Как найти перебором все делители числа

На этой странице вы узнаете

• Как быстро работает программа?
• Есть ли смысл перебирать делители после корня?
• Что количество делителей может сказать о самом числе?

Гадание на кофейной гуще или на картах Таро? Может, на ромашке? Хотя лучше не доверять свои отношения цветку. Наша судьба — только в наших руках. А судьба чисел предопределена заранее. Сегодня мы будем предсказывать их жизнь и судьбу по делителям. Но главная проблема — найти эти делители.

Постановка проблемы. Переборное решение

Встречали ли вы странных персонажей в задачах, которым резко понадобилось купить 50 арбузов? А что подумаете, если ваш учитель математики задаст найти число, у которого 50 делителей?

Поиск делителей в математике не самый сложный процесс. Есть разные способы: разложение на простые множители, обычный перебор и так далее. Сложность задания будет зависеть от самого числа. Довольно быстро получится найти делители числа 24 — число небольшое, красивое, удобное. Нахождение делителей числа 1234567 займет гораздо больше времени.

Я предлагаю включить компьютер, открыть среду разработки и заставить код сделать за нас всю работу.

Идея в следующем:

1. Создадим список, в который мы сохраним все делители числа.
2. С помощью цикла for переберем все числа из диапазона от 1 до самого числа.
3. Если в переборе мы нашли такое число, которое является делителем исходного — остаток от деления будет равен 0 — сохраним это число в список.

В итоге мы получим список всех делителей исходного числа.

number = 1234567
dels = []

for i in range(1, number + 1):
	if number % i == 0:
		dels.append(i)

print(dels)
_____________________________________________________________________
Вывод: [1, 127, 9721, 1234567]

У этого метода есть очень большая проблема — время его работы.

Программа выполняет команды очень быстро, но не бесконечно быстро.

Замеры времени зависят от многих факторов, например, мощности компьютера. Но мы можем повысить эффективность работы программы. 

Ускоренный перебор делителей

Идея ускоренного перебора делителей заключается в том, что, найдя один делитель, мы сразу можем подобрать второй — его пару.

Возьмем число 24. Найдя его делитель 2, мы сразу можем сказать, что у 24 есть еще один делитель — 12, потому что 12 = 24 / 2. Интересная мысль? Давайте ее развивать.

Найдем по такой логике все делители числа 16.

1. Самый простой делитель числа — 1. И по этой логике сразу найдем второй делитель — само число 16, так как 16 / 1 = 16.

1. Проверим число 2. Это делитель, так что сразу найдем его пару: 16 / 2 = 8.

1. Проверяем число 3 — это не делитель, его просто пропускаем.

1. При проверке числа 4 мы столкнемся с интересной ситуацией. Его парой будет 16 / 4 = 4 — то же самое число, а мы ищем различные пары. Значит, у корня числа пары не будет: найдя корень, мы найдем только один делитель.

Если мы продолжим перебор, числа 5, 6 и 7 — не будут делителями. А за ними — 8, делитель, который мы уже нашли.

Если у числа целого корня нет, перебираем до его округленного вниз значения.
Нам нет смысла перебирать числа после корня, так что будем перебирать до предельно близкого к нему значения, но не больше.

Логика программы будет такой:

1. Перебираем числа от 1 до корня исходного числа.
2. Если мы нашли корень числа, добавляем в список делителей только его.
3. Если мы нашли не корень, а обычный делитель — добавляем в список сразу пару делителей.

Пример реализации ускоренного перебора делителей для числа 1234567000:

number = 1234567000
dels = []

for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
	if i * i == number:
		dels.append(i)
	elif number % i == 0:
		dels.append(i)
		dels.append(number // i)

print(len(dels))
_____________________________________________________________________
Вывод: 64

Эта программа нашла все делители числа и выдала их количество — 64. А на ее работу ушло меньше секунды.

Но и это не панацея. Что, если нам придется проверить делители сразу нескольких чисел? Например, мы хотим найти все числа, у которых ровно 7 делителей, в диапазоне от 1 до 10000. 

