Как найти параметр лямбда

Лямбда-выражения

Последнее обновление: 25.03.2023

Лямбда-выражения представляют более краткий компактный синтаксис для определения объектов-функций. Формальный синтаксис лямбда-выражения:

[] (параметры) { действия }

Лямбда-выражение начинается с квадратных скобок. Затем, как в обычной функции, в круглых скобках идет перечисление параметров — типы и их имена. Также начиная со
стандарта C++14 для параметров можно указывать значения по умолчанию. За списком параметров, как и в обычной функции, в фигурных скобках помещаются действия, выполняемые лямбда-выражением.

Например, простейшее лямбда-выражение:

[]() { std::cout << "Hello" << std::endl; }

Здесь лямбда выражение не имеет параметров, поэтому указаны пустые скобки. Внутри лямбда-выражения просто выводится на консоль строка «Hello».

Каждый раз, когда компилятор встречает лямбда-выражение, он генерирует новый тип класса, который представляет объект-функцию. В примере выше сгенерированный класс упрощенно может выглядеть примерно так:

class __Lambda1234
{
public:
	auto operator()() const { std::cout << "Hello" << std::endl; }
};

Такой класс имеет произвольное, но уникальное сгенерированное имя. А действия лямбда-выражения определяются в виде оператора (), причем вместо возвращаемого типа применяется
слово auto. То есть компилятор сам выводит возвращаемый тип, который может быть void, а может представлять какой-то определенный тип.

Для лямбда-функций без параметров вы можете опустить пустой список параметров (). То есть лямбда-выражение формы []() {…} может быть дополнительно сокращено до [] {…}:

[]{ std::cout << "Hello" << std::endl; }

Вызов лямбда-выражения

Мы можем непосредственно при определении сразу же вызвать лямбда-выражения, указав после тела выражения круглые скобки со значениями для параметров лямбды:

#include <iostream?пеж
 
int main()
{
    [](){std::cout << "Hello" << std::endl;} ();
    // или так
    []{std::cout << "Hello" << std::endl;} ();
}

Поскольку лямбда-выражения здесь не имеют параметров, то для вызова сразу после определения лямбды указываются пустые скобки

[](){std::cout << "Hello" << std::endl;} ();

Это приведет к тому, что будут выполняться действия лямбда-выражения, и на консоль будет выведена строка «Hello».

Именнованные лямбда-выражения

Лямбда-выражение можно определить как переменную:

#include <iostream>
 
int main()
{
    // переменная hello представляет лямбда-выражение 
    auto hello { [](){std::cout << "Hello" << std::endl;} };

    // через переменную вызываем лямбда-выражение
    hello();    // Hello
    hello();    // Hello
}

Здесь переменная hello в качестве значения хранит лямбда-выражение. Чтобы компилятор автоматически определил тип переменной, она определена с ключевым словом auto

Далее через имя переменной мы можем вызвать лямбда-выражение как обычную функцию:

hello();

Параметры

Теперь определим лямбда-выражение с двумя параметрами:

#include <iostream>
 
int main()
{
    auto print { [](const std::string& text){std::cout << text << std::endl;} };

    // вызываем лямбда-выражение
    print("Hello World!");			// Hello World!
    print("Good bye, World...");	// Good bye, World...
}

Здесь лямбда-выражение принимает один параметр типа const std::string&, то есть строку, которая выводится на консоль. И это лямбда-выражение присвоено переменной print.

Вызывая print как стандартную функцию, нужно передать в нее некоторую строку: 

print("Hello World!");			// Hello World!
print("Good bye, World...");	// Good bye, World...

Также можно сразу же при определении вызвать лямбда-выражение, передав в него строку

[](const std::string& text){std::cout << text << std::endl;} ("Hell");

Возвращение значения

Лямбда-выражение может возвращать произвольное значение. В этом случае, как и в обычной функции, применяется оператор return:

#include <iostream>
 
int main()
{
    auto sum { [](int a, int b){return a + b;} };

    // вызываем лямбда-выражение
    std::cout << sum(10, 23) << std::endl;  // 33

    // присваиваем его результат переменной
    int result { sum(1, 4)};
    std::cout << result << std::endl;       // 5
}

В данном случае лямбда-выражение возвращает сумму параметров в виде значения int. Соответственно результат выражения мы можем использовать как значение типа int.

Стоит отметить, что по умолчанию компилятор сам определяет, значение какого именно типа будет возвращаться из лямбды. Однако мы также можем явным образом указать возвращаемый тип:

#include <iostream>
 
int main()
{
    auto sum { [](int a, int b) -> double {return a + b;} };

    // вызываем лямбда-выражение
    std::cout << sum(10, 23) << std::endl;  // 33
}

Для установки возвращаемого типа после списка параметров указывается стрелка и собственно возвращаемый тип. Так, в данном случае возвращается значение типа double:

[](int a, int b) -> double {return a + b;}

То есть сумма чисел, которая по умолчанию представляет тип int, будет преобразована в значение типа double.

Лямбда-выражения как параметры функций

Лямбда-выражение может передаваться в качестве значения параметру функции, который представляет указатель на функцию:

#include <iostream>
 
void do_operation(int a, int b, int (*op)(int, int))
{
    std::cout << op(a, b) << std::endl; 
}

int main()
{
    auto sum { [](int a, int b) {return a + b;} };
    auto subtract { [](int a, int b) {return a - b;} };

    do_operation(10, 4, sum);           // 14
    do_operation(10, 4, subtract);     // 6
}

Здесь определена функция do_operation, которая принимает два числа и указатель на функцию — операцию над этими числами. На место указателя на функцию мы
можем передать лямбда-выражение, которое соответствует этому указателю. Это возможно благодаря тому, что компилятор может автоматически сгенерировать для лямбда-выражения оператор преобразования типа в эквивалентный тип
указателя функции. Следует отметить, что оператор преобразования не генерируется, если лямюда-выражения обращается к внешним переменным, и далее мы рассмотрим подобную ситуацию.

Также можно определить лямбда-выражение непосредственно при использовании, что может быть полезно, если лямбду больше нигде не планируется использовать:

do_operation(10, 4, [](int a, int b) {return a * b;});  // 40

Универсальные лямбда-выражения

Универсальное лямбда-выражение (generic lambda) — это лямбда-выражение, в котором как минимум для одного параметра в качестве типа указано слово
auto или выражения auto& или const auto&. Это позволяет уйти от жесткой привязки параметров к определенному типу. Например:

#include <iostream>

int main()
{
    auto add = [](auto a, auto b) {return a + b;};
    //auto print = [](const auto& value) {std::cout << value << std::endl; };

    std::cout << add(2, 3) << std::endl;        // 5 - складываем числа int
    std::cout << add(2.2, 3.4) << std::endl;    // 5.6 - складываем числа double

    std::string hello{"hello "};
    std::string world{"world"};
    std::cout << add(hello, world) << std::endl;    // hello world - складываем строки
}

В данном случае определено лямбда-выражение, которое принимает два параметра и возвращает их сумму. Оно присвоено переменной add:

auto add = [](auto a, auto b) {return a + b;};

То есть на момент написания мы не знаем, какие типы будут представлять параметры. Конкретные типы будет выводить компилятор при вызове лямбда-выражения исходя из переданных в него
значений:

std::cout << add(2, 3) << std::endl;

Так, в данном случае передаются два числа типа int, соответственно результат будет сумма этих чисел в виде значения int.

Другой пример — определим универсальное лямбда-выражение, которое выводит произвольное значение на консоль:

#include <iostream>

int main()
{
    auto print = [](const auto& value) {std::cout << value << std::endl; };

    print("Hello");
    print(4);
    print(45.6789);
}

Источник

Лямбда-исчисление (Часть I)

Содержание

  • Обзор
  • Простой пример
  • Синтаксис лямбда-исчислений
    • Тест для самопроверки #1
    • Тест для самопроверки #2
  • Проблемы с простым правилом переписывания
  • Бета-редукция
  • Нормальная форма
    • Нормальный и аппликативный порядок редукции
      • Тест для самопроверки #3
      • Тест для самопроверки #4
  • Теорема Чёрча-Россера
    • Доказательство следствия 1
    • Доказательство следствия 2
    • Доказательство теоремы Чёрча-Россера
      • 3 задания
      • Задание 1
      • Задание 2
      • Задание 3
        • Тест для самопроверки #5
      • Окончательное доказательство

Обзор

Лямбда-исчисление — это модель вычислений, открытая Чёрчем в начале 1930-х. Лямбда-исчисление и машина Тьюринга
эквивалентны в том плане, что функция, определенная с помощью одной из этих систем, может быть выражена с помощью
другой.

Вот некоторые пункты сравнения:

Лямбда-исчисление Машина Тьюринга
Создает основу для функциональных ЯП (LISP, Scheme, ML). Создает основу для императивных ЯП (Pascal, ADA, C).
Мы пишем лямбда-выражение для каждой функции. Ввод и вывод также лямбда-выражение. Создается новая машина для вычисления каждой функции. Ввод и вывод записан на ленту

Простой пример

Вот простой пример лямбда-выражения, которое определяет функцию «увеличить на единицу»:

λx.x+1

(Заметим, что это выражение не служит примером чистых лямбда-выражений, потому что использует оператор +, который
не является частью чистых лямбда-выражений; тем не менее, этот пример проще понять, чем пример с чистыми
лямбда-выражениями.)

В этом примере определяется функция одного аргумента, который обозначен ‘x’. Телом функции является «x+1». Заметим,
что функция не имеет имени (иначе говоря, это анонимная функция). Что бы вычислить эту функцию необходимо передать ей
аргумент, например:

(λx.x+1)3

В этом примере λx.x+1 является функцией, а 3 её аргументом; а всё в целом представляет собой лямбда-выражение.

