Как найти пересечение информатика - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Анализ данных • 15 ноября 2022 • 5 мин чтения

Как пересечение и объединение множеств используются в анализе данных

В основе анализа данных лежат операции над множествами. Самые простые из них — пересечение и объединение. Повторим, что это за операции и какие у них есть свойства.

Что такое пересечение множеств
Что такое объединение множеств
Пересечение и объединение множеств в анализе данных
Свойства пересечения и объединения множеств
Объединение и пересечение нескольких множеств, заданных общим свойством
Совет эксперта

Что такое пересечение множеств

Пересечение A ∩ B двух множеств A и B состоит из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам.

В пересечение попадут лишь те элементы, которые есть и в A, и в B одновременно

Пересечение двух множеств также является множеством.
Если нет элементов, которые принадлежат обоим множествам сразу, то пересечение множеств будет пустым: A ∩ B = ∅.

Примеры пересечения множеств

● Если H — множество упражнений, укрепляющих руки, и L — множество упражнений, укрепляющих ноги, то H ∩ L — множество упражнений, укрепляющих руки и ноги.

● Если A — множество яблок и G — множество зелёных предметов, то A ∩ G — множество зелёных яблок.

● Если E — множество песен на английском языке и J — множество песен Дженнифер Лопес, то E ∩ J — множество песен Дженнифер Лопес на английском языке.

В математике главное — практика. Поэтому знание правил лучше закреплять решением задач. Сделать это можно в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий». В нём более 1000 задач с автоматической проверкой и подробными решениями.

Повторите математику, чтобы решать рабочие задачи

Вспомните проценты, алгебру и другие темы посложнее в бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий».

Что такое объединение множеств

Объединение A ∪ B состоит из всех элементов исходных множеств A и B вместе. То есть в объединение попадут вообще все элементы, которые были хотя бы в одном из исходных множеств.

Все элементы объединения есть или в множестве A, или в множестве B

В объединение входят все элементы, которые встречались в множествах по отдельности, но только по одному разу. Если A = {100, 200, 300, 400, 500}, B = {100, 500, 1000, 1500}, то A ∪ B = {100, 200, 300, 400, 500, 1000, 1500}.

Примеры объединения множеств

● Если B — множество книг по здоровому питанию и A — множество статей по здоровому питанию, то B ∪ A — множество книг и статей по здоровому питанию.

● Если O — множество апельсинов и M — мандаринов, то O ∪ M — общее множество апельсинов и мандаринов вместе.

● Если F — множество уроков с первого по пятый и L — множество уроков с третьего по шестой, то F ∪ L — множество уроков с первого по шестой.

Так выглядят варианты взаимного расположения множеств при объединении

С тремя множествами всё то же самое: в их объединении A ∪ B ∪ C будет внутренняя часть всех трёх кругов.

Совместные и несовместные события в анализе данных

Пересечение и объединение множеств в анализе данных

Набор данных — это множество. Операции пересечения и объединения — самые базовые из возможных операций над данными. Для примера возьмём два множества: первое — клиентов, звонивших в колл-центр, второе — клиентов, писавших в чат. Найти клиентов, которые и звонили в колл-центр, и писали в чат — это пересечение. Собрать базу клиентов, которые обращались через любой из этих каналов, — объединение.

Операции пересечения и объединения используются во всех языках программирования. В том числе в тех, которые чаще всего применяют аналитики. Например, в SQL операции пересечения множеств соответствует оператор INTERSECT, а операции объединения — UNION. В Python эти операции называются intersection и union.

В SQL для объединения таблиц также используют оператор JOIN, но у него другие свойства. Операции объединения множеств полностью соответствует UNION: этот оператор соединяет таблицы, но оставляет только уникальные значения.

А что со свойствами? Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность — эти свойства операций над множествами используются и в языках программирования. Когда аналитик понимает, как взаимодействуют множества, он быстрее решает связанные с ними рабочие задачи и делает меньше ошибок.

Свойства пересечения и объединения множеств

Операции над множествами, как и действия с числами, обладают рядом свойств. Пересечение можно соотнести с умножением, а объединение — со сложением. Тогда получатся свойства, знакомые со школы.

Повторить свойства пересечения и объединения множеств можно в модуле «Множества» тренажёра «Основы математики для цифровых профессий». В нём есть и другие уроки из темы «Множества»:

● Разность множеств.

● Мощность. Правила суммы и произведения.

● Формула включений-исключений.

Они помогут аналитику данных разобраться в операциях, где нужно фильтровать, группировать, сортировать и обсчитывать данные. Это базовый навык для работы, его часто проверяют на собеседованиях. Знание теории множеств помогает освоить теорию вероятностей и статистику, разобраться в операции Except и научиться без ошибок определять размер объединяемых дата-сетов.

Свойство коммутативности: вне зависимости от порядка множеств элементы их пересечения и объединения неизменны.

A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A

Очень похоже на коммутативность сложения и умножения: a • b = b • a; a + b = b + a. Как в знакомых правилах: «от перестановки множителей произведение не меняется» и «от перестановки слагаемых сумма не меняется»

Свойство ассоциативности: если множеств три, можно найти пересечение для двух из них, а потом добавить третье. С каких двух множеств начинать, не имеет значения.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ С

Свойство ассоциативности можно проиллюстрировать с помощью диаграмм

Аналогично с объединением: A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C

Объединение множеств на диаграммах

То же свойство в числовом виде: a • (b • c) = (a • b) • c; a + (b + c) = (a + b) + c.

Свойства пересечения и объединения для пустого множества: при пересечении любого множества с пустым получается пустое множество, при объединении — исходное множество.

A ∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅ = A

По аналогии с действиями с нулём: a • 0 = 0; a + 0 = a

А ещё есть свойства, которые задействуют сразу две операции.

Дистрибутивность пересечения относительно объединения. Чтобы пересечь A с объединением B ∪ C, можно пересечь A ∩ B и A ∩ C, а потом найти объединение получившихся множеств.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

И снова похоже на свойство дистрибутивности для чисел: a(b+c)=ab+ac.

