Как найти пересечение диаграмма эйлера

Что это такое? Диаграмма Эйлера кажется чем-то очень сложным на первый взгляд. Однако на самом деле это круги, накладываемые друг на друга при решение определенных задач. Их применяют в алгебре, информатике и даже в жизни, столкнувшись с каким-то выбором.

Как строить? Для начала нужно представить универсальное множество в виде прямоугольника. Внутри него будут эллипсы или круги, которые могут пересекаться, а могут и нет. Их можно дополнять, объединять, пересекать. Давайте рассмотрим все это на примере ниже.

Что собой представляет диаграмма Эйлера

Так называется геометрическое изображение, которое используют, чтобы смоделировать множества и схематично отразить отношения между ними. На диаграмме Эйлера наглядно показаны утверждения о данных множествах.

При этом универсальное множество обозначено прямоугольником, а подмножества изображены в виде кругов. Поэтому диаграмму называют также «круги Эйлера». Такое схематичное изображение применяют при решении математических и логических задач, а также в менеджменте и различных прикладных целях.

Автор этого способа – математик XVIII века Леонард Эйлер, который хотел таким образом помочь размышлениям. Автором кругов является известный математик Леонард Эйлер, который считал, что они необходимы, чтобы облегчить размышления человека. Диаграмма Эйлера стала признанным методом с момента своего появления.

Биография Леонарда Эйлера связана со Швейцарией, Пруссией и Россией. Этот учёный оказал огромное влияние на развитие математики, механики, физики. Его научные работы (более 850 трудов) затрагивают теорию чисел, теорию музыки, оптику, баллистику, небесную механику. Среди его трудов имеется ряд основополагающих монографий. Около половины жизни Эйлер провёл в России, работал в Петербургской Академии наук и много вложил в развитие российской науки.

Скачать
файл

В дальнейшем в работах многих учёных используется диаграмма Эйлера для множеств: это математики Бернард Больцано и Эрнест Шредер; философ и логик Джон Венн и другие. В наши дни эту методику применяют для развития мышления как при очном обучении, так и на различных онлайн-курсах.

Разница между диаграммой Эйлера и диаграммой Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – это частный случай кругов Эйлера, который показывает все 2^π{displaystyle 2^{n}} комбинаций π{displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру. При π = 3 диаграмма Эйлера-Венна обычно выглядит как три круга, имеющих одинаковый радиус, их центры совпадают с вершинами равностороннего треугольника, стороне которого приблизительно равны радиусы.

Если определённая комбинация свойств соответствует пустому множеству, на схеме эту область закрашивают. Диаграммы Эйлера могут быть не типичны, а иногда эквивалентны диаграммам Венна. Закрашенный участок схемы указывает на то, что это множество не содержит элементов, то есть пустое.

Задачи, решаемые диаграммой Эйлера

Прикладное значение, которое имеет диаграмма Эйлера: задачи на соотношение множеств в математике, логике, информатике, статистике становятся понятнее при её использовании. Круги Эйлера можно применять и в жизни, находя с их помощью взаимосвязи и отвечая на возникающие насущные вопросы.

Круги Эйлера можно разделить на такие группы:

• равнозначные;
• пересекающиеся;
• подчиненные;
• соподчиненные;
• противоречащие;
• противоположные.

Выполняя упражнения на развитие мышления, чаще всего можно столкнуться с двумя их видами:

• Круги, изображающие объединяющиеся понятия и вложенные один в другой, чтобы это показать.
• Круги, иллюстрирующие пересечения различных множеств, которые имеют те или иные общие признаки.

Приведём пример использования кругов при выборе профессии. Можно перебирать варианты, обдумывая наиболее подходящий, а можно начертить схему, изобразив в виде кругов то, что вам нравится делать, что вы умеете, и что хорошо оплачивается. Получится диаграмма Эйлера. Пересечение этих трёх кругов и показывает, что будет наиболее вам подходить.

Метод прост в применении и подходит для всех. Его используют и при работе с дошкольниками в детском саду с 4-5 лет, и при обучении студентов (например, можно увидеть подобные задачи в ЕГЭ по информатике), и в научной среде.