Программу надо немного модифицировать:

1. заведем переменную-счетчик, которая будет считать подходящие числа;
2. number сделаем перебираемой переменной по нужному диапазону с помощью цикла for;
3. ускоренный перебор будет внутри перебора number;
4. в конце каждого шага цикла проверяем — если делителей у числа ровно 7, то увеличиваем наш счетчик на 1.

Теперь программа будет выглядеть следующим образом:

count = 0
for number in range(1, 10000):
	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)
_____________________________________________________________________
Вывод: 2

Эта программа работала всего 0.2 секунды. Звучит неплохо, но давайте снова поднимать ставки:

1. диапазон 1 — 10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1 — 100000 — 2.6 секунды;
3. диапазон 1 — 1000000 — 80.2 секунды.

Время снова увеличивается очень быстро. Что можно с этим сделать? 

Еще более ускоренный перебор делителей

Не считаем, что не нужно

Обратите внимание — программа выше нашла среди чисел 1–10000 всего 2 числа, имеющих ровно 7 делителей. А сколько же у остальных? Может быть и больше, может быть и меньше. Например, у числа 9864 делителей аж 24 штуки. Стоило ли тратить время на поиск их всех, если количество делителей больше 7?

Конечно, нет. Как только мы нашли 8 штук, мы уже можем понять, что анализировать число далее нам неинтересно. Значит, нужно остановить работу цикла.

Команда break полностью останавливает работу цикла.

Мы можем модернизировать нашу последнюю программу: если в переборе делителей мы увидим, что их больше семи, завершаем цикл командой break.

count = 0
for number in range(1, 10000):
	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)
		if len(dels) > 7:
			break

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)

При этом завершится именно цикл перебора делителей i, так как break находится именно в нем, а цикл перебора number продолжит свою работу.

Давайте произведем замеры еще раз:

1. диапазон 1-10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1-100000 — 2.1 секунды;
3. диапазон 1-1000000 — 53.5 секунды.

В последнем случае мы сэкономили около трети от времени работы программы. Но и это не предел.

Не считаем, что не нужно 2.0

Вернемся на несколько абзацев выше, когда мы искали делители числа 16. Мы нашли 5 делителей — 2 пары и 1 корень, который не даст пару. Это справедливо для любого числа: целый корень не будет давать пару ни с каким другим числом, а все остальные делители — будут. 

Нам нужны числа, у которых ровно 7 делителей. Следовательно, нам нужны числа, у которых есть целый корень. Это можно проверить, вычислив точный корень числа и его округленное значение. Если они совпадут, значит, округлять корень было некуда и он целый. 

Но как пропускать числа, которые нам не нужны?

Команда continue останавливает работу текущего шага цикла и сразу переходит к следующему.

Если мы найдем число number, у которого нет целого корня, мы можем применить команду continue: данный шаг цикла перебора number завершается, и мы сразу перейдем к следующему.

Включить эту проверку в программу можно следующим образом:

count = 0
for number in range(1, 10000):
	if number ** 0.5 != int(number ** 0.5):
		continue

	dels = []

	for i in range(1, int(number ** 0.5) + 1):
		if i * i == number:
			dels.append(i)
		elif number % i == 0:
			dels.append(i)
			dels.append(number // i)
		if len(dels) > 7:
			break

	if len(dels) == 7:
		count += 1

print(count)

Снова посмотрим на время работы программы при разных диапазонах:

1. диапазон 1-100000 — 0.1 секунды;
2. диапазон 1-1000000 — 0.5 секунды;
3. диапазон 1-10000000 — 4.5 секунды;
4. диапазон 1-100000000 — 44.4 секунды.

Зная все особенности ускорения перебора делителей и поиска чисел с конкретными делителями, за считанные секунды можно решать задачи огромных диапазонов. 

Фактчек

• Ускоренный перебор делителей подразумевает нахождение делителей попарно, при этом перебирать делители достаточно только до корня числа.
• Команда break полностью останавливает работу цикла, а команда continue завершает работу лишь текущего шага цикла, перенося нас сразу на следующий.
• Если у числа есть целый корень, количество делителей числа будет нечетным, так как корень не даст пару ни с кем. Если же у числа целого корня нет — количество его делителей будет четным, так как все делители будут иметь пару.

