероятностей F(x).

Требуется:

1. Найти
функцию плотности распределения f(x).

2. Найти M(X).

3. Найти
вероятность P(α<X<β)

4.
Построить графики f(x) и F(x).

α=2, β=4.5

Задача 10

Найти
функцию плотности нормально распределенной случайной величины X и
постройте ее график, зная M(X) и D(X).

M(X)=-1; D(X)=8

Задача 11

Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:

а) найти
параметр C;

б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при
заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);

в)
построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x);

д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b)

е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж)
вычислить квантиль порядка p

a=π/4; b=π/3; xp=π/2; p=0.75

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Тема 23. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины

Пренебрежение различием между близкими значениями случайной величины широко используется для упрощения описания и изучения случайных величин. В связи с этим вводится следующее определение.

Случайные величины, значения которых заполняют непрерывные интервалы, т.е. бесконечно мало отличаются друг от друга, называются непрерывными

случайными величинами.

Из этого определения следует, что непрерывные случайные величины могут принимать сколько угодно много разных близких значений и их нельзя задавать законом распределения. Для задания непрерывных случайных величин используются функции распределения и плотности распределения.

Напомним, что функцией распределения (как для дискретной, так и для непрерывной) случайной величины называют функцию F (x) , определяющую ве-

роятность того, что случайная величина X в результате испытания примет зна-

чение, меньшее x , т.е.:
F (x) = P( X < x)	(5.1)

На рис. 2.8 представлен график функции распределения непрерывной случайной величины.

F(x)

Рис. 2.8. График функции распределения непрерывной случайной величины

Плотностью распределения случайной величины X называется произ-

водная от ее функции распределения FX (x) . Плотность распределения обозна-

чается	f X (x) . Следовательно, согласно определению:
	f (x) =	dF (x)	(5.2)
	dx

Для непрерывной случайной величины функция F (x) и плотность	f (x)
распределения удовлетворяют следующим условиям:
1)	при всех действительных x справедливо:
	f (x) ≥ 0 ;	(5.3)

2) для любых a < b справедливо равенство:

P(a ≤ X < b) = ∫b	f (x)dx = F(b) − F(a) ;	(5.4)
a
3)
F(+∞) = ∫∞ f (x)dx =1;	(5.5)
−∞

4) вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Эти свойства вытекают из определения плотности распределения и свойств функции распределения. Неотрицательность выводится из того, что функция распределения всегда не убывает. Второе свойство определяется на основе основного свойства функции распределения. Последнее свойство есть важный частный случай второго и выполняется потому, что значения случайной величины всегда удовлетворяют условию: −∞ < X < ∞. Оно называется условием нормировки.

Геометрически (рис. 2.9) основные свойства плотности распределения означают, что:

1)вся кривая плотности распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2)площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции плотности распределения, снизу осью абсцисс, слева и справа прямыми x = a

иx = b , равна вероятности попадания случайной величины в интервал a < X < b ;

3)полная площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице.

f(x)

Рис. 2.9. График плотности распределения непрерывной случайной величины

Зная плотность распределения f (x) , можно найти функцию распределения F (x) по формуле:

F(x) = ∫x	f (x)dx	(5.6)
−∞

Приведем несколько примеров, в которых используются плотности распределения.

Пример 1. При каких значениях параметра a функция

0,			если	x ≤ −2
		2	,	если − 2 < x ≤ 0
f (x) = ax
	0,			eссл	x > 0

будет являться плотностью распределения вероятности случайной величины X ?

Решение. По условию, заданная функция всюду неотрицательна, если a положительно. Остается только найти его значение. Воспользуемся последним

свойством плотности распределения – ∫∞ f (x)dx =1.

−∞

В данном случае подынтегральная функция не равна нулю только тогда, когда − 2 ≤ x ≤ 0 , и, следовательно, интеграл равен нулю при интегрировании по тем областям, в которых не выполняется условие − 2 ≤ x ≤ 0 . А по условию, на

интервале − 2 ≤ x ≤ 0 заданная функция равна ax2 . Значит, должно выполняться равенство:

∫0 ax2dx =1.