Вычисление подразумевает перезаписывание:

(λx.x+1)3 ⇒ 3+1 ⇒ 4

Пока что под перезаписью можете понимать замену внутри функции всех вхождений параметра ‘x’ на аргумент (а затем, для
не чистых лямбда-выражений, которые включают операторы наподобие сложения, применение этих операторов). Более точное
определение будет приведено далее.

Синтаксис лямбда-исчислений

Синтаксис (чистых) лямбда-исчислений может быть определен следующим образом:

  1. Переменные являются лямбда-выражениями (обозначаются одной буквой в нижнем регистре).
  2. Если M и N являются лямбда-выражениями, то возможны записи вида:
  3. (M)
  4. λid.M
  5. MN

Вот и все!

Правило 2.1 гласит, что мы можем добавлять скобки к выражениям. Правило 2.2 дает определение абстракции: функция с
формальным параметром id и телом M. Правило 2.3 задаёт аппликацию: применение или вызов одного
лямбда-выражения к другому (M применяется к N).

Заметим, что чистые лямбда-исчисление исключают константы, типы и примитивные операторы (+, *, …). Также заметим, что
по соглашению аппликация является лево ассоциативной: ABC означает (AB)C а не A(BC). Аппликация имеет приоритет выше,
чем абстракция: λx.AB означает λx.(AB) а не (λx.A)B

Правила выше определяют язык лямбда-выражений, который можно выразить используя контекстно-свободную грамматику:

exp → ID
| ( exp )
| λ ID . exp // абстракция
| exp exp // аппликация

Как уже говорилось выше, при вычислении лямбда-выражений используется перезаписывание; для каждой аппликации в теле
функции заменяются все вхождения формального параметра (переменной) на значение фактического параметра
(лямбда-выражение).

Будет проще понять, если для лямбда-выражений вместо текста мы будем использовать дерево с абстрактным синтаксисом. Вот
простой пример, приведенный выше:

(λx.x+1)3

И дерево с абстрактным синтаксисом (где λ это абстракция, а apply — аппликация):

        apply
        /   
       λ     3
      / 
     x   +
        / 
       x   1

Для перезаписи дерева с абстрактным синтаксисом мы ищем аппликации функции к аргументам и для каждой из них заменяем
формальный параметр аргументом в теле функции. Чтобы это сделать мы должны найти узел apply у которого левая часть
является лямбда-узлом, так как только лямбда-узлы представляют функции.

  1. Правое поддерево узла apply является аргументом.
  2. Левое поддерево узла apply (с лямбда-выражением в корневом узле) является функцией.
  3. Левый лист лямбда-выражения — это формальный параметр.
  4. Правый лист лямбда-выражения — это тело функции.

В нашем примере только один узел apply; аргумент 3, функция λx.x+1; формальный параметр x, тело функции x+1.
Приведем переписывание:

        apply      =>      +
        /                / 
       λ     3           3   1
      / 
     x   +
        / 
       x   1

А вот пример с двумя аппликациями:

(λx.x+1)((λy.y+2)3)

Первое лямбда-выражение определяет функцию «увеличить на единицу». Аргументом этой функции является аппликация, которая
применяет функцию «увеличить на 2» к значению 3. Построим дерево с абстрактным синтаксисом и один из способов перезаписи
(отдавая приоритет самой правой аппликации):

        apply         =>   apply     =>  apply   =>  +  =>  6
       /                  /            /         / 
      λ       apply       λ     +       λ     5    5   1
     /        /        /    /      / 
    x   +     λ    3    x   + 3   2   x   +
       /    /            /            / 
      x   1 y   +         x   1         x   1
               / 
              y   2

В целом, различные стратегии порядка выбора аппликаций для перезаписи приводят к различным последствиям. Проблема будет
пояснена далее.

Тест для самопроверки #1

Сделайте переписывание ещё раз, при этом выберите другую аппликацию первой.

Ответ

Заметим, что результат переписывания не чистого лямбда-выражения может являться константой (как в примере выше), но
результат может быть также лямбда-выражением: переменной, абстракцией или аппликацией.
Для чистых лямбда-выражений результат переписывания всегда будет лямбда-выражением.

  1. (λf.λx.fx)λy.y+1

    Первое лямбда-выражение определяет функцию, аргумент f которой также является функцией, а тело λx.fx
    является другой функцией (которая принимает аргумент x и вызывает с ним f). Ниже приведены дерево с абстрактным
    синтаксисом и переписывание; возможно вы захотите попробовать нарисовать их сами.

         apply      =>   λ        =>    λ        λx.x+1
    /              /             / 
   λ       λ       x  apply       x   +    
  /      /          /             / 
 f   λ   y   +       λ     x        x   1
    /      /      / 
   x  apply y  1   y   +
      /              / 
     f    x          y   1

    Обратите внимание, что результатом переписывания является функция. Также заметим, хотя в этом примере и используются
    2 узла «apply», только один из них имеет лямбда-узел, поэтому переписывание может быть начато только одним способом.

  2. (λx.λy.x)(λz.z)

    В этом примере первая лямбда принимает один аргумент x, и возвращает функцию, которая игнорирует свой собственный
    аргумент (y), просто возвращая x. В данном случае значение передаваемое как x является функцией.

                apply            λ         λy.λz.z
           /               / 
          λ       λ    =>  y   λ
         /      /           / 
        x   λ   z   z        z   z
           / 
          y   x

Тест для самопроверки #2

Нарисуйте дерево с абстрактным синтаксисом и выполните переписывание для лямбда-выражения:

(λx.λy.xy)(λz.z)

Ответ

Проблемы с простым правилом переписывания

Вспомним, что неточное определение переписывания аппликации (λx.M)N означает «M с заменой на N всех
вхождений x. Однако, с этим определением две проблемы:

Проблема #1: В действительности, мы не хотим заменять все вхождения x. Что бы понять почему, посмотрим на
следующее не чистое лямбда-выражение:

(λx.(x + ((λx.x+1)3)))2

Выражение можно сократить до 6; внутреннее выражение:

(λx.x+1)3

принимает один аргумент 3, прибавляет 1, итого 4. Внешнее выражение

(λx.(x + 4))2

принимает один один аргумент, значение 2, прибавляет 4, итого 6.

Однако, если мы в первую очередь произведём замену во внешней аппликации используя простое правило переписывния, то
получим следующий результат:

      apply
       /
      λ  2
     / 
    x   +                     +
       /                    / 
      x  apply     =>       2  apply     =>  +    => 5
          /     (неверная      /          / 
         λ   3   аппликация)   λ   3       2   +
        /                    /              / 
       x   +                 x   +           2   1
          /                    / 
         x   1                 2   1

Получен неверный результат (5 вместо 6), потому что мы заменили все вхождения x во внутреннем выражении значением,
переданным как параметр для внешнего выражения.

Проблема #2: Рассмотрим чистое лямбда-выражение

((λx.λy.x)y)z

Это выражение похоже на предыдущее, но в этот раз при применяем λx.λy.x к двум аргументам (y и z)
вместо одного аргумента (λz.z). При вызове с двумя аргументами выражение λx.λy.x должно вернуть
свой первый аргумент, в данном случае результатом переписывания должен быть y. Однако, если мы будем использовать
простое правило переписывания и заменим все вхождения формального параметра x на y, то получим:

(λy.y)z

и после переписывания этого выражения получаем

z

т.е. был получен второй аргумент вместо первого! Данный пример иллюстрирует проблему конфликта имен.

Что бы понять как исправть эту проблему необходимо разобраться с областью видимости, включающую в себя следующие
понятия:

  • Связанная переменная: переменная, которая связана с некоторой лямбдой.
  • Свободная переменная: переменная, которая не связана ни с одной лямбдой.

Интуитивно понятно, что в лямбда-выражении M переменная x является связанной, если в дереве с абстрактным
синтаксисом x встречается в поддереве лямбды, у которой левой ветвью является x:

                λ
               / 
              x  /
                /  
               /    
              /..x...
                 |
                 здесь x связан

Приведем точное определение свободных и связанных переменных:

  • В выражении «x» переменная x свободная (нет связанных переменных).
  • В выражении «λx.M» каждый x в M связанный, каждая свободная в M является свободной и в λx.M;
    любая связанная в M переменная также является связанной в λx.M.
  • В выражении MN
    • Свободные в MN переменные являются объединением двух множеств: свободных в M и свободных в N переменных.
    • Связанные в MN переменные также являются объединением двух множеств: связанных в M и связанных в N переменных.

Заметим, что переменная может встречаться несколько раз в одном лямбда-выражении; некоторые её вхождения могут быть
свободными, а некоторые связанными. Таким образом, переменная является одновременно и свободной и связанной, но
каждое вхождение либо связанной, либо свободной (но не вместе). Например, в следующем лямбда-выражении свободными
переменными являются {y,x}, а связанными {y}:

            (λx.y)(λy.yx)
                |     ||
                |     |свободная
            свободная |
                    связанная

Для того, что бы решить проблему #1 в данном лямбда-выражении

(λx.M)N

вместо замены всех вхождений x в M и N мы заменим все свободные вхождения в M с N. Пример:

                       +----- M ---------+
                       |                 |
                   (λx. x + ((λx.x + 1)3)) 2
                        |        |
                        |        |
                   свободный   связанный
                      в M        в M

                     => 2 + ((λx.x + 1)3)

С проблемой #2 дело в том, что переменная y, которая была свободным аргументом в исходном лямбда-выражении, становится
связанной после переписывания (использования аргумента для замены всех вхождений формального параметра), потому, что она
попадает в контекст лямбды, у которой, так уж случилось, аргумент тоже назван y:

    ((λx.λy.x)y)z
              |
              |
       свободная, но станет связанной после аппликации

Для решения проблемы #2 мы воспользуемся преобразованием под названием альфа-редукция. Идея в том, что названия
формальных параметров не важны; поэтому переименуем их таким образом, что бы избежать конфликта. Альфа-редукция
используется для преобразования выражений вида λx.M. Оно переименовывает все вхождения x, которые являются
свободными в M в некоторую другую переменную z, которая не встречается в M (т.е. λx становится
λz). Переменная z отсутствует в M, поэтому мы можем переименовать x в z; т.е.