Дистрибутивность объединения относительно пересечения. Чтобы объединить A с пересечением B ∩ C, можно объединить A ∪ B и A ∪ C, а потом найти пересечение этих множеств.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

То же самое верно в общем виде

Здесь уже не провести аналогию с числами. Это свойство уникально и работает только для множеств. Если взять числа a, b, c, то выражение a + (b • c) = (a + b) • (a + c) будет неверным.

Пример. Найдём элементы множества C ∪ (A ∩ B) по диаграмме.

Решение. Закрасим пересечение A ∩ B, а потом добавим к нему множество C.

Ответ: Во множество C ∪ (A ∩ B) входят элементы 1, 2, 5, 13, 26, 52.

Объединение и пересечение нескольких множеств, заданных общим свойством

Если множества заданы общим свойством, их пересечение и объединение также можно найти.

Пример.

Пусть R — множество чисел из первой сотни, кратных 30;
D — множество чётных чисел от 85 до 100;
E — множество двузначных чисел, кратных 10.

Найдём элементы множества (R ∪ D) ∩ E.

Решение. Используем свойство дистрибутивности: (R ∪ D) ∩ E = (R ∩ E) ∪ ( D ∩ E).

В пересечении R ∩ E будут числа, которые делятся и на 10, и на 30. Число 30 делится на 10, значит, R ⊆ E, тогда R ∩ E=R.

В пересечении D ∩ E будут двузначные чётные числа от 85 до 100, которые делятся на 10. Такое число одно — 90.

D ∩ E = {90}.

В объединении R ∪ (D ∩ E) будут кратные 30 числа первой сотни или число 90.

Число 90 является одним из кратных 30, значит, R ∪ (D ∩ E) = R.

R = {30, 60, 90}.

И ещё один пример.

Возьмём те же три множества и добавим к ним одно новое:
R — множество чисел из первой сотни, кратных 30;
D — множество чётных чисел от 85 до 100;
E — множество двузначных чисел, кратных 10;
P — множество простых чисел от 70 до 99.

Теперь найдём элементы множества (R ∩ D) ∪ (E ∩ P).

Решение. Тут подойдёт только решение по действиям.

В пересечении R ∩ D будут числа, кратные 30, которые находятся в промежутке от 85 до 100. Это только число 90. R ∩ D = 90.
В пересечении E ∩ P будут простые числа от 70 до 99, которые делятся на 10. Таких чисел нет, значит, E ∩ P = ∅.
При объединении любого множества с пустым получается исходное множество. (R ∩ D) ∪ ∅ =R ∩ D.

Совет эксперта

Полина Нестеренко
Математика может пугать строгостью формулировок и странными значками. На самом деле, это алфавит, который делает записи понятными для всех, кто его знает. Соседи по лифту — пересечение жителей разных этажей, а пассажиры автобуса — объединение людей, которые сели на разных остановках. Просто нужно переводить свойства на язык примеров, искать их вокруг себя и использовать математику как способ записать это коротко и понятно.

Для чего начинающим аналитикам нужны деревья решений

Для чего аналитику данных датасет и где его взять

Источник

Понятие “Множество” в математике и
информатике играет очень важную роль. В
математике существует целая теория множеств.

Первое знакомство с данной темой может быть у
учащихся как в начальной школе, если у них есть
курс информатики, так и у учащихся 5-6 классов,
которые раньше не изучали информатику. Данный
материал подготовлен для учащихся 5-6 классов.
Теме “Множества” желательно посвятить как
минимум 2 урока. Материал может быть полезен и для
преподавания информатики в начальной школе.

В курсе А.В. Горячева “Информатика в играх и
задачах”, рассчитанного на учащихся начальной
школы, тема “Множества” рассматривается и во 2
классе, и в 3 и в 4 классах. Естественно, что эта
тема прорабатывается с детьми не один урок, а
задания постепенно усложняются.

1. На первом уроке по теме “Множества” важно
сразу же дать четкие определения тех терминов,
которые потом будут использоваться в самых
различных заданиях. Урок основан на
использовании презентации (см.
Приложение 1).

Множество произошло от слова “много”. Но в
математике понятие “множество” используется
более широко.

Множество может объединять любое
количество предметов, чисел, существ. Каждый
предмет множества называется элементом
множества.

Множество, которое не содержит элементов,
называется пустым.

Множество может иметь подмножества.

Множества могут пересекаться, не
пересекаться, объединяться.

Равными называются множества, состоящие из одинакового
числа одинаковых элементов.

(Желательно, чтобы эти определения были
записаны учащимися в тетрадь, чтобы потом они
могли к ним вернуться.)

Эти определения необходимо закрепить на
простейших примерах, например: множество
животных имеет несколько подмножеств: рыбы,
птицы, звери, насекомые – и они не пересекаются.
Если же мы возьмем множество морских животных,
то оно будет пересекаться с множеством птиц и
множеством зверей (приводятся несколько
примеров). В качестве пустого множества можно
дать такой пример: в яркий солнечный день на небе
нет облаков, поэтому в этот день множество
облаков (такое множество естественно существует)
– пустое, а в другой день оно уже не будет пустым.
Этот пример используется в тетради А.В. Горячева
“Информатика в играх и задачах” 3 класс, часть 2.
Можно привести и другие примеры, когда какое-то
множество в конкретной ситуации будет пустым.

Также для удобства выполнения различных
заданий необходимо ввести систему обозначения
множеств (геометрические фигуры), подчеркнув,
что это только условное обозначение, но оно очень
удобно. Элементы множеств обозначаются точками.

Для закрепления понятия “элементы множества”
учащимся предлагается следующее задание 1 (приложение 2) (его можно давать
как домашнее задание, которое вклеивается в
тетрадь).

2. Далее вводятся понятия, связанные с
использованием логических связок в названиях
множеств.

В названиях множеств и высказываниях могут
употребляться логические связки: “и”, “не”,
“или” и их комбинация: “не … и”, “не …
или”. “не … и не …”

Если в названии множества есть связка “не”,
то его элементы находятся за пределами фигуры,
обозначающей это множество.

Если в названии множества есть связка “и”,
то его элементы находятся на пересечении фигур,
обозначающих множества.

Если в названии множества есть связка “или”,
то это означает, что его элементы находятся в
нескольких фигурах.