Вычисление интеграла дает:

−2

(−2)3

∫ax

dx = a 3

= a 3 − a

3 =

3 =1

−2

Следовательно, при значении параметра a = 83 заданная функция является

плотностью распределения вероятности случайной величины X . Пример 2. Дана плотность распределения:

	0,	если x ≤ −1
		если −1 < x ≤1
f (x) = a(x +1),
	0,	если x >1

Определить: а) параметр a ; б) вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.

Решение. В условии этой задачи сказано, что заданная функция является плотностью распределения случайной величины. Эта функция равна нулю при всех значениях x , которые меньше -1 и больше 1. Поэтому все значения случай-

ной величины удовлетворяют x <1. Для того чтобы найти значение параметра a , так же как и в предыдущем примере воспользуемся последним свойством

плотности распределения –	∫∞ f (x)dx =1. Запишем это условие, учитывая задан-
									−∞
ный вид плотности распределения:
												∫1 a(x +1)dx =1.
												−1
	После интегрирования получаем:
1		2			1			1	2				(−1)	2				1			1

		x													+ (−1)		= a(	+1	−	+1)	= 2a =1

∫a(x +1)dx = a		+ x				= a				+1	− a
−1	2				−1		2				2					2			2

	Следовательно, a =		1	.
	2

Поскольку плотность распределения есть производная функции распределения, интеграл от плотности является функцией распределения. В данной задаче функция распределения должна равняться нулю при всех x < −1 и единице, при всех x >1. Если −1 < x <1, интегрирование плотности дает:

F(x) = f (x)dx =

(x +1)dx =

+ x

∫

−1

−∞

−1

(−1)

+1 + 2x

x +1

+ x

−

(−1)

Подчеркнем специально, что найденное выражение справедливо только при условии x <1. Таким образом, функция распределения есть:

	0,		если	x ≤ −1
			2
x +1
F(x) =			если	−1 < x ≤1
2
		если	x >1
	1,

Теперь найдем вероятность того, что выполняется условие 0.5 < X <1.5 . Проще всего использовать найденную функцию распределения. Получаем:

P(0.5 < X <1.5) = F(1.5) − F(0.5)		3	2	7
=1	−		=
4	16

Пример 3. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

		0,	если	x ≤ 0
	Аx	2	+ В,	если 0 < x ≤1
F(x) =
		1,	если	x >1

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше, чем -0.5; в) в интервале (1.5, 5). Определить плотность распределения случайной величины X .

Решение. Для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной, так как по условию X – непрерывная случайная величина. Это значит, что при x = 0 она должна равняться нулю. По-


этому A 02 + B = 0 и B = 0 . Аналогично,	при x =1 функция распределения
должна равняться единице. Следовательно,	A 12 + B =1 и A =1. Таким образом,
функция распределения непрерывной случайной величины Х есть:
0,		если	x ≤ 0
	2	,	если 0 < x ≤1
F(x) = x
			если	x >1
1,
Теперь найдем вероятность того,	что значение X < 0.5 . Для этого доста-

точно вычислить F (0.5) . Получаем P( X < 0.5) = F(0.5) = 0.52 = 0.25. По усло-

вию задачи, все значения случайной величины X неотрицательны и не больше, чем 1. Поэтому P( X > −0.5) =1 − F (−0.5) =1. Аналогично, P( X >1.5) = 0 .

Пример 4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:


		0,	если	x ≤1
	Аx	2	+ В, если1	< x ≤ 3
F(x) =
		1,	если	x > 3

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 1.5; б) больше, чем 1.5, но меньше, чем 2.5. Определить плотность распределения случайной величины X .

Решение. Так как по условию X − непрерывная случайная величина, для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной. Значит, при x =1 она должна равняться нулю, а при x = 3 функция распределения должна равняться единице. Следовательно, имеем систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными A и B :

A + B = 0

9A + B =1

Эта система имеет единственное решение A =1 / 8 , B = −1/ 8 .

Таким образом, функция распределения непрерывной случайной величины

X есть:	0,		если	x ≤1

1		2
F(x) =		(x		−1),	если	1 < x ≤ 3

8	1,			если	x > 3

Теперь вероятность того, что значение X <1.5 , равна значению функции распределения при значении x =1.5 , т.е.:

P( X <1.5) = F(1.5) =	1.52	−1	=	1.25	= 0.15625
	8				8
Аналогично, получаем:
	2.52					1.52
P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) − F(1.5) =	−1	−	−1	=	5.25 −1.25	= 0.5
	8						8	8

По определению плотности распределения случайной величины, она равна производной от функции распределения. Поэтому, вычисляя производную, получаем:

(0)′,

если

x ≤1

если

x ≤ 1

′

x2 −1

f ( x) =

если

1 < x ≤

3 =

если

1 < x ≤ 3

если

x > 3

(1)′,

если

x > 3

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Может ли функция
	0,		если	x ≤ 0
F(x) =		2	,	если 0 < x ≤1
x
				если	x > 2
	1,

являться функцией распределения случайной величины?