λx.λy.x+y альфа-редукция => λz.λy.z+y

Приведем псевдокод для альфа-редукции.

alphaReduce(M: lambda-expression,
            x: id,
            z: id) {

  // предварительное условие: z не встречается в M
  // постусловие: вернуть M с заменой всех свободных вхождений x на z

  case M of {

    VAR(x): return VAR(z)

    VAR(y): return VAR(y)

    APPLY(e1, e2): return APPLY(alphaReduce(e1, x, z), alphaReduce(e2, x, z))

    LAMBDA(x,e): return LAMBDA(x,e)

    LAMBDA(y,e): return LAMBDA(y, alphaReduce(e, x, z))
  }
}

Замечание: другой способ для решения проблемы #2 это использование так называемой нотации де Брауна, которая
использует целые числа вместо обозначений. Её изучение будет домашним заданием.

Бета-редукция

Наконец-то мы готовы дать точное определение переписыванию:

  • оно называется бета-редукцией или бета-упрощением;
  • оно определяется при помощи подстановки (которая в свою очередь использует альфа-редукцию).

Для бета-редукции используется следующая нотация:

(λx.M)N →β M[N/x]

Левая часть ((λx.M)N) называется редекс (redex), а правая (M[N/x]) называется контрактус
(contractum). Нотация обозначает M с заменеными свободными вхождениями x на N без конфликта имен. Мы говорим, что
(λx.M)N упрощается до M с подстановкой N в x. Далее приведен псевдокод для замены.

substitute(M: lambda-expression,
           x: id,
           N: lambda-expression) {

  // когда замена вызвана в первый раз M является телом функции в виде λx.M

  case M of {
    VAR(x): return N

    VAR(y): return M

    LAMBDA(x,e): return M // в том случае, если отсутствуют свободные вхождения
                          // x в M, т.е. нечего заменять;
                          // заметим, что это решает проблему #1

    LAMBDA(y,e):
       if (y не является свободной в N)
       then return LAMBDA(y,substitute(e,x,N)) // замена x на N в теле
                                               // лямбда-выражения
       else { // y имеет свободные вхождения в N; здесь решается проблема #2
          let y' идентификатор, не являющийся не x и не y, и 
                 не входящий не в N, не в e;
          let e' = alphaReduce(e,y,y');
          return LAMBDA(y',substitute(e',x,N))
       }

    APPLY(e1,e2): return APPLY(substitute(e1,x,N), substitute(e2,x,N))
  }
}

Что бы проиллюстрировать работу бета-редукции, рассмотрим предыдущий пример проблемы #2. Далее приведены шаги
бета-редукции:

        ((λx.λy.x)y)z
                ->  ((λy.x)[y/x])z   // заменяем x на y в теле "λy.x"
                ->  ((λy'.x)[y/x])z  // после альфа-редукции
                ->  (λy'.y)z         // первая бета-редукция завершена!
                ->  y[z/y']          // замена y' на z в "y"
                ->  y                // вторая бета-редукция завершена!

Обратим внимание, что термин «бета-упрощение» не совсем верно, поскольку применение бета-редукции не всегда дает
меньшее лямбда-выражение. По факту, бета-редукция:

  • уменьшает
  • увеличивает
  • не изменяет

длину лямбда-выражения. Далее будут приведены примеры. В первом случае результатом бета-редукции является исходное
выражение (т.е. длина не изменилась); во-втором примере лямбда-выражение становится длинее; а в-третьем примере
сначало выражение становится длинее, а затем короче.

  • (λx.xx)(λx.xx) → (λx.xx)(λx.xx)
  • (λx.xxx)(λx.xxx) → (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx) → (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx)
  • (λx.xx)(λa.λb.bbb) → (λa.λb.bbb)(λa.λb.bbb) → λb.bbb

Нормальная форма

Как мы уже обсуждали ранее, вычисление лямбда-выражений влечет в себе их переписывание применяя бета-редукцию. Помиимо
этого, существует ещё одна операция под названием бета-расширение, которую мы так же можем использовать. По
определению, лямбда-выражение e1 бета-расширяется в e2, если e2 бета-упрощается до e1. Например, выражение

xy

beta-expands to each of the following:

    (λa.a)xy
    (λa.xy)(λz.z)
    (λa.ay)x

Вычисления останавливаются, когда уже больше нет редексов (не осталось аппликаций функций и аргументов). Мы говорим, что
лямбда-выражение без редексов находится в нормальной форме. Также, лямбда-выражение имеет нормальную форму, если
существует последовательность бета-редукций и/или бета-расширений, которые приводят к нормальной форме.

Отсюда мы получаем несколько интересных вопросов о нормальной форме:

  1. В: Правда, что каждое лямбда-выражение имеет нормальную форму?

    О: Нет, например (λz.zz)(λz.zz). Заметим, что это и не должно быть удивительным, поскольку так как
    лямбда-выражения эквивалентны Машине Тьюринга, а мы знаем, что Машина Тьюринга может не суметь остановиться
    (например, программа может попасть в вечный цикл или бесконечную рекурсию).

  2. В: Если лямбда-выражение имеет нормальную форму, можем ли мы перейти к ней используя только бета-редукцию, или нам
    понадобится использовать бета-расширения?

    О: Должно хватить бета-редукций (это одно из следствий теоремы Чёрча-Россера, уже не за горами!)

  3. В: Если лямбда-выражение имеет нормальную форму, при любой ли последовательности редукций мы к ней придем?

    О: Нет. Рассмотрим следующее лямбда-выражение:

    (λx.λy.y)((λz.zz)(λz.zz))

    Это лямбда-выражение содержет два редекса: первый это всё выражение целиком (аппликация (λx.λy.y) к
    его аргументу); второе — это аргумент: ((λz.zz)(λz.zz)). Второй редекс как раз является примером
    лямбда-выражения без нормальной формы — каждый раз применяя к нему бета-редукцию мы получаем то же самое выражение.
    Очевидно, что если мы будем выбирать этот редекс для упрощения, то мы никогда не найдём нормальную форму для всего
    выражения. Хотя, если мы упростим первый редекс, мы получим λy.y, что и является нормальной формой.
    Следовательно, последовательность наших упрощений может определить, получим мы нормальную форму или нет.

  4. В: Существует ли стратегия для выбора бета-редукций, которая точно позволит придти к нормальной форме, если, конечно,
    такая существует?

    О: Да! Она называется редукция нормального порядка, и ниже мы дадим ей определние.

Нормальный и аппликативный порядок редукции

Определение: самый крайний редекс не является частью другово редекса (Аналогично, самый глубокий редекс не
содержит внутри других редексов). В терминах дерева с абстрактным синтаксисом, узел apply является самым крайним
редексом, если

  • он является редексом (его левая ветвь — лямбда), и
  • он не содержит узлов apply в дереве, которое также является редексом.

Пример:

                            apply  <-- не редекс
                           /     
    крайний редекс --> apply      apply <-- ещё один крайний редекс
                      /          /    
                     λ     ...   λ      apply  <-- редекс, но не крайний
                    /          /      /        
                  ... ...      ... ... λ    ...

При нормальной редукции всегда выбирается самый левый из крайних редексов (поэтому нормальную редукцию ещё
иногда называют лево-ориентированной редукцией).

Нормальная редукция похожа на передачу аргументов по имени, где вы вычисляете входящий параметр только если используется
соответствующий формальный. Если формальный параметр не используется, то входящий можно и не вычислять. Самый левый
редекс не может являться частью аргумента для другово редекса; т.е. редукция скорее похожа на вычисление тела функции,
чем на вычисление агрумента. Если функция игнорирует свой аргумент, то редукция этого редекса может «удалить» остальные
редексы (которые задают аргумент); при этом редукция аргумента никогда не «удалит» функцию. Интуитивно понятно почему
нормальная редукция приведет к нормальной форме, если такая существует, даже если другие последовательности редукций к
нормальной форме не приводят.

Тест для самопроверки #3

Заполните неполное дерево с абстрактным синтаксисом данное выше (для иллюстрации крайнего редекса) таким образом, что бы
итоговое лямбда-выражение имело нормальную форму, и единственным способом придти к ней был бы выбор самого левого
редекса (вместо любых других) хотя бы один раз.

Ответ

Вы наверное думаете, хорошо ли всегда использовать нормальную редукцию (NOR). К сожалению, нет; проблема в том, что
NOR иногда крайне не эффектина. Такая же проблема возникает при передаче параметров по имени: если формальный аргумент
часто используется в функции, и вы вычисляете параметр в каждом вхождении, а вычисление ресурсо-затратно, то было бы
лучше вычислить его один раз. Это приводит к определению другого полезного порядка вычисления: аппликативная
редукция (AOR). Для AOR мы всегда выбираем самый левый из внутренних редексов. AOR соответствует передаче
параметров по значению: все вычисляются (единожно) перед вызовом функции (или, в терминах лямбда-выражений, аргументы
упрощаются перед применением функции). Преимущество AOR заключается в эффективности: если формальный параметр
встречается много раз в теле функции, тогда с NOR аргумент будет упрощен много раз, в то время как для AOR только раз.
Минус AOR в том, что она может не свернуть лямбда-выражение, имеющее нормальную форму.