Эти схемы также необходимо закрепить с
учащимися на разных примерах, включенных в
задания в тетради (курс Горячева для начальной
школы), а также на тех, где они сами приводят
примеры различных множеств. Для закрепления
понятий пересечения и объединения множеств
учащимся предлагается дополнительное задание 2.

3. На следующем(их) уроке(ах) следует продолжить
подробный разбор заданий, например, включив
задания на пересечение трех множеств. (Желательно
также, чтобы эти схемы были зарисованы учащимися
в тетрадях).

При пересечении 2-х множеств образуется IV
области: 2 области без пересечения, одна область
пересечения множеств и одна область, лежащая за
пределами выделенных множеств.

При пересечении 3-х множеств образуется VIII
областей: 3 области без пересечения, 4 области
пересечения множеств и 1 область, лежащая за
пределами выделенных множеств.

Обозначение множеств:

При пересечении двух множеств
закрашивается вся область пересечения этих
множеств. При объединении двух множеств
закрашиваются оба множества. При пересечении
трех множеств закрашивается общая часть всех
трех множеств. При отрицании всех трех
множеств закрашивается область, не включающая в
себя сами множества.

Данные схемы сделаны для задания, когда надо
распределить слова, в состав которых входят
буквы “С”, “Т” и “О”. Набор слов должен
включать слова только с “Т”, только с “С”,
только с “О”, а также одновременно с двумя и
тремя буквами. Два-три слова должны быть без букв
“С”, “Т”, “О”. (Например: рельсы, купе,
проводник, скорость, колесо, электровоз, тамбур,
вагон, сумка, место, шпалы, поезд, машинист, билет,
состав, дверь, станция).

В курсе информатики А.В. Горячева в тетради 2
класса есть аналогичное задание на множества
“Круглые”, “Желтые”, “Шары”.

Закрепление теоретического материала должно
сопровождаться решением задач. Простейшие
задачи, например, “Про коз и коров”, “Фиалки и
подруги”, “Газеты и журналы” могут быть
использованы даже во 2 классе (см. приложение
4). Для более сильных учеников и для более
старших классов, соответственно, можно подобрать
задачи нужного уровня, а можно также
использовать какие-то задачи и для проведения
конкурсов, КВНов, школьных олимпиад, недели
математики и информатики. Подобные задачи удобно
решать, используя схему множеств и обозначая
элементы просто точками (если числа малые) или
указывая число элементов в соответствующей
области (в пересечении, без пересечения).

Задачи собраны из самых различных источников,
включая журнал “1 сентября. Информатика”, сайт
Малого Мехмата МГУ и другие сайты, посвященные
решению логических задач.

Приложение 1. Презентация
“Множества”
Приложение 2. Задание 1.
Приложение 3. Задание 2.
Приложение 4. Дополнительные
задачи.

Список литературы.

Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
“Информатика в играх и задачах” 2 кл., в 2-х ч.
Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
“Информатика в играх и задачах” 3 кл., в 2-х ч.
Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
“Информатика в играх и задачах” 4 кл., в 2-х ч.
Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
Методические рекомендации для учителя. 2 кл..
Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
Методические рекомендации для учителя. 3 кл..
Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И.
Методические рекомендации для учителя. 4 кл.
Горячев А.В., Суворова Н.И. Информатика. Логика и
алгоритмы. 3 кл.
Горячев А.В., Суворова Н.И. Информатика. Логика и
алгоритмы. 4 кл.
Журнал “1 сентября. Информатика”. Сайт https://inf.1sept.ru/
Фестиваль “Открытый урок”. Сайт https://urok.1sept.ru/ раздел
“Информатика”.
Малый Мехмат МГУ. Сайт http://mmmf.msu.ru/.
Сайт Логические задачи и головоломки http://www.smekalka.pp.ru/.
Сайт Логические задачи, головоломки, загадки,
тесты – Лого-рай http://logo-rai.ru/

Источник

На уроке рассматривается разбор 2 задания ЕГЭ по информатике, дается подробное объяснение того, как решать подобные задачи

Содержание:

Объяснение задания 2 ЕГЭ по информатике
- Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций
Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике
- Задания для тренировки

2-е задание: «Таблицы истинности»

Уровень сложности

— базовый,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 3 минуты.

Проверяемые элементы содержания: Умение строить таблицы истинности и логические схемы

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Игнорирование прямо указанного в условии задания требования, что заполненная таблица истинности не должна содержать одинаковых строк. Это приводит к внешне правдоподобному, но на самом деле неверному решению»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций

Для логических операций приняты следующие обозначения:

операция	пояснение	в программировании
¬ A, A	не A (отрицание, инверсия)	not(A)
A ∧ B, A ⋅ B	A и B (логическое умножение, конъюнкция)	A and B
A ∨ B, A + B	A или B (логическое сложение, дизъюнкция)	A or B
A → B	импликация (следование)	A <= B
A ↔ B, A ≡ B, A ∼ B	эквиваленция (эквивалентность, равносильность)	A==B (python) A=B(pascal)
A ⊕ B	строгая дизъюнкция	A != B (python) A <> B (pascal)

Егифка ©:

Отрицание (НЕ):

Таблица истинности операции НЕ

Конъюнкция (И):

Таблица истинности операции И (конъюнкция)

Дизъюнкция (ИЛИ):

Таблица истинности операции ИЛИ (дизъюнкция)

Импликация (если…, то…):

Таблица истинности операции Импликация (если…, то…)

Эквивалентность (тогда и только тогда, …):

Таблица истинности операции Эквивалентность (тогда и только тогда, …)

Сложение по модулю 2 (XOR):

A	B	A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Порядок выполнения операций:

если нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», импликация, равносильность

Еще о логических операциях:

логическое произведение X∙Y∙Z∙… равно 1, т.е. выражение является истинным, только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
логическая сумма X+Y+Z+… равна 0, т.е. выражение является ложным только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

О преобразованиях логических операций читайте здесь.