Принцип построения диаграммы

При построении диаграммы Эйлера сначала рисуют большой прямоугольник, обозначающий универсальное множество U. Внутри этого прямоугольника располагают фигуры, которые являются изображением множеств: круги (если их не больше трёх) или круги и эллипсы (когда множеств четыре и больше). Фигуры пересекаются различными способами, в зависимости от условий задачи.

Допустим, у нас имеется выражение А. Изображаем на диаграмме круг, обозначающий множество А. Пространство внутри круга показывает значения, при которых выражение А будет истинным, а область снаружи обозначает ложь. Чтобы отобразить на схеме логическую операцию, заштрихуем те части диаграммы, в которых значения истинны. В результате мы отмечаем область, где множества пересекаются.

Можно доказать любой закон алгебры, представив его в виде графической схемы при помощи диаграммы Эйлера. Алгоритм действий таков:

1. Сначала чертим диаграмму и заштриховываем все множества, которые находятся с левой стороны от знака «равно».
2. Затем нужно начертить другую диаграмму и на ней заштриховать множества, находящиеся справа от знака равенства.
3. Если на диаграммах окажется заштрихованной одна и та же область, тождество будет истинным.

Сильнее углубимся в тему.

Дополнение множества

Дополнением к множеству A будет множество Его элементы не относятся к множеству А.

= {x | x ∉ A}

Но в включаются не все элементы, не относящиеся к А. По условиям применения диаграммы Эйлера, все множества, о которых идёт речь в задаче, будут включены в универсальное множество U, то есть являются его подмножествами. С учётом этого дополнение будет определяться так:

=U∖A

Объединение множеств

Объединением двух множеств (назовём их А и В) будет множество A ∪ B, состоящее из элементов, которые включаются хотя бы в одно из них.

Это можно записать так:

A ∪ B={x |x ∈ A или x ∈ B}

Пересечение множеств

Пересечение множеств A и B это множество A ∩ B. Оно состоит из элементов, которые входят и в множество А, и в то же время в множество В.

Записывается пересечение множеств так:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}

Симметричная разность множеств

Симметричная разность – это множество A B, в которое включаются элементы, которые входят только в одно из множеств А и В, но не в оба сразу.

Запись симметричной разности выглядит таким образом:

A △ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A)

Разность множеств

Разностью A B являются элементы множества A, не входящие в B.

Записанная разность множеств выглядит так:

A ∖ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}

Применение диаграмм для доказательства логических равенств

Давайте рассмотрим, как применяется диаграмма Эйлера на примере доказательства логического равенства.

Представим, что мы имеем конъюнкцию множеств A ∧ B.

Сначала работаем с левой частью равенства. Нужно с помощью диаграммы Эйлера построить множества А и В, заштриховать оба круга цветом и таким образом выделим дизъюнкцию.

Дальше нужно показать инверсию с помощью штриховки области за пределами этих множеств.

Теперь переключаемся на правую часть равенства. Сперва показываем цветной штриховкой за пределами круга А инверсию этого множества.

То же самое действие выполняем для множества В.

Штрихуем чёрным цветом все области пересечения и получаем графическое отображение конъюкции инверсий множеств А и В.

Сравнивая области, отображающие правую и левую части равенства, убеждаемся, что они равны. Таким образом, истинность логического равенства доказана при помощи диаграммы Эйлера.

Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера

В демонстрационном тесте ЕГЭ по информатике и ИКТ была представлена задача, которую мы решим с применением этого метода.

Условия задачи:

В языке запросов поискового применяется символ «|» для логической операции «или» и символ «&», чтобы обозначить логическую операцию «и».

Таблица, приведённая ниже, отражает запросы в некотором сегменте сети Интернет и количество найденных страниц по этим запросам.

Вопрос: какое количество страниц (в тысячах) найдётся, если запрос будет сформулирован в виде Крейсер & Линкор?

Принимаем версию, что все запросы выполняются в один отрезок времени, поэтому набор страниц, которые включают искомые слова, остался неизменным.

Решение:

Покажем условие задачи при помощи диаграммы Эйлера. Используем цифры 1, 2 и 3 для обозначения полученных областей.

Используя условия задачи, составляем уравнения:

1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Искомая область Крейсер & Линкор обозначенная на чертеже цифрой 2, находится путём подстановки уравнения (2) в уравнение (1). Получаем следующее:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем область 3, равную 2200.

Полученный результат мы подставляем в уравнение (3). Получаем результат:

Область 2 + 2200 = 4500, значит, она равна 2300.