Стоит отметить, что для языков программирования существует решение под названием вычисление при необходимости,
взявшее лучшее из обеих стратегий. Вычисление при необходимости похоже на передачу аргументов по имени в том плане, что
параметр вычисляется только когда используется соответствующий формальный; хотя, различие в том, что когда используется
вычисление при необходимости, результат вычислений записывается и затем используется для каждого последущего
использования формального. В отсутствии побочных эффектов (что вызывает необходимость каждый раз вычислять параметр,
т.к. получаются различные значения), вычисление по имени и вычисление по необходимости эквивалентны в плане вычисленных
значениях (хотя и вычисление по необходимости эффективнее).

Тест для самопроверки #4

Напишите лямбда-выражение, которое может быть приведено к нормальной форме используя NOR или AOR, но AOR должно быть
эффективнее.

Ответ

Теорема Чёрча-Россера

Настало время для первой теоремы: Теорема Чёрча-Россера. Для начала зададим новое определение:

Говорят, что A → B если существует последовательность нуля или более альфа и/или бета редукций, которая
преобразует А в B.

Теорема: если (X0 → X1) и (X0 → X2), тогда существует x3, для которого справедливо (X1 → X3) и (X2 → X3).
Проиллюстрируем:

         X0
       /    
      /      
     /        
    v          v
   X1          X2
              /
             /
            /
           /
        v  v
         X3

где стрелки обозначают последовательности одного или более альфа и/или бета редукций.

Следствия: если X имеет нормальную форму Y, то

  1. X может быть приведено к Y используя только альфа и/или бета редукции (расширения не обязательны), и
  2. Y единственно (из-за альфа-редукции); т.е., X не имеет других нормальных форм.

Для начала мы предположим что теорема верна, докажем оба следствия, затем мы докажем саму теорему. Для простоты мы
будем использовать нотацию де Брауна; т.е. альфа-редукция не используется.

Доказательство следствия 1

Перед доказательством следствия 1 заметим, что X has normal form Y означает, что мы можем привести X к Y используя
последовательность чередующихся бета-редукций и бета-расширений. Графически это выглядит так:

                         ^
                       /
               ^      /
             /      /    ......  
            /      /              
           X       v                
                                     v
                                     Y

где стрелки вверх обозначают последовательность бета-расширений, а вниз — бета-редукции. Заметим, что последовательность
не может закончиться расширением, так как Y является нормальной формой.

Мы докажем Следствие 1 используя математическую индукцию по числу изменений направления получая из X Y.

Основные случаи

  1. Нуль изменений направления. Так как последовательность не может закончиться расширением, изображение может быть
    только таким:

                X
             
              
               v
               Y

    т.е. мы получили Y из X используя ноль или больше бета-редукций, на этом всё.

  2. Одно изменение направления, т.е. изображение следующее:

     
              W
             ^ 
           /    
          /      
         /        v
        X         Y

    т.е. мы используем несколько бета-расширений что бы получить из X некоторое лямбда-выражение W, затем мы используем
    несколько бета-редукций, что бы из W получить Y. Поскольку каждое бета-расширение является обратным к бета-редукции,
    то мы можем получить X из W (точно так же, как и Y из W), т.е. мы получаем следующее изображение:

                   W
             /   
            /     
           /       
          v         v
          X         Y

    Теорма Чёрча-Россера утверждает, что существует Z такой, что и X и Y можно упростить до Z:

                  W
            /   
           /     
          v       v
         X         Y
                 /
                /
            v   v
              Z

    Так как Y (по условию) в нормальной форме, то Y = Z, и на самом деле наше изображение выглядит так:

                  W
            /  
           /    |
          v     |
         X      |
               |
              /
            v v
             Y

    что означает, что X можно упростить до Y без расширений.

    Теперь мы введём индукцию:

    Предположение индукции: Если X имеет нормальную форму Y, и возможно привести X к Y используя последовательность
    длины n (n gt;= 1) чередующихся бета-расширений и бета-редукций, то мы можем привести X к Y используя только
    бета-редукций.

    Теперь мы покажем, что Следствие 1 справедливо для n+1 изменения направления. Изобразим графически:

     
              W
             ^             ^            ^ 
           /             /            /    
          /             /            /      
         /        v     /        v    /        v
        X           ...           ...           Y
 
    <--1 изменение --> <-- n изменений направления -->

    Обратите внимание на некое лямбда-выражение W (вверху на изображении), такое что:

    1. Мы можем получить W из X используя серию бета-редукций, и
    2. мы можем получить W из Y используя бета-расширения и редукции с n изменений направления.

    По гипотезе индукции, второй пункт означает, что мы можем получить Y из W используя только бета-редукции:

     
            W
             
              
               v
               Y

    Комбинируя с пунктом 1 получаем:

     
              W
             ^  
           /     
          /       
         /         v
        X          Y

    Другими словами, мы можем получить W из X используя только бета-редукции, и Y из W используя только бета-редукции.
    Аналогично второму пункту доказательства, получаем, что мы можем получить Y из X используя только бета-редукции.

Доказательство следствия 2

Вспомним, что Следствие 2 гласит: если лямбда X имеет нормальную форму Y, тогда Y единственно (следует из
альфа-редукции), т.е. X не имеет других нормальных форм. Докажем от противного: Пусть Y и Z — две различные
нормальные формы для X. По Следствию 1 X можно привести к Y и Z:

                X
              /   
             /     
            /       
           v         v
           Y         Z

По теореме Чёрча-Россера существует W такое, что

                X
              /  
             /    
            v      v
           Y        Z
                  /
                 /
              v  v
                W

Поскольку по предположению Y и Z уже находятся в нормальной форме, то никаких упрощений не требуется — Y = W = Z,
и X не имеет двух разных нормальных форм.

Доказательство теоремы Чёрча-Россера

Вспомним теорему:

если (X0 → X1) и (X0 → X2), тогда существует x3, для которого справедливо (X1 → X3) и (X2 → X3).

Где → обозначает одну или больше бета-редукций (так как мы планируем использовать нотацию де Брауна;
т.е. альфа-редукция не используется).

Мы будем доказывать «заполняя алмаз» из X0 в X3; т.е. графически в виде:

                      X0
                    /   
                  W1     Z1
                 /    /   
               W2     A     X2
              /     /    /
            X1     B     C
                 /    /
                D     E
                    /
                    F  = X3

Другими словами, мы бы хотели показать, что для каждой лямбды справедливо следующее: если возможно взять 2 разных
«шага» (две разные бета-редукции) для термов A B, то возможно придти к терму C произведя одну бета-редукцию из A
и одну из B. Если мы сможем доказать это, то мы придём к желаемому X3, построенному согласно изображению выше.

К сожалению, идея не вполне работает — т.е. в целом, предположение о том, что получить C можно произведя одну
бета-редукцию из A и одну из B ложно. Далее приведен пример, который проиллюстрирует это. * обозначает
редекс, который упрощается до y.

        X0 = (λx.xx)(*)
            /          
           /            
        (**)             (λx.xx)y
                            /
                           /
                          /
        (y*) или (*y)     /
                        /
                       /
                     (yy)

Обратим внимание на то, что в примере в исходном терме X0 два редекса: сама * и редекс, который принимает как
аргумент *. Итого, у нас два возможных пути развития для X0: в (**) или в (λx.xx)y. Хотя мы и
можем придти к терму (yy) из обоих выражений, для (**) потребуется два шага.

Итак, для доказательства теоремы Чёрча-Россера дадим определение:

Определение (золотое свойство): Отношение ~~> над термами обладает золотым свойством, тогда и только тогда, когда

Из ( X0 ~~> X1) и ( X0 ~~> X2) следует существование X3, такого, что ( X1 ~~> X3 ) и ( X2 ~~> X3 )

Замечание:

  1. Теорема Чёрча-Россера гласит, что отношение бета-редукций обладает золотым свойством (т.е. если X бета-упрощается
    и до A и до B за нуль или больше шагов, то тогда и A и B бета-упрощаются до C за нуль или больше шагов).
  2. Предыдущий пример доказывает, что одна бета-редукция не обладает золотым свойством (просто потому, что если
    X бета-упрощается до A и B за один шаг, не значит, что и A и B бета-упрощаются до C за один шаг).

3 задания

Для доказательства теормы Чёрча-Россера мы выполним три следующих задания:

  1. Дать определение параллельной редукции (обозначается как ⇒).
  2. Доказать, что X бета-упрощается до Y тогда и только тогда, когда X ⇒ Y*.
  3. Доказать, что ⇒ обладает золотым свойством.

Итак, мы докажем, что ⇒* (последовательность нуля или больше параллельных редукций) обладает золотым свойством, и
что оно идеально подходит для доказательства теоремы Чёрча-Россера.

Ответ 1

        apply         =>    +     =>  +   =>  +  =>  6
       /                  /        /      / 
      λ       apply     apply 1     +   1   5   1
     /        /        /        / 
    x   +     λ    3    λ   3    3    2
       /    /        /      
      x   1 y   +     y   +    
               /        / 
	      y   2     y   2

Ответ 2

     apply      =>       λ     =>        λ      λy.y
    /                  /              / 
   λ       λ           y   apply       y   y
  /      /              /     
 x   λ   z   z           λ       y
    /                  / 
   y  apply            z   z
     /     
    x       y

Ответ 3

Одно из возможных решений:

           apply
       /           
    apply            apply
   /               /     
  L       L        L       apply
 /      /       /     /       
x   x   x   y    x   x  L         L
                       /        / 
                      x  apply  x   apply
                        /         /     
                       x       x  x       x

Ответ 4

Одно из возможных решений:

       apply1
     /        
    /          
   L            apply3
  /           /      
 x   apply2   L        a
     /      / 
    x     x y   y

В этом примере всего два редекса: apply1 и apply3. apply1 самый крайний, а apply3 внутренний.

Если мы будем применять NOR (сначала упростив apply1), то мы получим две копии apply3 (заменяя два вхождения x в
поддереве apply2). Нам потребуется упростить каждый вместо apply3, итого три редукции.