Задача 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

	0,	если	x ≤1
	Аx + В,	если1 < x ≤ 3
F(x) =
	1,	если	x > 3

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше –2; б) меньше 4; в) больше 3; г) больше 3; д) в интервале (-2, 2); е) в интервале (-1, 0); ж) в интервале (-3, 5).

Задача 3. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,			если	x ≤ 0
		2	,	если 0	< x ≤ 2
F(x) = Ax
	1,			если	x > 2

Определить параметр A и плотность распределения случайной величины. Задача 4. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,	если	x ≤ 0
		если 0 < x ≤1
F(x) = Ax,
	1,	если	x >1

Определить параметр A и вероятность попадания значения случайной величины в интервал (-1, 0.5).

Задача 5. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

0,	если	x ≤1
	А(x −1)2 ,	если1 < x ≤ 3
F(x) =
	1,	если	x > 3

Определить параметр A и построить график функции распределения. Задача 6. Функция распределения случайной величины имеет вид:

		0,	если	x ≤ −2
F(x) =	0.25(x + 2)2 ,	если − 2 < x ≤ 0

		1,	если	x > 0

Найти плотность распределения случайной величины и вероятность того, что значение Х больше, чем -1.5, но меньше, чем -0.5.

Задача 7. Функция распределения случайной величины имеет вид:

		0,	если	x ≤1
	Аx	2	+ В,	если1 < x ≤ 4
F(x) =
		1,	если	x > 4

Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше -0.5; в) в интервале (1.5, 3) . Определить плотность распределения случайной величины X .

Задача 8. Дана плотность распределения:
0,	если	x ≤ −1
	если −1	< x ≤1
f (x) = a,
	если	x >1
0,

Определить: а) параметр a ; б) вероятность попадания в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.

Тема 24. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Математическое ожидание дискретных случайных величин, введенное выше, определялось законом распределения случайной величины и использовалось при предельном переходе от биномиального распределения к распределению Пуассона. Для непрерывных случайных величин, математическое ожидание и дисперсия выражаются через плотности распределения согласно следующему определению.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с

плотностью распределения f (x) называется:
M ( X ) = ∫∞ xf (x)dx	(5.7)
−∞

Это определение представляет собой обобщение определения для дискретных случайных величин.

Пример 5. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность рас-

пределения:
	0,	если	x ≤1
f (x) = 0.25,	если1 < x ≤ 5
	0,	если	x > 5

Решение. По определению математического ожидания, получаем:

∞			1				5		+∞
M ( X ) = ∫xf (x)dx =	∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx =
−∞			−∞				1		5
5	1			x2	5	52 −	1

= ∫x		dx =			=			= 3
4	8	8
1						1

Здесь учтено, что по условию плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1;5) и равна 0.25 только внутри интервала (1;5).

Пример 6. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность распределения:

			0,		если	x ≤1
	− x	2	+8x −7

f (x) =				,	если1 < x ≤ 7
		36
				если	x > 7
			0,

Решение. Учитывая, что так же, как в предыдущем примере, при вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:

			7 x(−x	2 +8x −7)					1						x4			8x	3	7x2			7

M ( X ) =	∫									dx =						−				+				−			=

						36							36					4		3				2
																							1
			1	4			7	3			7 7	2					4					3				2	49 35 +13

	1	7		8
													1					8 1			7 1
=		−				+					−					−	−				+				−			=	= 4
36	4	3			2					4				3		2			36 12

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M (cX ) = cM ( X ) , где c – любое постоянное число.

2.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.

3.Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Эти свойства вытекают из определения математического ожидания. Например, первое свойство имеет место потому, что все значения случайной величины

Y = cX получаются из значений случайной величины Х умножением на множитель c, а вероятности соответствующих значений новой случайной величины никак не изменяются.