Ответ: будет найдено 2300 страниц по запросу Крейсер & Линкор.

Этот пример показывает, что можно решать с помощью диаграммы Эйлера задачи, являющиеся достаточно сложными или запутанными.

Можно сделать вывод, что круги Эйлера не просто занимательный, но и полезный в плане решения учебных и бытовых задач метод. Многие вещи можно представить в виде множеств, а поможет наглядно представить их пересечение или объединение диаграмма Эйлера.

Любопытно, что современная массовая культура применяет круги Эйлера для создания мемов, а также их можно встретить в таких сериалах, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Советуем применять этот метод для решения задач и непременно поделитесь этим полезным и наглядным способом с друзьями.

Рисование кругов Эйлера

С помощью этого инструмента можно будет вручную создавать круги Венна с индивидуальным оформлением. Чтобы заштриховать требуемую область, нажмите на кнопку Заштриховать область, а затем выберите номер области. Для снятия штриховки, повторно нажмите на этот же номер.

Количество переменных (кругов)

Оформление кругов

Цвет линии
Цвет штриховки
Использовать сетку

ABC

(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

1. Введение

В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей
школы рассматриваются такие важные темы как
“Основы логики” и “Поиск информации в
Интернет”. При решении определенного типа задач
удобно использовать круги Эйлера (диаграммы
Эйлера-Венна).

Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна
используются прежде всего в теории множеств как
схематичное изображение всех возможных
пересечений нескольких множеств. В общем случае
они изображают все 2ⁿ комбинаций n свойств.
Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно
изображается в виде трех кругов с центрами в
вершинах равностороннего треугольника и
одинаковым радиусом, приблизительно равным
длине стороны треугольника.

2. Представление логических связок в поисковых
запросах

При изучении темы “Поиск информации в
Интернет” рассматриваются примеры поисковых
запросов с использованием логических связок,
аналогичным по смыслу союзам “и”, “или”
русского языка. Смысл логических связок
становится более понятным, если
проиллюстрировать их с помощью графической
схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

3. Связь логических операций с теорией множеств

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно
представить связь логических операций с теорией
множеств. Для демонстрации можно
воспользоваться слайдами в Приложение
1.

Логические операции задаются своими таблицами
истинности. В Приложении 2
подробно рассматриваются графические
иллюстрации логических операций вместе с их
таблицами истинности. Поясним принцип
построения диаграммы в общем случае. На
диаграмме – область круга с именем А отображает
истинность высказывания А (в теории множеств
круг А – обозначение всех элементов, входящих в
данное множество). Соответственно, область вне
круга отображает значение “ложь”
соответствующего высказывания. Что бы понять
какая область диаграммы будет отображением
логической операции нужно заштриховать только
те области, в которых значения логической
операции на наборах A и B равны “истина”.

Например, значение импликации равно “истина”
в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем
последовательно: 1) область вне двух
пересекающихся кругов, которая соответствует
значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к
кругу В (полумесяц), которая соответствует
значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу
А и к кругу В (пересечение) – соответствует
значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей
и будет графическим представлением логической
операции импликации.

4. Использование кругов Эйлера при
доказательстве логических равенств (законов)

Для того, чтобы доказать логические равенства
можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна.
Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон
де Моргана).

Для наглядного представления левой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым
цветом, затем для отображения инверсии
заштрихуем область за пределами кругов черным
цветом:

Рис.3 Рис.4

Для визуального представления правой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем область для отображения инверсии (¬А)
серым цветом и аналогично область ¬В также серым
цветом; затем для отображения конъюнкции нужно
взять пересечение этих серых областей (результат
наложения представлен черным цветом):

Рис.5 Рис.6 Рис.7

Видим, что области для отображения левой и
правой части равны. Что и требовалось доказать.

5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск
информации в Интернет”

Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.

В таблице приведены запросы к поисковому
серверу. Для каждого запроса указан его код –
соответствующая буква от А до Г. Расположите коды
запросов слева направо в порядке убывания количества
страниц, которые найдет поисковый сервер по
каждому запросу.

Решение:

Для каждого запроса построим диаграмму
Эйлера-Венна:

Ответ: ВАГБ.

Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента
сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет
найдено по запросу Эсминец?