А если мы применим AOR (в первую очередь упростив apply3), то мы заменим поддерево с корнем в apply3 на выражение a.
Теперь, когда мы упростим apply1, то мы получим (а а) — выражение в нормальной форме. Итого всего две редукции.

Источник

Лямбда-исчисление (англ. lambda calculus) — формальная система, придуманная в 1930-х годах
Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией.
Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих
языках программирования.

Содержание

  • 1 Лямбда-исчисление
    • 1.1 Приоритет операций
    • 1.2 Свободные и связанные переменные
    • 1.3 α-эквивалентность
    • 1.4 β-редукция
    • 1.5 Каррирование
  • 2 Нотация Де Брауна
  • 3 Нумералы Чёрча и программирование на [math]lambda[/math]-исчислении
    • 3.1 Определение
    • 3.2 +1
    • 3.3 Сложение
    • 3.4 Умножение
    • 3.5 Возведение в степень
    • 3.6 Логические значения
    • 3.7 Пара
    • 3.8 Вычитание
    • 3.9 Сравнение
    • 3.10 Комбинатор неподвижной точки
    • 3.11 Деление
    • 3.12 Проверка на простоту
    • 3.13 Списки
  • 4 Выводы
  • 5 Примеры (слабонервным не смотреть)
    • 5.1 fact
    • 5.2 head
    • 5.3 tail
  • 6 См. также
  • 7 Источники информации

Лямбда-исчисление

Определение:
Лямбда-выражением (англ. -term) называется выражение, удовлетворяющее следующей грамматике:

где — множество всех строк над фиксированным алфавитом .

Пробел во втором правиле является терминалом грамматики. Иногда его обозначают как @, чтобы он не сливался с другими символами в выражении.

В первом случае функция является просто переменной.
Во втором происходит аппликация (применение) одной функции к другой.
Это аналогично вычислению функции-левого операнда на аргументе-правом операнде.
В третьем — абстракция по переменной. В данном случае происходит
создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.

Рассмотрим, например, -терм . Эта функция принимает аргумент и
возвращает его неизменённым. Например,
. Аналогично, .

Еще примеры:

Иногда -термы пишут по другому. Для краткости подряд идущие лямбды заменяют на одну. Например:

Приоритет операций

  • Аппликация:
  • Абстракция забирает себе всё, до чего дотянется:
  • Скобки играют привычную роль группировки действий

Свободные и связанные переменные

Связанными переменными называются все переменные, по которым выше в
дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.

Например, в , и связана, а — свободна. А в
в своём первом вхождении переменная свободна, а во втором — связана.

Связанные переменные — это аргументы функции. То есть для функции они являются локальными.

Рассмотрим функции и . В первой из них при взгляде на
понятно, что она имеет отношение к переменной, по которой производилась
абстракция. Если по одной и той же
переменной абстракция производилась более одного раза, то переменная связана
с самым поздним (самым нижним в дереве разбора) абстрагированием. Например, в
, переменная связана с самой правой абстракцией
по .

α-эквивалентность

Определение:
-эквивалентностью (англ. -equivalence) — называется наименьшее соотношение эквивалентности на такое что:

для любого
если

и замкнуто относительно следующих правил:

Функции и являются -эквивалентными,
а и — нет.

β-редукция

Определение:
-редукция (англ. -reduction) — это наименьшее соотношение на такое что

и замкнуто относительно следующих правил

Определение:
Через обозначают сведение к с помощью одной -редукции.
А через — за ноль или более.

В -редукции вполне возможна функция вида . Во время подстановки вместо внутренняя переменная не заменяется — действует принцип локальной переменной. Но принято считать, что таких ситуаций не возникает и все переменные называются разными именами.

Каррирование

Определение:
Каррирование (англ. carrying) — преобразование функции от многих переменных в функцию, берущую свои аргументы по одному. Для функции типа оператор каррирования выполняет преобразование . Таким образом берет аргумент типа и возвращает функцию типа . С интуитивной точки зрения, каррирование функции позволяет фиксировать ее некоторый аргумент, возвращая функцию от остальных аргументов. Таким образом, представляет собой функцию типа .

Нотация Де Брауна

Существует также альтернативное эквивалентное определение -исчисления.
В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена,
и была проблема с тем, что не были запрещены одинаковые имена в разных
абстракциях.

От этой проблемы можно избавиться следующим образом. Вместо имени переменной
будет храниться натуральное число — количество абстракций в дереве разбора,
на которое нужно подняться, чтобы найти ту лямбду, с которой данная переменная
связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения
свободных переменных и -редукции.

Грамматику нотации можно задать как:

Примеры выражений в этой нотации:

Standart de Bruijn
$lambda x.x$ $lambda .0$
$lambda z.z$ $lambda .0$
$lambda x. lambda y.x$ $lambda . lambda .1$
$lambda x. lambda y. lambda s. lambda z.x s (y s z)$ $lambda . lambda . lambda . lambda .3 1(2 1 0)$
$(lambda x.x x)(lambda x.x x)$ $(lambda .0 0)(lambda .0 0)$
$(lambda x. lambda x.x)(lambda y.y)$ $(lambda .lambda .0)(lambda .0)$

Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше
количества абстракций на пути до неё в дереве разбора.

При -редукции же нужно будет ко всем свободным переменным заменяющего
дерева при каждой замене прибавить число, равное разницы уровней раньше и сейчас.
Это будет соответствовать тому, что эта переменная продолжит «держаться» за
ту же лямбду, что и раньше.

Нумералы Чёрча и программирование на -исчислении

Определение

Введём на основе лямбда-исчисления аналог натуральных чисел, основанный на идее,
что натуральное число — это или ноль, или увеличенное на единицу натуральное
число.

Каждое число будет функцией двух аргументов: какой-то функции и начального значения.
Число будет раз применять функцию к начальному значению и возвращать
результат. Если такому «числу» дать на вход функцию и в качестве
начального значения, то на выходе как раз будет ожидаемое от функции число:
.

+1

Функция, прибавляющая к числу, должна принимать первым аргументом число.
Но число — функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три
аргумента: «число» , которое хочется увеличить, функция, которую надо будет
раз применить, и начальное значение.

Здесь — раз применённая к функция . Но нужно применить
раз. Отсюда .

Сложение

Сложение двух чисел похоже на прибавление единицы. Но только надо прибавить не единицу, а второе число.

раз применить к применённому раз к

Умножение

Умножение похоже на сложение, но прибавлять надо не единицу, а второе число.
Или, в терминах нумералов Чёрча, в качестве применяемой несколько раз
функции должна быть не , а функция, применяющая раз .

Здесь — функция, которая раз применит к тому, что дадут ей на
вход. С помощью -редукции можно немного сократить эту формулу

Возведение в степень

It’s a kind of magic

Логические значения

Функции двух аргументов, возвращающие первый и второй, соответственное, аргументы.
Забавный факт: . Эти функции сделаны такими для того,
чтобы красиво написать функцию :

Если ей в качестве первого аргумента дадут , то вернётся , иначе — .

Стандартные функции булевой логики:

Ещё одной важной функцией является функция проверки, является ли число нулём:

Функция выглядит несколько странно. — функция, которая независимо
от того, что ей дали на вход, возвращает . Тогда, если в качестве
будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет
возвращено значение по умолчанию . Иначе же функция будет запущено, и
вернётся .

Пара

Функция принимает два значения и запаковывает их в пару так, чтобы к ним можно было обращаться по и . В и вместо в будет подставлено или , возвращающие, соответственно, первый и второй аргументы, то есть или , соответственно.

Вычитание

В отличие от всех предыдущих функций, вычитание для натуральных чисел определено только в случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Положим в противном случае результат равным нулю. Пусть уже есть функция, которая вычитает из числа единицу. Тогда на её основе легко сделать, собственно, вычитание.

Это то же самое, что раз вычесть единицу из .

Осталось, собственно, функция для вычитания единицы. Однако, это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Проблема в том, что, имея функцию, которую нужно применить для того, чтобы продвинуться вперёд, продвинуться назад будет проблематично. Если попробовать воспользоваться идеей о том, чтобы, начав от нуля, идти вперёд, и пройти на один шаг меньше, то будет не очень понятно, как же остановиться ровно за один шаг до конца. Для реализации вычитания единицы сделаем следующее. раз выполним следующее: имея пару построим пару . Тогда после шагов во втором элементе пары будет записано число , которое и хочется получить.

Если вы ничего не поняли, не огорчайтесь. Вычитание придумал Клини, когда ему вырывали зуб мудрости. А сейчас наркоз уже не тот.

Сравнение

Так как вычитание определено таким способом, чтобы для случая, в котором уменьшаемое больше, чем вычитаемое, возвращать ноль, можно определить сравнение на больше-меньше через него. Равными же числа и считаются, если .

Комбинатор неподвижной точки

Попробуем выразить в лямбда-исчислении какую-нибудь функцию, использующую рекурсию. Например, факториал.

Мы столкнулись с проблемой. В определении функции используется функция . При формальной замене, получим бесконечную функцию. Можно попытаться решить эту проблему следующим образом

Определение:
Неподвижной точкой лямбда-функции назовём такую функцию , что
.

Лямбда исчисление обладаем замечательным свойством: у каждой функции есть неподвижная точка!

Рассмотрим следующую функцию.

Заметим, что .
Или, что то же самое,

Рассмотрим функцию

Как было показано выше, , то есть, , где — искомая функция, считающая факториал.

Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать потребовалось сделать 66066 -редукций.

Наиболее известным комбинатором неподвижной точки является -комбинатор, введенный известным американским ученым Хаскеллом Карри как

Деление

Воспользовавшись идеей о том, что можно делать рекурсивные функции, сделаем функцию, которая будет искать частное двух чисел.