Егифка ©:

Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике

Задание 2_11: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

(¬x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ ¬z ∨ ¬w)

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F ложна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

✎ Способ 1. Электронные таблицы Excel + Логические размышления:

Отобразим перебор всех значений использующихся в выражении переменных (всю таблицу истинности). Поскольку в выражении используются 4 переменных, то строк таблицы будет 2⁴=16:

Далее обе скобки исходного выражения необходимо записать в виде логического выражения, каждую — в отдельном столбце. Также в отдельном столбце добавьте формулу итоговой функции F:

Выделите таблицу и отсортируйте строки по столбцу с результатом функции. Для этого в меню Главная => Настраиваемая сортировка =>:

Получили верхние строки таблицы — с которыми сравним исходную таблицу и найдем результат:

Получаем следующий порядок переменных:

xwzy

✎ Способ 2. Программирование:

Язык python:

print('x y z w')
for x in 0, 1:
  for y in 0, 1:
    for z in 0, 1:
      for w in 0, 1:
        F = (not(x) or y or z) and (x or not(z) or not(w))
        if not(F):
          print(x, y, z, w)

В результате будут выведены значения для F=0:

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

xwzy

Язык pascalAbc.net:

begin
  writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7);
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not((not x or y or z) and (x or not z or not w)) then
            writeln(x:7, y:7, z:7,w:7);
end.

В результате будут выведены значения для F=0:

      x      y      z      w
  False  False   True   True
  False   True   True   True
   True  False  False  False
   True  False  False   True

Где false = 0, True = 1
Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

Ответ:

xwzy

✎ Способ 3. Логические размышления:

Внешняя операция выражения — конъюнкция (∧). Во всех указанных строках таблицы истинности функция принимает значение 0 (ложь). Конъюнкция ложна аж в трех случаях, поэтому проверить на ложь очень затруднительно. Тогда как конъюнкция истинна (= 1) только в одном случае: когда все операнды истинны. Т.е. в нашем случае:

(¬x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ ¬z ∨ ¬w) = 1 когда:
1. (¬x ∨ y ∨ z) = 1 
И 
2. (x ∨ ¬z ∨ ¬w) = 1

Общая идея дальнейшего решения такова: поскольку внешняя операция — конъюнкция, и результат ее истинен, когда оба сомножителя в скобках будут истинны (=1), то нам необходимо сначала составить все наборы таблицы истинности для обоих сомножителей в скобках. Затем, так как конъюнкция подразумевает пересечение, необходимо сопоставить обе таблицы истинности и выбрать для каждого подходящего набора первого сомножителя подходящий (подходящие) набор (наборы) второго сомножителя. НО! так как у нас в задании известны только наборы для F = 0, то мы сопоставлять будем наборы, которые возвращают ложь. Теперь подробно.
Разобьём исходное выражение на две части и составим таблицу истинности отдельно для двух частей.
Для сомножителя (¬x ∨ y ∨ z):

x	y	z	результат
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Получили ложь в одном наборе, так как дизъюнкция (∨) ложна только тогда, когда ложны все операнды.
Для сомножителя (x ∨ ¬z ∨ ¬w):

x	z	w	результат
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Соответственно, опять получили ложь в одном наборе, когда ложны все операнды.
Учтем, что нам нужно выбрать и «пересечь» (так как внешняя операция ∧) из всех наборов только те, которые возвращают ложь (так как по заданию известны только строки, где F = 0):

Выпишем только пересеченные наборы:

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

Сравнив вторую строку заданной таблицы и вторую строку получившейся таблицы, находим, что x находится в первом столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

x	???	???	???	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Сравнив первую и четвертую одинаковые строки получившейся таблицы, находим, что y в обоих случаях равен 0. Значит он находится в 4-м столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

x	???	???	y	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Сравнив предпоследнюю и последнюю строки получившейся таблицы, там где x = 1, находим, что z в обоих случаях равен 0, тогда как w принимает значение и 1 и 0. Значит z находится в 3-м столбце.

x	y	z	w	F
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0

Для w остается второй столбец:

x	w	z	y	F
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0

Результат: xwzy

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_12: Разбор 2 задания ЕГЭ:

Миша заполнял таблицу истинности функции:

(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) → ¬(y ∨ w)

но успел заполнить лишь фрагмент из трех различных ее строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z:

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
1	1			0
1		0		0
	1	1	0	0

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Способ 1. Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Решим задание методом построения полной таблицы истинности.
Посчитаем общее количество строк в таблице истинности и построим ее:

4 переменных -> 2⁴ = 16 строк

Для начала упростим выражение и выделим в нем две основные части относительно внешней операции (операция, которая выполняется последней).

(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) → ¬(y ∨ w)
1. Избавимся от импликации:
¬(¬z ∧ ¬(x ≡ y)) ∨ ¬(y ∨ w)
2. Внесем знак отрицания в скобки (закон Де Моргана):
(z ∨ (x ≡ y)) ∨ (¬y ∧ ¬w) = 0
   ^{1 часть = 0     2 часть = 0}

* Исходное выражение должно быть = 0. Дизъюнкция = 0, когда оба операнда равны 0.

Разбили исходное выражение на две части, теперь добавим столбцы для двух частей в таблицу истинности:

Поясним: в первой части внешняя операция — дизъюнкция (ложна, когда оба операнда ложны). Во второй части внешняя операция — конъюнкция — ложна во всех случаях кроме того, когда оба операнда истинны:

(z ∨ (x ≡ y)) = 0 когда z = 0 и x ≡ y = 0

¬y ∧ ¬w = 0 когда:
1. ¬y = 0  ¬w = 0
2. ¬y = 1  ¬w = 0
3. ¬y = 0  ¬w = 1

В результирующей таблице истинности получили только три набора значений переменных при которых выражение возвратит ложь.

x	y	w	z	F
0	1	0	0	0
0	1	1	0	0
1	0	1	0	0

Сравнив их с исходной таблицей истинности, имеем:

y	w	x	z	F
1	1	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	1	0	0

Таким образом, ответ: ywxz

Результат: ywxz

✎ Способ 2. Программирование:

Язык PascalAbc.net:

begin
  writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7);
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not((not z and (x xor y)) <= not(y or w)) then
            writeln(x:7, y:7, z:7,w:7);
end.

