Как найти параметр квадрата

При заполнении данных, обратите внимание на дополнительную информацию со знаком

Онлайн калькулятор предназначен для нахождения параметров квадрата, таких как:

• • Длины сторон

  — равны между собой

AB=BC=CD=DA

• • Периметр

  — равен сумме всех сторон, или стороне квадрата умноженной на 4

P=AB+BC+CD+DA=AB∗4

• • Площадь

  — равна произведению двух сторон, или сторона в квадрате

S=AB∗BC=AB2

• • Диагональ

  — является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника внутри квадрата с катетом AB и равна стороне квадрата умноженной на квадратный корень из 2

AC=AB∗2​

• • • Углы

    — всегда равны

  90

  градусов

• Радиус Вписанной и Описанной окружностей
• Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
• Длина Вписанной и Описанной окружностей
• Площадь Вписанной и Описанной окружностей

Диаметр описанной окружности равен длине диагонали квадрата, а диаметр вписанной окружности равен длине стороны квадрата

——————————— Было полезно? Поддержите проект?! Мы хотим чтобы наш сайт был бесплатным. Не хотим подключать личный кабинет и брать за это плату. Но для поддержания и развития необходимы средства. Будем признательны за любой денежный вклад👇 от 5 рублей до 1.000.000 $ 😉 ———————————- ———————————

Если Вам понравился данный материал, пожалуйста, посоветуйте его своим друзьям в социальных сетях с помощью кнопок расположенных ниже.

При копировании материала на другие сайты ссылка на наш сайт как источник обязательна, потому, как даже в сети можно и нужно оставаться вежливыми людьми.

Мы рады видеть Вас на нашем сайте!

08 декабря 2022   —   Admin

Прямоугольник.

Для того, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно сделать следующее:

(a+b) * 2=Периметр прямоугольника.

а-одна из сторон прямоугольника.

b-вторая сторона прямоугольника.

(a и b — разные стороны)

Периметр квадрата.

Чтобы его найти, нужно сделать следующее:

а*4=Периметр квадрата.

а — сторона квадрата.

Мы умножаем (а) на 4 потому что все стороны у квадрата равны.

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1)
Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2<γ).
• Только один из корней принадлежит какому-то промежутку ((γ;β):)
  2 случая: (γ<x_1<β≤x_2;) или (x_1≤γ<x_2<β.)
• Некоторое число (∝) лежит между корнями: ((x_1<γ<x_2)).
• И т.д. Условия могут быть различными.

Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: (x_1≤x_2<γ). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

1. Очевидно, что (D≥0), для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня — то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
2. Чтобы некоторое число лежало вне отрезка ((x_1,x_2)), необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх ((a>0)); ветки параболы направлены вниз ((a<0)).
   • (a>0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
   • (a<0). Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)<0).

Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: (a*f(γ)>0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ)<0), то (γ∈(x_1,x_2)),

если (a*f(γ)>0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0<γ), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число (γ) лежит справа от отрезка ((x_1,x_2)) и соответственно удовлетворяет условию задачи (x_1≤x_2<γ).

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием (x_1≤x_2<γ) необходимо решить следующую систему:

$$begin{cases} D≥0,\ a*f(γ)>0, \x_0<γ.end{cases}$$

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что (γ∉(x_1,x_2)). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от (γ).
Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

Пример 1

При каких значениях параметра a уравнение
$$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$
имеет более одного корня?

Решение:

1 случай:
Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.

При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай:
Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня:
$$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac{1}{3}.$$
С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Ответ: (a ∈ {-3} ∪(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Пример 2

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения
$$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$
принадлежат отрезку ([-2;2]).

Решение:

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

$$begin{cases} (a+1)*f(-2) ≥ 0, \(a+1)*f(2) ≥ 0, \D≥0, \-2 < x_0 < 2.end{cases}$$

(x_0=frac{a^2+2a}{2(a+1)}) -вершина параболы.

$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$
$$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$
$$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$

Подставляем полученные выражения в систему:

$$ begin{cases} (a+1)(2a^2+7a+3) ≥ 0, \(a+1)(-2a^2-a+3) ≥ 0,\ -2 < frac{a^2+2a}{2(a+1)} < 2. end{cases} $$
Или
$$ begin{cases} 2(a+1)(a+3)(a+0,5) ≥ 0,\ -2(a+1)(a-1)(a+1,5) ≥ 0,\ frac{(a-1-sqrt{5})(a-1+sqrt{5})}{2(a+1)} < 0,\ frac{(a+3-sqrt{5})(a+3+sqrt{5})}{2(a+1)} > 0.end{cases} $$

Ответ: ([-3;-1,5]∪[-0,5;1]).

Пример 3

Решить уравнение (sqrt{x-5}=x+a), где (a) параметр.