И остатка от деления

Проверка на простоту

— принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от до . Если на что-нибудь разделилось, то число — составное, иначе — простое.

Следующее простое число. — следующее, больше либо равное заданного, — следующее, большее заданного.

пропрыгает простых чисел вперёд. принимает число и пропрыгивает столько простых чисел вперёд, начиная с двойки.

…и всего через 314007 -редукций вы узнаете, что третье простое число — семь!

Списки

Для работы со списками чисел нам понадобятся следующие функции:

  • — возвращает пустой список
  • — принимает первый элемент и оставшийся список, склеивает их
  • — вернуть голову списка
  • — вернуть хвост списка

Список будем хранить в следующем виде: . При этом, голова списка будет храниться как показатель степени при .

Выводы

На основе этого всего уже можно реализовать эмулятор машины тьюринга: с помощью пар, списков чисел можно хранить состояния. С помощью рекурсии можно обрабатывать переходы. Входная строка будет даваться, например, закодированной аналогично списку: пара из длины и числа, характеризующего список степенями простых. Я бы продолжил это писать, но уже на операции я не дождался окончания выполнения. Скорость лямбда-исчисления как вычислителя печальна.

Примеры (слабонервным не смотреть)

fact

head

tail

См. также

  • Неразрешимость задачи вывода типов в языке с зависимыми типами

Источники информации

  • Lectures on the Curry Howard — Isomorphism
  • Д. Штукенберг. Лекции
  • Английская Википедия
  • Русская Википедия
  • Игра про крокодилов
Источник

Добавлено 17 июня 2021 в 20:55

Рассмотрим фрагмент кода, который мы представили в уроке «10.25 – Знакомство с алгоритмами стандартной библиотеки»:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
// static в этом контексте означает внутреннее связывание
static bool containsNut(std::string_view str)
{
  // std::string_view::find, если не находит подстроку, возвращает
  // std::string_view::npos, являющееся очень большим числом.
  // В противном случае он возвращает индекс, в котором подстрока
  // встречается в str.
  return (str.find("nut") != std::string_view::npos);
}
 
int main()
{
  constexpr std::array<std::string_view, 4> arr{ "apple", "banana", "walnut", "lemon" };
 
  // std::find_if принимает указатель на функцию
  const auto found{ std::find_if(arr.begin(), arr.end(), containsNut) };
 
  if (found == arr.end())
  {
    std::cout << "No nutsn";
  }
  else
  {
    std::cout << "Found " << *found << 'n';
  }
 
  return 0;
}

Этот код ищет в массиве строк первый элемент, содержащий подстроку «nut«. Таким образом, он выдает следующий результат:

Found walnut

И пока он работает, его можно улучшить.

Корень проблемы здесь в том, что std::find_if требует, чтобы мы передали ей указатель на функцию. Из-за этого мы вынуждены определять функцию, которая будет использоваться только один раз, ей нужно дать имя и поместить в глобальную область видимости (потому что функции не могут быть вложенными!). К тому же эта функция такая короткая, что легче понять, что она делает, по строкам кода, чем по названию и комментариям.

Лямбды спешат на помощь

Лямбда-выражение (также называемое лямбда (lambda) или замыкание (closure)) позволяет нам определять анонимную функцию внутри другой функции. Вложенность важна, поскольку она позволяет нам избежать загрязнения пространств имен и определять функцию как можно ближе к тому месту, где она используется (обеспечивая дополнительный контекст).

Синтаксис лямбда-выражений – одна из самых странных вещей в C++, и к нему нужно немного привыкнуть. Лямбды имеют вид:

[ захват ] ( параметры ) -> возвращаемый_тип
{
    инструкции;
}

Захват и параметры могут быть пустыми, если они не нужны.

Тип возвращаемого значения является необязательным, и если он опущен, будет использоваться значение auto (т.е. использование вывода типа для определения типа возвращаемого значения). Хотя мы ранее отмечали, что следует избегать вывода типа для типов, возвращаемых функцией, в этом контексте его можно использовать (поскольку эти функции обычно очень тривиальны).

Также обратите внимание, что лямбды не имеют имени, поэтому нам не нужно его указывать.

В качестве отступления…

Это означает, что определение простейшего лямбда-выражения выглядит так:

#include <iostream>
 
int main()
{
  []() {}; // определяем лямбда-выражение без захватов, без параметров и без возвращаемого типа
 
  return 0;
}

Давайте перепишем приведенный выше пример с помощью лямбда-выражения:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
int main()
{
  constexpr std::array<std::string_view, 4> arr{ "apple", "banana", "walnut", "lemon" };
 
  // Определяем функцию там, где мы ее используем.
  const auto found{ std::find_if(arr.begin(), arr.end(),
                           [](std::string_view str) // вот наша лямбда, без захвата
                           {
                             return (str.find("nut") != std::string_view::npos);
                           }) };
 
  if (found == arr.end())
  {
    std::cout << "No nutsn";
  }
  else
  {
    std::cout << "Found " << *found << 'n';
  }
 
  return 0;
}

Это работает так же, как и случай с указателем на функцию, и дает идентичный результат:

Found walnut

Обратите внимание, насколько похоже наше лямбда-выражение на нашу функцию containsNut. У них обоих одинаковые параметры и тела функций. Лямбда не имеет захвата (что такое захват, мы объясним в следующем уроке), потому что он не нужен. И мы в лямбде опустили завершающий тип возвращаемого значения (для краткости), но поскольку operator!= возвращает bool, наша лямбда также вернет bool.

Тип лямбды

В приведенном выше примере мы определили лямбду именно там, где это было необходимо. Такое использование лямбды иногда называют функциональным литералом.

Однако запись лямбды в той же строке, где она используется, иногда может затруднить чтение кода. Подобно тому, как мы можем инициализировать переменную литеральным значением (или указателем на функцию) для использования позже, мы также можем инициализировать лямбда-переменную с помощью определения лямбда-выражения, а затем использовать ее позже. Именованная лямбда вместе с хорошим именем функции может упростить чтение кода.

Например, в следующем фрагменте мы используем std::all_of, чтобы проверить, все ли элементы массива четны:

// Плохо: нам нужно прочитать лямбду, чтобы понять, что происходит.
return std::all_of(array.begin(), array.end(), [](int i){ return ((i % 2) == 0); });

Мы можем улучшить читаемость следующим образом:

// Хорошо: вместо этого мы можем сохранить лямбду в
// именованной переменной и передать ее функции.
auto isEven{
  [](int i)
  {
    return ((i % 2) == 0);
  }
};
 
return std::all_of(array.begin(), array.end(), isEven);

Обратите внимание, как хорошо читается последняя строка: «вернуть, все ли элементы в массиве четные»

Но какой тип у лямбды isEven?

Оказывается, лямбды не имеют типа, который мы могли бы использовать явно. Когда мы пишем лямбду, компилятор генерирует только для этой лямбды уникальный тип, который нам не предоставляется.

Для продвинутых читателей

На самом деле лямбды не являются функциями (что является частью того, как они избегают ограничения C++, не поддерживающего вложенные функции). Это особый вид объектов, называемых функторами. Функторы – это объекты, которые содержат перегруженный operator(), который делает их вызываемыми как функции.

Хотя мы не знаем тип лямбды, есть несколько способов сохранить лямбду для использования после определения. Если лямбда имеет пустой список захвата, мы можем использовать обычный указатель на функцию. В следующем уроке мы познакомимся с лямбда-захватами, указатель на функцию в этот момент больше не будет работать. Однако для лямбда-выражений можно использовать std::function, даже если они что-то захватывают.

#include <functional>
 
int main()
{
  // Обычный указатель на функцию. Работает только с пустым списком захвата.
  double (*addNumbers1)(double, double){
    [](double a, double b) {
      return (a + b);
    }
  };
 
  addNumbers1(1, 2);
 
  // Использование std::function. Лямбда может иметь
  // непустой список захвата (следующий урок).
  // примечание: до C++17 используйте вместо
  // этого std::function<double(double, double)>
  std::function addNumbers2{ 
    [](double a, double b) {
      return (a + b);
    }
  };
 
  addNumbers2(3, 4);
 
  // Использование auto. Сохраняет лямбду с ее реальным типом.
  auto addNumbers3{
    [](double a, double b) {
      return (a + b);
    }
  };
 
  addNumbers3(5, 6);
 
  return 0;
}

Единственный способ использовать реальный тип лямбды – использовать auto. У auto также есть преимущество в отсутствии дополнительных затрат по сравнению с std::function.

К сожалению, мы не всегда можем использовать auto. В случаях, когда фактическая лямбда неизвестна (например, потому что мы передаем лямбду в функцию в качестве параметра, и вызывающий определяет, какая лямбда будет передана), мы не можем использовать auto без компромиссов. В таких случаях можно использовать std::function.

#include <functional>
#include <iostream>
 
// Мы не знаем, какой будет fn. std::function работает
// с обычными функциями и с лямбдами.
void repeat(int repetitions, const std::function<void(int)>& fn)
{
  for (int i{ 0 }; i < repetitions; ++i)
  {
    fn(i);
  }
}
 
int main()
{
  repeat(3, [](int i) {
    std::cout << i << 'n';
  });
 
  return 0;
}

Вывод этой программы:

0
1
2

Если бы мы использовали auto для типа fn, вызывающий функцию не знал бы, какие параметры и возвращаемый тип должна иметь fn. Кроме того, функции с параметрами auto нельзя разделить на заголовочный и исходный файл. Мы объясняем причину этого ограничения, когда будем говорить о шаблонах.

Правило

Используйте auto при инициализации переменных лямбда-выражениями, или std::function, если вы не можете инициализировать переменную лямбда-выражением.

Обобщенные лямбда-выражения

По большей части параметры лямбд работают по тем же правилам, что и параметры обычных функций.