В результате будут выведены значения для F=0:

      x      y      z      w
  False   True  False  False
  False   True  False   True
   True  False  False   True

Где false = 0, True = 1

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат: ywxz

Язык Python:

print ('x y z w')
for x in 0,1:
    for y in 0,1:
        for z in 0,1:
            for w in 0,1:
                F=(not z and not(x==y))<=(not(y or w))
                if not F:
                    print (x,y,z,w)

В результате будут выведены значения для F=0:

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат:

Результат: ywxz

🎦 Доступно видео решения этого задания (бескомпьютерный вариант):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

🎦 Видео (решение 2 ЕГЭ в Excel):

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь (Программирование)

Задание 2_10: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением

¬a ∧ b ∧ (c ∨ ¬d)

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c, d.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0	1	0	0	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	1

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

🎦 (Бескомьютерный вариант) Предлагаем подробный разбор посмотреть на видео:

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_3: Решение задания 2. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Логическая функция F задаётся выражением ¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w).
На рисунке приведён фрагмент таб. ист-ти функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
???	???	???	???	F
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Внешним действием (последним выполняемым) в исходном выражении является дизъюнкция:

¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w)

Вспомним таб. ист-ти для дизъюнкции (логическое сложение):

x1	x2	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Чтобы исходное выражение было истинным, нужно, чтобы хотя бы один из операндов равнялся единице. Т.е. нельзя наверняка сказать, где будет 1, а где 0 (¬x = 1 или 0, y = 1 или 0, ¬z ∧ w = 1 или 0).
Функция же ложна только в одном случае, — когда все операнды ложны. Поэтому будем искать по признаку лжи.
В исходной таблице истинности во всех строках функция ложна. Чтобы понять в каком столбце должна находиться та или иная переменная, возьмем за основу строку, в которой только одна единица или только один нуль.
Строка №1: в ней одна единица — первый столбец. В исходной формуле, чтобы функция была ложна, необходимо, чтобы ¬x = 0, иными словами x = 1. Значит первый столбец соответствует переменной x.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
x	???	???	???	F
1	0	0	0	0

Строка №3: в ней один нуль — четвертый столбец. В исходной формуле, чтобы функция была ложна, необходимо, чтобы y = 0. Значит четвертый столбец соответствует переменной y.

Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	Перем. 4	F
x	???	???	y	F
1	1	1	0	0

Строка №2: в ней второй столбец равен единице, а третий — нулю. В исходном выражении ¬z ∧ w должно равняться 0, чтобы функция была ложной. Конъюнкция истинна только тогда, когда оба операнда истинны (=1); в нашем случае функция должна быть ложной, но пойдем от обратного. Если ¬z = 1, т.е. z = 0, а w = 1, то это неверно для нашего случая. Значит всё должно быть наоборот: z = 1, а w = 0. Таким образом столбец второй соответствует z, а столбец третий — w.

x	z	w	y	F
1	0	0	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

Результат: xzwy

✎ Способ 2. Программирование:
Язык pascalABC.NET:

begin
  writeln('x  ','y  ','z  ','w  ');
  for var x:=false to true do
    for var y:=false to true do
      for var z:=false to true do
        for var w:=false to true do
          if not(not x or y or(not z and w)) then
            writeln(x:7,y:7,z:7,w:7);
end.

🎦 (бескомпьютерный вариант) Подробное решение данного 2 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задание 2_13: Разбор досрочного егэ по информатике 2019

Логическая функция F задаётся выражением

(x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Перем.1	Перем.2	Перем.3	Перем.4	F
???	???	???	???	F
0			0	0
0	1	0	1	0
	1	0		0

✍ Решение:

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):
📹 здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

Задания для тренировки

Задание 2_2: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Каждое из логических выражений F и G содержит 5 переменных. В табл. истинности для F и G есть ровно 5 одинаковых строк, причем ровно в 4 из них в столбце значений стоит 1.

Сколько строк таблицы истинности для F ∨ G содержит 1 в столбце значений?

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Поскольку в каждом из выражений присутствует 5 переменных, то эти 5 переменных порождают таблицу истинности из 32 строк: т.к. каждая из переменных может принимать оно из двух значений (0 или 1), то различных вариантов с пятью переменными будет 2⁵=32, т.е. 32 строки.
Из этих 32 строк и для F и для G мы знаем наверняка только о 5 строках: 4 из них истинны (=1), а одна ложна (=0).
Вопрос стоит о количестве строк = 1 для таб. истинности F ∨ G. Данная операция — дизъюнкция, которая ложна только в одном случае — если F = 0 и одновременно G = 0
В исходных таблицах для F и G мы знаем о существовании только одного 0, т.е. в остальных строках может быть 1. Т.о., и для F и для G в 31 строке могут быть единицы (32-1=31), а лишь в одной — ноль.
Тогда для F ∨ G только в одном случае будет 0, когда и F = 0 и G = 0:

№	F	G	F ∨ G
1	0	0	0
2	0	1	1
…	…	…	1
32	…	…	1

Соответственно, истинными будут все остальные строки:

32 - 1 = 31

Результат: 31

Подробное объяснение данного задания смотрите на видео:

📹 здесь

Задание 2_6: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы.

Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?

✍ Решение:

Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2⁷ = 128 строк.
В четырех из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
A ∨ B истинно в том случае, когда либо A = 1 либо B = 1, или и A и B = 1.
Поскольку А = 1 только в 4 случаях, то чтобы получить максимальное количество единиц в результирующей таблице истинности (для A ∨ B), расположим все единицы т.и. для выражения A так, чтобы они были в строках, где B = 0, и наоборот, все строки, где B = 1, поставим в строки, где A = 0:

A	B
1	0
1	0
1	0
1	0
0	1
0	1
0	1
0	1
0	0
…	…

Итого получаем 8 строк.
Если бы в задании требовалось найти минимальное количество единиц, то мы бы совместили строки со значением = 1, и получили бы значение 4.

Результат: 8

Задание 2_7: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 6 единиц.

Каково максимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?

✍ Решение:

Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2⁸ = 256 строк.
В шести из них результат равен единице, значит в остальных — 0.

