Как найти параметр показательного распределения

Экспоненциально распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
lambda e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Функция распределения величины $X$:

$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
1- e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Здесь $lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^{-2t}$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^{-3x}$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_{xi}$, $D_{xi}$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | lt 3sigma$ («правило $3sigma$» для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Определение.
Непрерывная
случайная величина
,
плотность распределения которой задается
формулой

называется
показательной
или
экспоненциальной
с параметром
.

График плотности
вероятности
равномерно
распределенной случайной величины
изображен на рисунке 1

Рис.
1.

В большом числе
случаев показательное распределение
описывает время безотказной работы
прибора, при этом число
интерпретируется как интенсивность
отказа. Это распределение находит также
широкое применение в демографии.

Свойства показательного распределения

Свойство 1.
Интегральная
функция распределения показательной
случайной величины записывается в виде

.

Доказательство.
Для того, что бы найти интегральную
функцию распределения показательной
случайной величины, воспользуемся
свойством 3 дифференциальной функции
распределения

.

Рассмотрим следующие
два случая:

1. Если
   ,
   топри.
   Поэтому

.

1. Если
   ,
   то из свойства аддитивности определенного
   интеграла получаем

.

Из рассмотренных
случаев следует, что интегральная
функция
показательно распределенной случайной
величины записывается в виде

График интегральной
функции
показательно распределенной случайной
величины изображен на рисунке 2

Рис.
2.

Свойство 2.
Математическое
ожидание случайной показательной
случайной величины определяется по
формуле

.

Доказательство.

.

Свойство 3.
Дисперсия
случайной величины показательной
случайной величины определяется по
формуле

.

Доказательство.
Воспользовавшись формулой для вычисления
дисперсии непрерывной случайной величины

,

находим

Свойство 4.
Среднее квадратическое отклонение
случайной величины показательной
случайной величины вычисляется по
формуле

.

Доказательство.
Так как среднее квадратическое отклонение

,

то среднее
квадратическое отклонение для равномерно
распределенной случайной величины
находим

Пример.

5. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон
распределения наиболее часто встречается
на практике, Главная особенность,
выделяющая его среди других законов,
состоит в том, что он является предельным
законом, к
которому приближаются другие законы
распределения при весьма часто
встречающихся типичных условиях.

Определение.

Непрерывная
случайная величина

имеет
нормальный
закон распределения или
закон
распределения Гаусса
с параметрами
и,
если ее плотность распределения
вероятности имеет вид

.

Кривую нормального
закона распределения называют нормальной
или
гауссовой
кривой.

Выясним прежде
всего теоретико-вероятностный смысл
параметров нормального закона
распределения.

Теорема.
Если случайная величина
распределена по нормальному закону, то

1) математическое
ожидание случайной величины
равно параметруэтого закона, т.е.

,

2) средне
квадратическое отклонение случайной
величины
равно параметруэтого закона, т.е.

.

Доказательство.

Для того чтобы
определить вид нормальной кривой,
проведем исследование дифференциальной
функции распределения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Показательное распределение

Показательным или экспоненциальным, называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины $X$, которое описывается плотностью $ f( x )=left{ { { begin{array} { c } { 0, ,при,x<0 } \ { lambda e^ { -lambda x } ,при,xgeqslant 0, ,lambda -const } \ end{array} } }right. $

и имеет один параметр $lambda $. В этом его преимущество перед другими распределениями.

Найдем функцию распределения $F(x)$ $ begin{array} { l } F( x )=intlimits_ { -infty } ^x { f( x )dx } =intlimits_ { -infty } ^0 { 0dx } +intlimits_0^x { lambda e^ { -lambda x } dx } =left. { frac { lambda e^ { -lambda x } } { -lambda } }right|_0^x =-( { e^ { -lambda x } -e^0 } )=1-e^ { -lambda x } \ F( x )=left{ { { begin{array} { c } { 0,,xleqslant 0 } \ { 1-e^ { -lambda x } ,,xgeqslant 0 } \ end{array} } }right. \ end{array} $

Найдём вероятность попадания в интервал { a,b } случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному функцией распределения $ F( x )=left{ { { begin{array} { c } { 0,,xleqslant 0 } \ { 1-e^ { -lambda x } ,,xgeqslant 0 } \ end{array} } }right. $

используя формулу

$P( { aleqslant x<b } )=F( b )-F( a )$ и учитывая, что $F( a )=1-e^ { -lambda a } , F( b )=1-e^ { -lambda b } $, получим $P( { aleqslant x<b } )=1-e^ { -lambda a } -1+e^ { -lambda b } =e^ { -lambda b } -e^ { -lambda a } $

для $e^ { -x } -$ существуют таблицы.

Или $P( { aleqslant x<b } )=e^ { -lambda b } -e^ { -lambda a } $

Числовые характеристики показательного распределения.

Пусть непрерывная, случайная величина $x$ распределена по показательному закону

$ f( x )=left{ { { begin{array} { c } { 0,,при,x<0 } \ { lambda e^ { -lambda x } ,,при,xgeqslant 0 } \ end{array} } }right. $

Найдём математическое ожидание

$M( x )=intlimits_0^infty { xf( x )dx } =lambda intlimits_0^infty { xe^ { -lambda x } dx } =$ $left.| begin{array} { c } { u=x } \ { dv=e^ { -lambda x } dx } \ end{array} begin{array} { c } { du=dx } \ { v=frac { e^ { -lambda x } } { -lambda } } \ end{array} right.| =lambda ( -left. { frac { xe^ { -lambda x } } { -lambda } }right|_0^infty +frac { 1 } { lambda } intlimits_0^infty { e^ { -lambda x } dx } )=$ $= mathop { lim } limits_ { Ato infty } left. { frac { x } { e^ { lambda x } } } right|_0^A -mathop { lim } limits_ { Ato infty } left. { frac { e^ { -lambda x } } { lambda } } right|_0^A = mathop { lim } limits_ { Ato infty } ( { frac { A } { e^ { lambda A } } -frac { 0 } { e^ { -0lambda } } } )-mathop { lim } limits_ { Ato infty } frac { 1 } { lambda } ( { frac { 1 } { e^ { lambda A } } -frac { 1 } { e^ { 0A } } } )=-frac { 1 } { lambda } mathop { lim } limits_ { Ato infty } ( { -frac { 1 } { e^ { 0A } } } )=frac { 1 } { lambda } $

Дисперсия

$D( x )=intlimits_0^infty { x^2f( x )dx-M^2( x ) } =lambda intlimits_0^infty { x^2e^ { -lambda x } dx } = left| по,частям,дважды right| -M^2( x )= frac { 2 } { lambda ^2 } -frac { 1 } { lambda ^2 } =frac { 1 } { lambda ^2 } \ sigma ( x )=sqrt { D( x ) } =frac { 1 } { lambda } $

Итак, параметры показательного распределения:

Математическое ожидание $M( x )=frac { 1 } { lambda } $.

Дисперсия $D(X)=frac { 1 } { lambda ^2 } $.

Среднее квадратическое отклонение $sigma (X)=frac { 1 } { lambda } $