Проверь себя

Задание 1.
Для чего нужен ускоренный перебор делителей?

1. Обычный перебор слишком скучный
2. Для большей точности вычислений
3. Для ускорения работы программы

Задание 2.
Найдите количество делителей числа 2568568668.

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

Задание 3.
Найдите, сколько чисел из диапазона от 2000 до 1002000 имеют ровно 5 делителей.

1. Ни одного
2. 1
3. 10
4. 8

Ответы: 1. — 3; 2. — 3; 3. — 4.

Вот проблема, которую я недавно пытался решить: дано целое число n, каковы все его делители?

Делитель, также известный как фактор или множитель, — это такое целое число m, на которое n делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

В итоге я написал кое-что с помощью itertools, и в моем коде используется несколько интересных моментов из теории чисел. Я не знаю, буду ли я возвращаться к нему снова, но я надумал написать эту статью, потому что мои попытки решить озвученный выше вопрос перетекли в довольно забавное упражнение.

Простейший подход

Если мы хотим найти все числа, которые делят n без остатка, мы можем просто перебрать числа от 1 до n:

def get_all_divisors_brute(n):
    for i in range(1, int(n / 2) + 1):
        if n % i == 0:
            yield i
    yield n

На деле нам нужно дойти только до n/2, потому что все, что больше этого значения, гарантировано не может быть делителем n — если вы разделите n на что-то большее, чем n/2, результат не будет целым числом.

Этот код очень прост, и для малых значений n он работает достаточно хорошо, но он довольно неэффективен и медлителен в других случаях. По мере увеличения n время выполнения линейно увеличивается. Можем ли мы сделать лучше?

Факторизация

В моем проекте я работал в основном с факториалами. Факториал числа n, обозначаемый n! — это произведение всех целых чисел от 1 до n включительно. Например:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Поскольку факториалы состоят преимущественно из небольших множителей, я решил попробовать получить список делителей, определив сначала наименьшие из них. В частности, я искал простые множители, то есть те, которые также являются простыми числами. (Простое число — это число, единственными делителями которого являются оно само и 1. Например, 2, 3 и 5 являются простыми, а 4 и 6 — нет).

Вот функция, которая находит простые делители числа n:

def get_prime_divisors(n):
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            n /= i
            yield i
        else:
            i += 1

    if n > 1:
        yield n

Это похоже на предыдущую функцию, использующую перебор делителей: мы продолжаем пробовать множители, и если находим подходящий, то делим на него. В противном случае мы проверяем следующее число. Это довольно стандартный подход к поиску простых множителей.

Теперь мы можем использовать этот метод для получения факторизации числа, то есть для его записи в виде произведения простых чисел. Например, факторизация числа 8! выглядит следующим образом:

8! = 2^7 × 3^2 × 5 × 7

Вычисление такой факторизации относительно эффективно, особенно для факториалов, так как, поскольку все простые множители очень малы, вам не нужно делать много делений.

В теории чисел есть утверждение, называемое основной теоремой арифметики, которое гласит, что простые факторизации (разложения) уникальны: для любого числа n существует только один способ представить его в виде произведения простых множителей. (Я не буду приводить здесь доказательство, но вы можете найти его в Википедии).

Это дает нам способ находить делители путем перебора всех комбинаций простых множителей. Простые множители любого m делителя числа n должны входить в подмножество простых множителей n, иначе m не делило бы число n.

Переход от факторизации к делителям

Для начала разложим исходное число на простые множители с указанием «кратности», то есть мы должны получить список всех множителей и количество раз, которое каждый из них встречается в факторизации:

import collections

def get_all_divisors(n):
    primes = get_prime_divisors(n)

    primes_counted = collections.Counter(primes)

    ...

Затем, давайте продолжим и возведем каждое простое число во все степени, которые могут появиться в возможном делителе n.

def get_all_divisors(n):
    ...
    divisors_exponentiated = [
        [div ** i for i in range(count + 1)]
        for div, count in primes_counted.items()
    ]

Например, для 8! представленный код выдаст нам следующее:

[
    [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128],  // 2^0, 2^1, ..., 2^7
    [1, 3, 9],  // 3^0, 3^1, 3^2
    [1, 5],
    [1, 7],
]

Затем, чтобы получить делители, мы можем использовать довольно удобную функцию itertools.product, которая принимает на вход итерабельные объекты и возвращает все возможные упорядоченные комбинации их элементов. В нашем случае она выбирает по одному числу из каждого списка с возведениями в степень, а затем, перемножая их вместе, мы получаем очередной делитель n.

import itertools

def calc_product(iterable):
    acc = 1
    for i in iterable:
        acc *= i
    return acc

def get_all_divisors(n):
    ...

    for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated):
        yield calc_product(prime_exp_combination)

Таким образом, мы находим все делители n (хотя, в отличие от предыдущих функций, они не отсортированы).

Собираем все вместе

Сложив все это, мы получим следующую функцию для вычисления делителей n:

import collections
import itertools


def get_prime_divisors(n):
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            n /= i
            yield i
        else:
            i += 1

    if n > 1:
        yield n


def calc_product(iterable):
    acc = 1
    for i in iterable:
        acc *= i
    return acc


def get_all_divisors(n):
    primes = get_prime_divisors(n)

    primes_counted = collections.Counter(primes)

    divisors_exponentiated = [
        [div ** i for i in range(count + 1)]
        for div, count in primes_counted.items()
    ]

    for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated):
        yield calc_product(prime_exp_combination)

print(list(get_all_divisors(40320))) # 8!

Такая реализация очень эффективна, особенно когда у вас много маленьких простых множителей, как в случае с факториалами, с которыми я работал. Я не знаю, насколько хорошо она покажет себя в общем случае, и, если вы занимаетесь серьезными научными вычислениями, я уверен, что вы легко найдете уже реализованные и оптимизированные алгоритмы для такого рода вещей.

День!
решая задачу пришлось найти в сети алгоритм поиска всех делителей числа.
ну то есть для восьми надо выдать [1,2,4,8], а не [2,2,2] — список делителей. Я переписал этот алгоритм наново, прошу «старших товарищей» подсказать как улучшить. Если есть время ))

def divisorss(n):
    from collections import Counter
    ls = get_ls(n)                  # for n=1568 -> ls = [2, 2, 2, 2, 2, 7, 7]
    pairs = dict(Counter(ls))       #  {2: 5, 7: 2}
    from itertools import product, starmap
    from operator import mul
    from functools import reduce
    #  список всех различных делитей числа
    bases = [b for b in pairs.keys()]   # [2, 7]
    #  список степеней, в которые возводятся уникальные делители для получения числа  
    powers = [[i for i in range(k+1)] for k in pairs.values()]
    # генерирование всех наборов для получения делителей исходного числа
    multi = product(*powers)
    #  сцепка списка оснований с возможными вариантами степеней
    wrk = (zip(bases,power) for power in multi)
    # наборы чисел, которые нужно перемножить для получения делителя
    rezzz = (starmap( pow, row) for row in wrk)
    # возвращение списка всех делителей
    return [reduce(mul,i) for i in rezzz]

например divisorss(1568) возвращает [1, 7, 49, 2, 14, 98, 4, 28, 196, 8, 56, 392, 16, 112, 784, 32, 224, 1568]

Функция get_ls(n) дает соответственно список разложения числа на произведение делителей

например такая:

def get_ls(n):
    """Разложить число на множители"""
    #result = [1]
    result = []
    i = 2
    while i*i <= n:
        if n % i == 0:
            n //= i
            result.append(i)
        else:
            i += 1
    if n > 1:
        result.append(n)
    return result

что можно улучшить?
Ну например, что лучше — reduce из functools или accumulate из itertools. Ну и вообще по алгоритму.

Понятно, что улучшения типа

return [reduce(mul,i) for i in (starmap(pow, row) for row in (zip(bases,power) for power in product(*powers)))] 

не интересны.

Математика 5 класс Дорофеев. 6.1 Делители и кратные . Номер №422

Решение а

Делители числа 6:
1, 2, 3, 6.

Решение б

Делители числа 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18.

Решение в

Делители числа 70:
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.