A ∧ B ложно в том случае, когда:

A ∧ B = 0 если:

1. A = 0, B = 1 
2. B = 0, A = 1
3. A = 0 и B = 0

Во всех случаях там где А=1 может стоять B=0, и тогда результат F = 0. Поскольку нам необходимо найти максимально возможное число нулей, то как раз для всех шести А=1 сопоставим B=0, и наоборот, для всех шести возможных B=1 сопоставим A=0

A	B	F
1	0	0
1	0	0
1	0	0
1	0	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	0	0
…	…	…

Поскольку строк всего 256, то вполне возможно, что все 256 из них возвратят в результате 0

Результат: 256

Задание 2_4: 2 задание:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	F
1	0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0

Каким из приведённых ниже выражений может быть F?
1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
2) x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

✍ Решение:

В первом внешняя операция (выполняется последней) — конъюнкция. Начнем рассмотрение с нее. Соответственно, проверяем по второй строке таб. ист-ти, там где F = 1, так как в таком случае все аргументы должны быть истинными (см. таб. истинности для конъюнкции).
Если мы подставим в нее все аргументы выражения, то функция действительно возвращает истину. Т.е. пункт первый подходит:

Но проверим на всякий случай остальные.
Второй пункт проверяем по первой и третьей строке, так как основная операция — дизъюнкция — ложна только в том случае, если все аргументы ложны (см. таб. истинности для дизъюнкции). Проверяя по первой строке, сразу видим, что x1 в ней равен 1. В таком случаем функция будет = 1. Т.е. этот пункт не подходит:

Третий пункт проверяем по второй строке, так как основная операция — конъюнкция — возвратит истину только тогда, когда все операнды равны 1. Видим, что x1 = 0, соответственно функция будет тоже равна 0. Т.е. выражение нам не подходит:

Четвертый пункт проверяем по первой и третьей строкам. В первой — x1 = 1, т.е. функция должна быть равна 1. Т.е. пункт тоже не подходит:

Таким образом, ответ равен 1.

Результат: 1

Решение 2 задания ГВЭ по информатике смотрите на видео:

📹 здесь

Задание 2_8: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5)

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

1) 0
2) 30
3) 31
4) 32

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Поскольку выражение включает 5 переменных, то таб. ист-ти состоит из 2⁵ = 32 строк.
Внешней операцией (последней) является конъюнкция (логическое умножение), а внутри скобок — дизъюнкция (логическое сложение).
Обозначим первую скобку за А, а вторую скобку за B. Получим A ∧ B.
Найдем сколько нулей существует для таб. истинности:

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1 случай. 0 0 : A = 0 и B = 0, то есть:

¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5 = 0
и
x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 = 0.

Обратим внимание, что во вторых скобках везде стоит инверсия переменных, которые находятся в первых скобках. Таким образом, это невозможно, так как дизъюнкция равна нулю, когда все операнды равны нулю. А если в первых скобках все 0, то из-за инверсий во вторых скобках все 1. То есть этот случай нам не подходит.
2 случай. 0 1 : нам он подходит, так как если первая скобка возвратит 0, то вторая вернет 1.
3 случай. 1 0 : нам он подходит, так как если вторая скобка возвратит 0, то первая вернет 1.
Итого получаем два случая, когда исходное выражение вернет 0, т.е. две строки таблицы истинности.
Тогда получим количество строк, с результатом равным 1:

32 - 2 = 30, что соответствует номеру 2

Результат: 2

Подробное решение задания смотрите в видеоуроке:

📹 здесь

Задание 2_5: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	F
0	0	1	1	0	0	1
0	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1	0

Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

Подобные задания для тренировки

✍ Решение:

Полная таблица истинности будет иметь 2⁶ = 64 строк (т.к. 6 переменных).
4 из них нам известны: в них x3 два раза не совпадает с F.
Неизвестных строк:

 
64 - 4 = 60

В неизвестных x3 может не совпадать с F, кроме того, в двух известных x3 не совпадает с F. Соответственно максимально возможное число строк с несовпадающими x3 и F, будет:

60 + 2 = 62

Результат: 62

Задание 2_9: Решение 2 задания ЕГЭ по информатике:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	F
			0		0		0
			0			0	1
1			1				1

Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ (x2 → x3) ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
2) x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
3) ¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ x7
4) ¬x1 ∨ (x2 → ¬x3) ∨ x4 ∨ x5 ∨ x6 ∧ x7

✍ Решение:

Рассмотрим отдельно каждый пункт и найдем последнюю операцию, которая должна быть выполнена (внешнюю).

1 пункт:

(((x1 ∧ (x2 → x3) ∧  ¬x4) ∧ x5) ∧ x6)  ∧ ¬x7

Внешняя операция — конъюнкция. Ее проще проверять по строке, в которой F = 1 (значит все сомножители должны быть равны 1).
Возьмем 3-ю строку, в ней x4=1. В нашем выражении х4 с отрицанием, т.е. = 0. Для конъюнкции, когда хоть один из сомножителей равен нулю, выражение вернет в результате 0, а у нас в строке 1. Т.е. этот пункт не подходит:

2 пункт:

(((x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨  ¬x4) ∨ ¬x5) ∨ x6)  ∨ ¬x7

Последняя выполняющаяся операция (внешняя) — дизъюнкция. Ее легче проверять по строке, в которой F = 0 (значит все слагаемые должны быть равны 0).
Смотрим по первой строке: х4 = 0, в рассматриваемом пункте он с отрицанием, т.е. = 1. Соответственно все выражение вернет единицу, а в таблице в строке 0. Т.е. этот пункт не подходит:

3 пункт:

(((¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧  x4) ∧ ¬x5) ∧ x6) ∧ x7

Последняя операция — конъюнкция. Ее проще проверять по строке, в которой F = 1 (значит все сомножители должны быть равны 1).
Возьмем 2-ю строку: в ней х7 = 0, в рассматриваем пункте х7 без отрицания, т.е. так и остается равным нулю. При умножении выражение вернет в результате 0. В таблице — 1. Т.е. пункт тоже не подходит:

Единственным подходящим вариантом остался пункт под номером 4 (на всякий случай всегда стоит проверить и его).