Считается, что все запросы выполнялись
практически одновременно, так что набор страниц,
содержащих все искомые слова, не изменялся за
время выполнения запросов.

Решение:

Пусть

Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат;

Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец;

Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Фрегат и не упоминается
Эсминец;

У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Эсминец и не
упоминается Фрегат.

Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого
запроса:

Согласно диаграммам имеем:

1. Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
2. Э = 900+У = 900+1300= 2200.

Ответ: 2200.

6. Решение логических содержательных
задач методом диаграмм Эйлера-Венна

Задача 1.

В классе 36 человек. Ученики этого класса
посещают математический, физический и
химический кружки, причем математический кружок
посещают 18 человек, физический — 14 человек,
химический — 10. Кроме того, известно, что 2
человека посещают все три кружка, 8 человек — и
математический и физический, 5 и математический и
химический, 3 — и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких
кружков?

Решение:

Для решения данной задачи очень удобным и
наглядным является использование кругов Эйлера.

Самый большой круг – множество всех учеников
класса. Внутри круга три пересекающихся
множества: членов математического (М),
физического (Ф), химического (Х) кружков.

Пусть МФХ – множество ребят, каждый из
которых посещает все три кружка. МФ¬Х –
множество ребят, каждый из которых посещает
математический и физический кружки и не
посещает химический. ¬М¬ФХ — множество ребят,
каждый из которых посещает химический кружок и
не посещает физический и математический кружки.

Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ,
М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2
человека, следовательно, в область МФХ впишем
число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и
физический кружки и среди них уже есть 2 человека,
посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем
6 человек (8-2). Аналогично определим количество
учащихся в остальных множествах:

Просуммируем количество человек по всем
областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из
класса посещают кружки.

Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.

Ответ: 8.

Задача 2.

После зимних каникул классный руководитель
спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк.
Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были
ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало
25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино,
и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в
цирке — 4.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и
в цирке?

Решение:

Пусть х – количество ребят, которые побывали и
в кино, и в театре, и в цирке.

Тогда можно построить следующую диаграмму и
посчитать количество ребят в каждой области:

Ответ: 1.

Таким образом, круги Эйлера (диаграммы
Эйлера-Венна) находят практическое применение
при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при
решении содержательных логических задач.

Литература

1. В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике.
   М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы
   ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и
   ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220
   с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и
   ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244
   с.
5. Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/

Операции над событиями. Диаграммы Эйлера – Венна

Содержание

В теории вероятностей случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов   Ω .  

Над событиями, как и над любыми множествами, можно совершать следующие операции.

Произведение (пересечение) двух событий

Операцию произведения (пересечения) двух событий   A   и   B  обозначают

,   или   AB,   или   .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведением (пересечением) двух событий   A   и   B   называют такое событие, которое состоит из всех элементов, входящих как в событие   A ,   так и в событие   B   (рис. 1).

Рис.1

Сумма (объединение) двух событий

Операцию суммы (объединения) двух событий   A   и   B  обозначают

A + B   или  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Суммой (объединением) двух событий   A   и   B   называют такое событие, которое состоит из элементов события   A   и элементов события   B   (рис. 2).

Рис.2

Разность двух событий

Операцию разности двух событий   A   и   B  обозначают

A B

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Разностью событий   A   и   B   называют событие, состоящее из тех элементов события   A ,  которые не входят в событие   B   (рис. 3).

Рис.3

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Разностью событий   B   и   A   является событие   B A ,   изображенное на рисунке 4.

Рис.4

Симметрическая разность двух событий

Операцию симметрической разности двух событий   A   и   B  обозначают

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Симметрической разностью событий   A   и   B   называют событие, состоящее из тех элементов события   A ,  которые не входят в событие   B ,   а также из тех элементов события   B ,  которые не входят в событие   A   (рис. 5).

Рис.5

Переход к противоположному событию

Событие, противоположное к событию   A ,  обозначают

  или   A^C

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Противоположным событием к событию   A   называют событие, состоящее из тех элементов всего множества элементарных событий   Ω ,   которые не входят в событие   A  (рис. 6).

Рис.6

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Справедлива формула

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Событие   Ω   называют достоверным событием, пустое множество     называют невозможным событием.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рисунки, на которых наглядно показаны операции над множествами, называют диаграммами Эйлера-Венна. В частности, диаграммами Эйлера-Венна являются рисунки 1-6 .