Решение:

После равносильных преобразований получим систему:

$$ begin{cases} x-5=(x+a)^2, \x≥-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} x^2+(2a-1)x+(a^2+5)=0, \x≥-a. end{cases} $$

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Для этого найдем дискриминант, вершину параболы и (f(-a)).
$$ D=(2a-1)^2-4(a^2+5)=-4a-19;$$
$$ {x}_{0}=-frac{2a-1}{2}=frac{1-2a}{2}; $$
$$ f(-a)=a+5.$$

Из второго неравенства системы следует, что нас устраивают случаи, когда ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (нас будет устраивать только один корень ({x}_{2})) и (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (под условие системы будут подходить оба корня), где ({x}_{1},{x}_{2})- нули (f(x)).

Обратим внимание, что коэффициент при (x^2) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

Первый случай: ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при (a ≤ -5) мы имеем одно решение:

$$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Второй случай: (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ begin{cases} f(-a)≥0, \D≥0, \{x}_{0}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a+5≥0, \-4a-19≥0, \ frac{1-2a}{2}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a≥-5, \a≤-frac{19}{4}, \ 1>0. end{cases} $$

Получаем, что при (a∈[-5;-4.75]) уравнение имеет два решения:

$$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Ответ: при (a≤-5) $$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2};$$
при (a∈[-5;-4.75]) $$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}; $$
при (a>-4.75) решений нет.

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

        Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

        Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

        — Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

        — Что такое дискриминант и куда его пристроить?

        — Что такое теорема Виета и где её можно применить?

        Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

        Итак, приступим!

        Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки.

        Пример 1

       

        Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:      

        a = 1

        b = -(a-1)

        c = a-2

        Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

        Так и пишем:

        D = 0

        Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

       

        Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

       

       Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)²!

        Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)², то уравнение будет решаться в уме!

        (a — 3)² = 0

        a — 3 = 0

        a = 3

        Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

        Ответ: 3

        Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

        Пример 2

        

        Вот такая задачка. Начинаем распутывать.  Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

        0,5x² — 2x + 3a + 1,5 = 0

        Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

         

        

        Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

          a = 1

          b = -4

          c = 6a+3

         Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

         А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

         «Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»

         Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

          D = (-4)² — 4·1·(6a+3) = 16-24a-12 = 4-24a

          4-24a > 0

          -24a > -4

          a < 1/6

        Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

        Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

         

        Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

         

        А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

        Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

         

        Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28: 

          

        А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

        Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

        

        

        А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

         

        Итого:

        

        Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

        

        Чему здесь равен коэффициент при x²? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

         

        Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

         

        

         Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

          4·(16-18a-9) < 28

          64–72a+36 < 28

          -72a < 28-64+36

          -72a < 0

          a > 0

          Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

         

          Ответ:

         

          Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

          Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

          Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

          Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

          Пример 3

          

          Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

          Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

          

          a = 1

          b = -6

          c = a²-4a

          А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

          D ≥ 0

          Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

          D = (-6)² — 4·1·(12 + a²-4a) = 36 — 48 — 4а² + 16а = -4а²+16а-12.

          А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

         

         

          

          

          Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

          А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

         

         принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x₁ — x₂. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

          Что ж, считаем корни по общей формуле:

          Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

 

          Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

        

         И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

         Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

         

         

         Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

         

          Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию  мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

          Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

          Ответ: 2.

          Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

          Пример 4

          

          Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

 

  

          Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

          Итак, а ≠ 0.

          При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

          А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

          D = 4(a-1)² — 4a(a-4) = 4a²-8a+4-4a²+16a = 4+8a

         

          Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

          Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

        

         Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

          Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

         

          Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

          

          Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

         

         Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

         

         Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

          Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

         

         Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

          Итак!

          Случай 1 (a>0, |a|=a)

          В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

         

          Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

         

          Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

          Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

         

         А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

          Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

         

         Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

        

         

        

        

         Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

        

         Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

         

         Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

         

         Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

          Случай 2 (a<0, |a|=-a)

         В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

         

         Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

          

         С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

         

          А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

          

         

          И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

         

          Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

          Пересекаем:

         

          Вот и второй кусочек ответа готов:

         

          Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

        

         с нулём. Вот так:

         

          А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

         

         Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

         

         Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

         Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

         

         Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

         

         Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

         

          Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

         

          Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

          Ответ:

        

         Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

         1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

         ax² + 3x +5 = 0 

         имеет единственный корень.

         2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

         x² — (14a-9)x + 49a² — 63a + 20 = 0

         меньше 9.

         3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

         x² — 4ax + 5a = 0

         равна 6.

         4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

         x² + 2(a-2)x + a + 3 = 0

         имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

          Ответы (в беспорядке):

          

На этой странице находится вопрос Как найти параметр прямоугольника и параметр квадрата?, относящийся к категории
Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям
учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете
обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С
помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие
вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают
сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.