Одним примечательным исключением является то, что, начиная с C++14, нам разрешено использовать auto для параметров (примечание: в C++20 обычные функции также смогут использовать auto для параметров). Когда лямбда имеет один или несколько параметров auto, компилятор из вызовов лямбды определит, какие типы параметров необходимы.

Поскольку лямбда-выражения с одним или несколькими параметрами auto потенциально могут работать с широким спектром типов, они называются обобщенными лямбда-выражениями.

Для продвинутых читателей

При использовании в контексте лямбда-выражения auto – это просто сокращение для шаблонного параметра.

Давайте посмотрим на обобщенную лямбду:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
int main()
{
  constexpr std::array months{ // до C++17 используется std::array<const char*, 12>
    "January",
    "February",
    "March",
    "April",
    "May",
    "June",
    "July",
    "August",
    "September",
    "October",
    "November",
    "December"
  };
 
  // Поиск двух соседних месяцев, начинающихся с одной и той же буквы.
  const auto sameLetter{ std::adjacent_find(months.begin(), months.end(),
                                      [](const auto& a, const auto& b) {
                                        return (a[0] == b[0]);
                                      }) };
 
  // Убедимся, что два месяца нашлись.
  if (sameLetter != months.end())
  {
    // std::next возвращает следующий итератор после sameLetter
    std::cout << *sameLetter << " and " << *std::next(sameLetter)
              << " start with the same lettern";
  }
 
  return 0;
}

Вывод программы:

June and July start with the same letter

В приведенном выше примере мы используем параметры auto для захвата наших строк по константной ссылке. Поскольку все строковые типы разрешают доступ к своим отдельным символам через operator[], нам не нужно заботиться о том, передает ли пользователь std::string, строку в стиле C или что-то еще. Это позволяет нам написать лямбду, которая могла бы принимать любой из этих типов, а это означает, что если мы изменим тип через несколько месяцев, нам не придется переписывать лямбду.

Однако auto не всегда лучший выбор. Рассмотрим следующий код:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
int main()
{
  // до C++17 используется std::array<const char*, 12>
  constexpr std::array months{ 
    "January",
    "February",
    "March",
    "April",
    "May",
    "June",
    "July",
    "August",
    "September",
    "October",
    "November",
    "December"
  };
 
  // Подсчитаем, сколько месяцев состоит из 5 букв
  const auto fiveLetterMonths{ std::count_if(months.begin(), months.end(),
                                       [](std::string_view str) {
                                         return (str.length() == 5);
                                       }) };
 
  std::cout << "There are " << fiveLetterMonths << " months with 5 lettersn";
 
  return 0;
}

Вывод программы:

There are 2 months with 5 letters

В этом примере использование auto приведет к выводу типа const char*. Со строками в стиле C нелегко работать (если не считать использования operator[]). В этом случае мы предпочитаем явно определить параметр как std::string_view, что позволяет нам намного проще работать с базовыми данными (например, мы можем запросить у строкового представления его длину, даже если пользователь передал массив в стиле C).

Обобщенные лямбды и статические переменные

Следует знать, что для каждого типа, в который выводится auto, будет сгенерирована уникальная лямбда. В следующем примере показано, как одна обобщенная лямбда превращается в две разные лямбды:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
int main()
{
  // Распечатываем значение и подсчитываем, сколько раз был вызван print.
  auto print{
    [](auto value) {
      static int callCount{ 0 };
      std::cout << callCount++ << ": " << value << 'n';
    }
  };
 
  print("hello"); // 0: hello
  print("world"); // 1: world
 
  print(1); // 0: 1
  print(2); // 1: 2
 
  print("ding dong"); // 2: ding dong
 
  return 0;
}

Вывод программы:

0: hello
1: world
0: 1
1: 2
2: ding dong

В приведенном выше примере мы определяем лямбду, а затем вызываем ее с двумя разными параметрами (строковый литеральный параметр и целочисленный параметр). Это генерирует две разные версии лямбды (одна со строковым литеральным параметром, а другая с целочисленным параметром).

В большинстве случаев это несущественно. Однако обратите внимание, что если обобщенное лямбда-выражение использует переменные статической продолжительности, эти переменные совместно не используются сгенерированными лямбда-выражениями.

Мы можем видеть это в приведенном выше примере, где каждый тип (строковые литералы и целые числа) имеет свой уникальный счетчик! Хотя мы написали лямбду только один раз, было сгенерировано две лямбды, и каждая имеет свою версию callCount. Чтобы иметь общий счетчик для двух сгенерированных лямбда-выражениях, нам нужно определить глобальную переменную или статическую локальную переменную вне лямбда-выражения. Как вы знаете из предыдущих уроков, как глобальные, так и статические локальные переменные могут вызывать проблемы и затруднять понимание кода. Мы сможем избежать этих переменных после того, как поговорим о лямбда-захватах в следующем уроке.

Вывод возвращаемого типа и завершающие возвращаемые типы

Если используется вывод типа возвращаемого значения, возвращаемый тип лямбды выводится из инструкций return внутри лямбды. В этом случае все инструкции return в лямбда-выражении должны возвращать один и тот же тип (иначе компилятор не будет знать, какой из них предпочесть).

Например:

#include <iostream>
 
int main()
{
  auto divide{ [](int x, int y, bool bInteger) { // примечание: не указан тип
                                                 // возвращаемого значения
    if (bInteger)
      return x / y;
    else
      return static_cast<double>(x) / y; // ОШИБКА: тип возврата не соответствует
                                         // предыдущему типу возврата
  } };
 
  std::cout << divide(3, 2, true) << 'n';
  std::cout << divide(3, 2, false) << 'n';
 
  return 0;
}

Это приводит к ошибке компиляции, поскольку тип возврата первой инструкции return (int) не соответствует типу возврата второй инструкции return (double).

В случае, если мы возвращаем разные типы, у нас есть два варианта:

  1. выполните явное приведение, чтобы все возвращаемые типы совпадали, или
  2. явно укажите тип возвращаемого значения для лямбда-выражения и позвольте компилятору выполнить неявные преобразования.

Второй вариант – обычно лучший выбор:

#include <iostream>
 
int main()
{
  // примечание: явно указывает возврат типа double
  auto divide{ [](int x, int y, bool bInteger) -> double {
    if (bInteger)
      return x / y; // выполнит неявное преобразование в double
    else
      return static_cast<double>(x) / y;
  } };
 
  std::cout << divide(3, 2, true) << 'n';
  std::cout << divide(3, 2, false) << 'n';
 
  return 0;
}

Таким образом, если вы когда-нибудь решите изменить тип возвращаемого значения, вам (обычно) нужно будет только изменить тип возвращаемого значения лямбды, и не касаться тела лямбда.

Функциональные объекты стандартной библиотеки

Для распространенных операций (например, сложения, отрицания или сравнения) вам не нужно писать свои собственные лямбды, потому что стандартная библиотека поставляется с множеством базовых вызываемых объектов, которые можно использовать вместо этого. Они определены в заголовке <functional>.

Например:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
 
bool greater(int a, int b)
{
  // Порядок a перед b, если a больше, чем b.
  return (a > b);
}
 
int main()
{
  std::array arr{ 13, 90, 99, 5, 40, 80 };
 
  // Передаем greater в std::sort
  std::sort(arr.begin(), arr.end(), greater);
 
  for (int i : arr)
  {
    std::cout << i << ' ';
  }
 
  std::cout << 'n';
 
  return 0;
}

Вывод программы:

99 90 80 40 13 5

Вместо того чтобы преобразовывать нашу функцию greater в лямбду (что немного скрывает ее значение), мы можем вместо этого использовать std::greater:

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <functional> // для std::greater
 
int main()
{
  std::array arr{ 13, 90, 99, 5, 40, 80 };
 
  // Передаем std::greater в std::sort
  // // примечание: фигурные скобки нужны для создания экземпляра объекта
  std::sort(arr.begin(), arr.end(), std::greater{}); 
 
  for (int i : arr)
  {
    std::cout << i << ' ';
  }
 
  std::cout << 'n';
 
  return 0;
}

Вывод программы:

99 90 80 40 13 5

Заключение

Лямбда-выражения и библиотека алгоритмов могут показаться излишне сложными по сравнению с решением, использующим цикл. Однако эта комбинация может позволить реализовать некоторые очень мощные операции всего в нескольких строках кода и может быть более читабельной, чем написание ваших собственных циклов. Вдобавок ко всему, библиотека алгоритмов обладает мощным и простым в использовании параллелизмом, которого вы не получите с циклами. Обновить исходный код, использующий библиотечные функции, проще, чем обновить код, использующий циклы.

Лямбды – это здорово, но они не заменяют обычные функции во всех случаях. Для нетривиальных и многоразовых случаев предпочитайте использование обычных функций.

Небольшой тест

Вопрос 1

Создайте структуру Student, в которой хранятся имя и баллы учащегося. Создайте массив студентов и используйте std::max_element, чтобы найти студента, набравшего наибольшее количество баллов, затем распечатайте имя этого студента. std::max_element принимает начало и конец списка и функцию, которая принимает 2 параметра и возвращает истину, если первый аргумент меньше второго.