Еще раз подчеркнем, что математическое ожидание есть усредненная характеристика случайной величины. Оно всегда определяется только одним числом, которое находится на интервале между наименьшим и наибольшим из возможных значений случайной величины. В отличие от функции и плотности распределения, которые дают полную информацию о случайной величине и позволяют находить вероятности ее значений или вероятности того, что они находятся в любом интервале, знание математического ожидания недостаточно для определения таких вероятностей.

Дисперсия случайных величин характеризует средний разброс квадрата отклонений значений случайной величины X от ее математического ожидания M ( X ) . Аналогично тому, как это было для дискретных случайных величин,

вводится следующее определение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D( X ) = M (( X − M ( X ))2 )

(5.8)

Поэтому размерность D(X ) равна квадрату размерности X . Удобнее D( X ) является среднее квадратичное отклонение σ = D( X ) . Дисперсии случайных

величин удовлетворяют следующим свойствам:

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

D(C) = 0

2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, т.е.:

D(cX ) = c2 D( X )

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.:

D( X +Y ) = D( X ) + D(Y )

4. Для вычисления D( X ) удобнее использовать равенство
D( X ) = M (X 2 )−(M ( X ))2	(5.9)

Заметим, что отклонение случайной величины X от числа, равного ее математическому ожиданию M ( X ) , т.е. Z = X − M ( X ) – также случайная вели-

чина. При этом M (Z ) всегда равно нулю, т.е. M (X − M (X )) = 0 . Действительно, используя свойства (1) – (3), получаем:

M (Z) = M ( X ) − M (M ( X )) = M ( X ) − M (X ) = 0

Именно по этой причине разброс значений X относительно M ( X )	харак-
теризуется дисперсией D( X ) и средним квадратичным уклонением σ =	D(X ) .

Пример 7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X , которая имеет плотность распределения:

0,	если x ≤1
		если1 < x ≤ 6
f (x) = 0.2,
	0,	если x > 6

Решение. По определению математического ожидания, получаем:

∞	6	1		1		6		1	35	7
M ( X ) = ∫xf (x)dx = ∫x	dx =	x2	=	(62	−1) =	=	.

5	10	1	10	10	2
−∞	1

Здесь учтено, что, по условию, плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1,6) и равна 0.2 только внутри интервала (1,6) .

Для того чтобы найти дисперсию X , воспользуемся формулой (5.9) и найдем сначала:

∞	6		1				1				6	1				215	43
M ( X 2 ) = ∫x2 f (x)dx = ∫x2	dx =		x3		=		(63 −1) =	=

				1						.
5	15	15		15	3

−∞	1
Поэтому:									2
D( X ) = M ( X 2 ) −(M ( X )2		43			7			43	4 − 49 3	172	−147	25
=				−				=							=			=
3									12				12	12
						2

σ =		D( X ) =	25	=	5	3
				12		2
Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадрати-
ческое отклонение случайной величины X , заданной плотностью распределения:
			0,		если	x ≤1
	− x	2	+8x −7

f (x) =				,	если1 < x ≤ 7
		36
				если	x > 7
			0,

Решение. При вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:

	7	x(−x2 +8x	−7)			1			x4			8x3			7x2			7	49 35 +13

М( Х) =	∫		dx =			−				+					−					=				= 4.

	36			36			4					3					2				36 12
															1
	1

Аналогично, получаем:																							7
М( Х2 ) =	7	x2 (−x2 +8x −7)		1				x5			8x4			7x3			7	4 4 +8

				dx =				−					+					−				=		=17.8
∫
	36				36			5				4				3						36 15
																	1
	1

Поэтому по формуле (5.9):
		D( X ) =17.8 − 42 =1.8,			σ =	1.8 ≈1.4

Существуют различные распределения непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Далее будут рассмотрены равномерно распределенные и нормально распределенные случайные величины.

