Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».
Задача.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды.
Решение.
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника равна:
Соответственно:
16√3 = a2 √3 / 4
16 = a2 / 4
a2 = 64
a = 8 см
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
8 * 3 = 24 см
Ответ: 24 см.
0
Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании). Тетраэдр |
Описание курса
| Объем правильной треугольной пирамиды
Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр.
a=P/n
S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2)
r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan〖(180°)/n〗 )
R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin〖(180°)/n〗 )
Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n
Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))
Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5)
cosα=R/b=P/(2n sin〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 )))
cosβ=r/l=P/(2nl tan〖(180°)/n〗 )
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания.
S_(б.п.)=lP/2
S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности.
V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan〖(180°)/n〗 )
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 )) )
R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))
Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Свойства куба:
1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.
2. Противоположные грани попарно параллельны.
3. Все двугранные углы куба – прямые.
4. Диагонали равны.
5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра
$B_1D=AB√3$
7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
$DC_1=DC√2$
Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:
Объем куба: $V=a^3={d^3}/{3√3}$.
Площадь полной поверхности: $S_{п.п}=6а^2=2d^2$
Радиус сферы, описанной около куба: $R={a√3}/{2}$
Радиус сферы, вписанной в куб: $r={a}/{2}$
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$а$-длина;
$b$-ширина;
$с$-высота(она же боковое ребро);
$P_{осн}$-периметр основания;
$S_{осн}$-площадь основания;
$S_{п.п}$-площадь полной поверхности;
$V$-объем.
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
$SO$ — высота.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ — высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3}S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
- В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
- Противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$а$ — длина;
$b$ — ширина;
$с$ — высота(она же боковое ребро);
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем.
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
Куб
$а$ — длина стороны.
$V=a^3;$
$S_{бок}=4а^2;$
$S_{п.п}=6а^2;$
$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.
$V={1}/{3}S_{осн}·h$
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
Площадь треугольника.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
В основании лежит четырехугольник.
- Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны. - Ромб.
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами. - Трапеция.
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции. - Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Пример:
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.
Решение:
Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.
Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник
$V={S_{прямоугольника}·h}/{3}={a·b·h}/{3}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.
Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).
$СС_1=АА_1=4$
$V={А_1В_1·A_1D_1·СС_1}/{3}={8·12·4}/{3}=128$
Ответ: $128$
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Призма
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.
Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
$С_1Н$ — высота
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$h$ — высота призмы.
$S_{бок}=P_{осн}·h$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$
$V=S_{осн}·h$
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
3. Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.
Решение:
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Распишем формулу площади полной поверхности:
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$
В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$
Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.
$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$
$Р=13·4=52$
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$
Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:
$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$
Ответ: $1280$
Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.
$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$
$V=S_{осн}·h=πR^2 h$
Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
$cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
$tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$
$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosβ;$
$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
$SO$ — высота
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :
$АВ=an$ — сторона правильного многоугольника
$R$ — радиус описанной окружности
$r$ — радиус вписанной окружности
$n$ — количество сторон и углов
$a_n=2·R·sin {180°}/{n};$
$r=R·cos{180°}/{n};$
$a_n=2·r·tg{180°}/{n}.$
В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.
У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).
Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ -периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем.
В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.
$S_{бок}=∑↖{n}S_{бок.граней}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$- высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_осн·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
- Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2 √3}/{4}={3·a^2 √3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $10$, а высота равна $5√3$.
Решение:
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
Так как пирамида правильная, то в основании у нее лежит равносторонний треугольник, найдем его площадь по формуле:
$S_{основания}={a^2 √3}/{4}={10^2·√3}/{4}=25√3$
Подставим все данные в формулу объема и вычислим его:
$V={1}/{3} S_{осн}·h={25√3·5√3}/{3}={25·5·3}/{3}=25·5=125$
Ответ: $125$
Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
- Призма $V=S_{осн}·h$
- Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
- Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
- Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Первый способ.
- Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
- Найти объем параллелепипеда.
- Найти объем лишней части фигуры.
- Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Пример:
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
$V=10·9·4=360$
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
Его длина равна $9-4=5$
Ширина равна $4$
Высота равна $7$
$V=7·4·5=140$
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
$V=360-140=220$
Ответ: $220$
- Второй способ
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
$cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
$tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Геометрия 10-11 класс
10 баллов
Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 апофема равна 5. Найдите периметр основания пирамиды
Ирина Каминкова
16.03.2021 13:52:49
Дано: DABC — правильная пирамида, h = 4 — высота, m = 5 — апофема
Найти: периметр основания P
Решение:
Построим две медианы (высоты. биссектрисы) AE и CM
Отметим точку пересечения O = AE ∩ CM
По построению DO = h — высота, DM = m — апофема
По теореме Пифагора из ΔDOM: OM = √(DM²-DO²) = √(5²-4²) = 3
Т.к. O — точка пересечения медиан, OM = CM/3 ⟹ CM = 3OM = 3*3=9
Пусть a — сторона правильного тругольника ΔABC.
Высота CM = √3a/2 ⟹ a = 2CM/√3 = 2*9/√3 = 6√3
Периметр основания
P = 3a = 3*6√3 = 18√3
Ответ: 18√3
Ответ эксперта
Ирина Каминкова
16.03.2021 13:53:25
Ответ эксперта
Все предметы
Рейтинг пользователей
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
- боковые рёбра правильной пирамиды равны;
- в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна Пи, а каждый из них соответственно Пи/n, где n — количество сторон многоугольника основания;
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
людей нашли эту статью полезной. А Вы?