Результат: 4

В видеоуроке рассмотрено подробное решение 2 задания:

📹 здесь

Задание 2_1: Задание 2 ЕГЭ по информатике:

Логическая функция F задается выражением
(y → x) ∧ (y → z) ∧ z.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
	???	???	???	F
1	0	0	0	0
2	0	0	1	0
3	0	1	0	1
4	0	1	1	1
5	1	0	0	0
6	1	0	1	0
7	1	1	0	0
8	1	1	1	1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Сначала необходимо рассмотреть логическую операцию, которую мы будем выполнять в последнюю очередь — это логическое И (конъюнкция) или ∧. То есть внешнюю операцию:

(y → x) ∧ (y → z) ∧ z

Конъюнкцию легче рассматривать по тем строкам таб. ист-ти, в которых F = 1, т.е. №3, №4, и №8
Поскольку для конъюнкции функция истинна только тогда, когда все переменные истинны, то необходимо чтобы отдельно каждая скобка была истинна ((y → x) = 1 и (y → z)=1) и переменная z тоже была истинной (=1)

(y → x) ∧ (y → z) ∧ z = 1
   если: 
1. (y → x) = 1
2. (y → z) = 1
3. z = 1

Поскольку с выражениями в скобках сложней работать, определим сначала какому столбцу соответствует z. Для этого выберем строку (№3), где F = 1, а в остальных ячейках только одна единица, остальные — нули.

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
3	0	1	0	1

Таким образом, делаем вывод, что z находится во втором столбце (отсчет ведем слева):

№	Перем. 1	Перем. 2	Перем. 3	F
_	???	z	???	F

Дальше нам необходимо рассмотреть две скобки, в которых находится операция импликации: (y → x) и (y → z). Обе эти скобки должны возвращать истину (=1). В таб. истинности для импликации, функция возвращает в результате 1 тогда, когда:
вторая переменная (заключение) равна 1 (первая при этом может быть любой),
вторая переменная (заключение) равна 0, а первая обязательно должна быть равна тоже 0.
Рассмотрим скобку (y → x) и строку 4 таблицы:

№	Перем. 1	z	Перем. 3	F
4	0	1	1	1

Для этой строки только y может быть равен 0, т.к. если x = 0, тогда y=1, и скобка в результате возвратит ложь (1 → 0 = 0). Соответственно, y находится в первом столбце. А x значит должен стоять в третьем:

Результат: yzx

Детальный разбор данного задания 2 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео:

📹 здесь

Источник

Вы
знаете, ученик третьего класса Максим очень хотел объяснить вам эту тему, но
немного приболел и прийти сегодня не смог. Но, благодаря Интернету, мы можем с
ним связаться.

̶
Здравствуй Максим!

̶
Здравствуйте! Проверьте, чтобы ваши соседи по парте были готовы к уроку. И мы
начинаем.

Прослушайте
название пар множеств и попытайтесь заметить, что повторяется в
каждой паре.

Животные
и герои мультфильмов;

Рыбы
и птицы;

Материки
и части света;

Звёзды
и планеты.

Ну,
что заметили? Конечно, повторялся слово «и».

Если
в названии множества есть союз «И», то каждый его элемент должен находиться
на пересечении двух множеств, т.е. находиться одновременно в двух
множествах. Другими словами мы можем сказать, что пересечение множеств
– это их общая часть.

А
теперь задание.

Необходимо
разместить элементы по своим множествам.

Давайте
посмотрим, что за элементы. Так это имена мальчиков и девочек: Коля, Ваня,
Даша, Игорь, Катя, Саша, Дима, Юля, Ира, Женя. Будем размещать имена мальчиков
в синий прямоугольник, а девочек – в розовый. Ага! Так ведь Сашей и Женей могут
звать как мальчиков, так и девочек. Значит, эти два имени будут находиться
сразу в двух множествах, т.е. на пересечении двух множеств.

Итак,
Коля, Ваня – это мальчики, помещаем эти элементы во множество имён мальчиков.
Даша – имя девочки, помещаем в розовый прямоугольник, где находятся имена
девочек. Игорь – имя мальчика, Катя – имя девочки. Саша, так могут звать и
мальчика, и девочку, значит, этот элемент будет находиться на пересечении
двух множеств. Дима – элемент из множества имён мальчиков. Юля, Ира,
конечно элементы из множества имён девочек. И последнее имя, Женя, это имя
могут иметь как девочки, так и мальчики. Значит, этот элемент будет находиться на
пересечении двух множеств.

Теперь
все имена находятся в своих множествах.

А
сейчас я прочитаю названия ещё нескольких пар множеств, а вы попытайтесь
заметить, что повторяется в этих парах.

Яблоки
или груши;

Полевые
или садовые цветы;

Попугаи
или морские свинки;

Рабочие
или выходные дни.

Заметили,
что повторялось в парах множеств? Конечно, это слово «или».

Посмотрите
ещё раз на названия множеств.

Например,
яблоки или груши. А ведь эти множества можно объединить в одно с общим
названием «фрукты» и все элементы будут располагаться в одном новом
множестве.

Попугаи
или морские свинки. Их можно объединить во множество с названием

«домашние
животные» и все попугаи, и все морские свинки будут находиться в новом
множестве.

Значит,
если в названии множества есть слово «или», то его элемент может
находиться в любом множестве и тогда происходит объединение множеств, т.е. эти множества
объединяются.

Давайте
рассмотрим два множества: домашние животные, дикие животные.

Множество
домашние животные содержат следующие элементы: собака, кошка, морская свинка,
попугай.

Множество
дикие животные состоит из следующих элементов: бегемот, леопард, волк, лев.

Какой
общий признак у элементов этих двух множеств? Элементы
каждого из них относятся с животному миру. Значит, можно, объединив эти
множества, создать новое множество под названием животные. Теперь
все элементы находятся в одном множестве.

А
теперь, конечно, задание.

Распределить
элементы по множествам, объединить их и придумать
название для нового множества.

Итак,
смотрим на элементы. Ага, у нас два множества: множество стульев
и множество столов. Распределяем элементы по множествам. Все элементы
стулья во множество стульев, а все элементы столы во множество столов.

Объединяем
множества. Какое название будет у нашего нового множества?
Множество мебели.

Давайте
ещё раз определим разницу между пересечением и объединением множеств.

Если
в названии множества есть слово «И», то это пересечение,
и каждый элемент должен находиться на пересечении двух множеств.

Если
в названии множества есть слово «или», то его элемент может
находиться в любо области объединённых множеств.