Задачи для самостоятельного решения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Задача 9. Плотность распределения:

0,		если	x ≤ −1
	1	,	если −1 < x ≤ 1
f ( x) =	2
		если	x > 1
0,

Задача 10. Плотность распределения:

если

x ≤ 0

(2 x − x2 ),

f ( x) =

если 0 < x ≤ 2

если

x > 2

Задача 11. Плотность распределения:

если

x ≤ −1

если −1 < x ≤1

f (x) = 0.75(1 − x2 ),

если

x >1

Задача 12. Плотность распределения:

если

x ≤ −2

(4 − x2 ),

f ( x) =

если − 2 < x ≤ 2

если

x > 2

Задача 13. Плотность распределения:

если

x ≤1

( x2

f ( x) = −

− 6 х + 5),

если 1 < x ≤ 5

если

x > 5

Задача 14. Плотность распределения:

если

x ≤ −5

( x2

f ( x) = −

+ 6 x + 5),

если − 5 < x ≤ −1

если

x > −1

Задача 15. Плотность распределения:

если

x ≤ −2

+ 4

х)

3(12 − x

f ( x) =

если − 2 < x ≤ 6

256

если

x > 6

Задача 16. Плотность распределения:

если

x ≤ 1

( x2 − 5x + 4),

если 1 < x ≤ 4

f ( x) = −

если

x > 4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Пример решения

Задание 2. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0,2]. Построить графики f(x) и F(x) .

Задача. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a :

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание.

1 /₉•4 3 — ( 1 /₉•1 3 ) — ( 5 /₂) 2 = 3 /₄
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [2,3]
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 — 1/3) — (1/3*2 — 1/3) = 1/3

Определить коэффициент A .
найти функцию распределения F(x) .
схематично построить графики F(x) и f(x) .
найти математическое ожидание и дисперсию X .
найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:

Функцию распределения можно найти по формуле.

Математическое ожидание находится по следующей формуле:

Дисперсия выражена формулой:

3 /₄₉•4 7/ ₂ — ( 3 /₄₉•1 7/ ₂) — ( 93 /₃₅) 2 = 876 /₁₂₂₅
Вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3):

Пример №2 . Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Схематично построить графики функций F(x) и f(x).

Непрерывная случайная величина

Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $arcsin$ и $arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

Примеры решений

Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[pi, 5/4 pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t Решебник по теории вероятности онлайн

Решение. а) Неизвестный параметр найдем из условия нормировки:

а) Неизвестный параметр найдем из условия нормировки:

Запишем вид функции плотности распределения с уже найденным параметром а:

б) Функция распределения связана с функцией плотности следующим соотношением:

Тогда в нашем случае:

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле:

г) Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:

По свойству дисперсии:

Построим графики функций f(x) и F(x).

Задача 12.2.4. Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания M(ξi)=6, а дисперсия D(ξ1)=1/3. Найти вероятности: а) ; б) ; в) .

Источник

2.4.3. Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

то есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:

– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция была найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).

Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности, делим интеграл на 3 части:

Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить средний интеграл:
, что и требовалось проверить.

С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это значит, что площадь между осью и графиком равна единице, и в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :

Ну вот, теперь всё наглядно – где бОльшая площадь, там и сконцентрированы более вероятные значения.

Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . В общем случае функция разрывна (смотрим, где «жирные» оранжевые точки!).

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадываетесь:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам и полуинтервалам, в частности:

Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .
Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:

Задача 105
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце книги.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы:

1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет особых трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы только что убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:
Задача 106
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти значение и составить функцию распределения вероятностей . Вычислить .
Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика (в подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности). Используем свойство .
В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:
(*)
Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим интеграл:
и подставим результат в уравнение (*):
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, отлично.

Обратите внимание, что только при и только при этом значении предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности действительно выполнено. Доверяй условию, да проверяй Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функции распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синуса либо его нечётность: .

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

Внимание! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. И такой пример я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную: , а также «прозвоним» точки «стыка»:

Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания чаще находят с помощью функции распределения:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Второй способ состоит в вычислении интеграла:
что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза. Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна:

Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально нарисовал, чтобы напомнить вероятностный смысл плотности функции распределения. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения по условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой синусоиду, сжатую в 2 раза вдоль оси ординат и сдвинутую на вверх:

В принципе, тут можно было не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика функции , и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат (вертикальные оси) лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задача 107
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:

1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Задача 108
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу книги.

Следует отметить, что все эти задачи реально предлагают студентам-заочникам, и поэтому я не предлагаю вам ничего необычного.

И в заключение параграфа обещанные случаи с несобственными интегралами:

Задача 109
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:

Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

В соответствующей статье сайта я рассмотрел ещё более интересный пример с функцией , где случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения. Но это уже несколько повышенный уровень сложности.

2.4.4. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?

2.4.2. Вероятность попадания в промежуток

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник