Как найти пересечение графика с осью абсцисс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось — в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
Упрощение выражения (приведение подобных величин).
Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
Произвести необходимые математические преобразования.
Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложить на множители.
Выделить полный квадрат.
Найти дискриминант.
По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

Уравнение требуется разделить на P.
Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
Перенести переменные влево, а константы — вправо: 2t-t=-1-7.
Привести подобные коэффициенты: t=-8.
Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
Искомая точка пересечения: (-8;-9).

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.

источники:

http://mathforyou.net/online/calculus/intercepts/

http://nauka.club/matematika/algebra/ochki-peresecheniya-grafikov.html

Источник

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

Примеры.

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

Решение:

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке (-b/k; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

Решение:

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a∙0²+b∙0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x²-9x+20=0

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Источник

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек
пересечения графика функции с осями координат.

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось

в двух точках, а ось

— в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции

с осью
. Сразу отметим, что в этих точках координата
. Поэтому для их поиска, нам нужно
решить уравнение:

Это
квадратное уравнение
имеет два корня:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс:

и
. Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью

эквивалентна задаче нахождения
нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата
. Поэтому для их поиска, просто подставляем значение

в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат
.

Источник

Загрузить PDF

В алгебре прямоугольную систему координат на плоскости образуют две взаимно перпендикулярные оси – ось Х (горизонтальная ось) и ось Y (вертикальная ось). Точки пересечения – это точки, в которых графики функций пересекают оси координат. Точка пересечения с осью Y и точка пересечения с осью X лежат на соответствующих осях. В простых задачах точку пересечения с осью Х легко найти по графику функции. Также эту точку пересечения можно вычислить с помощью уравнения функции.

1

Найдите ось Х. Прямоугольная система координат образуется двумя осями – осью Х (горизонтальная ось, которая направлена слева направо) и осью Y (вертикальная ось, которая направлена снизу вверх).^[1] Чтобы найти точку пересечения с осью Х, посмотрите на эту ось.
2

Найдите точку, в которой график пересекает ось Х. Это точка пересечения графика с осью Х.^[2] Если нужно найти точку пересечения с осью Х по графику, возможно, координатой этой точки будет целое число, например, 4. Однако в большинстве случаев по графику удастся определить только приблизительную координату , например, между 4 и 5.
3

Реклама

1
2
3
4

Реклама

1
Определите, записано ли уравнение в виде квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет вид $ax^{{2}}+bx+c=0$ .^[9] Квадратное уравнение имеет два корня: график такого уравнения представляет собой параболу и пересекает ось Х в двух точках.^[10]
- Например, уравнение $x^{{2}}+3x-10=0$ является квадратным уравнением, поэтому график пересечет ось Х в двух точках.
2

Запишите формулу для решения квадратного уравнения. Формула: $x={frac {-bpm {sqrt {b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ , где – коэффициент при переменной второго порядка ( $x^{{2}}$ ), – коэффициент при переменной первого порядка (), – свободный член.^[11]
3

Подставьте соответствующие значения в формулу для решения квадратного уравнения. Убедитесь, что вместо каждой переменной подставляете правильное значение.
4

Упростите уравнение. Для начала перемножьте соответствующие значения. Убедитесь, что учли все знаки «плюс» и «минус».
5

Возведите соответствующее значение в квадрат. Сделайте это со значением переменной . Затем результат прибавьте к другому числу, которое находится под знаком корня.
6

Выполните сложение. Так как в формуле присутствует знак , придется выполнить одну операцию сложения и одну операцию вычитания. Выполните сложение, чтобы найти первое значение .
7

Выполните вычитание. Так вы найдете второе значение . Сначала извлеките квадратный корень, потом выполните вычитание в числителе и, наконец, результат разделите на 2.
8

Реклама

Советы

Если дано линейное уравнение вида , нужно знать угловой коэффициент (он равен значению коэффициента k) и координату «у» точки пересечения прямой с осью Y (она равна значению коэффициента b). Вместо «у» подставьте 0 и найдите «х». Вы получите координату «х» точки пересечения прямой с осью Х.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 75 909 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Источник