Проверьте код на следующем массиве.

std::array<Student, 8> arr{
  { { "Albert", 3 },
    { "Ben", 5 },
    { "Christine", 2 },
    { "Dan", 8 },        // больше всего баллов (8).
    { "Enchilada", 4 },
    { "Francis", 1 },
    { "Greg", 3 },
    { "Hagrid", 5 } }
};

Ваша программа должна напечатать

Dan is the best student

Подсказка

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string>
 
struct Student
{
  std::string name{};
  int points{};
};
 
int main()
{
  const std::array<Student, 8> arr{
    { { "Albert", 3 },
      { "Ben", 5 },
      { "Christine", 2 },
      { "Dan", 8 },
      { "Enchilada", 4 },
      { "Francis", 1 },
      { "Greg", 3 },
      { "Hagrid", 5 } }
  };
 
  const auto best{
    std::max_element(arr.begin(), arr.end(), /* лямбда */)
  };
 
  std::cout << best->name << " is the best studentn";
 
  return 0;
}

Ответ

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string>
 
struct Student
{
  std::string name{};
  int points{};
};
 
int main()
{
  const std::array<Student, 8> arr{
    { { "Albert", 3 },
      { "Ben", 5 },
      { "Christine", 2 },
      { "Dan", 8 },
      { "Enchilada", 4 },
      { "Francis", 1 },
      { "Greg", 3 },
      { "Hagrid", 5 } }
  };
 
  const auto best{
    std::max_element(arr.begin(), arr.end(), [](const auto& a, const auto& b) {
      return (a.points < b.points);
    })
  };
 
  std::cout << best->name << " is the best studentn";
 
  return 0;
}

Вопрос 2

Используйте std::sort и лямбда-выражение в следующем коде, чтобы отсортировать сезоны по возрастанию средней температуры (температура приведена в Кельвинах).

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
struct Season
{
  std::string_view name{};
  double averageTemperature{};
};
 
int main()
{
  std::array<Season, 4> seasons{
    { { "Spring", 285.0 },
      { "Summer", 296.0 },
      { "Fall", 288.0 },
      { "Winter", 263.0 } }
  };
 
  /*
   * Используйте здесь std::sort
   */
 
  for (const auto& season : seasons)
  {
    std::cout << season.name << 'n';
  }
 
  return 0;
}

Программа должна напечатать

Winter
Spring
Fall
Summer

Ответ

#include <algorithm>
#include <array>
#include <iostream>
#include <string_view>
 
struct Season
{
  std::string_view name{};
  double averageTemperature{};
};
 
int main()
{
  std::array<Season, 4> seasons{
    { { "Spring", 285.0 },
      { "Summer", 296.0 },
      { "Fall", 288.0 },
      { "Winter", 263.0 } }
  };
 
  // Чтобы отсортировать массив, мы можем сравнить среднюю температуру
  // (averageTemperature) двух аргументов.
  std::sort(seasons.begin(), seasons.end(),
            [](const auto& a, const auto& b) {
              return (a.averageTemperature < b.averageTemperature);
            });
 
  for (const auto& season : seasons)
  {
    std::cout << season.name << 'n';
  }
 
  return 0;
}

Теги

C++ / CppLearnCppstd::functionДля начинающихЛямбда / LambdaЛямбда-выражение / Lambda expressionЛямбда-функцияОбучениеПрограммированиеФункторФункциональный литерал

Источник

Время на прочтение
5 мин

Количество просмотров 142K

В этой статье вы подробнее изучите анонимные функции, так же называемые «лямбда-функции». Давайте разберемся, что это такое, каков их синтаксис и как их использовать ( с примерами).

Лямбда-функции в Python являются анонимными. Это означает, что функция безымянна. Как известно, ключевое слов def используется в Python для определения обычной функции. В свою очередь, ключевое слово  lambda  используется для определения анонимной функции.

Лямбда-функция имеет следующий синтаксис. 

Lambda аргументы: выражение

Лямбда-функции могут иметь любое количество аргументов, но у каждой может быть только одно выражение. Выражение вычисляется и возвращается. Эти функции могут быть использованы везде, где требуется объект-функция.

1.1. Пример лямбда-функции.

Ниже представлен пример лямбда-функции,  удваивающей вводимое значение.

double = lambda x: x*2
print(double(5))

Вывод:

10

В вышеуказанном коде lambda x: x*2 — это лямбда-функция. Здесь x — это аргумент, а x*2 — это выражение, которое вычисляется и возвращается.

Эта функция безымянная. Она возвращает функциональный объект с идентификатором double. Сейчас мы можем считать её обычной функцией.

Инструкция:

double = lambda x: x*2

Эквивалентна:

def double(x):
		return x * 2

  • Эта функция может иметь любое количество аргументов, но вычисляет и возвращает только одно значение

  • Лямбда-функции применимы везде, где требуются объекты-функции 

  • Вы должны помнить, что  синтаксически лямбда-функция ограничена, позволяет представить всего одно выражение

  • Они имеют множество вариантов применения в конкретных областях программирования, наряду  с другими типами выражений, используемых в функциях.

2. Различие между обычной функцией и лямбда-функцией

Рассмотрим пример и попробуем понять различие между определением (Def) для обычной функции и lambda—функции. Этот код возвращает заданное значение, возведенное в куб:

def defined_cube(y):
    return y*y*y


lambda_cube = lambda y: y*y*y
print(defined_cube(2))
print(lambda_cube(2))

Вывод:

8
8

Как показано в примере выше, обе представленные функции, defined_cube() и  lambda_cube(), ведут себя одинаково, как и предполагалось.

Разберем вышеуказанный пример подробнее:

  • Без использования лямбды: Здесь обе функции возвращают заданное значение, возведенное в куб. Но при использовании def, нам пришлось определить функцию с именем и defined_cube() дать ей входную величину.  После выполнения нам также понадобилось возвратить результат, из того места, откуда была вызвана функция, и мы сделали это, используя ключевое слово return.

  • С применением лямбды: Определение лямбды не включает оператор return, а всегда содержит возвращенное выражение. Мы также можем поместить определение лямбды в любое место, где ожидается функция, и нам не нужно присваивать его переменной. Так выглядят простые лямбда-функции.

3. Лямбда-функции и функции высшего порядка

Мы используем лямбда-функцию, когда нам ненадолго требуется безымянная функция.

В Python мы часто используем их как аргумент функции высшего порядка (функции, которая принимает другие функции в качестве аргументов).  Лямбда-функции используют вместе с такими встроенными функциями как filter(), map(),reduce() и др.

Давайте рассмотрим еще несколько распространенных вариантов использования лямбда-функций.

3.1. Пример с filter()

Функция filter() в Python принимает в качестве аргументов функцию и список .

Функция вызывается со всеми элементами в списке, и в результате возвращается новый список, содержащий элементы, для которых функция результирует в True.

Вот пример использования функции filter() для отбора четных чисел из списка.

my_list = [1, 3, 4, 6, 10, 11, 15, 12, 14]
new_list = list(filter(lambda x: (x%2 == 0) , my_list))
print(new_list)

Вывод:

[4, 6, 10, 12, 14]

3.2. Пример с map()

Функция map() принимает в качестве аргументов функцию и список.

Функция вызывается со всеми элементами в списке, и в результате возвращается новый список, содержащий элементы, возвращенные данной функцией для каждого исходного элемента.

Ниже пример использования функции map() для удвоения всех элементов списка.

current_list = [1, 3, 4, 6, 10, 11, 15, 12, 14]
new_list = list(map(lambda x: x*2 , current_list))
print(new_list)

Вывод:

[2, 6, 8, 12, 20, 22, 30, 24, 28]

3.3. Пример с reduce()

Функция reduce() принимает в качестве аргументов функцию и список. Функция вызывается с помощью лямбда-функции и итерируемого объекта  и возвращается новый уменьшенный результат. Так выполняется повторяющаяся операцию над парами итерируемых объектов. Функция reduce() входит в состав модуля functools.

from functools import reduce


current_list = [5, 15, 20, 30, 50, 55, 75, 60, 70]
summa = reduce((lambda x, y: x + y), current_list)
print(summa)

Вывод:

380

Здесь результаты предыдущих двух элементов суммируются со  следующим элементом, и это продолжается до конца списка, вот так:

5+15+20+30+50+55+75+60+70

4. Лямбда и  списковое включение

В этом примере мы будем использовать лямбда-функцию со списковым включением и лямбда-функцию с циклом for. Мы выведем на экран  таблицу из 10 элементов.

tables = [lambda x = x: x*10 for x in range(1, 11)]
for table in tables:
    print(table())

Вывод:

10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

5. Лямбда и условные операторы

Давайте рассмотрим использование условий if-else в лямбда-функции. Как вы знаете, Python позволяет нам использовать однострочные условия, и  именно их мы можем помещать в лямбда-функцию для обработки возвращаемого результата.

Например, есть две цифры, и вы должны определить, какая из них представляет наибольшее число.

max_number = lambda a, b: a if a > b else b
print(max_number(3, 5))

Вывод:

5

Этот метод позволяет вам добавлять условия в лямбда-функции.

6. Лямбда и множественные операторы

Лямбда-функции не допускают использования нескольких операторов, однако мы можем создать две лямбда-функции, а затем вызвать вторую лямбда-функцию в качестве параметра для первой функции. Давайте попробуем найти второй по величине элемент, используя лямбду.

current_list = [[10,6,9],[0, 14, 16, 80],[8, 12, 30, 44]]
sorted_list = lambda x: (sorted(i) for i in x)
second_largest = lambda x, func: [y[len(y)-2] for y in func(x)]
result = second_largest(current_list, sorted_list)
print(result)

Вывод:

[9, 16, 30]

В предыдущем примере, мы создали лямбда-функцию, которая сортирует каждый вложенный список в заданном списке. Затем этот список проходит как параметр для второй лямбда-функции, которая возвращает элемент n-2 из отсортированного списка, где  n — длина вложенного списка.

Заключение

Теперь вы знаете как использовать в Python lambda-функции и можете:

  • Писать и использовать лямбда-функции.

  • Рационально выбирать между обычными и лямбда-функциями в Python.

  • Использовать лямбды с функциями высшего порядка или ключевыми функциями.

  • Использовать лямбды с абстракциями списков.

  • Добавлять условия к лямбда-функциям.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти друга в контакте видео
  • Как найти издержки если известна себестоимость
  • Как на хайвей найти плей маркет
  • Как найти сумму линейных операторов
  • Как найти абсолютный прирост формула