Я
надеюсь, что вы поняли разницу между пересечением и объединением
множеств. А давайте проверим?

Итак,
перед вами рисунок с тремя множествами.

Множество
учеников, которые любят математику, множество учеников, которые любят
информатику и множество всех учеников. Но, среди учеников есть и такие, которые
любят и математику и информатику. Значит, эти два множества пересекаются
и одновременно они являются подмножеством множества всех
учеников. А теперь появляются элементы во множествах.

Используя
полученные знания сегодня на уроке, будем отвечать на вопросы. А все ответы
хранятся на этом рисунке, главное внимательно слушать вопросы и внимательно
смотреть на рисунок.

Первый
вопрос:

Сколько
учеников любят математику? Считаем их во множестве учеников, которые любят
математику, и не забываем посчитать тех учеников, которые находятся на пересечении
двух множеств учеников, которые любят и математику, и информатику. Считаем. Их
шесть.

Сколько
учеников любят информатику? Считаем их во множестве учеников, которые любят
информатику и опять считаем тех учеников, которые находятся на пересечении
двух множеств. Считаем. Их пять.

Сколько
учеников любят и математику, и информатику? Будем считать тех учеников, которые
находятся на пересечении двух множеств. Их три.

Сколько
учеников любят или математику или информатику? Если используется слово «или»,
значит элементы находятся в любом месте множеств за исключением любителей двух
предметов сразу. Значит, считаем учеников и в первом множестве и во втором, но
не включаем тех, кто находится в пересечении. Их пять.

Сколько
учеников любят только математику? Любят математику только те, которые находятся
во множестве учеников, которые любят математику. Ученики, которые находятся на
пересечении двух множеств, сюда относится не будут, т.к. они любят и
математику, и информатику. Итак, считаем и получается, что 3 ученика любят
только математику.

Сколько
учеников любят только информатику? Опять, учеников, которые находятся на пересечении
двух множеств, считать не будем. Любителей информатики двое.

Сколько
учеников не любят математику? Надо посчитать их во множестве учеников, которые
любят информатику, кроме тех, которые находятся на пересечении
множеств, т.к. эти ученики любят информатику и математику. А так же надо
посчитать тех учеников, которые находятся во множестве всех учеников, т.к. они
не любят математику. Их всего 5.

Всем
спасибо за отличную работу. Теперь я точно понял, что хочу быть учителем!

Тебе
спасибо, Максим. Тему объяснил хорошо. До свидания! А мы ещё сделаем выводы.

Итак.

Множество
– это объединение некоторых объектов (элементов) в группу по определённым
признакам.

Множество
может быть подмножеством другого множества. Например: множество
собак является подмножеством множества домашние животные.

Множества
могут пересекаться. Например: множество чисел, которые делятся на
2, и множество чисел, которые делятся на 3, пересекаются, т.к. числа, например,
6 и 12 делится и на 2, и на 3.

Множества
могут и не пересекаться. Например: множество телефонов и
множество цветов.

И
множества могут объединяться. Например: множество рабочих дней
недели и множество выходных можно объединить в одно множество дней недели.

Выводы
сделаны, и я желаю вам успехов при выполнении заданий!

Источник

Задачи про
множества. Пересечение, объединение множеств. Круги Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Круги
Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно
изобразить отношения между множествами.

При
решении целого ряда задач Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью
кругов. Однако этим методом еще до Эйлера пользовался Лейбниц, который
использовал их для геометрической интерпретации логических связей между
понятиями. Свое развитие графические методы получили в сочинениях
английского логика Венна. Поэтому такие схемы иногда называют диаграммами
Эйлера—Венна.

Черный и
белый шоколад

На схеме
прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Ч – тех, кто любит чёрный
шоколад, а круг Б – тех, кто любит белый шоколад. Штриховкой выделено некоторое
подмножество этих шестиклассников.

Поставьте в соответствие каждому рисунку соответствующее описание
выделенного множества.

Те, кто любит и
чёрный, и белый шоколад.

Те, кто любит
белый и не любит чёрный шоколад.

Те, кто любит
какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.

Те, кто не любит
ни чёрный, ни белый шоколад.

Подсказка
1 из 1

Если кто-то любит и то и другое, то
это пересечение множеств.

Если кто-то не любит ничего, то это
все то, что лежит за множествами.

Если кто-то любит, что-то одно, то
должно быть заштриховано только это и не должно быть заштриховано пересечение
множеств..

Решение задачи

Те,
кто любит и чёрный, и белый шоколад.

Те,
кто любит белый и не любит чёрный шоколад.

Те,
кто любит какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.

Те,
кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад.

Множество
кошек

Выберите несколько верных утверждений в
соответствии с рисунком.

Множество Животные является
подмножеством множества Кошки.

Множество Вислоухие является
подмножеством множества Кошки.

Множество кошки является
подмножеством множества Животные.

Множества школьных предметов

Из десяти
опрошенных школьников семерым нравится математика, восьмерым — история.

Скольким ребятам нравится математика и
история одновременно, если двоим ребятам не нравятся ни история ни математика?

Подсказка
1 из 1

Поскольку двоим не нравится ничего,
то математика или история нравятся восьмерым из опрошенных.

Решение
задачи

Поскольку
двоим не нравится ничего, то математика или история нравятся восьмерым из
опрошенных. Заметим, что в числе тех, кому нравится математика, есть те, кому
нравится и математика, и история. Также и в числе тех, кому нравится история,
есть эти же люди (кому нравятся оба предмета).

Следовательно,
сложив количество тех, кому нравится математика с количеством тех, кому
нравится история, мы получим всех, кому нравится только математика, всех, кому
нравится только история и дважды учтем тех, кому нравится и то и другое. Обозначив
учтенное дважды количество за x, получим: 8+7−x=8, откуда x=7.

Круги Эйлера

Некоторые ребята
из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм
«Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый
остров», и «Стиляги».

Сколько
человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Подсказка
1 из 2

Изобразим
эти множества с помощью кругов Эйлера:

Подсказка
2 из 2

6
человек смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Отметим это на кругах
Эйлера:

Решение
задачи

6
человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в
пересечение множеств.

Получаем:

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:

Ответ:
5 человек смотрели только «Стиляги».

Источник